Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo “Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Đông Hà”. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
THÀNH PHỐ ĐÔNG HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2022 - 2023 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: 3x3 – 7x2 + 17x – = Câu (4,0 điểm) a2 b2 a 2b2 1) Rút gọn biểu thức: P , (a b)(1 b) (a b)(1 a) (1 a)(1 b) ( a b,a 1,b 1) 2) Cho số thực a, b, c, x, y, z thoả mãn x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by 1 x + y + z Tính giá trị biểu thức Q 1 a 1 b 1 c Câu (4,0 điểm) 1) Trong dãy số 13597……, chữ số đứng sau chữ số thứ tư chữ số hàng đơn vị tổng ba chữ số đứng trước Hỏi dãy có chứa dãy 789 khơng? 2) Có hay khơng số tự nhiên n để n2 + 2022 số phương? Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh (a – b)(a2 – b2) b) Với a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a3 b3 c3 a b ab b c bc c a ca Câu (6,0 điểm) 400 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H Cho hình thoi ABCD có BAD hình chiếu vng góc O cạnh AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho HM song song với AN a) Chứng minh MBH ADN đồng dạng b) Chứng minh MB DN = OB2 c) Tính số đo MON -Hết -(Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay) Họ tên thí sinh ………………………………… ……………Số báo danh………… …… Chữ kí giám thị 1………………………………Chữ kí giám thị 2…………………… …… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS MƠN TỐN Năm học 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm gồm 03 trang ) Câu (2,0 điểm) ý Nội dung 3x – 7x + 17x – = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) = 3x 1 (1) x 2x (2) (1) x = Ta có x – 2x + = (x – 1)2 + > với x nên (2) vơ nghiệm Vậy PT cho có nghiệm x = 2 2 a 1 a b 1 b a b a b P (a b) 1 a (1 b) a b a b3 a b (a b) (a b) 1 a (1 b) (4,0 điểm) a b(a b a ab b a b ) (a b) 1 a (1 b) (a b)(1 b) a (1 b) a b (a b) 1 a (1 b) (a b)(1 b)(1 a)(a ab b) a ab b (a b) 1 a (1 b) Cộng vế theo vế đẳng thức cho ta được: x + y + z = 2(ax + by + cz) Vì x + y + z nên ax + by + cz Cộng hai vế đẳng thức cho với ax, by, cz ta được: (a + 1)x = ax + by + cz; (b + 1)y = ax + by + cz; (c + 1)z = ax + by + cz Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 Suy x y z xyz 2 ax by cz ax by cz ax by cz ax by cz Dãy bắt đầu chữ số lẻ Mà tổng ba số lẻ số lẻ (hàng đơn vị số lẻ), nên số thứ số lẻ Suy chữ số vị trí 2, số lẻ Suy chữ số vị trí thứ số lẻ Cứ tiếp tục vậy, ta suy chữ số dãy chữ số lẻ Vậy dãy cho không chứa dãy 789 Giả sử n2 + 2022 số phương n2 + 2022 = m2 , (m ) Từ suy ra: m2 – n2 = 2022, hay (m + n)(m – n) = 2022 (1) Q 0,25 1,0 1,0 0,5 Mặt khác (m + n) + (m – n) = 2m (chẵn) nên hai số (m + n), (m – n) tính chẵn lẻ (2) (4,0 Từ (1) (2) suy (m + n), (m – n) hai số chẵn điểm) => (m + n)(m – n) , 2022 lạo không chia hết cho Do đó, khơng tồn số tự nhiên n để n2 + 2022 số phương (a – b)(a2 – b2) = (a – b)(a – b)(a + b) a = (a + b)(a – b)2 0, a,b (*) Dấu xảy a = b 0,5 0,5 0,5 1,5 1,0 (*) a a b ab b3 3a 2a ba b ab (4,0 điểm) a3 2a b a b ab b 0,5 (1) b3 2b c c3 2c a Tương tự: (2) (3) b c bc c a ca Từ (1), (2), (3) ta có: M 0,25 0,5 M đạt giá trị nhỏ 1, a = b = c = 0,25 M B (6,0 điểm) H A O C D N BMH,MBH ADN (góc có cặp cạnh tương ứng a Ta có: DAN 1,5 song song) 1,0 Suy MBH ∽ ADN (g-g) b Từ MBH ∽ ADN ta có: MB BH MB.DN BH.AD (1) AD DN Ta có OHB ∽ AOD , suy (2) BH OB OB.OD BH.AD OD AD 0,5 1,0 Từ (1) (2) suy ra: MB DN = OB OD MB DN = OB2 c Từ kết câu b): MB DN = OB OD 1,0 0,5 MB OD OB DN 1800 CBD 1800 CDB ODN Ta có MBO 0,25 NOD Nên MBO ∽ ODN => OMB OMB 1800 MOB NOD 1800 MOB Do MON 1100 1800 OBC - Học sinh làm theo cách khác tính điểm tối đa 0,25