Toán cao cấp Ma trận

BÀI 1 ϖ α δ ϕ ξ      ΦΩ     ∞  ¥ Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a               Ký hiệu: A = [a ij ] mn Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a a a a a a a a a                     Hàng thứ nhất Hàng thứ i Cột thứ 2 Cột thứ j a ij : Phần tử nằm ở hàng i cột j aij mn: gọi là cấp của ma trận a 11 a 22 a 33 … gọi là đường chéo chính §1: Ma Trận Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Ví dụ: 1 0 2 3 1.5 5 A   =   −   2 8 6 2 9 0 0 7 2 B −     =     − −   23 33 đường chéo chính 21 a Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 1. Ma trận không: ij 0, , .a i j = ∀ Ví dụ: 0 0 0 0 0 0 O   =     (tất cả các phần tử đều = 0) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận vuông: m = n. Ví dụ: 0 7 8 1 3 ; 4 2 0 2 7 5 0 2       −     −       Ma trận vuông cấp 2 Ma trận vuông cấp 3 (số hàng = số cột) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ Các ma trận đặc biệt: 3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có: §1: Ma Trận ij 0, .a i j= ∀ ≠ (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0) Ví dụ: 2 0 0 0 4 0 0 0 9           11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a             Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có: 1, 1,2, , . ii a i n= ∀ = Ký hiệu: I, I n . Ví dụ: 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 1 n I I I             = = =                 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có 0, . ij a i j= ∀ > Ví dụ: 1 2 5 4 0 3 1 0 0 0 2 6 0 0 0 9     −         (tam giác trên) 0, . ij a i j= ∀ < (tam giác dưới) 2 0 0 0 7 1 0 0 0 8 2 0 2 9 1 5             MT tam giác trên MT tam giác dưới Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có: 0, . ij a i j= ∀ > có dạng như sau: 11 12 1 1 22 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r r n a a a a a a a a a                     Khi: 11 22 33 0 r r a a a a ≠ Ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa [...]... Ma Trận Các phép toán trên ma trận: 3 Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Amp ; B pn , Khi đó ma trận Amp B pn = [cij ]mn gọi là tích của hai ma trận A, B Trong đó: cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + + aip bpj , ∀i = 1, m; j = 1, n ai1 ai 2 b1 j b2 j aip bpj Hàng thứ i của ma trận A Cột thứ j của ma trận B Như vậy cij = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng Gi¶ng viªn: Phan §øc với cột thứ j của ma trận. .. Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 8 Ma trận hàng: là ma trận có m=1 Ma trận hàng có dạng: [ a11 a12 a1n ] Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 9 Ma trận bằng nhau: A =  aij    mn = bij    mn = B ⇔ aij = bij , ∀i, j 10 Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với... §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Ví dụ: 1 0  0  0 0  3 −2 3 3 0 5 0 0 0 0 0 4 8 0 0 1 4 0 1  9 −1  0 0 0 0  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 7 Ma trận cột:là ma trận có n=1 Ma trận cột có dạng:  a11  a   21  := [ a ] i m      am1  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 8 Ma trận. .. Tu Đại S §1: Ma Trận Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó: i) A + B = B + A ii ) A + O = A iii ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Ví dụ: 1 4  3 2  2  3  + 2 7  5  1  + 4 0  5  4  = 6 0  2  4  = 6 7  7 7  7  7Gi¶ng viªn: Phan §øc  TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các phép toán trên ma trận: 2 Phép nhân một số với một ma trận: λ  aij... và ma trân vuông A = [ aij ]n Pn ( A) = a0 An + a1 An −1 + + an I n Khi đó: (trong đó I n là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Ví dụ: Cho P2 ( x) = x 2 − 3x + 5 1 2  và ma trận A =   0 −3 Khi đó: P2 ( A) = A2 − 3 A + 5I 2 2 1 2  1 2  1 0  =  − 3 0 −3 + 5 0 1   0 −3      Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ §1: Ma Trận. .. yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Dạng của ma trận chuyển vị:  a11 a 21 A=    am1  a12 a22 am 2 a1n   a11 a a2 n   → AT =  12     am n   a1n mn  a21 a22 a2 n Ví dụ: am1  am 2     an m  nm 1 6  1 2 5  A= → AT =  2 7    6 7 9    5 9Gi¶ng viªn: Phan §øc    TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 11 Đa thức của ma trận: Cho đa thức Pn... 2  =  4 16  4 0      Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích i ) A( BC ) = ( AB )C ii ) A( B + C ) = AB + AC iii ) ( A + B )C = AC + BC iv) AI = A ( IA = A) ( I là MT đơn vị) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận (B+C) Ví dụ: 1 5    2 −1 5 0    1 5   7 −1 ... ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 2 3 2 1 0 =3.2+2.0+1.(-1)=5 5 13 =13 -1 3 2 1  3 +2 +1  1 2     0 −1 4   3 0  =  3       −2 3 0  33 .4 −1 32    4      32  số cột của A= số hàng = B của Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí c12 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: Cột 1 Hàng 2 =0.1+(-1).3+4.4=13... yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Bài tập: Tính Cột 1 Hàng 1 = 2 4 1 16 2 3   1 4 2  =  −1 0 4   2 −3 0   16 3  10   3 5 1   23 23   33 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑  §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Bài tập: Tính 1 2 3   3 −1 0 −4 2   2 0     5 1 −1  6 −3    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận  Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán... tử của ma trận đều được nhân cho λ ) 2.(-2)=-4 -4 Ví dụ: 2.3=6 6  3 −2 0   -2 0 2.0=0 7 4 5  =   2 2 14   8 10  0 −2 1  0 -4 2  Gi¶ng viªn: Phan §øc     TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Bài tập: Tính 2 4 3 5  6 −3 ? = 0  12 −1  15   -9   0  -3  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các tính chất: ∀α , β ∈ R, ∀A, B là hai ma trận . T í n h ∑ Các ma trận đặc biệt: 8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1. Ma trận hàng có dạng: [ ] 11 12 1 n a a a §1: Ma Trận Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ Các ma trận. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn Đ ạ i S ố T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 7. Ma trận cột:là ma trận có n=1. Ma trận cột có dạng: [ ] 11 21 1 : i m m a a a a       = . T u y ế n T í n h ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận vuông: m = n. Ví dụ: 0 7 8 1 3 ; 4 2 0 2 7 5 0 2       −     −       Ma trận vuông cấp 2 Ma trận vuông cấp 3 (số