Hsg T7 - 013 - Đề_Đáp.án - Thcs Kim Long.docx

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2,0 điểm) Tìm các số , , x y z biết rằng a) 2 3x x   b)   3x y x y x y    c) 1[.]

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) Tìm số x, y, z biết rằng: a) b) x  x  3 x  y  x : y 3  x  y  1 y 1 y 1 y   24 6x c) 18 Bài 2: (2,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên  x; y  |y +2011|+ 30= thỏa mãn 2010 (2 x+ 6)2 +67 b) Cho đa thức P(x) = ax + bx + cx + d Với a, b, c, d hệ số nguyên Biết P(x) chia hết cho với số nguyên x Chứng tỏ số nguyên a, b, c, d chia hết cho Bài 3: (2,0 điểm) 2 a) Nếu tam giác có độ dài hai đường cao ; đường cao thứ ba số phương đường cao thứ ba bao nhiêu? b) Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh ba số tồn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 A AB  AC  Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông  Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE  AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K a) Chứng minh BA BH b) Tính góc DBK Bài 5: (2,0 điểm)    2008.a  3.b 1 2008a  2008.a  b 225 a) Tìm số tự nhiên a, b cho b) Tìm ba số nguyên tố khác a, b, c cho abc  ac  bc  ab c) Tìm hai số tự nhiên x, y biết tổng chúng gấp hai lần tích chúng; …………… Hết …………… Trang ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN TRƯỜNG THCS HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Tìm số x, y, z biết rằng: a) b) x  x  3 x  y x : y 3  x  y  1 y 1 4y 1 y   24 6x c) 18 Lời giải a) (0,75đ) Nếu x   2, ta có  x  3  x  2,5 Nếu   x  0, ta có x  3  khơng có giá trị x Nếu x 0, ta có x  3  x  0,5 b) (0,75đ) Vì x  y  x : y 3  x  y  Suy x : y 2 (vì y 0) Ta có x  y 2  x  y  2  x ;y 3  c) (0,5 đ) 1 y 1 y   y   x 5 24 Từ 18 Bài 2: (2,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên  x; y  |y +2011|+ 30= thỏa mãn 2010 (2 x+ 6)2 +67 b) Cho đa thức P ( x) ax  bx  cx  d Với a, b, c, d hệ số nguyên Biết P(x) chia hết cho với số nguyên x Chứng tỏ số nguyên a, b, c, d chia hết cho Lời giải a) (1 đ) |y +2011|+ 30= Ta có: 2010 (2 x+ 6)2 +67 (1) ( x +6 )2≥0 với x  Z ⇒ ⇒ ( x +6 )2 +67≥67 với x  Z 2010 2010 ≤ =30 (2 x +6 ) +67 67 với x  Z Trang |y+2011|≥0 với y  Z ⇒ |y+2011|+30≥30 Do (1) có nghiệm nguyên x, y với y  Z {(2 x+6 )=0¿¿¿¿ ⇔¿ { x=−3¿¿¿ b) (1đ) P  x  5 với x nguyên, nên ta có : P   d 5 P  1 a  b  c  d 5 mà d 5  a  b  c 5 (1) P   1  a  b  c  d 5 mà d 5   a  b  c5   Từ (1) (2)  2b5  b5 (vì nguyên tố nhau) Từ (1) b 5  a  c 5 P   8a  4b  2c  d 6a   a  c   4b  d 5  6a 5  a 5  c 5 Bài 3: (2,0 điểm) 2 a) Nếu tam giác có độ dài hai đường cao ; đường cao thứ ba số phương đường cao thứ ba bao nhiêu? b) Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh ba số tồn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 Lời giải a) (1 đ) Gọi ba cạnh tam giác a, b, c đường cao tương ứng 9, 25, m Ta có: 9a 25b mc 2S ( S diện tích tam giác)  a 2S 2S 2S b c , 25 , m Áp dụng BĐT tam giác ta có: a  b  c  a  b  225 225 m  m 9 34 16 (vì m số phương) b) (1 đ) Số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư là: 1,5, 7,11 Nhóm I: số dư 1; 11 Nhóm II : số dư 5; Vì có ba số nguyên tố mà có hai nhóm nên theo nguyên Đrichle, tồn hai số thuộc nhóm  Hai số có hiệu tổng chia hết cho 12 Trang A AB  AC  Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vng  Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE  AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K a) Chứng minh BA BH b) Tính góc DBK Lời giải Vẽ hình, ghi GT, KL I B K H A D E C a) (0,75 đ) Δ ABD = Δ HBD (Cạnh huyền - góc nhọn)  BA = BH b) (1,25 đ) Qua B, kẻ đường vng góc với EK , cắt EK I  Ta có ABI 90   Chứng minh HBK KBI , cách chứng minh HBK IBK (cạnh huyền - cạnh góc vng)   DBK 450 Bài 5: (2,0 điểm)    2008.a  3.b  1 2008a  2008.a  b 225 a) Tìm số tự nhiên a, b cho b) Tìm ba số nguyên tố khác a, b, c cho abc  ac  bc  ab c) Tìm hai số tự nhiên x, y biết tổng chúng gấp hai lần tích chúng; Lời giải a) (0,75 đ) a Theo đề 2008a  3b  2008  2008a  b số lẻ a Nếu a 0  2008  2008a số chẵn Trang a Để 2008  2008a  b lẻ  b lẻ Nếu b lẻ  3b + chẵn 2008a + 3b + chẵn (không thoả mãn) Vậy a = Với a =  (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 45 = 9.25 3b + không chia hết cho 3b + > b + 3b  25    b 8 b  9 Vậy a 0; b 8 b) (0,75 đ) abc  ac  ab  bc  Giả sử  1   1 a b c a b c 2 1   a b c   c  3, c suy c = (vì c số nguyên tố) Ta có 1 + > a b Tương tự tính b 3, a 5 c) (0,5đ) Ta có x + y = 2xy Giả sử x  y  2x  x + y  2x  2xy  y  Vì y số tự nhiên nên y  {0 ; 1} Với y =  x = Với y =  x = ………………………… Trang