Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn hỗ trợ các em học sinh hệ thống kiến thức cho học sinh, giúp các em vận dụng kiến thức đã được học để giải các bài tập được ra. Mời các bạn cùng tham khảo!

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Tốn Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: Giám thị thứ hai: Câu (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 3 − 11 12 b) B = 5 0, 625 − 0,5 + − 11 12 0,375 − 0,3 + a) A = + 12 + −30 23 17 23 17 23 c) M =a + 3b + 2c, biết a + b =5; b + c =−8 Câu (4,0 điểm) x y y z a) Tìm x, y, z biết: x − y + z =−6 , = = b) Tìm số nguyên x, y biết xy − x + y = Câu (4,0 điểm) a) Cho đa thức Q( x) = ax + bx + 4c Chứng minh đa thức Q( x) nhận -2 nghiệm a c hai số đối (c − d) (a − b) a c b) Cho = , với b ≠ 0, d ≠ 0; c ≠ d Chứng minh 2023 2023 = 2023 2023 b d a −b c −d 2023 2023 c) Chứng tỏ tích hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm chia hết cho Câu (6,0 điểm) Cho ∆ABC vuông A (AB < AC), D trung điểm BC , tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DA Gọi H K thứ tự chân đường vng góc hạ từ B C xuống đường thẳng AE , M chân đường vng góc hạ từ D xuống AC a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh CD > KM c) Từ E kẻ đường thẳng vng góc với BC P cắt BH N Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng d) Giả sử  ACB cắt AD F Chứng minh tam giác CEF ACB = 360 , tia phân giác  tam giác cân Câu (2,0 điểm) a) Một hộp đựng 60 bóng giống nhau, gồm ba màu: màu đỏ, màu xanh màu vàng Trong có 18 bóng màu đỏ 25 bóng màu vàng Hỏi cần phải lấy ngẫu nhiên bóng để chắn lấy bóng xanh? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= y − + x − x + -Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: Tốn Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Nội dung a) (1,5 điểm) 7 12 −30  12  −30 = + +  +  + 23 17 23 17 23 23  17 17  23 −30 −23 = + == −1 23 23 23 a) A= Câu 1: (4,0 điểm) b) (1,5 điểm) 3 0,375 − 0,3 + − 11 12 b) B = = 5 0, 625 − 0,5 + − 11 12 c) (1,0 điểm) 3 3  − + −  − + −   10 11 12  8= 8= 10 11 12 5 5 1 1  − + −  − + −  10 11 12  10 11 12  Ta có: M =a + 3b + 2c =( a + b ) + 2b + 2c M = (a + b) + (b + c) Thay a + b =5; b + c =−8 vào M = ( a + b ) + ( b + c ) ta được: M = + ( −8) = + ( −16 ) = −11 Điểm 0,5 1,0 1,5 02,5 0,25 0,5 a) (2,0 điểm) y z y z x y x y (1); (2) = ⇒ = = ⇒ = 12 12 20 x y z Từ (1) (2) ta có = = 12 20 −6 x y z 2x 3y z 2x − 3y + z = = = = = = = = −3 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 Tìm x = -27; y =- 36; z = -60 a) b) (2,0 điểm) Câu 2: (4,0 điểm) xy − x + y = ⇒ xy − x + y = 12 ⇒ x ( y − 1) + ( y − 1) = 12 − ⇒ ( x + 1)( y − 1) = 11 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ y − 1;2 x + 1∈ Ư(11) ⇒ y − 1;2 x + 1∈ {±1; ±11} 0,5 Giải tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: ( 0;6 ) ; ( −1; −5) ; ( 5;1) ; ( −6;0 ) 1,0 x+6 ∈Z 2x + ⇒ x + 6( x + 1) ⇒ ( x + ) − ( x + 1)( x + 1) ⇒ 11( x + 1) 0,5 Cách 2: xy − x + y = ⇒ y ( x + 1) = x + ⇒ y = 0,5 ⇒ x + 1∈ Ư(11) ⇒ x + 1∈ {±1; ±11} 1,0 Giải tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: ( 0;6 ) ; ( −1; −5) ; ( 5;1) ; ( −6;0 ) a) (1,5 điểm) Vì Q( x) = ax + bx + 4c nhận -2 nghiệm nên Q(2)= 0; Q(−2)= Ta có: Q(2) = a.22 + b.2 + 4c = 4a + 2b + 4c = Câu 3: (4,0 điểm) Q(−2) = a.