skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Giải toán nghệ thuật thực hành mà có, tốn mà bạn giải bình thường khêu gợi trí tị mị buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt bạn tự giải lấy toán bạn biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi Đối với học sinh, sau mong muốn giải tốn cụ thể cịn có tị mị sâu sắc hơn, mong muốn biết đường lối, phương tiện, lập luận qua trình dẫn tới cách giải, mà điều khơng sách trình bày cho học sinh Bài tập toán đa dạng phong phú, việc giải tập yêu cầu quan trọng học sinh Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học khơng gian nói riêng, số lượng tập chưa có sẳn thuật tốn giải lớn gây cho học sinh khơng khó khăn, lúng túng giải chúng dẫn đến tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập học sinh Do giải tập giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng “dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lí để giải tốn” Bởi “Tìm cách giải tốn phát minh” Bên cạnh đó, đề thi THPT quốc gia đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm qua, tốn hình học không gian liên quan đến véc tơ thiếu tốn khơng thuộc loại khó Tuy nhiên học sinh coi tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp giải véc tơ Véc tơ với tính chất giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, phần giúp ta giải số tốn hình học không gian thuận lợi để học sinh thấy khai thác điểm mạnh véc tơ giải tốn hình học khơng gian, lý mạnh dạn chọn đề tài ‘‘ Rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn hình học khơng gian nói riêng đạt kết cao download by : skknchat@gmail.com q trình học tập thi tuyển nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11A1 11A4 ôn thi THPT Quốc gia ôn thi HSG tỉnh Thanh Hóa - Các dạng tốn hình học khơng gian mà sử dụng véc tơ để giải chương trình hình khơng gian 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận; - Điều tra thực tế; - Thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm sáng kiến Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Lựa chọn ví dụ, tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ giúp học sinh đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Nội dung chủ đề véc tơ chương trình tốn THPT Ở chương trình lớp 10 véc tơ áp dụng để chứng minh hệ thức lượng tam giác đường trịn Nó sở để trình bày phương pháp tọa độ mặt phẳng Chương I - véc tơ: Trình bày khái niệm véc tơ (véc tơ, véc tơ phương, hướng, nhau) phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với số Đồng thời trình bày kiến thức mở đầu tọa độ, trục hệ trục tọa độ mặt phẳng Tọa độ véc tơ, điểm trục hệ trục tọa độ Chương II – Tích vơ hướng véc tơ ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích vơ hướng, hệ thức lượng tam giác [1] Ở chương trình lớp 11 – véc tơ khơng gian mọt chương III: Quan hệ vng góc khơng gian Các phép tốn tính chất véc tơ không gian hiểu tương tự véc tơ mặt phẳng, nên khơng trình bày cách tỉ mỉ Chỉ có khái niệm đồng phẳng ba véc tơ Việc đưa véc tơ vào chương trình giúp cho việc chứng minh số tính chất quan hệ vng góc thuận lợi yêu cầu giảm tải chương trình phân ban 2006 [2] Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng hai véc tơ, ký hiệu , xác định biểu thức tọa độ để làm sở viết phương trình mặt phẳng [3] 2.1.2 Sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn hình học [2] Dùng véc tơ phép toán véc tơ giải nhanh số tập hình học Sau số kết thường sử dụng download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to  Để chứng minh điểm đồng phẳng ta chứng minh véc tơ đồng phẳng, tức chứng minh  Để chứng minh hai đường thẳng chứng minh hai véc tơ và song song trùng ta phương, tức chứng minh  Để chứng minh đường thẳng hai véc tơ và song song nằm , ta lấy không phương chứng minh cho ba véc tơ đồng phẳng tìm véc tơ cho , phương  Để chứng minh hai đường thẳng minh vng góc với ta chứng  Để tính độ dài đoạn thẳng tơ biết tính  Để tính ta biểu diễn véc tơ Từ suy ta tín tích vơ hướng theo véc , từ suy 2.2 Thực trang vấn đề trước áp dụng SKKN Qua thực tế trực tiếp giảng dạy