Snkn rèn kĩ năng giải phương trình bậc nhất một ẩn cho học sinh lớp 8

Lý do đề chọn đề tàiNhư chúng ta đã biết Tốn học là một mơn học khoa học có tính chính xác,có hệ thống, lôgic, tư duy cao được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày.Đồng thời còn đư

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do đề chọn đề tài

Như chúng ta đã biết Toán học là một môn học khoa học có tính chính xác,

có hệ thống, lôgic, tư duy cao được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày.Đồng thời còn được coi là một trong những môn học chủ lực và là niềm say mê,hứng thú học tập của nhiều học sinh

Trong chương trình Toán 8 cấp Trung học cơ sở, nội dung về phương trìnhđóng vai trò rất quan trọng vì trong quá trình giải phương trình, học sinh được

ôn tập và củng cố lại rất nhiều kiến thức đã học Nó là nền tảng, là cơ sở để các

em học tiếp các nội dung kiến thức tiếp theo như: giải bất phương trình bậc nhấtmột ẩn ở chương 4 Đại số 8 hay giải phương trình bậc hai ở Đại số 9

Trong chương trình môn Toán ở các lớp học dưới, học sinh đã được làmquen nhiều với bài toán dạng tìm x song khi giáo viên giới thiệu cho học sinh vềkhái niệm phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải cùng các dạng phươngtrình thì tôi thấy học sinh vẫn còn gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng trong quátrình giải bài tập Thực tế, qua các tiết học trong chương 3 Đại số 8 học sinh đãđược trang bị những kiến thức và phương pháp giải về phương trình bậc nhấtmột ẩn ax + b = 0 (a ≠ 0); phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0),phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu Bản thân tôi nhận thấy một sốhọc sinh vẫn chưa nhận biết được và phân biệt rõ các dạng phương trình cùngcách giải của mỗi dạng điều đó được thể hiện ở việc giải phương trình còn nhiềusai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa vận dụng linh hoạt các cách giải của cácdạng phương trình trong cùng một bài tập, lúng túng khi gặp các dạng phươngtrình chưa ở dạng quen thuộc như lí thuyết đã học từ dó các em bỏ trống bài làmhoặc giải không có căn cứ, không dựa trên cơ sở kiến thức đã học dẫn đến kếtquả học tập chưa được cao

Vậy để giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắcnêu trên tôi nhận thấy cần xây dựng cho học sinh những kiến thức cơ bản vềphương trình bậc nhất một ẩn, nhận dạng và biết giải thành thạo các dạng

phương trình bậc nhất một ẩn do vậy tôi chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải phương

trình bậc nhất một ẩn cho học sinh lớp 8’’ để nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

Từ thực tế giảng dạy môn Toán 8 tôi đã phân loại các dạng phương trình đểgiúp học sinh có kỹ năng giải bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn một cáchđầy đủ, hoàn thiện, chính xác và tự tin hơn Từ đó mà các em có nền tảng để học

và giải quyết các dạng phương trình, bất phương trình cao hơn trong chương tiếptheo và ở các lớp trên

3 Phạm vi nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 8A; 8C năm học: 2021 – 2022

- Kĩ năng giải các phương trình bậc nhất một ẩn cho học sinh lớp 8

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp trao đổi và thảo luận: Trao đổi thảo luận với đồng nghiệpkhi dạy các dạng bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn để rút ra kinh nghiệmcho hoạt động dạy được hiệu quả cao; kiểm tra vấn đáp trực tiếp hoặc kiểm trathực hành qua bài kiểm tra giữa kì, cuối kì

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

mà các em học sinh gặp nhiều khó khăn trong lúc thực hiện Hai quy tắc biếnđổi phương trình dùng để giải phương trình tuy khá đơn giản nhưng nhiều họcsinh vẫn chưa hiểu rõ nên vận dụng chưa chính xác, trình bày các bước giải cònchưa khoa học, thiếu chặt chẽ Để giải quyết vấn đề này, đòi hỏi người giáo viêncần xây dựng cho học sinh những kỹ năng quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt

là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năngvận dụng vào thực tiễn Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mức độ yêu cầu củabài tập mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp tạo hứng thú học tập chohọc sinh