(−2) + b.(−2) + 4c = 4a − 2b + 4c = ⇒ 4a + 2b + 4c + 4a − 2b + 4c =0 ⇒ 8a + 8c =0 ⇒ 8(a + c) = ⇒ a + c = ⇒ a c hai số đối 0,5 0,5 0,25 0,25 b) (1,5 điểm) Với b ≠ 0, d ≠ 0; c ≠ d , a b a −b a c (1) = ⇒ = = b d c d c−d 2023 a 2023 b 2023 ( a − b ) (2) ⇒ 2023 = 2023 = 2023 c d (c − d ) 0,5 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a 2023 b 2023 ( a − b ) a 2023 − b 2023 = = 2023 = c 2023 d 2023 ( c − d ) c 2023 − d 2023 2023 ⇒ (a − b) 2023 a 2023 − b 2023 (c − d ) = c 2023 − d 2023 c) (1,0 điểm) Gọi hai số nguyên lẻ liên tiếp 2a + 2a − ( a ∈ Z ) Tích hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm bằng: ( 2a + 1)( 2a − 1) + = 4a − 2a + 2a − + = 4a + ( 0,5 2023 0,25 0,25 0,25 ) = a2 + 4 Vậy tích hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm chia hết cho 0,25 Câu 4: (6,0 điểm) 0,5 a) (1,5 điểm) Chứng minh ∆HBD = ∆KCD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ HD = KD 0,75 CH Chứng minh ∆DBK = ∆DCH (c-g-c) ⇒ BK = 0,75 b) (2,0 điểm) Chứng minh: AM = MC ⇒ ∆AMC cân M Chứng minh: ∆AMC cân M, có DM đường cao nên đồng thời trung tuyến Suy M trung điểm AC Xét ∆ACK vuông K, có KM trung tuyến nên KM = AC (1) Mà CD = BC (2) Lại có ∆ABC vuông A ⇒ BC > AC (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ CD > KM 0,5 0,5 0,5 0,5 c) (1,0 điểm) Chứng minh BE // AC 0,25 Xét ∆BEN có hai đường cao BP EH cắt D nên điểm D trực tâm ∆BEN ⇒ ND ⊥ BE (4) Lại có DM ⊥ AC (gt) , mà BE // AC ⇒ NM ⊥ BE (5) 0,25 Từ (3), (4) (5) suy ba điểm D, M, N thẳng hàng 0,25 0,25 d) (1,0 điểm)  = 540 ACB = 360 nên ABC ∆ABC vuông A,   = 54O Có ∆ABD = ∆ECD ⇒  ABD = ECD  = 90O Do  ACE =  ACB + BCE  = 36O Từ ∆ABC = ACB = CAE ∆CEA ⇒   Mặt khác, CF phân giác  ACB nên  ACF = DCF = 18O  =  =180 + 360 = 54o  góc ∆ACE nên CFE ACF + EAC CFE  = 54O ⇒ CEF  = CFE  = 54O Tính CEF ⇒ ∆CEF cân C a) (1,0 điểm) Số bóng màu xanh là: 60 - 18 - 25 = 17 (quả) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trường hợp xấu nhất: Ta lấy 25 bóng màu vàng, 18 bóng màu đỏ bóng màu xanh Khi đó, ta cần lấy thêm bóng chắn có bóng màu xanh Vậy cần lấy là: 25 + 18 + + = 45 bóng để thỏa mãn yêu cầu toán b) (1,0 điểm) 0,5 0,25 Câu 5: Ta có: P= y − + x − x + (2,0 điểm) y − 0,25 ≥ 0, ∀y x2 − 4x + = x2 − 2x − 2x + + = x ( x − 2) − ( x − 2) + = ( x − 2) ( x − 2) + = ( x − 2) 0,25 + > 0, ∀x (vì ( x − ) ≥ 0, ∀x )   y = 6 y − = ⇒ ⇒ P ≥ 3, ∀x,y Dấu “=” xảy khi:   x =  ( x − ) = 0,25  y = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  x =  0,25 Lưu ý: - Lời giải hướng dẫn chấm trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hồn chỉnh, lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh trình bày nhiều cách giải khác cho điểm tương ứng