trường THPT Thọ Xuân cho thấy HS thường gặp lúng túng không giải tập học chương III phần tập liên quan đến “Véc tơ khơng gian - Quan hệ vng góc” nguyên nhân tình trạng xuất phát từ nhiều phía : * Về phía HS : - Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ - Không nắm vững kỹ áp dụng quy tắc véc tơ - Không nắm vững phương pháp lựa chọn tập nên sử dụng véc tơ download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to - Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy khả tư sáng tạo * Về phía GV: GV khơng thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải tập cho HS thời gian ngắn lớp * Về phía phụ huynh: Sự quan tâm số phụ huynh đến việc học tập em cịn hạn chế 2.3 Giải pháp tổ chức thực để giải vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc tơ để xử lí số dạng tốn hình học khơng gian DẠNG I Chứng minh điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ phương, tức Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt song song, ta chứng minh , Bài Cho hình hộp Gọi trọng tâm tam giác Chứng minh thẳng hàng [3] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn Để chứng minh thẳng hàng, ta chứng minh vectơ phương Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn vectơ theo hệ vectơ thuận lợi thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh Chú ý giả thiết trọng tâm tam giác download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to C B D A G G' C' B' D' A' Bước 2: Thực giải toán Đặt , , Ta có: Vì trọng tâm tam giác Vì trọng tâm tam giác Từ suy ra: Từ suy ra: nên: nên: thẳng hàng thẳng hàng Vậy bốn điểm thẳng hàng Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ cho Tìm m để MN song song với BD’ [5] Hướng dẫn download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to C B M D A N C' B' D' A' Bước 1: Phân tích tốn Đề phương với , tức có số thực cho Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn vectơ theo hệ vectơ thuận lợi thơng thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh Chú ý giả thiết Bước 2: Thực giải tốn Đặt Ta có: Để Vậy , MN song song với BD’ Một số tập tương tự [5]: Bài Cho hai tia chéo nhau, di chuyển , di chuyển download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Giả sử , điểm chia theo tỉ số Chứng minh di chuyển tia cố định Bài Cho hình hộp thuộc đoạn Tìm điểm cho song song với thuooch đoạn điểm Dạng II Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta chứng minh véc tơ đồng phẳng, tức chứng minh Để chứng minh đường thẳng phẳng ta lấy song song với mặt phẳng hai véc tơ không phương chứng minh ba véc tơ đồng phẳng tìm véc tơ phương Bài Cho tứ diện , trung điểm chia Chứng minh theo tỉ số , nằm mặt , điểm , cho trung điểm chia theo tỉ số Điểm đồng phẳng [3] Hướng dẫn A I M B D N J C Bước 1: Phân tích tốn Để chứng minh đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ Hay có download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to thể biểu diễn Ta chọn hệ véc tơ sở biểu diễn véc tơ đồng phẳng Bước 2: Thực giải tốn Đặt theo chúng, từ suy Theo ta có: hay hay Do Từ suy ra: Vậy đồng phẳng Bài Cho hình chóp , gọi cắt đoạn thẳng rằng: trọng tâm tam giác theo thứ tự Một mặt phẳng Chứng minh [6] Hướng dẫn S A' C' G' B' A G C M B download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Bước 1: Phân tích tốn Để chứng minh toán ta đặt tỷ số Chọn hệ véc tơ sở với điểm đầu Sau biểu diễn véc tơ ; theo véc tơ chọn từ sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ suy điều phải chứng minh Bước 2: Thực giải tốn Đặt Ta có Do đồng phẳng nên cho Do , Vậy, ta có Bài Cho hình hộp Các điểm trung điểm cạnh Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng [8] Hướng dẫn 10 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to B C M A D N C' B' A' D' Bước Thực giải toán Đặt Ta có Vì hình lập phương nên: (với độ dài cạnh hình lập phương) Khi ta có: Vậy, Bài Cho tứ diện cạnh Trên đường thẳng Gọi trung điểm cạnh lấy điểm cho song song với Tính độ dài đoạn theo [3] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn Để tính độ dài đoạn ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn véc tơ theo véc tơ sở tính Từ suy độ dài đoạn 13 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to A N E C F D M B Bước Thực giải tốn Đặt , Ta có Lúc Suy Do CM//EF nên = = Bài Cho lăng trụ tam giác , biết Tìm góc hai đường thẳng [3] 14 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to C' B' A' C B A Hướng dẫn Bước Phân tích toán Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn hai véc tơ theo véc tơ sở tính tích vơ hướng Từ áp dụng cơng thức tính tích vơ hướng thẳng Đặt , , suy góc hai đường Bước Thực giải tốn Ta có , với , , Do Mà , Do đó: Một số tập tương tự: Bài Cho tứ diện Gọi trọng tâm tam giác Tính [5] trung điểm cạnh , góc vectơ 15 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Bài Cho hình hộp đứng cạnh bên có đáy hình thoi cạnh a, Gọi điểm thỏa mãn với trung điểm cạnh Tìm k để [5] Bài Cho lăng trụ có đáy hình thoi cạnh a, góc Hình chiếu lên mặt phẳng trung điểm đoạn thẳng tam giác tam giác cân Tính với góc hai đường thẳng [6] Dạng IV Tính giá trị biểu thức chứng minh hệ thức hình học Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Các điểm , thỏa mãn cắt cạnh , , Mặt phẳng , ( chứa đường thẳng không trùng Tính giá trị biểu thức: [8] Hướng dẫn S A' B' C' D' D A Bước Phân tích toán Để giải toán ta biểu diễn véc tơ theo quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ theo , đồng phẳng điểm suy kết Bước Thực giải toán C B và theo Từ áp dụng Sau sử dụng điều kiện 16 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Đặt , , Ta có Do điểm , , , đồng phẳng Nên ta có Bài (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác có Điểm thay đổi đường thẳng cho mặt phẳng qua , vng góc cắt đường thẳng điểm đoạn Xác định vị trí để biểu thức đạt giá trị nhỏ [5] Hướng dẫn A' C' B' N M A C B Bước Phân tích tốn Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt , biểu diễn véc tơ theo véc tơ chọn đặt Sau sử dụng điều kiện vng góc hai véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo đưa hàm số bậc hai để xét tìm giá trị nhỏ Bước Thực giải toán Đặt , , , , 17 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Khi Do vng góc (do nên ) Từ Đặt Từ Tức vng góc Khi Do , ta nên thuộc đoạn nên , suy , nên nhỏ nhỏ đồng biến trung điểm Bài (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện có Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm tứ diện cắt cạnh điểm Chứng minh biểu thức có giá trị khơng đổi [5] Hướng dẫn S C' A' A G B' E I C M B Bước Phân tích tốn Để toán ta sử dụng quy tắc trọng tâm biểu diễn véc tơ theo véc tơ 18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Sau lại biểu diễn theo véc tơ , sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán Bước Thực giải tốn Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: với M điểm tùy ý Áp dụng tính chất cho điểm , ta có: Lại có Do Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có Bài Cho hình hộp chữ nhật có tâm O Mặt phẳng qua O cắt tia tương ứng ba điểm phân biệt Tìm giá trị lớn biểu thức [7] Hướng dẫn B A C A D B' A' P M O C' D' B' N O Q D' H R C Bước Phân tích tốn Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt , , biểu diễn véc tơ theo véc tơ chọn đặt Sau sử 19 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ biểu thức cần tìm Bước Thực giải tốn Đặt Ta có Vì đồng phẳng nên Ta có : Suy BĐT Cauchy : Vậy Khi Một số tập tương tự [5]: Bài Cho hình lập phương Mặt phẳng có cạnh Gọi thay đổi qua điểm tương ứng cắt đoạn thẳng Chứng minh: Bài Cho tứ diện có ba cạnh Gọi hình chiếu vng góc kỳ tam giác trung điểm đôi vng góc với lên mặt phẳng điểm bất Chứng minh Bài Cho hình hộp Lấy đoạn cho: ( khác khác ) Giả sử // chứng minh rằng: Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Một mặt phẳng không qua ,cắt cạnh điểm , Chứng minh 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to 2.4 Hiệu việc triển khai đề tài SKKN Khi triển khai đề tài tiến hành 02 lớp thuộc trường THPT Thọ Xuân, là: Lớp dạy 11A1 (học ban A) lớp dạy 11A (học ban bản) * Kết đạt - Về mặt định tính : Khi