Hsg T7 - 013 - Đề_Đáp.án - Thcs Kim Long.docx

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2,0 điểm) Tìm các số , , x y z biết rằng a) 2 3x x   b)   3x y x y x y    c) 1[.]

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các số , , x y z biết rằng:

a) x  2 x  3

b) x y x y  : 3x y 

c)

1 2 1 4 1 6

x

Bài 2: (2,0 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên x y;  thỏa mãn |y +2011|+30=2010

(2 x+6)2

+67 b) Cho đa thức P(x) = ax + bx + cx + d Với , , ,a b c d là các hệ số nguyên Biết P(x) chia

hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng các số nguyên , , ,a b c d cũng chia hết cho 5.

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 3 ; 5 và đường cao thứ ba cũng là số chính2 2 phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu?

b) Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng trong ba số đó tồn tại hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12

Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB  AC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở

D Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AEAB Đường thẳng vuông

góc với AE tại E cắt tia DH tại K.

a) Chứng minh rằng BA BH .

b)Tính góc DBK.

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên ,a b sao cho 2008.a3.b1 2008  a2008.a b  225

b)Tìm ba số nguyên tố khác nhau là , , a b c sao cho abc ac bc ab  

c) Tìm hai số tự nhiên ,x y biết rằng tổng của chúng gấp hai lần tích của chúng;

……… Hết ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các số , , x y z biết rằng:

a) x  2 x  3

b) x y x y  : 3x y 

c)

1 2 1 4 1 6

x

Lời giải

a) (0,75đ)

Nếu x   ta có 2 2 32,  x   x2,5

Nếu 2  x 0, ta có 0x   2 3 không có giá trị của x

Nếu x  ta có 2 2 30, x   x 0,5

b) (0,75đ)

Vì x y x y  : 3  x y 

Suy ra x y : 2 (vì y0)

Ta có x y 2 3và x y  2 

;

x y

c) (0,5 đ)

Từ

5

Bài 2: (2,0 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên x y;  thỏa mãn |y +2011|+30=2010

(2 x+6)2+67 b) Cho đa thức P x( )ax3bx2cx d . Với , , ,a b c d là các hệ số nguyên Biết P(x) chia

hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng các số nguyên , , ,a b c d cũng chia hết cho 5.

Lời giải

a) (1 đ)

|y +2011|+30=2010

(2 x+6)2+67 (1)

Ta có: (2 x +6 )2≥0 với x Z  ⇒ (2 x +6 )2+67≥67 với x Z 

|y+2011|≥0 với  y Z ⇒ |y+2011|+30≥30 với  y Z

Do đó (1) có nghiệm nguyên ,x y khi và chỉ khi { ( 2x+6 ) =0 ¿¿¿¿ ⇔ ¿ { x=−3 ¿¿¿

b) (1đ)

vì P x   5 với mọi x nguyên, nên ta có :

P     a b c d mà d5 a b c  5 (1)

P  a b c d   

mà d5 a b c   5 2 

Từ (1) và (2)  2 5b  b (vì 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)5

Từ (1) và b 5 a c 5

P  a b c d  a a c  b d   a

5 5

   

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 3 ; 5 và đường cao thứ ba cũng là số chính2 2 phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu?

b) Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng trong ba số đó tồn tại hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12

Lời giải

a) (1 đ)

Gọi ba cạnh của tam giác là , ,a b c và đường cao tương ứng là 9,25,m

Ta có: 9a25b mc 2S(S là diện tích tam giác)

2

9

S

a

 

,

2 25

S

b 

,

2S c m



Áp dụng BĐT tam giác ta có: a b c a b   

225 225

9

34 m 16 m

(vì mlà số chính phương) b) (1 đ)

Số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 số dư chỉ có thể là: 1,5,7,11

Nhóm I: số dư là 1; 11

Nhóm II : số dư là 5; 7

Vì có ba số nguyên tố mà chỉ có hai nhóm nên theo nguyên Đrichle, tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm

 Hai số đó có hiệu hoặc tổng chia hết cho 12

Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC.

Tia phân giác của góc B cắt AC ở

D Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AEAB Đường thẳng vuông

góc với AE tại E cắt tia DH tại K.

a) Chứng minh rằng BA BH .

b)Tính góc DBK.

Lời giải

Vẽ hình, ghi GT, KL

a) (0,75 đ)

Δ ABD = Δ HBD (Cạnh huyền - góc nhọn)

 BA = BH

b) (1,25 đ)

Qua B, kẻ đường vuông góc với EK cắt EK tại I,

Ta có ABI 900

Chứng minh HBK KBI , bằng cách chứng minh

HBK IBK (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

 DBK 450

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên ,a b sao cho 2008.a3.b1 2008  a2008.a b 225

b)Tìm ba số nguyên tố khác nhau là , , a b c sao cho abc ac bc ab  

c) Tìm hai số tự nhiên ,x y biết rằng tổng của chúng gấp hai lần tích của chúng;

Lời giải

a) (0,75 đ)

H

K

Để 2008a  2008a b lẻ  b lẻ

Nếu b lẻ  3b + 1 chẵn do đó

2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)

Vậy a = 0

Với a = 0  (3b + 1)(b + 1) = 225

Vì b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5 45 = 9.25

3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1

8

1 9

b

b b

 



 



Vậy a0;b8.

b) (0,75 đ)

1 1 1

1

a

bc ac a

b c

Giả sử

a b c     

,

3

   

suy ra c = 2 (vì c là số nguyên tố)

Ta có

1

a+

1

b>

1 2 Tương tự tính được b3,a5

c) (0,5đ)

Ta có x + y = 2xy

Giả sử x  y  2x  x + y  2x  2xy  y  1

Vì y là số tự nhiên nên y  {0 ; 1}

Với y = 0  x = 0

Với y = 1  x = 1

………