PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN (Đề thi gồm có 1 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Bài 1 (5,0 điểm) 1 Tính 6 5 9 4 12 11 4 9 6 120 8 3 6 C 2 Tính 1 1 1 1 2 6 6 10 10 14 98 102 S [.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có trang) Bài 1: (5,0 điểm) 46.95 69.120 C 12 11 Tính Tính S 1 1 2.6 6.10 10.14 98.102 2 2020 2021 x y z 1 0 Cho x, y, z thỏa mãn: Tính giá trị A 5 x y z Bài 2: (4,0 điểm) a c Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn b d c d Chứng minh rằng: a 20 b 20 21 (c 20 d 20 ) 21 21 b 21 20 21 d 21 20 a c y Tìm số ngun khơng âm x, y cho x 3 35 Bài 3: (4,0 điểm) Xác định tổng hệ số đa thức f x x x 2020 thu sau khai triển Tổng lũy thừa bậc ba số hữu tỉ 1071 Biết tỉ số số thứ số thứ hai , tỉ số số thứ số thứ ba Tìm số Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN MA Chứng minh: BD CE Chứng minh: ADE CAN AD IE 1 2 AM DI AE I DE Gọi giao điểm Chứng minh Bài (1 điểm) A x y y z z x 12 Cho ba số phương x, y, z Chứng minh rằng: ĐÁP ÁN Bài 1: (5,0 điểm) Tính C 46.95 69.120 84.312 611 S 1 1 2.6 6.10 10.14 98.102 Tính 2 2020 2021 x y z 1 0 Cho x, y , z thỏa mãn: Tính giá trị A 5 x y z Lời giải Tính: 2 9 46.95 69.120 3.5 212.310 212.310.5 C 12 11 12 12 11 11 12 11 11 212.310. 2.6 4 11 11 2.3 3. 4 Vậy C = Tính: S 1 1 2.6 6.10 10.14 98.102 4S 4 4 2.6 6.10 10.14 98.102 1 1 1 1 25 4S 6 10 98 102 102 51 S 25 25 :4 51 204 2 2020 2021 x y z 1 0 Cho x, y , z thỏa mãn: Tính giá trị A 5 x y z Ta có x y z 1 0 (1) Vì x 0 x; y 0 y; z | 1 0 x, y, z Do x y z 1 0 x, y , z (2) Từ (1) (2) suy x 0 y 0 z 1 0 x 0 y 0 z 0 x 2 y 1 z 2020 ( 1) 2021 20 Do A 5.2 Vậy x y z 1 0 A 20 Bài 2: (4,0 điểm) a c Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn b d c d Chứng minh rằng: a 20 b 20 21 (c 20 d 20 ) 21 21 b 21 20 21 d 21 20 a c y Tìm số ngun khơng âm x, y cho x 3 35 Lời giải (2,0 điểm) a c a b Vì a, b, c, d số dương c d , mà b d nên c d 21 20 20 21 21 20 20 a b a b 20 20 20 c d c d 20 20.21 a 20 b 20 a a b a (1) 20 20 20 c 20.21 c 20 d 20 21 c c d 20 21 20 20 21 20 a b 21 21 c d 21.20 a 21 b 21 a a b a a b (2) 21.20 21 21 21 21 21 20 21 21 c c d c d c c d 21 21 a c Từ (1) (2) 20 20 21 21 21 20 21 21 b 20 d a c 20 b 20 21 21 b 21 20 20 d 20 21 21 d 21 20 a c Vậy (2,0 điểm) a c 20 21 b 21 d 21 20 21 20 20 2 + Với y 0 x 1 35 36 6 x 6 x , x 0 y y + Với y x 3 36 3 mà 35 36 x 36 x 6 x , x 0 nên x 3k ; x 3k 1; x 3k 2, k N * 2 Với x 3k x 1 9k chia cho dư 1, khơng có giá trị thỏa mãn 2 Với x 3k x 9k 6k chia cho dư 2, khơng có giá trị thỏa mãn 2 Với x 3k x 1 9k 12k chia cho dư 2, khơng có giá trị thỏa mãn Vậy x 6; y 0 Bài 3: (4,0 điểm) Xác định tổng hệ số đa thức f x x x 2020 thu sau khai triển Tổng lũy thừa bậc ba số hữu tỉ 1071 Biết tỉ số số thứ số thứ hai , tỉ số số thứ số thứ ba Tìm số Lời giải ( 2,0 điểm) Lập luận tổng hệ số đa thức Mà đa thức Có f x x x f 1 6.1 12 2022 f x f 1 2022 0 Vậy đa thức cho có tổng hệ số ( 2,0 điểm) m n m p Gọi số thứ nhất, thứ hai, thứ ba m, n, p ta có: m n p k Ta có Do m 6k , n 8k , p 7k 3 3 3 Và m n p (6k ) (8k ) (7k ) 1071k 1071 k k Vậy m 6, n 8, p Bài 4: (6,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AC Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN MA Chứng minh: BD CE Chứng minh: ADE CAN AD IE 1 2 Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh DI AE A E I P D B C M N a) Xét ABD ACE có: AD AC ( gt ); AE AB ( gt ); BAD CAE (cùng phụ BAC ) ABD AEC (c.g c) BD CE (hai cạnh tương ứng) b) Xét ABM NCM có: AM MN ( gt ); BM CM ( gt ); AMB NMC (dd ) ABM NCM (c.g.c) AB CN (hai cạnh tương ứng) ABM NCM (hai góc tương ứng) Ta có: ACN ACB BCN ACB ABC 180 BAC DAE DAC BAE BAC 1800 BAC DAE ACN Lại có: Xét ADE ACN có: CN AE (cùng AB ) ; AC AD( gt ); DAE ACN (cmt ) ADE CAN (c.g.c) ADE CAN (c.g.c) NAC ADE (hai góc tương ứng) Gọi P giao điểm DE AC 0 Xét ADP vuông A ADE APD 90 NAC APD 90 AI DE Xét ADI vuông I theo định lý Pytago ta có: c) Vì AD DI AI AI AD DI Xét AIE vuông I theo định lý Pytago ta có: AE AI IE AI AE IE AD DI AE IE AD IE DI AE AD IE 1(dfcm) DI AE Bài (1 điểm) A x y y z z x 12 Cho ba số phương x, y, z Chứng minh rằng: Lời giải x ; y ; z Theo đề số phương Mà số phương chia cho cho dư dư Do số phương x; y; z chia cho phải có hai số có số dư, nên số x y ; y z ; z x phải có số chia hết cho suy Chứng minh tương tự ta có Mà 3, 1 nên x y y z z x 4 A x y y z z x 12 x y y z z x 3