tơi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ sở vào giải dạng tốn hình học không gian phức tạp, thấy học sinh ham học hình hơn, u thích tập hình khơng gian khơng cịn thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí tốn hình không gian phức tạp - Về mặt định lượng : Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: Bài Cho lăng trụ có cạnh bên Ba điểm , , thay đổi cạnh , , cho Chứng minh mặt phẳng qua điểm cố định Bài Cho tứ diện , điểm xác định Tìm điều kiện song với mặt phẳng Bài Cho hình chóp thỏa mãn: để ba đường thẳng song có đáy hình bình hành Gọi điểm Một mặt phẳng qua cắt cạnh Chứng minh rằng: Số liệu thống kê kết thể qua bảng sau đây: Bảng: Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm Lớp TN (11A4) 10 Số lượng 0 10 13 45 21 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to ĐC (11A1) 0 12 10 3 45 Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, có 68,9% giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, có 35,6% điểm giỏi, khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt giỏi Một nguyên nhân phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên thực phương pháp (như sử dụng trên) cách thức tìm tịi lời giải toán… Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục khó khăn sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập hình học qua đề thi THPT Quốc gia năm trước toán liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 22 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to Kết luận kiến nghị 3.1 Kết nghiên cứu Hình học khơng gian loại tốn đa phần khơng có phương pháp giải cụ thể nên khó hiểu, khó trình bày khó tính tốn Vì vậy, nghiên cứu, phân tích số tốn hình học khơng gian có ý nghĩa lớn q trình dạy áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau thêm kiến thức giải tốn hình khơng gian Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi THPT Quốc gia thi HSG cấp tỉnh 3.2 Kiến nghị, đề xuất Vì tốn có nhiều cách giải, nên q trình học tập giải tốn ta cố gắng suy nghĩ tìm tịi nhiều cách giải cho tốn, lựa chọn phương pháp mà tâm đắc cho tốn Từ tiết kiệm thời gian làm đặc biệt tránh sai sót đáng tiếc Vì vậy, học giáo viên dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt phương pháp giải để học sinh học tập giải tập cách tốt nhằm nâng cao chất lượng dạy học Trên quan điểm cá nhân việc giảng dạy phần hình học có ứng dụng véc tơ để chuẩn bị cho kì thi tới Trong q trình biên soạn chắn cịn nhiều thiếu sót, mong Thầy em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện áp dụng rộng rãi Tôi xin chân thành cảm ơn! 23 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Duy Văn 24 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa thí điểm 10 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Sách giáo khoa thí điểm 11 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Sách tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục Sách giáo khoa thí điểm 12 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Mạng internet Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học năm 1997-1998, Nxb Giáo dục, Hà Nội Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng tồn Quốc (mơn Tốn), Nxb Hà Nội, Hà Nội Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, Toán học 11, Nxb ĐH Sư Phạm 25 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Duy Văn Chức vụ đơn vị công tác: TTCM trường THPT Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN Kinh nghiệm dạy học toán 1 Sơ đồ tư Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Sở B 2008 - 2009 Sở C 2009 - 2010 Sở B 2011 - 2012 Sở B 2012 - 2013 Sở C 2013 - 2014 Hướng dẫn học sinh giải toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 2 hình chóp, lăng trụ lược đồ bốn bước Rèn luyện kỹ giải tốn 3 hình học khơng gian Phương Pháp tọa độ Giúp học sinh khắc phục số 4 sai lầm thường gặp tính tích phân Rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình 26 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.toskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.hinh.hoc.khong.gian.bang.phuong.phap.vec.to