1.1.2 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình dạy học phần này, tôi nhận thấy học sinh còn gặp một sốkhó khăn như: chưa tìm ra được mối liên hệ từ bài toán tìm x ở các lớp trướcđến bài toán giải phương trình; vận dụng hai quy tắc (quy tắc chuyển vế, quy tắcnhân với một số) chưa thành thạo, linh hoạt Kỹ năng giải phương trình đưađược về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) còn yếu, đặc biệt đối với học sinh có lực họctrung bình hoặc lực học yếu; Kỹ năng quy đồng mẫu thức nhiều phân thức,cộng, trừ các phân thức còn hạn chế (nhất là khâu tìm nhân tử phụ và quy đồngphân thức); ngoài ra học sinh còn rỗng một số kiến thức căn bản ở các lớp dưới,tính tự giác, chủ động trong học tập chưa cao Bên cạnh đó sự quan tâm của phụhuynh đến việc học tập của học sinh còn chưa nhiều dẫn đến tình trạng học sinhlười học, chểnh mảng, thiếu sự rèn rũa trong học tập ảnh hưởng đến kết quả họctập của học sinh

1.2 Thực trạng dạy học môn Toán lớp 8 ở trường Trung học cơ sở Thụy An

2 Một số giải pháp rèn kĩ năng giải phương trình bậc nhất một ẩn

- Trước hết giáo viên cần giúp học sinh nhận dạng và hiểu rõ về phươngtrình bậc nhất một ẩn;

- Sau đó từ bài toán tìm x quen thuộc đã học ở các lớp trước để phát triểnthành phương trình;

- Giúp học sinh nhớ lại các phương pháp giải cơ bản theo từng dạngphương trình;

- Vận dụng thành thạo, linh hoạt hai quy tắc biến đổi phương trình;

- Sửa chữa, khắc sâu những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

để học sinh tránh tái phạm Có thể làm đơn giản hóa các quy tắc sao cho họcsinh dễ hiểu và vận dụng vào bài tập;

- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình;

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán;

2.1 Các phương trình thường gặp và phương pháp giải

- Bài toán mới từ bài toán quen thuộc: Giải phương trình: 4x + 8 = 0 (1)+ Phương pháp giải: Vận dụng hai quy tắc biến đổi phương trình để giải

Ta có: 4x + 8 = 0

4x + 8 + (-8) = 0 + (-8) (thêm -8 vào 2 vế của phương trình)

 4x = -8 (thực chất là quy tắc chuyển vế, đổi dấu)

Vậy tập nghiệm của phương (1) là: S = {-2}

Từ ví dụ trên ta rút ra được phương pháp giải: ax + b = 0 (a ≠ 0)

 x =

b a



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

b a



* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

Bài 14 (SBT Toán 8 tập 2-Trang 5)

b) 5 - x = 6x + 7 (Đáp án: S = {

2 9



} ); c) 11- 2x = x – 1(Đáp án: S = {4})d) 15 - 8x = 9 - 5x (Đáp án: S = {2})

2.1.2 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 hoặc ax = c (a ≠ 0).

* Dạng 1: Phương trình chứa dấu ngoặc

Phương pháp chung:

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc

- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng:

ax + b = 0

Ví dụ 2: a) Giải phương trình: (4x + 8) - (3x - 1) = 3 - x (2)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm

Lời giải sai: (4x + 8) - (3x - 1) = 3 - x

 4x + 8 - 3x - 1 = 3 – x (bỏ dấu ngoặc sai)

 4x - 3x - x = 3 + 7 (chuyển vế không đổi dấu)  0x = 10

Vậy phương trình (2) vô số nghiệm

Sai lầm của học yếu thường gặp ở đây là:

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: Không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc nếuđằng trước dấu ngoặc mang dấu “-”

- Thực hiện chuyển vế sai: Không đổi dấu hạng tử khi đã chuyển vế

- Kết luận nghiệm sai

Giải đúng: (4x + 8) - (3x - 1) = 3 - x

 4x + 8 - 3x + 1 = 3 - x (bỏ dấu ngoặc)

 4x - 3x + x = 3 - 9 (chuyển vế đổi dấu)

2x = -6 (đây chính là phương trình) (1)

x = -3

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là : S = {-3}

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh : Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quytắc nhân nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức; quy tắc chuyển vế; kỹnăng thu gọn, phân biệt dạng 0x = 0 và 0x = a (a ≠ 0).



Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là: S = {

7 2

}

Để giải được phương trình trên, học sinh phải thực hiện phép nhân đa thứcvới đa thức sau đó mới dùng hai quy tắc biến đổi phương trình để giải

Ở ví dụ trên, học sinh dễ mắc sai sót trong phép nhân đa thức, thu gọn đathức, sai dấu khi chia hai vế của phương trình Do đó để khắc phục hạn chế này,giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhân đơn thức với đa thức, nhân

đa thức với đa thức, thu gọn đa thức và quy tắc chia hai vế của phương trình

* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

Bài 11 (SGK Toán 8 tập 2 – Trang 13)



Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {

8 5



}b) 0,5 (2y - 1) - (0,5 - 0,2) + 1 = 0

2 }

* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

Bài 5 ( Sách kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 8 Tập 2 –Trang 7)

- Dạng tổng quát A(x) B(x) = 0, với A(x), B(x) là các biểu thức.

(Mở rộng: A(x) B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) … là các biểu thức)

- Cách giải : A(x) B(x)  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

(Mở rộng: A(x) B(x) C(x)  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0)

* Chú ý: Để có dạng A(x) B(x) = 0 hay mở rộng hơn A(x) B(x).C(x) = 0

Ta thường biến đổi như sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích

- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0

- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận

x x

Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:

Phương trình (5)  x2 – x + 2x – 2 = 0  x2 + x – 2 = 0 Đây là phươngtrình học sinh gặp khó khăn khi chuyển về phương trình tích đối với nhiều họcsinh trung bình và yếu kém Vì vậy tùy vào đối tượng học sinh giáo viên cầnđịnh hướng cách giải phù hợp (để chuyển phương trình x2 + x - 2 = 0 về dạng

phương trình tích có nhiều cách giải khác nhau song giáo viên cần chọn cáchgiải phù hợp với năng lực của học sinh).

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình (6) là: S = {-1;

1

4 }Ngoài những sai lầm trên, học sinh còn mắc lỗi trong cách trình bày:d) Giải phương trình: x (x+3) = 0 (7)

Vậy tập nghiệm của phương trình (8) là S = {2; 3}

Giáo viên củng cố cho học sinh phương pháp khi đưa phương trình về dạng tích:+ Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta chuyển vềcùng một vế và đặt ngay nhân tử chung ấy

+ Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thứcthì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử

+ Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thìnên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử

Khi gặp phương trình này đa số học sinh thường nghĩ đến quy đồng hai vế

để giải song sẽ gặp khó khăn vì mẫu thức chung rất lớn Vì vậy giáo viên cầnhướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích kỹ bài toán sẽ thấy các phân thức cómẫu cộng tử đều bằng (x + 2014), nếu chuyển “-4” sang vế trái và tách ra ta sẽgiải được phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình (8) là: S = {-2014}

*Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

Bài 25 (SGK Toán 8 tập 2 -Trang 17)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định(ĐKXĐ) của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏamãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường gặp khó khăn vàmắc các sai lầm sau:

- Không tìm được ĐKXĐ

- Không tìm được mẫu thức chung và nhân tử phụ

- Không kiểm tra, đối chiếu điều kiện ban đầu để kết luận nghiệm

-Thiếu một trong hai ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 4

- Không tìm được MTC( mẫu thức

chung)

- Không tìm được nhân tử phụ

- Khi khử mẫu viết dấu 

- ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 4

- MTC: 3x (x - 4)

- Nhân tử phụ:

3x (x - 4): x = 3(x - 4)3x (x - 4): 3(x - 4) = x

- Có nhiều khi phải viết: “Suy ra”

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình (8) là: S = {-12}

- Tuy nhiên, đối với học sinh yếu việc tìm nhân tử phụ như các bước ởSGK để quy đồng mẫu thức các phân thức là rất khó khăn Do vậy giáo viên tôi

đã hướng dẫn cách tìm nhân tử phụ như sau: Đối chiếu MTC với mẫu thức từngphân thức để tìm nhân tử phụ Kết quả, các em đã tiếp thu rất nhanh và làm tốtđược quy đồng, phép cộng, trừ phân thức

Với ví dụ trên: Giải phương trình:

- GV: Đối chiếu với MTC thì MT thứ

nhất thiếu nhân tử nào?

- HS: Thiếu nhân tử 3(x - 4)

- Vậy, để quy đồng phân thức

4

x x



ta nhân cả tử và mẫu với nhân tử bị

thiếu là 3(x - 4)

- HS: quy đồng phân thức thứ nhất

- Tương tự, đối chiếu với MTC thì MT

thứ hai thiếu nhân tử nào?

