PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính 7 18 4 19 4 25 25 23 23 7 A [.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút HUYỆN GIA VIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) 1) Thực phép tính: A 18 19 25 25 23 23 0, B 1, 2 1 0, 25 11 : 2020 7 0,875 0, 2021 11 x 1,5; y 0, 75 2) Cho biểu thức P x xy y Tính giá trị P với Bài 2: (4,0 điểm) a b c b c a c a b c a b 1) Cho a , b , c ba số thực khác 0, thỏa mãn Hãy tính b a c M a c b giá trị biểu thức 2) Cho Nhà trường thành lập nhóm học sinh khối tham gia chăm sóc di tích lịch sử Trong đó, số học sinh nhóm I 11 số học sinh nhóm II số học sinh nhóm III Biết số học sinh nhóm I tổng số học sinh nhóm II nhóm III 18 học sinh Tính số học sinh nhóm Bài 3: (4,5 điểm) 39 15 3x2 1) Tìm x biết: 2) Tìm x , y nguyên biết: xy x y 6 42 x P x 15 Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nhỏ 3) Cho Bài 4: (6,5 điểm) Cho ABC có góc nhọn, AB AC BC , tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O lên BC , H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI AH , gọi K giao điểm FH AI 1) Chứng minh FCH cân 2) Qua I vẽ IG // AC ( G thuộc FH ) Chứng minh AK KI 3) Chứng minh: điểm B, O, K thẳng hàng Bài ( 1,0 điểm ) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 210 Chứng minh đoạn thẳng ln tìm đoạn thẳng để ghép thành tam giác HẾT Trang Trang ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 1) Thực phép tính: A 18 19 25 25 23 23 0, B 1, 2 1 0, 25 11 : 2020 7 0,875 0, 2021 11 x 1,5; y 0, 75 2) Cho biểu thức P x xy y Tính giá trị P với Lời giải 1) Tính biểu thức 1,5 điểm 18 19 18 19 A 25 25 23 23 25 25 23 23 A 1 A 2 1 0, 25 0, 11 : 2020 B 1, 1 0,875 0, 2021 11 B 2 11 7 11 1 2 B 7 5 1 : 2020 7 2021 10 1 1 2020 11 : 1 1 2021 11 2 2020 B : 0 7 2021 2) (1 điểm) x 1,5 x 1,5 x 1,5 Ta có: Với x 1,5; y 0, 75 thay vào biểu thức, ta được: P x xy y ,ta được: P 1,5 4.1,5 0, 75 0,75 5, 25 Trang Với x 1,5; y 0, 75 thay vào biểu thức P x xy y , ta được: P 1,5 1,5 0, 75 0, 75 6, 25 Vậy P 5, 25 với x 1,5; y 0, 75 P 6, 25 với x 1,5; y 0, 75 Bài 2: (4,0 điểm) a b c b c a c a b c a b 1) Cho a , b , c ba số thực khác 0, thỏa mãn Hãy tính b a c M c b a giá trị biểu thức 2) Cho Nhà trường thành lập nhóm học sinh khối tham gia chăm sóc di tích lịch sử Trong đó, số học sinh nhóm I 11 số học sinh nhóm II số học sinh nhóm III Biết số học sinh nhóm I tổng số học sinh nhóm II nhóm III 18 học sinh Tính số học sinh nhóm Lời giải 1) (2 điểm) a b c b c a c a b a b bc ca 1 1 1 c a b c a b Ta có: a b b c c a c a b TH1: Nếu a b c 0 ; áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b b c a c 2 a b c 2 a b 2c; b c 2a; a c 2b c a b a b c b a c a b c a b c 2c 2b 2a M 8 abc abc a c b a b c a b c 0 b c a c a b TH2: Nếu b a c a b c a b c c b c M c b a c b c b a a Vậy M 1; 8 2) (2 điểm) Gọi