Hsg T7 - 010 - Đề_Đáp.án - Thcs Kim Long Đề 2.Docx

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2,5 điểm) a) Tính giá trị A=1000−{(−5)3 (−2)3−11 [72−5 23+8(112−121 )] } b) Tìm x biết[.]

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Toán – Lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,5 điểm)

a) Tính giá trị A=1000−{(−5)3.(−2)3−11.[72−5 23+8(112−121 )] }

b) Tìm x biết ( 3− 9

10 −| x+2| ) : ( 19 10 −1−

2

5 ) + 4

5 =1

c) Tìm x thỏa mãn | x−10|10+| x−11|11=1

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Tìm hai số dương khác nhau x y, biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12

b) Cho , , a b c là các số thực khác 0 Tìm các số thực x y z, , khác 0 thoả mãn:

xy ay+bx =

yz bz+cy =

zx

cx +az =

x2+ y2+ z2

a2+ b2+ c2

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Tìm x y, nguyên thoả mãn 3xy 5x22y

b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) ab ad, là hai số nguyên tố;

ii) db + c = b2+ d

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ^B < 900 và B=2 ^C ^ Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

BEBH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC ), đường thẳng EH cắt AC ở D

a) Chứng minh rằng: DA DC

b) Chứng minh rằng: AE HC

……… Hết ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,5 điểm)

a) Tính giá trị A=1000−{(−5) 3 (−2) 3 −11 [7 2 −5 2 3 +8(11 2 −121 )] }

b) Tìm x biết ( 3− 9

10 −| x+2| ) : ( 19 10 −1−

2

5 ) + 4

5 =1

c) Tìm x thỏa mãn | x−10|10+| x−11|11=1

Lời giải

a) (1 đ)

A 1000 125 8 –11 49 – 40 8 121–121      



1000  1000 –11 9 8.0 

= 1000 – (1000 – 11 9)

= 99

b) (0,75đ)

Ta có

2 :

2

10 10

x  

 4; 0

x  

Vậy x   4; 0

c) (0,75 đ)

- Nếu x 11 thì

10 1

10 1

x x

  

 

- Nếu x 10 thì

10

11

10 0

x



(loại)

- Nếu 10 < x < 11 thì

10

11

x



Do đó

Suy ra | x−10|10+| x−11|11< x−10+11−x=1 (loại)

- Nếu x  hoặc 10 x  thay vào thấy thỏa mãn11

Vậy x 10; 11

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Tìm hai số dương khác nhau x y, biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12

b) Cho , , a b c là các số thực khác 0 Tìm các số thực x y z, , khác 0 thoả mãn:

xy ay+bx =

yz bz+cy =

zx

cx +az =

x2+ y2+ z2

a2+ b2+ c2

Lời giải

a) (1,5 đ)

Gọi hai số phải tìm là x và y (x0, y0 và x y )

Theo đề bài ta có: 35.x y  210.x y 12 x y

Chia các tích trên cho BCNN ( 35, 210, 12) là 420 ta được:

35 ( x+ y )

210( x− y)

12 xy

420 hay

x + y

x− y

xy

35 (1)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x + y

x− y

( x + y )+( x− y )

( x+ y )−( x− y )

12−2

⇔x + y

x− y

x

7=

y

5 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

xy

35 =

x

7 =

y

5 =

xy

7 y =

xy

5x

Vì x0; y0 nên 7y35 y5 ; 5x35x7

Vậy hai số phải tìm là 7 và 5

b) (1,5 đ)

Do x y z, , khác 0 nên

xy ay+bx =

yz bz+cy =

zx cx+az ⇒

zxy ayz+bxz =

xyz bzx+cyx =

yzx cxy+azy

Suy ra ayz+bxz=bzx+cyx=cxy+azy⇒ az=cx, bx=ay

Do đó

x

a=

z

c ,

x

a=

y

b ⇒

x

a=

y

b= z

c=t ⇒ x=at , y=bt , z=ct , t ≠ 0

Ta có

xy ay+ bx=

x2+y2+z2

a2+b2+c2⇒

at bt abt +bat=

a2t2+b2t2+c2t2

a2+b2+c2

Suy ra

t

2=t

2

⇒t=1

2 (do t ≠ 0)

Vậy x= a

2, y=

b

2, z=

c

2

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Tìm x y, nguyên thoả mãn 3xy 5x22y

b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) ab ad, là hai số nguyên tố;

ii) db + c = b2+ d

Lời giải

a) (1 đ)

Theo đề ta có 3xy– 2y x 2 5 y x3 – 2 x25 1 

Do x y, nguyên nên suy ra x2+ 5 3 x  2

2

9x 45 3x 2

(3x 2)(3x 2) 49 3x 2

49 3x 2

  

 3x – 2  { −49;−7;−1;1;7;49 }

 3x  { −47;−5;1; 3; 9;51 }  x  { 1; 3;17 }

Thay x lần lượt vào (1) ta được y  { 6; 2;6 }

Vậy các cặp số( , )x y là (1;6), (3;2), (17;6)

b) (1,5 đ)

Do ab;ad là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1)

Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d c b b 1 2  

Có 9d + c ¿ 9 nên từ (2) suy ra b  mà b lẻ 3 ⇒ b = 7; 9

+ Nếu b 7 9d c 42 3 d  trái với (1)4

+Nếu b 9 9d c 72  6 d mà d lẻ 8 ⇒ d = 7

Thay vào điều kiện (2) được c = 9

Do a9;a7 là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1;

3; 4; 6; 9 Suy ra a = 1 và abcd=1997 , thử lại thấy đúng.

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ^B < 900 và B=2 ^C ^ Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

BEBH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC ), đường thẳng EH cắt AC ở D

a) Chứng minh rằng: DA DC

b) Chứng minh rằng: AE HC

Lời giải

a) (1,0 đ)

Ta có Δ BEH cân tại BBEH BHE

Ta có ABC2.BHE2.DHC mà ABC2.ACBDHC DCH  1 

Suy ra DCH cân tại D nên DH DC

Từ (1), (2) suy ra DAH DHA , do đó DAH cân tại D , suy ra DA DH

Từ đó suy ra DA DC (DH)

b) (1,0 đ)

Lấy B’ đối xứng với B quaH , suy ra ABB’ cân tại A AH( là trung trực của BB’)

AB AB B H BH AB H ABC

Ta cóAB H’ ABC 2 C  C CAB  ’C CAB  ’

do đó B AC’ cân tại B’ nên ’B A B C ’

Vì AB AC nên AB’AB AC nghĩa là B’ ở giữa H và C nên

HC HB B C HB AB BE AB AE 

=> AE HC

………