MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT MỞ LETIONTIEF 2.1.. Hỏi các ngành kinh tế trên cần sản xuất bao nhiêu lượng hành hóa để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở?. Giải tóm tắt
Trang 13
BÀI GIẢNG TÓM TẮT MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) CHƯƠNG 5
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
§1 MÔ HÌNH CÂN BẰNG TUYẾN TÍNH
1.1 Bài toán:
Xét mô hình kinh tế thị trường với n loại hàng hóa với các đơn giá lần lượt là
P1, P2, , Pn có các hàm cung và hàm cầu là:
QSi = ai1P1 + ai2P2 + + ainPn + ai QDi = bi1P1 + bi2P2 + + binPn + bi (1≤ i ≤ n) Nhận xét rằng các hệ số aij, ai, bij, bi thỏa các điều kiện sau:
• aii > 0 và aij ≤ 0 với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n (vì QSi là hàm tăng theo Pi, không tăng
theo Pj với mọi i ≠ j)
• bii < 0 và bij ≥ 0 với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n (vì QDi là hàm giảm theo Pi, không giảm
theo Pj với mọi i ≠ j)
Hãy xác định các đơn giá P1, P2, , Pn tại điểm cân bằng thị trường
1.2 Lời giải:
Tại điểm cân bằng thị trường ta có:
QSi = QDi với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n
Do đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
11 11 1 12 12 2 1n 1n n 1 1
21 21 1 22 22 2 2n 2n n 2 2
n1 n1 1 n2 n2
(a b )P (a b )P (a b )P b a
(a b )P (a b )P (a b )P b a
(a b )P (a b )P
(1) (a b )P b a
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Giải hệ (1) với điều kiện Pi ≥ 0, QSi ≥ 0 (1≤ i ≤ n) ta tìm được các đơn giá tại
điểm cân bằng thị trường
4
1.3 Ví dụ:
Thị trường có 3 loại hàng hoá với hàm cung và hàm cầu lần lượt là:
⎪
⎪
⎧
− +
−
−
−
− +
−
−
−
−
=
15 10
; 10 13
; 45 18
3 2 1 3
3 2 1 2
3 2 1 1
P P P Q
P P P Q
P P P Q
S S
S
và
⎪
⎪
⎧
+
−
=
+ +
−
=
+ +
−
215 5 3
; 220 7
2
; 130 2 6
3 2 3
3 2 1 2
2 1 1
P P Q
P P P Q
P P Q
D D D
Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường
Giải tóm tắt: Áp dụng phương pháp trên, ta tìm được các đơn giá tại điểm cân
bằng thị trường là (P1,P2,P3) = (10, 15, 20)
§2 MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT MỞ LETIONTIEF
2.1 Bài toán:
Xét mô hình kinh tế gồm n ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a A
a a a
trong đó
• ij n ij
i 1
a 0; a 1
=
• Với mỗi j, các hệ số a1j, a2j, , anj lần lượt là trị giá của các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n- nguyên liệu đầu vào - để sản xuất một lượng hàng hóa của ngành kinh tế thứ j trị giá 1 đv tiền tệ
Bên cạnh n kinh tế trên, tồn tại một ngành kinh tế mở mà lượng nhu cầu hàng hóa ứng với các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n lần lượt là d1, d2, , dn
Hỏi các ngành kinh tế trên cần sản xuất bao nhiêu lượng hành hóa để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở?
2.2 Lời giải:
Gọi x1, x2, , xn lần lượt là trị giá các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n cần sản xuất Điều kiện: xj ≥ 0 với mọi 1≤ j ≤ n Khi đó:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Trang 25
• Lượng hàng hóa chi phí của ngành kinh tế thứ i phục vụ cho sản xuất là
aijx1 + ai2x2 + +ainxn
• Lượng hàng hóa mà ngành kinh tế thứ i sản xuất được (sau khi đã trừ chi
phí sản xuất) là xi – (aijx1 + ai2x2 + +ainxn)
Như vậy, để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở ta phải có hệ sau:
1 11 1 12 2 1n n 1
2 21 1 22 2 2n n 2
n n1 1 n2 2 nn n n
x (a x a x a x ) d
x (a x a x a x ) d
(1)
x (a x a x a x ) d
− + + + =
⎧
⎪ − + + + =
⎪
⎪
⎪ − + + + =
⎩
Ta có:
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
(1 a )x a x a x d
a x (1 a )x a x d (1)
a x a x (1 a )x d
1 a a a
a 1 a a
− − − − =
⎧
⎪− + − − − =
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪− − − + − =
⎩
⇔
n
x d
x d
(I A)X D (2)
a a 1 a x d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⎟⇔ − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
trong đó
•
1 2
n
x x X
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ : Ma trận sản lượng của n ngành kinh tế
•
1 2
n
d d D
d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ : Ma trận nhu cầu của ngành kinh tế mở
Chú ý rằng với điều kiện (*), ma trận In – A khả nghịch, nên từ (2) ta suy ra
nghiệm của bài tóan là:
1 n
X (I= −A) D−
2.3.Ví dụ:
Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là
6
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1 , 0 3 , 0 2 , 0
3 , 0 2 , 0 4 , 0
2 , 0 3 , 0 1 , 0
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a13 = 0,2
b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (280, 450, 390)
c) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (118, 52, 96)
Giải tóm tắt: Bằng phương pháp trên ta tìm được:
a) a13 = 0,2 là trị giá lượng hàng hoá của ngành 1 -một trong những nguyên liệu đầu vào - để
sản xuất một lượng hàng hoá của ngành 3 trị giá 1 (đơn vị tiền tệ)
b) Nhu cầu của ngành kinh tế mở là (39, 131, 160)
c) Sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (300, 320, 280)
-
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com