Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT TP. Vinh

Cùng tham gia thử sức với “Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT TP. Vinh” để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức môn học nhằm chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp diễn ra. Chúc các em vượt qua kì thi thật dễ dàng nhé!

b 0,25 Ta có a  b   a  b   a  b  a  b  2ab  2a  3ab  2b  0,25 Do 2a  3ab  2b   4a  3b   7b   0, a, b  8 4a  3b  Dấu ‘’=’’ xảy  ab0 b   1  x  x  Suy  (vơ lí)   x  x     a  1  x  x  Nên (1)    b    x  x  Vậy tập nghiệm phương trình S  1;2 0,25 * ĐKXĐ: x  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 * Ta có x 1 x6 x2 x5    (1) x( x  2) x  12 x  35 x  x  x  10 x  24 x 1 x6 x2 x5     x( x  2) ( x  5)( x  7) ( x  1)( x  3) ( x  4)( x  6) x 1 1 ( x  6) 1  (  ) (  ) x x2 x5 x7 x2 1 x5 1  (  ) (  ) x 1 x  x4 x6 1 1  1 1 1 1 ) x x2 x5 x7 1 1  1 1 1 1 x 1 x3 x4 x6 1 1 1 1         x x  x  x  x 1 x  x  x  1 1 1 1 (  )(  )(  )(  ) x x7 x2 x5 x 1 x  x3 x4 1    (2 x  7)     0  x  x x  x  10 x  x  x  x  12   x   (2)  1 1      (3)  x  x x  x  10 x  x  x  x  12 0,25 0,25 1 1   0 Đặt t  x2  x ta có (3)   t t  10 t  t  12  t  14t  60  0,25  2ab  2a  3ab  2b   (1) 2.b 1,5đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  (t  7)2  11  (Vô nghiệm) (2)  x  7 0,25  7  Vậy tập nghiệm phương trình (1) S    2 Câu (3,0 điểm) a, Cho số nguyên a, b, c thoả mãn ab  bc  ca  Chứng minh A  (1  a2 )(1  b2 )(1  c2 ) số phương b, Gọi S (n) tổng chữ số số nguyên dương n biểu diễn hệ thập phân Biết với số nguyên dương n ta có  S (n)  n Tìm số nguyên dương n thỏa mãn S ( n)  n  2003n  3.a ab  bc  ca    a2  a2  ab  bc  ca  (a  b)(a  c) 0,25 1,5đ Tương tự ta có 0,25  b  (b  c)(b  a )  c  (c  a )(c  b) Suy A  (1  a2 )(1  b2 )(1  c2 )  (a  b)2 (b  c)2 (c  a)2 Do a, b, c  Z  (a  b),(b  c)(c  a)  Z Nên A  (1  a )(1  b )(1  c )  (a  b) (b  c) (c  a) số phương 2 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  S (n)  n S ( n)  n  2003n  0,25 Mặt khác: n2  2003n    n2  2003n  2022  0,25  (n  1)(n  2022)  Mà n   n  2022   n  2022 (1) 0,25 Ta có: S (n)  n  n  2004n   0,25  n2  2024n   n(n  2024) Mà n   n  2024   n  2024 (2) Từ (1) (2) suy n  2023 0,25 Câu (3,0 điểm) a, Tìm hệ số a, b, c để đa thức f ( x)  x3  ax2  bx  c chia hết cho đa thức x  chia cho đa thức x2  dư b, Cho a, b, c, d , e số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  e  Tìm giá trị nhỏ (a  b  c  d )(a  b  c )(a  b) biểu thức P  abcde 4.a 0,25 f ( x)  x  ax  bx  c x   f (2)  1,5đ 0,25  (2)3  a(2)2  b(2)  c   4a  2b  c  ( x3  ax2  bx  c) : ( x2  1) dư 3, ta có: x3  ax2  bx  c  ( x  1)( x  1) g ( x)  với g ( x) đa thức Tại x  ta có a  b  c  0,25 Tại x  1ta có a  b  c  4a  2b  c  (1)  (2) Suy a  b  c  a  b  c  (3)  Từ (2) (3) suy 2b  2  b  1 0,25 3.b 1,5đ 4.2 1,5đ 4a  c  (1) 3a  a  Thay vào (1) (2)    (2) a  c  c  a  c  Vậy a  1; b  1; c  Áp dụng bđt : ( x  y)2  xy Áp dụng bđt : ( x  y)2  xy Ta có (a  b  c  d  e)2  4(a  b  c  d )e (a  b  c  d )2  4(a  b  c)d (a  b  c)2  4(a  b)c (a  b)2  4ab Do a, b,c, d số dương, nhân theo vế bđt ta được: Mà a  b  c  d  e  Suy 42 (a  b  c  d )(a  b  c)(a  b)  44 abcde (a  b  c  d )(a  b  c )(a  b)  16 Hay : P  abcde  a  b  c  d  e ab  a  b  c  d     c  Dấu có khi: a  b  c a  b   d  a  b  c  d  e  e   0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 Vậy Pmin = 16  a  b  , c  , d  1, e  Câu (7,0 điểm) 1, Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB  AC) , trung tuyến AM Kẻ BE vuông góc ˆ  MEC ˆ Gọi N , I trung điểm với AM Trên đoạn MC lấy điểm F cho MFA đoạn thẳng AF , EC ; AF cắt CE O a, Chứng minh OEF đồng dạng với OAC MN AM  b, Biết tỷ số , tính tỷ số MI BC c, Chứng minh NB  NC 2, Cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD) Gọi M , N trung điểm AB CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E , tia EN cắt đoạn thẳng AC F Chứng minh MN tia phân giác góc EMF A M E O I B M F C 0,25 5.1.a Ta có 2,0đ MFA  MEC( gt ), FMA  EMC  MEC MFA( g  g )  MCE  MAF  FCO  EAO Mà AOE  COF (đối đỉnh)  AOE COF ( g  g ) OE OA   OF CO Mà AOC  EOF (đối đỉnh)  OEF OAC(c  g  c) 5.1.b AM AM 1,5đ BC  ; BC  2MC  MC  (1) AF AF AM AM MEC MFA     CE MC CE MC AN AM   CI MC Mà MAN  MCI nên AMN CMI (c-g-c) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 MN AM  (2) MI MC 0,25 MN  MI 5.1.c M trung điểm BC, I trung điểm EC suy 1,5đ MI//BE  B1  M1 AMN CMI  M  M AMN CMI  M  M Suy  B1  M Từ (1) (2) suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà B1  M  900 nên M  M  900 Suy NM  BC Lại có M trung điểm BC nên IM đường trung trực BC Vậy NB  NC 5.2 2,0đ A M B K F D H N I E 0,25 C EM cắt CD H, EN cắt AB K, MF cắt CD I HN DN EN DN / / AK   ( ) MK AK EK NI NC NF NC / / AK   ( ) MK AK FK DN NC  Mà DN  NC  CD  AK AK HN NI   HN  NI Suy MK MK HMI có MN  HI ; HN  NI ( M trung điểm AB, N trung điểm DC nên MN trục đối xứng hình thang cân) suy MN tia phân giác HMI Hay MN tia phân giác EMF (Học sinh giải cách khác đánh giá điểm tối đa) 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25