công thức toán cao cấp phần 3

Với hai phép toán đó, ta nói R n là một không gian vectơ trên R... Nếu ngoài nghiệm tầm thường, 1 còn có nghiệm khác thì ta nói u1,u2,..., uk phụ thuộc tuyến tính.. , uk phụ thuộc tuyến

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009)

CHƯƠNG 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

1.1 Định nghĩa:

Xét tập hợp:

Trên R n ta định nghĩa hai phép toán như sau:

• Phép cộng vectơ: Với mọi u = (x1, x2, , xn); v = (y1, y2, , yn) ∈ R n:

u + v = (x1 +y1, x2 +y2, , xn +yn)

• Phép nhân một số với vectơ: Với mọi u = (x1, x2, , xn) và α ∈ R:

αu = (αx1, αx2, , αxn)

Với hai phép toán đó, ta nói R n là một không gian vectơ trên R

• Mỗi phần tử u ∈ R n là một vectơ

• Mỗi số α ∈ R là một vô hướng

• Vectơ 0 = (0, 0, ,0) là vectơ không

• Vectơ (–u) = (-x1, -x2, , -xn) là vectơ đối của u = (x1, x2, , xn)

1.2 Mệnh đề:

Với mọi u ∈ R n và α ∈ R ta có:

1) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0)

2) (–1)u = –u

§2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa:

Cho u1, u2, , uk ∈ R n Các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk là các vectơ có dạng:

u = α1u1 + α2u2 + + αkuk

với αi ∈ R (1 ≤ i ≤ k)

2.2 Tính chất:

1) u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk khi và chỉ khi phương trình

α1u1 + α2u2+ + αkuk = u có nghiệm (α1, α2, , αk)∈ R n 2) Từ định nghĩa ta thấy tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp tuyến tính (của u1, u2, , uk):

α + β = α + β

α⎜ α ⎟= αα

⎝∑ ⎠ ∑ 3) Vectơ không 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk vì

0 = 0u1 + 0u2 + + 0uk

4) Mỗi vectơ ui, 1 ≤ i ≤ k là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk vì

ui = 0u1 + + 0ui–1 + 1ui + 0ui+1 + + 0uk

Tổng quát hơn, mọi tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ,uj (1 ≤ j ≤ k) đều là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk vì

α1u1+α2u2 + +αjuj = α1u1+α2u2+ +αjuj+0uj+1 + +0uk

4) Mọi tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ,uk-1, uk đều là tổ hợp tuyến tính của

u1, u2, , uk-1 khi và chỉ khi uk là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk-1

2.3 Hệ quả:

Cho u1, u2, , uk là k vectơ trong không gian R n với uj = (u1j, u1j, , unj), 1≤ j≤ k:

u1 = (u11, u21 , un1)

u2 = (u12, u22 , un2)

uk = (u1k, u2k , unk) Khi đó vectơ u = (b1, b2, , bn) ∈ R n là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk

khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính UX = B, trong đó:

U ;B ; X

α

α

có nghiệm X

Nhận xét: Để dễ nhớ, ta nói ma trận U có được bằng cách dựng u1,u2, ,uk

thành các cột, còn ma trận B có được bằng cách dựng u thành cột

Ví dụ:

1) Trong không gian R4 cho các vectơ:

u1 = (1, 1, 1, 1);

u2 = (2, 3, –1, 0);

u3 = (–1, –1, 1, 1);

u4 = (1, 2, 1, –1) Tìm điều kiện để vectơ u = (a1, a2, a3, a4) là một tổ hợp tuyến tính của:

a) u1, u2, u3; b) u1, u2, u3, u4

Giải tóm tắt:

a) Theo Hệ quả 2.3, u = (a1, a2, a3, a4) là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 khi và chỉ khi hệ U1X = B1 có nghiệm X, trong đó:

