Nhờ Định lý 1.2 để tính định thức của một ma trận ta thường khai triển theo dòng hay cột nào nhiều số 0 nhất khi đó không cần tính các phần phụ đại số của các hệ số 0... Hệ quả: 1 Thừa
Trang 1BÀI GIẢNG TÓM TẮT
MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC
§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN
1.1 Định nghĩa:
Cho A = (aij) là một tam trận vuông cấp n với hệ số trong R Ta định nghĩa
định thức của A, ký hiệu detA hay ⏐A⏐, là một số phức có được bằng quy nạp
theo n như sau:
a) Với n = 1 thì A có dạng A = (a) Ta đặt:
det A = a b) Với n = 2 thì A có dạng A =⎜⎜⎛ca db⎟⎟⎞ Ta đặt:
detA = ca db = ad – bc c) Với n = 3 thì A có dạng
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
Ta đặt:
11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22
d) Tổng quát, giả sử định thức của các ma trận vuông cấp (n – 1) đã được định nghĩa Với mỗi cặp (i,j): 1 ≤ i, j ≤ n, gọi A(i,j) là ma trận vuông cấp (n – 1) có được từ A bằng cách bỏ dòng i, cột j:
A
=
Đặt:
i+j
det A(i,j) nếu i+j chẵn
A = (-1) det A(i,j) nghĩa là A =
-det A(i,j) nếu i+j lẻ
⎧
⎨
⎩
Ta gọi Aij là phần phụ đại số của phần tử aij trong ma trận A và định nghĩa định thức của A như sau:
det A = a11A11 + a21A21 + … + an1An1 = i 1
n 1
i i1 A a
∑
=
Ví dụ: Ta có:
cos sin sin
= θ + θ
= θ θ
−
θ θ
2)
−
= −
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 3: A = (aij)3×3 ta có thể tính detA theo quy tắc Sarrus như sau:
Định thức det A sẽ bằng tổng các tích số của từng bộ 3 hệ số được nối bởi các đường (đường thẳng hoặc tam giác) được đánh dấu + trừ đi tổng các tích số của từng bộ 3 hệ số được nối bởi các đường được đánh dấu - Như vậy,
Trang 2detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a21a32 – a13a22a31– a12a21a33 – a11a23a32
Ví dụ: Tính:
2 1 4 4 5 3
2 1 2 A det
−
−
−
=
1.2 Định lý:
Cho A = (aij) là một ma trận vuông cấp n Khi đó với mỗi 1 ≤ i, j ≤ n cố định ta có:
1) Xét dòng i của ma trận A:
a a a
a a a A
a a a
=
Ta có công thức khai triển detA theo dòng i:
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin = ik
n 1
k ik A a
∑
=
trong đó Aik (1 ≤ k ≤ n) là phần phụ đại số của hệ số aik trong A
2) Xét cột j của ma trận A:
Ta có công thức khai triển detA theo cột j:
a a a
a a a A
a a a
=
detA = a1jA1j + a2jA2j + + anjAnj = n kj kj
i 1a A
=
∑ trong đó Akj (1 ≤ k ≤ n) là phần phụ đại số của hệ số akj trong A
Nhờ Định lý 1.2 để tính định thức của một ma trận ta thường khai triển theo dòng hay cột nào nhiều số 0 nhất (khi đó không cần tính các phần phụ đại số của các hệ số 0)
Ví dụ: Tính định thức:
2 1 2 1
0 0 4 0 det A
4 1 2 4
1 0 2 1
−
=
−
Đáp số: detA = 4
1.3 Hệ quả:
1) Nếu ma trận vuông A có một dòng hay một cột bằng không thì detA = 0 2) Nếu A là một ma trận tam giác (trên hay dưới) thì detA bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là:
11 22 nn nn
11
11 22 nn
a a a
0 a a
a a a
0 0 a
a 0 0
a a 0
a a a
a a a
=
=
1.4 Định lý:
Cho A, B là hai ma trận vuông có cùng cấp n Khi đó:
1) det(AT) = det(A);
2) det(AB) = (detA) (detB);
3) det(Ak) = (detA)k với mọi k ≥ 1
Trang 34) Nếu A khả nghịch thì detA ≠ 0 và det(A–1) = det1A
Nhận xét: Thông thường ta có det(A + B) ≠ det(A) + det(B);
1.5 Định lý:
Cho e là phép biến đổi sơ cấp trên dòng và A là ma trận vuông cấp n giả sử A ⎯ ⎯ → ⎯e A' Khi đó:
1) Nếu e thuộc loại 1 (di ↔ dk, i ≠ k) thì
detA' = – detA 2) Nếu e thuộc loại 2 (di : = αdi, α ≠ 0) thì
detA' = αdetA nghĩa là det A=1det A′
3) Nếu e thuộc loại 3 (di : = di + βdk, i ≠ k) thì
detA' = detA 4) Nếu e là phép biến đổi có dạng:
di : = αdi + β1
1
k
d + + βr
r
k
d
(α ≠ 0; k1, , kr ≠ i) thì
detA' = αdetA nghĩa là det A=1det A′
Chú ý: Do 1.4, Định lý 1.5 vẫn còn đúng nếu thay các phép biến đổi trên
dòng bằng các phép biến đổi trên cột
1.6 Hệ quả:
1) Thừa số chung của các hệ số trên cùng một dòng (một cột) của một định thức có thể đưa ra ngoài dấu định thức
2) Nếu ma trận A có hai dòng (hai cột) bằng nhau hay tỷ lệ nhau thì detA = 0
Nhờ Định lý 1.5 ta có thể tính các định thức phức tạp bằng cách đưa chúng về những định thức đơn giản hơn qua những phép biến đổi sơ cấp trên dòng hay
cột Trong thực hành ta thường dùng các phép biến đổi sau:
a) Đem các thừa số chung của các hệ số trên cùng một dòng hay trên cùng một cột ra ngoài dấu định thức
b) Nếu các hệ số trên một dòng hay một cột là các số hữu tỉ thì ta có thể quy đồng mẫu số và đem mẫu số chung ra ngoài dấu định thức
c) Chọn một hệ số thuận lợi nhất trong định thức (chẳng hạn, 1 hay –1) rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp để khử các hệ số khác trên dòng hay trên cột chứa hệ số đó Sau đó khai triển định thức theo dòng hay theo cột tương ứng
d) Dùng các phép biến đổi sơ cấp sao cho định thức mới có dòng i hoặc cột j nào đó có chứa nhiều số 0 hoặc những hệ số của chúng có thừa số chung khác 1 (hoặc xuất hiện một hệ số thật thuận tiện để khử các hệ số khác)
Ví dụ: Ta tính được các định thức sau:
1) 2 6 8 594
5 12 4
− = −
−
−
= −
−
−
1 1/ 2 1/ 3
1 3) 1/ 2 1/ 3 1/ 4
2160 1/ 3 1/ 4 1/ 5
b c c a a b
=
3
x a a a
a x a a 5) = (x + 3a)(x - a)
a a x a
a a a x
6) m 2 m 3 1 = m(m - 4)(m - 2)
+
§2 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 2.1 Định lý:
Cho A là một ma trận vuông Ta có: A khả nghịch ⇔ detA ≠ 0
Hơn nữa, khi đó:
det A
− =
trong đó adj(A) là ma trận phó của A, định bởi:
Trang 4
adj(A)
=
với Aij là phần phụ đại số của aij trong A
2.2 Chú ý:
Trong thực hành ta khảo sát tính khả nghịch của ma trận A và tìm A–1
tương ứng như sau:
a) Tính detA:
• detA = 0: A không khả nghịch
• detA ≠ 0: A khả nghịch
