Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Bình Lục

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Bình Lục là tài liệu tham khảo được TaiLieu.VN sưu tầm để gửi tới các em học sinh đang trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, giúp học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và nâng cao kĩ năng giải đề thi. Chúc các em học tập và ôn thi hiệu quả!

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÌNH LỤC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) 𝑥𝑥 10−𝑥𝑥 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức A = � + + � : �𝑥𝑥 − + � 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 6−3𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A 𝑥𝑥 thỏa mãn |𝑥𝑥 + 1| = |−1| c) Tìm giá trị nguyên 𝑥𝑥 để biểu thức A có giá trị nguyên Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử b) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 +2)(3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 2)+1 a) 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 27 Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 đôi khác thỏa mãn (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 Chứng minh Bài (3,0 điểm) 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 +2𝑏𝑏𝑏𝑏 Giải phương trình + 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 −7𝑥𝑥+12 𝑐𝑐 𝑐𝑐 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + =1 𝑥𝑥 −10𝑥𝑥+24 + 𝑥𝑥 −15𝑥𝑥+54 = Tìm số nguyên 𝑥𝑥 để 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − số phương Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, M điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N a) Tứ giác MNKE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AM = KC KE c) Chứng minh chu vi tam giác MEC không đổi M di động cạnh BC d) Gọi F giao điểm AM với đường thẳng DC 1 Chứng minh + khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M AF AM Bài (3,5 điểm) Cho 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 > 𝑣𝑣à 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1 Chứng minh + + 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 ≥9 Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau đầy bể Người ta mở vịi chảy giờ, sau tắt vịi đi, vịi chảy tiếp bể đầy Hỏi vịi chảy đầy bể -Hết - Giám thị 1: …………………………… Họ tên học sinh:……………….……….……… Giám thị 2: …………………………… Số báo danh:……………… ………………….…… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Câu Đáp án a) Rút gọn (2điểm) 𝑥𝑥 10−𝑥𝑥 A=� + + � : �𝑥𝑥 − + � 6−3𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 ( ĐKXĐ: 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ −2) 𝑥𝑥 A= � 𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) 3𝑥𝑥 =� = = = − + 3(𝑥𝑥−2) 𝑥𝑥+2 6𝑥𝑥(𝑥𝑥+2) − � : �𝑥𝑥 − + + 10−𝑥𝑥 3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2) 𝑥𝑥+2 3𝑥𝑥(𝑥𝑥+2)(𝑥𝑥−2) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥+2)(𝑥𝑥−2) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) 3𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −12𝑥𝑥+3𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 𝑥𝑥 −4+10−𝑥𝑥 : 3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) −18𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 3𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) −1 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−2 Điểm � 0,25 (𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+2) �:� 𝑥𝑥+2 + 10−𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 � 1,0 0,5 b) (1 điểm) Vì 𝑥𝑥 thỏa mãn |𝑥𝑥 + 1| = |−1| ⟺ 𝑥𝑥 =0( tmđk) 𝑥𝑥 =-2( không tmđk) Tại 𝑥𝑥 =0 ta có A = 2 0,25 −1 c) (1 điểm) Để A có giá trị ngun có giá trị nguyên 𝑥𝑥−2 ⇒ 𝑥𝑥 − ∈ {1; −1} -1 𝑥𝑥 -2 3(tmđk) 1(tmđk) 𝑥𝑥 Vậy: 𝑥𝑥 =3; 𝑥𝑥 =1 biểu thức A có giá trị nguyên 1) Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) a) 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 27 = 2𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 − 27= 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 +9)-3(2𝑥𝑥 +9) = (2𝑥𝑥 +9)(𝑥𝑥 -3) a) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 2)+1 = (3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥)( 3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 2)+1 Đặt 3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥= 𝑡𝑡 Ta có: 𝑡𝑡(𝑡𝑡 + 2) + = 𝑡𝑡 + 2𝑡𝑡 + 1=(𝑡𝑡 + 1)2 = (3𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 1)2 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 2) Cho a,b,c đôi khác thỏa mãn: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 )2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 Chứng minh: 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 +2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 𝑐𝑐 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 =1 (1,5 điểm) Từ Gt: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 )2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ⟹ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 0,25 ⟹ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = Nên 𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) 0,5 Tương tự ta có: 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐); 𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = (𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏) Khi đó: = = 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 +2𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 + + 𝑏𝑏2 𝑐𝑐 𝑐𝑐 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐) (𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑏𝑏−𝑐𝑐) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎) =1 + 𝑐𝑐 (𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 (𝑐𝑐−𝑏𝑏)+𝑏𝑏2 (𝑎𝑎−𝑐𝑐)+𝑐𝑐 (𝑏𝑏−𝑎𝑎) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑏𝑏−𝑐𝑐)(𝑐𝑐−𝑎𝑎) 0,25 0,5 3 1)Giải phương trình: + + = 𝑥𝑥 −7𝑥𝑥+12 𝑥𝑥 −10𝑥𝑥+24 𝑥𝑥 −15𝑥𝑥+54 ( ĐKXĐ: 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 ≠ 4; 𝑥𝑥 ≠ 6; 𝑥𝑥 ≠ 9) ⇔ + + = ⇔ ⇔ ⇔ (𝑥𝑥−3)(𝑥𝑥−4) 1 𝑥𝑥−4 𝑥𝑥−9 − − + 𝑥𝑥−3 = 𝑥𝑥−3 = (𝑥𝑥−3)(𝑥𝑥−9) (𝑥𝑥−4)(𝑥𝑥−6) 1 𝑥𝑥−6 27 − 𝑥𝑥−4 + (𝑥𝑥−6)(𝑥𝑥−9) 1 𝑥𝑥−9 − 𝑥𝑥−6 = 0,5 0,5 ⇒ (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 9) = 27 ⇔ 𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 = ⇔ 𝑥𝑥 =0; 𝑥𝑥 =12 (tmđk) Vậy : S= {0; 12} 0,25 0,25 2) Tìm số nguyên 𝑥𝑥 để : 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − số phương Đặt 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − = 𝑦𝑦 với y nguyên ⟹ Tìm 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 nguyên thỏa mãn : 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − = 𝑦𝑦 ⟹ (𝑥𝑥 − 1)2 − 𝑦𝑦 = ⟹ (𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − + 𝑦𝑦) = 5 𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Vậy giá trị 𝑥𝑥 : 4; -2 -2 -1 -5 -2 -2 0,25 0,25 -5 -1 -2 0,75 0,25 1) Cho 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 > 𝑣𝑣à 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1 1 Chứng minh: + + ≥9 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 +)Đặt : 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑎𝑎; 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑏𝑏; 𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ( Vì 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 > nên 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 > 0) Ta có: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 =(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2 =1 (vì 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1) 1 +)Ta chứng minh: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 )( + + ) ≥ (1) 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑐𝑐 0,5 0,5 𝑐𝑐 Thật vậy: (1) ⇔ + + + + + + + + ≥ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐 ⇔ + + + + + ≥ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 Vì (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 ≥ ⇔ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 ≥ 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇔ + ≥ 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐 Tương tự: + ≥ 2; + ≥ 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 Vậy (1) chứng minh 1 +) Từ (1) ⟹ + + ≥ =9⇒ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 2) Gọi thời gian vòi chảy minh đầy bể 𝑥𝑥(giờ; 𝑥𝑥 >4) -Trong vòi chảy (bể) 𝑥𝑥 1 Trong vòi chảy − (bể) 𝑥𝑥 ≥9 0,5 0,25 0,25 -Trong vòi chảy : (bể) 1 Vòi chảy tiếp � − � (bể) 1 𝑥𝑥 Theo ta có PT: + � − � = 𝑥𝑥 -Giải PT tìm 𝑥𝑥=12 - Trả lời: Vòi chảy 12 giờ; vòi chảy đầy bể 0,5 0,5 0,5 Hình vẽ a)-Chứng minh: MNKE hình bình hành -Chứng minh: ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 vuông cân => 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐾𝐾𝐾𝐾 => MNKE hình thoi � = 450 b)-Chứng minh: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 450 - Chứng minh: 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 - Chứng minh: ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑣𝑣à ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(g-g) => 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 Có AM =AK => ĐPCM c)C/m: BM =DK => KE =KD +DE =BM +DE Chu vi ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 2𝑎𝑎 Vậy chu vi ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 không đổi M di động BC 1 1 d)- Vì AM =AK nên + = + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 -C/m: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐾𝐾𝐾𝐾 => 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐾𝐾𝐾𝐾 - Vì 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ; AD=a Nên 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑎𝑎2 (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ) (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 ) 1 1 ⇒ = ⇒ + = 𝑎𝑎2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 Vậy: + = khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 • Lưu ý: Cách làm khác cho điểm tương đương 0,75 0,75 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25