1

1 2

3

3 4

a

1 2 1

a

1 3 1

a

1 1 1

a

1 0 1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = α⎜ ⎟

α

⎜ ⎟

Ta khảo sát hệ trên bằng phương pháp Gauss thì tìm được điều kiện để hệ

U1X = B1 có nghiệm là:

a1 – a2 – a3 + a4 = 0 hay a1 + a4 = a2 + a3

Vậy u = (a1, a2, a3, a4) là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 khi và chỉ khi

a1 + a4 = a2 + a3

b) Tương tự, u = (a1, a2, a3, a4) là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3, u4 khi và chỉ khi hệ U2X = B2 có nghiệm X, trong đó:

a

1 2 1 1

a

1 3 1 2

a

1 1 1 1

a

α

α

−

−

Ta tính được detU2 = -6 nên hệ U2X = B2 luôn luôn có nghiệm X Điều này chứng tỏ mọi vectơ u =(a1, a2, a3, a4) ∈ R4 đều là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3,

u4

§3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH –PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa:

Cho u1, u2, , uk ∈ R n Xét phương trình:

α1u1 + α2u2 + + αkuk = 0 (1) Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường α1= α2 = = αk = 0 thì ta nói u1,u2, , uk

độc lập tuyến tính

Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (1) còn có nghiệm khác thì ta nói u1,u2, , uk

phụ thuộc tuyến tính

Nói cách khác,

• u1, u2, , uk độc lập tuyến tính khi và chỉ khi với mọi α1, α2, , αk ∈ R

ta có:

α1u1 + α2u2+ + αkuk = 0 ⇒ α1 = α2 = = αk = 0

• u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại α1, α2, ,αk∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho:

α1u1 + α2u2+ + αkuk = 0

3.2 Nhận xét:

Các vectơ u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui

“phụ thuộc” vào các vectơ khác theo nghĩa vectơ ui được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các uj, 1 ≤ j ≠ i ≤ k

3.3 Hệ quả:

Cho u1, u2, , uk là k vectơ trong R n Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, , uk thành các dòng Khi đó:

u1, u2, , uk độc lập tuyến tính ⇔ A có hạng là r(A) = k

3.4 Chú ý:

Trong thực hành, ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ u1, u2, ,

uk trong R n như sau:

Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, , uk thành các dòng

Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R Khi đó:

• Nếu R không có dòng 0 thì u1, u2, , uk độc lập tuyến tính

• Nếu R có ít nhất một dòng 0 thì u1, u2, , uk độc lập tuyến tính

Trường hợp k = n, ta có A là ma trận vuông Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2′ như sau:

Bước 2′: Tính định thức detA:

• Nếu detA ≠ 0 thì u1, u2, , uk độc lập tuyến tính

• Nếu detA = 0 thì u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính

u1 = (1, 2, -3, 5, 1);

u2 = (1, 3, -13, 22, -1);

u3 = (3, 5, 1, -2, 5);

u4 = (2, 3, 4, -7, 4);

Hãy xét xem u1, u2, u3, u4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

Giải tóm tắt:

Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, u3, u4 thành các dòng:

1 3 13 22 1 A

−

−

−

Dùng các phép BĐSCTD ta đưa được A về dạng bậc thang

0 1 10 17 2

−

=

Vì A ∼ R và R có dòng 0 nên u1, u2, u3, u4 phụ thuộc tuyến tính

u1 = (2m + 1, -m, m + 1)

u2 = (m-2, m – 1, m – 2)

u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1) Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính trên R

Giải tóm tắt:

Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, u3 thành các dòng:

2m 1 m 1 2m 1

Ta tính được định thức của A là: m(m-1)(m+1) Do đó:

u1, u2, u3 độc lập tuyến tính trên R ⇔ m ≠ 0; m ≠ ± 1

§4 KHÔNG GIAN CON – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU 4.1 Định nghĩa:

Cho W là một tập con khác ∅ của R n Ta nói W là một không gian con của

R n , kí hiệu W ≤ R n, nếu W thỏa các tính chất sau:

1) 0 ∈ W;

2) Với mọi u, v ∈ W, u + v ∈ W;

3) Với mọi u ∈ W và α ∈ R, αu ∈ W

Ví dụ:

1) {0} và R n là hai không gian con của R n Ta gọi đây là các không gian con

tầm thường của R n

2) Trong không gian R 3 xét đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương là v ( , , )= α β γ Khi đó phương trình tham số của (D) là:

(D) x = tα; y = tβ; z = tγ với t ∈ R Suy ra (D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R} Dễ thấy rằng các tính chất trong Định nghĩa 4.1 được thỏa đối với (D) Do đó (D) là một không gian con của R 3

3) Trong không gian R 3 xét mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và có hai vectơ chỉ phương:

v = α β γ( , , ) và v = α β γ( , , )

Khi đó phương trình tham số của (P) là:

(P): x = t1α1 + t2α2, y = t1β1 + t2β2, z = t1γ1 + t2γ2 (t∈R)

Suy ra

(P) = {(t1α1 + t2α2, t1β1 + t2β2, t1γ1 + t2γ2) | t1, t2 ∈ R}

= {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R}

Dễ thấy rằng các tính chất trong Định nghĩa 4.1 được thỏa đối với (P) Do đó (P)

là một không gian con của R 3

4.2 Định lý và Định nghĩa:

Trong không gian R n cho các vectơ u1, u2, , uk Đặt:

<u1,u2, ,uk>={u= α1u1 + α2u2 + + αkuk | αi ∈ R,∀1≤ i ≤ k}

(= Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , uk)

Khi đó <u1,u2, ,uk> là một không gian con của R n Ta gọi:

• <u1,u2, ,uk> là không gian con sinh bởi u1, u2, , uk

• {u1,u2, ,uk} là một tập sinh của <u1,u2, ,uk>

Ví dụ:

1) Trong không gian R 3, với (D) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, có vectơ chỉ phương là v = (α, β, γ), ta có:

(D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R} = {tv| t ∈ R} = <v>

nghĩa là: (D) là không gian con sinh bởi v

2) Trong không gian R 3, với (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, có hai vectơ chỉ phương là v1= α β γ( , , ) và v1 1 1 2= α β γ( , , )2 2 2 , ta có:

(P) = {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R}

= {t1v1+ t2v2 | t1, t2 ∈ R} = <v1,v2>

nghĩa là: (P) là không gian con sinh bởi v1,v2

4.3 Định nghĩa:

Cho W là một không gian con của R n và B = {u1, u2, , uk} là một tập con

của W Ta nói B là một cơ sở của W nếu B là một tập sinh độc lập tuyến tính

của W

4.4 Tính chất:

Giả sử W có một cơ sở B = {u1, u2, , uk} gồm đúng k vectơ Khi đó, với mọi

tập con S = {v1, v2, ,vh} của W gồm h vectơ, ta có:

1) Nếu h > k thì S phụ thuộc tuyến tính và do đó S không thể là một cơ sở

của W

2) Nếu h < k thì S thì < S > ≠ W, nghĩa là S không là một tập sinh của W và do đó S không thể là một cơ sở của W

3) Mọi cơ sở khác của W cũng gồm đúng k vectơ Số k chung đó được gọi là

số chiều của W, kí hiệu dimW

4) Nếu k = dimW thì tập con S = {v1, v2, ,vk} của W gồm đúng k vectơ là một cơ sở của W khi và chỉ khi v1, v2, ,vk độc lập tuyến tính

4.5 Cơ sở và số chiều của không gian R n : 1) Cơ sở chính tắc và dimR n :

Trong không gian R n, xét B0 = {e1, e2, , en} trong đó:

e1 = (1, 0, 0, , 0)

e2 = (0, 1, 0, , 0)

en = (0, 0, , 0, 1)

Ta thấy:

• B0 là một tập sinh của R n vì:

• B0 độc lập tuyến tính

Vậy B0 = {e1, e2, , en} là một cơ sở của R n Suy ra R n có số chiều bằng n Ta

gọi B0 = {e1, e2, , en} là cơ sở chính tắc của Rn

2) Cơ sở bất kỳ của R n:

Vì dim R n = n nên mọi cơ sở của Rn phải gồm đúng n vectơ Hơn nữa, từ

4.4 và 3.4 ta thấy: Với B = {u1, u2, , un} là một tập con gồm đúng n vectơ của

R n, ta có:

⇔ u1, u2, , un độc lập tuyến tính

⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, , un thành các dòng

Ví dụ:

1) Trong không gian R4, các vectơ

u1 = (1, 1, 1, 1)

u2 = (2, 3, –1, 0)

u3 = (–1, –1, 1, 1)

u4 = (1, 2, 1, –1)

tạo thành cơ sở của R4 vì:

−

= − ≠

− −

−

2) Trong không gian R3, các vectơ

u1 = (2m + 1, -m, m + 1)

u2 = (m-2, m – 1, m – 2)

u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1)

tạo thành một cơ sở của R 3 khi và chỉ khi: det A 0≠ ⇔m 0, 1≠ ±

§5 KHÔNG GIAN DÒNG

5.1 Định nghĩa:

Cho ma trận A = (aij) loại m×n với hệ số thực:

a a a

a a a A

a a a

Đặt:

u1 = (a11, a12, , a1n)

u2 = (a21, a22, , a2n)

um = (am1, am2, , amn)

và WA = <u1, u2, , um> Ta gọi u1, u2, , um là các vectơ dòng của A, và WA là

không gian dòng của A

5.2 Định lý:

Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng: A ∼ B thì WA = WB, nghĩa là

A và B có cùng không gian dòng

5.3 Nhận xét:

Vì các vectơ dòng khác 0 của một ma trận dạng bậc thang luôn luôn độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của không gian dòng Từ đây ta suy ra cách tìm số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận A như sau:

• Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R

• Số chiều của không gian dòng WA bằng số dòng khác 0 của R ( do đó bằng r(A)) và các vectơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của WA

5.4 Cách tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của R n khi biết một tập sinh:

Giả sử W = <u1, u2, , um> ≤ Rn (u1, u2, , um không nhất thiết độc lập tuyến tính) Để tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến hành như sau:

• Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, , um thành các dòng

• Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R

• Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các vectơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W

Ví dụ:

1) Tìm một cơ sở cho không gian con của R 4 sinh bởi các vectơ u1, u2, u3, u4

trong đó:

u1 = (1, 2, 1, 1)

u2 = (3, 6, 5, 7)

u3 = (4, 8, 6, 8)

u4 = (8, 16, 12, 20)

Giải tóm tắt

Không gian W sinh bởi u1, u2, u3, u4 là không gian dòng của ma trận:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

20 12 16 8

8 6 8 4

7 5 6 3

1 1 2 1 A

Dùng các phép BĐSCTD ta đưa A về dạng bậc thang R như sau:

1 2 1 1

0 0 1 2 R

0 0 0 1

0 0 0 0

=

Do đó W có dimW = 3 với cơ sở là :

B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)}

2) Tìm một cơ sở cho không gian con của R 4 sinh bởi các vectơ u1, u2, u3

trong đó:

u1 = (1, –2, –1, 3)

u2 = (2, –4, –3, 0)

u3 = (3, –6, –4, 4)

Giải Không gian W sinh bởi u1, u2, u3 là không gian dòng của ma trận:

− −

∼

W có dimW = 3 và một cơ sở B = {v1, v2, v3}, trong đó:

v1 = (1, –2, -1, 3)

v2 = (0, 0, -1, -6)

v3 = (0, 0, 0, 1)

Nhận xét: Trong Ví dụ 2, ma trận dạng bậc thang R không có dòng 0 nên

u1, u2, u3 độc lập tuyến tính, và do đó {u1, u2, u3} cũng là một cơ sở của W

§6 KHÔNG GIAN NGHIỆM

6.1 Ví dụ minh họa:

Cho W là tập tất cả các nghiệm (x1,x2,x3,x4) của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

x 2x 3x 5x 0

x 3x 13x 22x 0 3x 5x x 2x 0 2x 3x 4x 7x 0

⎧

⎪

⎪

⎩

(1)

Ta giải hệ (1) bằng phương pháp Gauss:

A

−

∼

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:

x 2x 3x 5x 0

x 10x 17x 0

⎧

⎩ Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được:

1 2

x 10 17

= − α + β

⎧

⎨ = α − β

⎩ Vậy hệ (1) có vô số nghiệm với hai ẩn tự do:

1 2 3 4

(x , x , x , x ) ( 17= − α +29 ,10β α −17 , , )β α β

với α, β ∈ R tùy ý Do đó: W=< −( 17,10,1,0); (29, 17,0,1)− >

Đặt u1 = (-17,10,1,0); u2 = (29,-17,0,1) Ta có W = <u1, u2>, hơn nữa dễ thấy u1, u2