số học sinh nhóm I, II, III x , y , z (em) ( x , y , z nguyên dương) y z x 18 Theo đề bài, ta có : Trang x y z 11 x y z 11 chia tỉ số cho BCNN 2, 4,8 8 ta Vì 2.x y 4.z x y z 3.8 11.8 5.8 12 11 10 Mặt khác: y z x 18 x y z yz x 18 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số 12 11 10 11 10 12 x 12.2 24 y 11.2 22 z 10.2 20 Vậy số học sinh: Nhóm I 24 em; nhóm II 22 em, nhóm III 20 em Bài 3: (4,5 điểm) 39 15 3x2 1) Tìm x biết: 2) Tìm x , y nguyên biết: xy x y 6 42 x P x 15 Tìm số nguyên để P nhận giá trị nhỏ 3) Cho Lời giải 1) ( 1,5 điểm ) 15 39 x 39 15 3x 39 2 x 15 2 39 15 39 15 3x 3x x 12 2 2 Nếu x 4 x 2 39 15 39 15 x x x 27 2 Nếu x 9 x 3 Vậy x 2; 3 2) ( 1,5 điểm ) xy x y 6 x y 3 y 3 6 Ta có: x 1 y 3 3 Mà x; y Z x Z ; y Z Trang x 1 y 3 3 1.3 3.1 1 3 1 Ta có bảng giá trị: Vậy x 1 1 3 y 3 3 1 x 2 y 2 6 4 x; y 2;0 ; 4; ; 0;6 ; 2; 3) ( 1,5 điểm ) 42 x 27 27 P x 15 x 15 đạt GTNN x 15 nhỏ Ta có: 27 0 Xét x 15 x 15 27 0 Xét x 15 x 15 27 Do x 15 nhỏ x 15 27 27 Phân số x 15 có tử dương mẫu âm, x 15 nhỏ x 15 số nguyên âm lớn hay x 15 x 14 Vậy x 14 P nhỏ P 28 Bài ( 6,5 điểm ) Cho ABC có góc nhọn, AB AC BC , tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O lên BC , H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI AH , gọi K giao điểm FH AI 1) Chứng minh FCH cân 2) Qua I vẽ IG // AC ( G thuộc FH ) Chứng minh AK KI 3) Chứng minh: điểm B, O, K thẳng hàng Lời giải Trang A H E K O G B F I C 1) ( điểm) o Ta có CHO FHO 90 ( OH AC , OF BC ) Xét CHO vuông H CFO vng F có: OC chung HCO FCO ( OC phân giác ACB ) Vậy CHO = CFO ( cạnh huyền – góc nhọn ) CH CF ( hai cạnh tương ứng ) HFC cân C Vậy 2) ( điểm) Ta có HFC cân C (cmt) CHF CFH (1) Mà CHF FGI ( đồng vị, IG // AC ) (2) Từ (1) (2) CFH FGI hay IFG I GF , IFG cân I FI GI mặt khác: FI IH nên GI AH FI Ta lại có: IGK AHK ; HAK GIK ( so le trong, IG // AC ) AHK IGK GIK cmt ; AH GI cmt ; HAK cmt Xét AHK IGK có: AHK IGK g c g AK KI (Đpcm) 3) ( điểm) Vẽ OE AB E , có BO tia phân giác ABC (*) Chứng minh OBE OBF (ch gn) BE BF Chứng minh OAE OAH (ch gn) AE AH AE FI ( AH ) Chứng minh AB BI ABK IBC c.c.c ABK IBK Chứng minh Từ suy BK tia phân giác ABC (**) Trang Từ (*) (*) suy tia BK , BO trùng Hay B, O, K ba điểm thẳng hàng Bài ( 1,0 điểm ) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 210 Chứng minh đoạn thẳng ln tìm đoạn thẳng để ghép thành tam giác Lời giải Ta xếp đoạn thẳng theo thứ tự có độ dài tăng dần: a1 a2 a8 Nếu tồn đoạn thẳng ak ; ak 1 ; ak 2 thỏa mãn ak ak 1 ak 2 ba đoạn thẳng ghép thành tam giác Giả sử ngược lại: a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a4 a5 a6 a5 a6 a7 a6 a7 a8 Khi đó, theo giả thiết: a1 10; a2 10 a3 20 a4 40 a5 50 a6 80 a7 130 a8 210 mâu thuẫn với giả thiết Vậy tồn đoạn thẳng ak ; ak 1 ; ak 2 mà ak ak 1 ak 2 tồn đoạn thẳng để ghép thành tam giác Trang