Kết quả vấn đáp trên cho ta bước quy

đồng mẫu thức các phân thức

- Đối với bài toán trên, khi khử mẫu ở hai vế của phương trình học sinhviết dấu “  ” vẫn đúng vì phương trình (8) và phương trình (*) có cùng tậpnghiệm Nhưng có phương trình viết khi khử mẫu viết tương đương là khôngđúng, ta đến với ví dụ sau:

 x = 0 (không thỏa mãn ĐKXĐ hoặc x = -2 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình (9) là: S = {-2}

Ở ví dụ trên ta thấy, x = 0 và x = 3 đều là nghiệm của phương trình (**)nhưng x = 0 không phải là nghiệm của phương (9), vì thế phương trình (9) và (**)không tương đương với nhau nên khi khử mẫu ta phải viết “suy ra”( hoặc =>).Qua các ví dụ trên, để giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu, ngoài việc hiểu

và nhớ được các bước giải cần chú ý thêm:

+ Việc tìm MTC, học sinh cần chú ý đến các hằng đẳng thức đáng nhớ, kỹnăng phân tích đa thức thành nhân tử;

+ Cần chú ý rằng các đa thức dạng: x2 + 1; x2 + 2; x2 + 3; hay các bìnhphương thiếu của một tổng, một hiệu (của 2 số không đồng thời bằng 0) đềukhác 0

- Khi kết luận nghiệm: Cần đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn giá trịthỏa mãn rồi mới kết luận Nếu tất cả các giá trị đều không thỏa mãn ĐKXĐ thìphương trình đã cho vô nghiệm, khi đó ta viết S = ∅; có nhiều bạn viết S = {∅}

là không đúng

* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

Bài 41 (SBT Toán 8 tập 2 - Trang 10)

2.2 Bài dạy thực nghiệm:

Tiết 49: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU (Tiếp)

I Mục tiêu:

1 Kiến thức:

- HS biết cách biến đổi và nhận dạng được phương trình có chứa ẩn ở mẫu

- Hiểu và nhớ các bước giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Kỹ năng trình bày bài giải, hiểu được ýnghĩa từng bước giải Củng cố lại qui đồng mẫu thức nhiều phân thức, kh¸i niÖmhai phương trình tương đương, giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 1),phương trình tích

- Giúp HS hình thành phẩm chất yêu thương nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm

II Thiết bị dạy học và học liệu:

1.GV: Giáo án, SGK, phấn màu, bảng phụ

2.HS: - SGK, bài tập, đồ dùng học tập, bảng nhóm

- Học và nhớ các bước giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu

III Tiến trình dạy học

1 Hoạt động 1: Mở đầu

- GV yêu cầu HS thực hiện:

  

 

 + HS2:

? Giá trị của ẩn có là

nghiệm của phương

bước giải bài toán có

ẩn ở mẫu?

? Tập nghiệm của

phương trình là gì?

- HS làm bài 28 c,dSGK

(HS chú ý câu c vàtrả lời:

+ Bài toán này

thuộc dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu+ Tìm ĐKXĐ

→1HS lên bảng thực hiện làm bài

+) x2+ x+1luôn > 0

+ Giá trị của ẩn không là nghiệm của phương trình

- HS thực hiện tiếpphần d

→1HS trả lời và lên bảng giải bài tập

I Chữa bài tập:

1 Bài 28 c (SGK-22)

c)

2 2

HS hoạt động nhóm thống nhất ý kiến

→Đại diện 1HS trảlời

- HS hoạt động nhóm làm bài 30a, c SGK+N1; N3(a)+N2; N4(b)

- HS các nhóm báocáo kết qủa

- HS các nhóm nhận xét chéo nhau

=> x(x+3) +( x - 2)( x+1) = 2x (x +1)

x2 + 3x + x 2 - x - 2- 2x2 - 2x= 0

0x - 2 = 0  0x = 2 Vậy phương trình vô nghiệm hay

x5 và kết luận x=5 là sai

Mà S = ∅ phương trình hay phương trình vô nghiệm

⇔ 4x = 4

⇔ x = 1 (không TMĐKXĐ)Vậy phương trình vô nghiệm

3.Bài 33a(SGK-23)