độc lập tuyến tính nên {u1, u2} là một cơ sở của W và dimW = 2

Ta gọi W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) theo định nghĩa tổng quát sau:

5.2 Định nghĩa:

Cho ma trận A = (aij) loại m×n với hệ số thực:

a a a

a a a A

a a a

và W là tập tất cả các nghiệm (x1,x2, ,xn) của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AX = O, nghĩa là tập tất cả các nghiệm của hệ:

11 1 12 2 1n n

21 1 22 2 2n n

a x a x a x 0

a x a x a x 0

a x a x a x 0

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

Khi đó W là một không gian con của R n Ta gọi W là không gian nghiệm của hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất AX = O

5.3 Cách tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm:

Xét lại Ví dụ minh họa 5.1 ta thấy W có một cơ sở là {u1, u2} với

u1= (-17,10,1,0); u2 = (29,-17,0,1) Dễ thấy:

• u1 được suy từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn α = 1, β = 0

• u2 được suy từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn α = 0, β = 1

Ta gọi {u1, u2} là một hệ nghiệm cơ bản của (1)

Trường hợp tổng quát, để tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = O, ta tiến hành các bước sau:

• Giải hệ AX = O tìm nghiệm tổng quát

• Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ AX = O như sau: Giả sử nghiệm tổng quát của hệ AX = O phụ thuộc vào k tham số tự do α1, α2, , αk:

- Chọn α1 = 1; α2 = 0, , αk = 0, ta được nghiệm u1

- Chọn α1 = 0; α2 = 1, , αk = 0, ta được nghiệm u2

- Chọn α1 = 0; α2 = 0, , αk = 1, ta được nghiệm uk Khi đó {u1, u2, , uk} là một hệ nghiệm cơ bản

Nhận xét: Có thể tìm hệ nghiệm cơ bản bằng cách tách các tham số như trong ví dụ minh họa 5.1

• Không gian nghiệm W có dimW = k và một cơ sở là hệ nghiệm cơ bản {u1, u2, , uk} đã tìm

•

§6 KHÔNG GIAN TỔNG VÀ KHÔNG GIAN GIAO

6.1 Định lý:

Cho W1,W2 là hai không gian con của R n Đặt:

W1+W2 = {u = u1 + u2⏐u1 ∈ W1, u2 ∈ W2},

W1∩W2 = {u⏐u∈ W1 và u∈ W2}

Khi đó 1) W1+W2 và W1∩W2 là các không gian con của Rn và ta có

dim(W1+W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1∩W2) 2) Nếu W1 = <u1, u2, , uh> và W2 = <v1, v2, , vk> thì

W1+W2 = <u1, u2, , uh; v1, v2, , vk >

Ta gọi:

• W1+W2 là không gian tổng của W1, W2

• W1∩W2 là không gian giao của W1, W2

u1 = (1, 2, 1, 1) v1 = (1, 3, 1, 1)

u2 = (3, 6, 5, 7) v2 = (2, 7, 2, 2)

u3 = (4, 8, 6, 8) v3 = (3, 10, 4, 3)

u4 = (8, 16, 12, 20) v4 = (6, 21, 7, 6) Đặt W1 = <u1, u2, u3, u4> và W2 = <v1, v2, v3,v4>

a) Tìm số chiều và một cơ sở cho mỗi không gian W1, W2, W1+W2 b) Tìm số chiều của W1∩W2

Giải tóm tắt

a) Tìm số chiều và một cơ sở cho mỗi không gian W1, W2, W1+W2

• W1 là không gian dòng của ma trận:

1

1 2 1 1 1 2 1 1

3 6 5 7 0 0 1 2

8 16 12 20 0 0 0 0

=

∼

Vậy W1 có dimW1 = 3 với cơ sở {a1, a2, a3}, trong đó a1= (1,2,1,2); a2= (0,0,1,2); a3= (0,0,0,1)

• W2 là không gian dòng của ma trận:

2

1 3 1 1 1 3 1 1

2 7 2 2 0 1 0 0 A

3 10 4 3 0 0 1 0

6 21 7 6 0 0 0 0

=

∼

Vậy W2 có dimW2 = 3 với cơ sở {b1, b2, b3}, trong đó b1= (1,3,1,1); b2= (0,1,0,0); b3= (0,0,1,0)

• W1 + W2

Vì W1 = < a1, a2, a3> và W2 = < b1, b2, b3> nên

W1 + W2 = < a1, a2, a3, b1, b2, b3 >

Suy ra W1 + W2 là không gian dòng của ma trận:

1 2 1 1 1 2 1 1

0 0 1 2 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 A

1 3 1 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

∼

Vậy W1+W2 có dim(W1+W2) = 4 với cơ sở {c1, c2, c3, c4}, trong đó

c1= (1,2,1,1); c2= (0,1,0,0); c3= (0,0,1,0); c4= (0,0,0,1)

b) Ta có:

dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1∩W2) Suy ra:

dim(W1∩W2 ) = dim W1 + dim W2 – dim(W1+W2) = 3 + 3 – 4 = 2

§7 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ

7.1 Định lý:

Cho W là một không gian con của R n và B = {u1, u2, ., uk} là một cơ sở của W Khi đó, với mọi vectơ u ∈ W, phương trình:

α1u1 + α2u2 + + αkuk = u (1) luôn luôn có duy nhất một nghiệm Gọi 0 0 0

( , , ,α α α ) là nghiệm của (1) Ta đặt:

0 0

0 k

[u] =

⎛α ⎞

⎜ ⎟ α

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜α ⎟

⎝ ⎠

B : Tọa độ của vectơ u theo cơ sở B

Như vậy,

0

2

0 k

⎛α ⎞

⎜ ⎟ α

⎜ ⎟⇔ = α + α + + α

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜α ⎟

⎝ ⎠

B

7.2 Hệ quả:

Giả sử B = {u1, u2, ., uk} là một cơ sở của W ≤ R n trong đó:

u1 = (u11, u21 , un1)

u2 = (u12, u22 , un2)

uk = (u1k, u2k , unk) Khi đó với mọi vectơ u = (b1, b2 , bn) ∈ W, ta có:

1 2

k

b b [u] = X UX

b

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

B

trong đó:

u u u

u u u U

u u u

là ma trận có được bằng cách dựng u1, u2, ., uk thành các cột

7.3 Hệ quả:

Đối với cơ sở chính tắc B0 = {e1, e2, , en} của không gian R n, ta có:

1 2 n

n

u ( , , , ) R ,[u]

α

⎛ ⎞

⎜α ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ α

⎝ ⎠

Nói cách khác, tọa độ của vectơ u theo cơ sở chính tắc Bo của R n chính là ma trận cột tương ứng của u

Ví dụ:

1) Trong không gian R , mọi vectơ u = (a, b, c) có tọa độ theo cơ sở chính

tắc B0 là:

0

a [u] b c

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

B

2) Trong không gian R 3, cho các vectơ:

u1 = (1, 2, 1)

u2 = (1, 3, 1)

u3 = (2, 5, 3)

a) Chứng minh B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R 3

b) Tìm tọa độ của vectơ u = (a,b,c) ∈ R 3 theo cơ sở B

Giải tóm tắt

a) B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R 3 vì detA ≠ 0 (detA=1)

b) Với u = (a,b,c), ta có:

1

3

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= α⎜ ⎟⇔ α + α + α = ⇔ =

⎜α ⎟

⎝ ⎠

B

trong đó:

1 2 3

U 2 3 5 ; B b ; X

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = α⎜ ⎟

Ta giải hệ trên bằng phương pháp Gauss:

1 1 2 a 1 1 2 a (U|B) 2 3 5 b 0 1 1 2a b

1 1 3 c 0 0 1 a c

Ta có:

3 3

a c

a c

⇔⎨ α + α = − + ⇔ α = − + −⎨

⎪ α = − + ⎪α = − +⎩

⎩

Vậy với u = (a,b,c), ta có:

4a b c [u] a b c

a c

− −

= − + −⎜ ⎟

⎜ − + ⎟

B

7.4 Định lý:

Cho W là một không gian con của R n có dimW = k và hai cơ sở của W như sau:

B1 = {u1, u2, , uk}

B2 = {v1, v2, , vk}

Đặt:

1

1j 2j j kj

p p [v ] = , 1 j k

p

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ≤ ≤

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

B và

1 2

PB→Blà ma trận vuông cấp k có các cột lần lượt

là

[v ] ,[v ] , ,[v ]B B B, nghĩa là:

1 2

p p p

p p p

p p p

→

B B

Khi đó PB1→B2 khả nghịch và là ma trận duy nhất thỏa:

u W, [u] = P → [u]

Ta gọi PB1→B2 là ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2

7.5 Mệnh đề:

Cho W là một không gian con của R n có dimW = k và B 1, B 2 , B3 là ba cơ

sở của W Khi đó:

1 3 1 2 2 3

1

−

=

=

B B B B

B B B B B B

7.6 Hệ quả:

Cho B1= {u1, u2, , un}; B2 = {v1, v2, , vn} là hai cơ sở của không gian R n

Gọi B0 = {e1, e2, , en} là cơ sở chính tắc của R n Khi đó:

0 1

1) PB →B là ma trận có được bằng cách dựng các vectơ u1, u2, , un

thànhcác cột

1 0 0 1

1

B B B B

3) Nếu qua một số phép BĐSCTD ma trận PB0→B1 biến thành ma trận đơn

vị I n thì cũng chính qua những phép biến đổi đó ma trận PB0→B2 sẽ biến thành

ma trận PB1→B2, nghĩa làø:

BĐSCTD

n

(PB→B PB→B)⎯⎯⎯⎯⎯→(I PB→B)

Ví dụ:

1) Trong không gian R 3, cho các vectơ:

u1 = (1, 2, 1)

u2 = (1, 3, 1)

u3 = (2, 5, 3)

a) Chứng minh B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R 3

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc B0 của R 3

c) Tìm tọa độ của vectơ u = (1,2,-3) theo cơ sở B

Giải tóm tắt Trong Ví dụ 2 ở trên ta đã chứng minh B = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R 3

Sau đây ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc B0 {e1, e2, e3 } của

R 3

Cách 1: Dùng định nghĩa: PB B→ 0 =([e ]1 B [e ]2 B [e ] )3 B

Để tìm các tọa độ [e ] ; [e ] ; [e ]1B 2 B 3B, trước hết ta tìm tọa độ [u]B với u = (a,b,c)

là một vectơ tùy ý trong R 3 Nhắc lại rằng, trong Ví dụ 2 ở trên ta đã tìm được:

4a b c [u] a b c

a c

− −

= − + −⎜ ⎟

⎜ − + ⎟

B

Áp dụng kết quả trên lần lượt cho các vectơ e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1),

ta suy ra:

0

1 0 1

→

− −

= −⎜ − ⎟

B B

Cách 2: Dùng tính chất: P 0 (P 0 )−1

B B B B

Vì B0 là cơ sở chính tắc của R 3 nên ma trận PB 0→B có được bằng cách dựng các vectơ u1, u2, u3 thànhcác cột:

0

1 1 2

1 1 3

→

B B Suy ra ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0 là:

1

−

B B B B

c) Với u = (1,2,-3) ta có: 0

1

3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜− ⎟

⎝ ⎠

0 0

5

4

→

⎜− ⎟

B B B B

2) Trong không gian R3 cho các vector phụ thuộc tham số m∈R:

u1 = (1, 1+m, 2);

u2 = (1, –1, –m);

u3 = (1–m, 2, 3)

a) Tìm điều kiện để B(m) = {u1, u2, u3} là một cơ sở của R 3

b) Đặt B1 = B(1) và B2 = B(–1) Chứng tỏ B1 và B2 là hai cơ sở của R 3 Tìm

các ma trận chuyểncơ sở từ B1 sang B2 và từ B2 sang B0 trong đó B0 = {e1, e2, e3}

là cơ sở chính tắc của R 3 Hãy tìm [u] ; [u]B1 B2 với u = (1, 0, 1)

Giải tóm tắt

a) Đặt: