BBài 2: 4 điểm Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng.. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và má
SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023- 2024 Mơn: TỐN- LỚP 10 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên…………………………………….Lớp:…………………… Số báo danh:…………………………… Phòng thi:……………… Bài 1: (3 điểm) Cho hai tập hợp A 3; 1 2; , B m 1; m Tìm m để A B Bài 2: (4 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn nhất? Bài 3: (4 điểm) Bạn Mai có ba lọ dung dịch chứa loại acid Dung dịch A chứa 10%, dung dịch B chứa 30% dung dịch C chứa 50% Bạn Mai lấy từ lọ dung dịch hòa với để có 50g hỗn hợp chứa 32% acid lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A Tính lượng dung dịch loại bạn Mai lấy cos B.cosC Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có Chứng minh ABC tam giác 3 a b c a bca Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB NC Gọi P giao điểm AC GN , tính tỉ số PA PC Bài 6: (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Đặt diện tích tứ giác ABCD S AB a , BC b, CD c, DA d Tính giá trị biểu thức T ab cd ad bc S …… HẾT…… Cán coi thi khơng giải thích thêm Học sinh khơng sử dụng tài liệu, khơng sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Bài 1: 0,5 1,5 Ta tìm m để A B m 5 m 3 m m 1 m m m 5 m A B m Bài 2: Giả sử sản xuất x(kg ) sản phẩm loại I y(kg ) sản phẩm loại II Điều kiện x 0, y x y 200 x y 100 Tổng số máy làm việc: x 1,5 y Ta có x 1,5 y 120 Số tiền lãi thu T 300000 x 400000 y (đồng) Ta cần tìm x, y thoả mãn: x 0, y (I) x y 100 3 x 1,5 y 120 cho T 300000 x 400000 y đạt giá trị lớn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d1 : x y 100; d : 3x 1,5 y 120 Đường thẳng d cắt trục hoành điểm A(100;0) , cắt trục tung điểm B(0;50) 1 Đường thẳng d cắt trục hoành điểm C (40;0) , cắt trục tung điểm D 0;80 Đường thẳng d d cắt điểm E 20;40 Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC x x T 0; T 20000000 ; y y 50 x 40 T 12000000 y x 20 T 22000000 ; y 40 Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II Bài 3: Gọi lượng dung dịch loại A, B, C mà Mai lấy x, y, z x, y, z 50 x y z 50 x y z 50 Theo ta có hệ phương trình: z x z 2x 1 32 x y z x y z 16 50 10 10 100 10 10 10 10 x Giải hệ ta có y 35 z 10 Vậy dung dịch loại A, B, C mà Mai lấy là: g ,35 g ,10 g 0,5 1,5 1,5 0,5 Bài 4: Ta có: (2) a b c b c b bc c a b bc c (3) Theo định lý cos ta có: a b 2bc.cos A c (4) Từ (3) (4) suy ra: cos A mà 0 A 180 nên A 60 (*) a2 c2 b2 a b2 c2 Mặt khác (1) (5) ac ab 2c bc 2b bc 2c b 2b c Thế (3) vào (5) ta được: b c bc b c bc bc 2 0,5 0,5 0,5 0,5 5bc 2b 2c b2 c2 bc b c b c (**) 0,5 Từ (*) (**) suy ABC tam giác (đpcm) Bài 5: 0,5 Gọi M trung điểm cạnh BC Đặt AP k AC GP AP AG k AC AB AC k AC AB 3 GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 6 Ba điểm G , P , N thẳng hàng nên hai vectơ GP, GN phương Do 1 k 3 3 k k AP AC 7 15 5 6 PA AP AC PC k 1,5 0,5 Bài 6: 0,5 S R a.b AC ab ABC 4R AC S ADC R S R S R Tương tự ta có : cd , ad ABD , bc BCD AC BD BD ab cd ad bc T S S ABC R S ADC R S ABD R S BCD R AC AC BD BD S S S S S S S S S ABC ABD ABC BCD ADC ABD ADC BCD AC BD AC BD AC BD AC BD S S ABC S ABD S ABC S BCD S ADC S ABD S ADC S BCD S AC.BD S ABC S S ADC S S S ABC S ADC S S 2 S AC.BD S AC.BD S 2S Ta có : S ABC S ABC S ABD S BCD S ADC S ABD S BCD S AC.BD Vậy T 0,5 0,5