Phần 1: Giới hạn Ví dụ: Phần 2: vi phân, tính gần đúng Ví dụ: tính gần đúng: ta xét Chọn x0=32, Vậy Tổng quát: Phần 3: Khai triển Maclaurin Ví dụ: cho hàm số: a. Tính b. Khai triển Maclaurin Phần 4: Đạo hàm cấp 1. Cấp 2
Trang 1TOÁN CAO CẤP
Phần 1: Giới hạn
0
4
2
0
sinx ,sin
ln(1 x) x
1 osx
2
lim
x
x
c
→
+
−
=
:
:
:
:
Ví dụ:
0
2
2 0
0
0,
0, 2
:lim
x
x
x
f neu x
f
→
≠
=
Phần 2: vi phân, tính gần đúng
(x x) ( )x ' ( )x .
Ví dụ: tính gần đúng: A= ln( 31.995 1) 5 − ta xét f x = ln( 5 x− 1)
Chọn x0=32, ∆ = − =x x x0 31.995 32 − = − 0.005
Vậy ''x 00
y
f
f
=
Tổng quát: A; f( ,x y0 0 ) + f 'x x y( , 0 0 ) ∆ +x f 'y x y( , 0 0 ) ∆y
Phần 3: Khai triển Maclaurin
( 1) (0) ( ) ( 1)
0
! ( 1)!
n
c
x
k
+ +
=
+
∑
Ví dụ: cho hàm số: ( ) x( 2015)
x
a Tính k
x f
( )
' x( 2015 1)
x
Trang 2( )
'' x( 2015 2)
x
( )
''' x( 2015 3)
x
( 2015 )
x
b Khai triển Maclaurin
0
0k (0 2015 ) 2015 k
( 1)
(c 2015 1) (c 2016 )
c
( 1) 0
(2015 ) ( 2016 )
c n
x
k
+
=
+
∑
Phần 4: Đạo hàm cấp 1 Cấp 2
Phần 5: Cực trị tự do:
Cho z= f( , )x y
+ tìm điểm dừng, xét ''x 00
y
f f
=
, điểm M0(x0,y0) là điểm dừng + Tại M0, đặt
Trang 3( )
"xx M
A= f
0
( )
"xy M
B= f
0
( )
"yy M
C= f
2
- ∆ > 0: Hàm số không đạt cực trị
- ∆ < 0,A> 0: HS đạt cực tiểu
- ∆ < 0,A< 0: HS đạt cực đại
Phần 6: Bài toán max-min:
Ta xét phần trong miền D là đường tròn R=2
2
x y
f
=
Xét trên biênx2 +y2 = ⇒ 4 y2 = − 4 x x2 ; ∈[ ]2, 2
( , )x y 4 2 1 2 2 5
' 0 4 2 0
1 15
( , )
2 4
11 2
f
( 2,0)
(2,0)
7
1
f
f
=
Vậy Max = ( ,1 15)
2 4
11 2
f
Min= f( 2,0)− = − 7
Phần 7: Phương trình vi phân:
7.1 phương trình vi phân bậc 1:
Ví dụ:
Trang 42 2
2 2
' 0
( )
2 :
y
x
y y x
d
d
c
+ =
+ =
= −
= −
7.2 Phương trình vi phân bậc 2: y" +p y q y ' + = f( )x (1)
+ Phương trình thuần nhất có dạng: y" +p y q y ' + = 0 (2)
Phương trình đặc trưng: k2 +p k q + = 0 (*)
- Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2 thì 1 2
1 k x 2 k x TN
1 k x 2 x. k x TN
( ) ( )
" ' x.
y +p y q y+ = f =eα P
- Nếu α không là nghiệm của (*) thì .
0 1
( )
- Nếu α là nghiệm đơn của (*) thì .
0 1
( ).x
0 1
( ).x
- Từ yR ta đạo hàm y’R, y’’R, sau đó thay vào (1) để tìm A0, A1, …An
Kết luận Nghiệm y= y TN +y R
Phần 8: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
( ) ( )
' x. x (1)
Phương trình thuần nhất y' +p( )x.y= 0có nghiệm ( ) ( )
. p d x x
y c e= −∫ , đặt C=C(x)
Tìm y’, thay y’, y vào (1) để tìm C(x) ta có ( ) ( )
' p d x x
Tính nguyên hàm thì ta được C(x)
Ví dụ: từ phương trình thuần nhất ta tìm được .( x 11)
( ) ( x 11)
x
4
' ( x 11) f 5 ( x 11)
Trang 5Vậy nghiệm là 5
( ) ( x 11) (x ).( x 11)
x