b) Giả sử detA ≠ 0 Ta tìm A–1 như sau:
• Dùng công thức: A1 1 adj(A)
det A
• Tìm ma trận phó adjA bằng cách tính tất cả các phần phụ đại số Aij (1≤ i, j ≤ n)
Ví dụ: Xét xem các ma trận sau có khả nghịch không và tìm ma trận
nghịch đảo tương ứng:
a)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
14 13 19 8 3 5 5 2 2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
= 15 5 1 10 4 1 6 3 1
Đáp số: a) detA = 0 nên A không khả nghịch
b)det A 1= nên A khả nghịch Ta có:
det A
− =
trong đó:
A A A 10 5 1 10 15 6 adj(A) A A A 15 9 2 5 9 4
=⎜ ⎟ = −⎜ − ⎟ = −⎜ − ⎟
Suy ra
1
10 15 6 1
det A
−
−
§3 QUY TẮC CRAMER
Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn
trong đó:
A =
a a a
a a a
a a a
; B =
1 2
m
b b
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
1 2 n
x x X
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Với mỗi 1≤ j ≤ n, gọi Aj là ma trận có từ A bằng cách thay cột j bởi B, ta có:
A ; A ; ; A
Đặt Δ = detA; Δj = detAj 1 ≤ j ≤ n Ta có Qui tắc Cramer sau:
3.1 Định lý:
1) Nếu Δ ≠ 0 thì hệ AX = B có duy nhất một nghiệm định bởi:
Δ
Δ
= j
j
x , 1 ≤ j ≤ n 2) Nếu Δ = 0 và Δj ≠ 0 với một j nào đó thì hệ AX = B vô nghiệm
3) Nếu Δ = 0 và Δj = 0 với mọi 1 ≤ j ≤ n thì hệ AX = B có thể vô nghiệm, có thể có vô số nghiệm)
Chú ý: Trong trường hợp 3, để biết chính xác tập nghiệm của hệ AX = B ta
cần giải hệ bằng phương pháp Gauss
Trang 5Ví dụ 1: Giải hệ phương trình tuyến tính:
⎪
⎪
⎧
= + +
=
−
−
= + +
0 x x x
0 x x x
11 x x x
3 2 1 3 2 1 3 2 1
Giải:
Ta có:
1 1 1
2 6 1 11
3 4 2
Δ = − − = ;
11 1 1
0 6 1 88
0 4 2
Δ = − − = − ; 2
1 11 1
2 0 1 77;
3 0 2
3
1 1 11
2 6 0 286
3 4 0
Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
= Δ
Δ
=
−
= Δ
Δ
=
−
= Δ
Δ
=
26 x
7 x
8 x
3 3
2 2
1 1
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m 7)x 12y 6z m 10x (m 19)y 10z 2m 12x 24y (m 13)z 0
− + − =
⎧
⎪− + + − =
⎨
⎪− + + − =
⎩
(1)
Giải:
Ta có:
2
10 m 19 10 = (m - 1)(m - 1)
12 24 m 13
2 1
2m m 19 10 m(m 18m 17)
−
2 2
10 2m 10 2m(m 15m 14)
12 0 m 13
3
10 m 19 2m = -36m(m - 1)
−
− Như vậy, Δ = ⇔0 (m - 1)(m - 1) = 0 2 ⇔ m = 1±
Ta có các trường hợp sau:
a) m ≠ ± 1: Δ ≠ 0 nên hệ (1) có duy nhất một nghiệm định bởi:
2 2
m(m 17) x
m 1
= =
2
m(m 14) y
m 1
= =
Δ − ; z 3 36m2
m 1
Δ −
= =
b) m = –1: Δ = 0, Δ1 = –36 ≠ 0 nên hệ (1) vô nghiệm
c) m = 1: Hệ (1) trở thành
6x 12y 6z 1 10x 20y 10z 2 12x 24y 12z 0
⎧
⎨
⎩
và dễ thấy hệ này vô nghiệm
3.2 Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn: AX = B có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi detA ≠ 0
3.3 Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn: AX
= O có vô số nghiệm khi và chỉ khi detA = 0
Chú ý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn:
AX = B, nếu detA = 0 thì hệ này có thể vô nghiệm nhưng cũng có thể có vô số nghiệm
-