Tóm tắt công thức Toán cấp 3

Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN CẤP A ĐẠI SỐ Tam thức bậc hai b  Giả sử f (x )  ax  bx  c  a  0;  ,    ;    ; S    a  a  f (x )   x       x1  x       x  x  af ( )    a  f (x )   x       af ( )  x1      x   af (  )   nghiệm f (x )  f ( )  af ( )  x1    x     af (  )  x1    x  af ( )  af ( )    x1    x   af (  )        x1  x  af ( )  S    2   x1    x x    x    f ( ).f (  )        af ( )     x1  x    af (  )  S    2 S   0 2     x1  x    af ( )  S    2 Bất đẳng thức Cô si: Với hai số a  0, b  a b  ab Dấu ''  '' xảy  a  b Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm Phương trình – bất phương trình chứa trị tuyệt đối A  B  A  B A  B  A2  B B  A B   A  B A  B  B  A  B A  B A B   A  B Phương trình – bất phương trình chứa A   B    A B  A  B  A   A  B  B  A  B  B  A B   A  B A  A B  A  B B  B  A B     A  A  B B HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Định lý hàm số Cosin: a  b  c  2bc cos A b  a  c  2ac cos B c  a  b  2ab cosC Định lý hàm số Sin: a b c    2R sin A sin B sinC Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm Cơng thức tính diện tích tam giac: 1 S  aha  bhb  chc 2 S 1 S  ab sinC  ac sin B  bc sin A 2 abc 4R S  p  p  a  p  b  p  c  S  p.r C HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải hệ phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp Bên cạnh ta cịn có số loại hệ phương trình đặc biệt II MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN a1x  b1y  c1 (*)  Dạng:  a 2x  b2y  c  Cách giải: Công thức Crammer a1 b1 c1 b1 a1 c1 Đặt D  ; Dx  ; Dy  a b2 c b2 a c2 Dx  x  D  - Nếu D  : hệ (*) có nghiệm  y  Dy   D (*) vô nghiệm - Nếu D  Dx  hay Dy  : hệ - Nếu D  Dx  Dy  : hệ (*) có hai trường hợp xảy ra: vô nghiệm vô số nghiệm HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT  f (x , y )   Dạng:  (*) hốn vị vai trị x y cho nhau, phương trình g (x , y )   hệ không thay đổi  Cách giải: Đặt S  x  y ; P  xy Giải tìm S, P Suy x, y nghiệm phương trình X  SX  P  Điều kiện để phương trình có nghiệm   S  4P  Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI (1)  f (x , y )   Dạng:  (*) hốn vị vai trị x y cho nhau,thì phương f (y , x )  (2)  trình (1) trở thành phương trình (2) ngược lại  Cách giải: Có cách  f (x , y )  f (y , x )  Cách 1:   f (y , x )   f (x , y )  f (y , x )  Cách 2:   f (x , y )  f (y , x )  HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP  Dạng: Hệ phương trình đẳng cấp hệ phương trình mà cấp tất đơn thức hệ  Cách giải: - Xét x  , vào hệ tìm y - Xét x  , đặt y  tx , vào hệ tìm t, sau suy x y D LƯỢNG GIÁC I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các cung liên quan đặc biệt 1.1 Hai cung đối nhau: (  -  ) cos( )  cos  sin( )   sin  tan( )   tan  cot( )   cot  1.2 Hai cung bù nhau: (     ) sin(   )  sin  cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(   )   cot    )   cos      sin  2  1.3 Hai cung phụ nhau: (    sin      cos  2      tan      cot  cot      tan  2  2  1.4 Hai cung hơn,  : (     ) sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot   1.5 Cung :     cos   x    sin x ; sin   x   cos x ; 2  2  Ghi nhớ: ‘ cos đối; sin bù; phụ chéo; hơn,  tan, cot ‘ Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Các công thức lượng giác  sin x  cos x     cot x sin x sin x  tan x  cos x Công thức cộng   tan x cos x  tan x cot x    cot x  cos x sin x sin(a  b )  sin a cos b  cos a.sin b cos(a  b )  cos a cos b  sin a.sin b tan(a  b )  tan a  tan b  tan a tan b Công thức nhân 4.1 Công thức nhân đôi sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos a  sin a  cos a    2sin a t ana  tan a 4.2 Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a t an2a  cos 3a  cos3 a  3cos a t an3a  tan a  tan a  tan a Công thức hạ bậc  cos 2a sin a  3sin a  s in3a sin a   cos 2a 3cos a  cos 3a cos3 a  cos a  Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos a  cos b  cos cos 2 a b a b cos a  cos b  2sin sin 2 a b a b sin a  sin b  2sin cos 2 a b a b sin a  sin b  cos sin 2 Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b   cos(a  b )  cos(a  b ) sin a sin b    cos(a  b )  cos(a  b ) sin a cos b  sin(a  b )  sin(a  b ) II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Kiến thức u  v  k 2 sin u  sin v   u    v  k 2 u  v  k 2 cos u  cos v   u  v  k 2 tan u  tan v  u  v  k 2 cot u  cot v  u  v  k 2 Trường hợp đặc biệt: sin u   u  k   k 2  sin u  1  u    k 2 sin u   u  cos u   u    k cos u   u  k 2 cos u  1  u    k 2 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Kiến thức  Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác phương trình có dạng: at  bt  c  (1) t tr ong hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu  Cách giải: Đặt t = sinu; cosu; tanu; cotu Chú ý: sin u ; cos u  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN u VÀ COSu Kiến thức Dạng : a sin u  b cos u  c (1) a  b  Điều kiện có nghiệm: a  b  c Cách giải: Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm Chia hai vế PT cho a  b , a b c (1)  sin u  cos u  2 2 a b a b a b2  sin u cos   cos u sin   sin   sin(u   )  sin  DẠNG PHƯƠNG TR ÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU Kiến thức Dạng tổng quát: a sin u  b sin u cos u  c cos u  d (2) Cách giải:   k có thỏa phương trình (2) khơng ? B2: Xét cos u  Chia vế phương trình (2) cho cos u Ta phương trình dạng: a tan u  b tan u  c  B1: Xét cos u  Kiểm tra u  *Chú ý: Nếu phương trình lượng giác có bậc chẳn lẻ theo sinu cosu ta giải bẳng phương pháp DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG Dạng tổng quát: a  sin u  cos u   b sin u cos u  c  (3) Cách giải:  Đặt t = sin x  cos x  sin(x  ) (*) t 1  sin x cos x   (Điều kiện : t  2) Thế vào (3) ta phương trình bậc hai theo t Một số công thức quan trọng      sin u  cos u  sin  u    cos  u   4 4        sin u  cos u  sin  u     cos  u   4 4     s in2x   sin x  cos x  Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm E CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Quy tắc   c ’    u v  u  v  u '  v ' '  u  u 'v  v 'u    v2 v  ' '  u 'v  v 'u Bảng cơng thức tính đạo hàm k x  ' k u  k '  k u ' n n 1 (x ) '  n x n n 1 (u ) '  n u (u ) ' 1 ( )'   x x ( x )'  x (u ) ' ( )'   u u u' ( u )'  u  sin x   cos x '  cos x    sin x  sin u   cos u. u  ' '  cos u    sin u.u  ' ' ' (e x ) '  e x u' cos u u' (cot u ) '  (1  cot u ).u '   sin u u u (e ) '  e u ' (a x ) '  a x ln a (ln x ) '  x (loga x ) '  x ln a (a u ) '  a u ln a u ' u' (ln u ) '  u u' (loga u ) '  u ln a (tan x ) '   tan x  cos x (cot x ) '  (1  cot x )   (tan u ) '  (1  tan u ).u '  sin x *Đặc biệt :   a b c d ax  b y y' cx  d (cx  d ) a1 b1 y x2  a1 c1 x b1 c1 a b a c2 b2 c a1x  b1x  c1 y' 2 2 a 2x  b2x  c (a 2x  b2x  c ) Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm F CƠNG THỨC MŨ – LOGARIT CÔNG THỨC MŨ a  a a a    STT n CÔNG THỨC LOGARIT STT loga  a  a a loga a  a  a  loga a M  M a n  an a loga N  N a n  n am loga (N 1.N )  loga N  loga N a loga ( a a  a loga N    loga N am  a m n n a loga N  2.loga N (a m )n  (a n )m  a m n 9 loga N  loga b.logb N logb N  n thua so m  m n   m an m n n am m n 10 (a b )n  a n b n 10 11 a an ( )n  n b b 11 12 a M  N  M  loga N 12 13 Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung N1 )  loga N  loga N N2 loga N loga b loga b  logb a loga N  loga N  log c log a a b =c b DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm G CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số thường gặp  dx  x  C Nguyên hàm hàm số thường gặp 1 13  n dx    n 1  c x n 1 x 14  dx  x  c x 15  f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a 16  kdx  kx  C  x ndx  x n 1  C  n  1 n 1  x dx  ln x  C x  0 1  x 2dx   x C 1 C  n dx   x n  1 x n 1  e xdx  e x  C ax  C   a  1 ln a  cos xdx  sin x  C  a xdx  10  sin xdx   cos x  C dx   (1  tan x )dx  tan x  C cos x 12  dx   (1  cot x )dx   cot x  C sin x 11  Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung ax  b   ax  b  dx  a   C   1 1 17  dx  ln ax  b  C  x   ax  b a 18  e ax bdx  e ax b  C a 19  cos ax  b  dx  sin ax  b  C a 20  sin ax  b  dx   cos ax  b   C a 1 dx  tan ax  b   C 21  cos ax  b  a 1 dx   cot ax  b   C 22  sin ax  b  a  DeThiThuDaiHoc.com  1 10 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm H PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Cho vectơ  u  x ; y ; z  hai điểm A x A ; yA ; zA   ; v  x '; y '; z ' ; B x B ; yB ; z B    u  v  x  x '; y  y '; z  z '  k u  kx ; ky ; kz  Điều kiện hai vectô: x  x '    u  v  y  y ' z  z '     x y z u phương v    x' y' z'        u phương v  u , v      Tích vơ hướng hai vectơ: u v  xx ' yy ' zz ' Độ dài vectơ :  u  x2 y2  z2 Vectơ tạo điểm A, B:   AB  x B  x A ; yB  yA ; z B  zA  Độ dài đoạn thẳng AB:   2 AB  AB   x B  xA    yB  yA    zB  zA  10 Góc hai vectơ :  u v xx ' yy ' zz ' cos      u v x  y  z x '2  y '2  z '2     180  11 Điều kiện vuông góc hai vactơ:    u  v  u.v   xx ' yy ' zz '  x  xB  xM  A   yA  y B  12 M trung điểm đoạn AB  yM   zA  z B  z M   Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com 11 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thông www.MATHVN.com Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm  xG  (x A  x B  xC )    13 G trọng tâm tam giaùc ABC  yG  (yA  yB  yC )   zG  (zA  z B  zC )   xG  (x A  x B  xC  x D )   14 G trọng tâm tứ diện ABCD  yG  (yA  yB  yC  yD )   zG  (zA  z B  zC  z D )  15 Tích CÓ HƯỚNG hai vectơ:   y z z x x y  ; ; u , v     y' z' z' x' x' y'  16 Tính chất quan trọng :       u , v   u vaø u , v   v     17 Diện tích tam giác ABC : S ABC  AB , AC   2     18 Diện tích hình bình haønh ABCD: Shbh ABCD  2S ABC  AB , AC          19 Thể tích tứ diện ABCD : VABCD   AB , AC AD  6 3.VABCD 20 Chieàu cao AH tứ diện ABCD: AH  S BCD     21 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ : V  [AB, AD ].AA’     22 Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác  AB , AC không phương       23 Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng  ABCD tứ diện  AB , AC  AD       24 Điều kiện để ABCD hình bình hành  AB  DC Axo  Byo  Czo  D 25 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d  M , ( )   A2  B  C    M 0M , a    26 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: d (M ,)    a      a , b  MN   27 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d (d , d ')     a , b       n a 28 Goùc đường thẳng mặt phẳng: sin       n a Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 12 www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY  Diện tích tam giác mặt phẳng Oxy:     AB  a1 ;a  , AC  b1 ;b2   SABC  a1b2  a 2b1 Đường thẳng a Các dạng phương trình đường thẳng: - Phương trình tổng quát: Ax  By  Cz   A2  B      ( Vec tơ pháp tuyến n  A; B  , Vec tơ phương a   B;  A  hay a   B; A  ) x  x  a1t - Phương trình tham số:  t    y  y  a 2t  ( Vec tơ phương a  a1 ;a  qua điểm M x , y  ) x  x0 y  y0  a1 a2 x y - Phương trình đoạn chắn:   a b ( Đi qua hai điểm A a ;  , B  0; b  ) b Góc hai đường thẳng - Phương trình tắc:   Gọi n1 n hai VTPT hai đường thẳng 1  Khi đó:   cos(1 ,  )  cos(n1 , n )   | n1 n |     | n1 || n | | a1a  b1b2 | 2 a12  a b12  b2 c Khoảng cách từ điểm M x M ; yM  đến đường thẳng : Ax  By  C  là: d M ,    Ax M  ByM  C A2  B 2 Đường trịn Các dạng phương trình đường trịn: - Dạng Phương trình đường trịn (C) có tâm I a ; b  bán kính R là: C  : x  a    y  b  2  R2 - Dạng Phương trình dạng: x  y  2ax  2by  c  với điều kiện a  b  c  phương trình đường trịn (C) có tâm I a ; b  bán kính R  a  b  c Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com 13 www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm Elip y B1 A F F1 A 2 x O B2 M x2 y2 - Phương trình tắc Elip (E):   a b - Tiêu điểm: F1  c ;0  , F2 c ;0  a  b  ; c  a  b - Đỉnh trục lớn : A1  a ;0  , A2 a ;0  - Đỉnh trục bé: B1  0; b  , B2  0;b  - Tâm sai: e  c 1 a a e - Điều kiện tiếp xúc (E)  : Ax  By C  là: A2a  B 2b  C Hypebol - Phương trình đường chuẩn: x   y b y= a x B2 F1 F2 A1 O A2 x B1 b y=- a x x2 y2   1, c2  a2 b2 a b - Tiêu điểm F1  c ;0  , F2 c ;0  - Phương trình tắc: - Đỉnh trục thực A1  a ;0  , A2 a ;0  - Tâm sai: e  c a a e - Điều kiện tiếp xúc (H)  : Ax  By C  là: A2a  B 2b  C Parabol - Phương trình đường chuẩn: x   Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 14 www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm y B2 F2 O x - Phương trình tắc: y  2px p  -Tiêu điểm F  ;0  2  p - Điều kiện tiếp xúc (P)  : Ax  By C  là: 2AC  B p - Phương trình đường chuẩn x   Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 15 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm J HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I CÁC HÌNH CƠ BẢN 1/ Hình chóp a/ Hình chóp thường: S S A B D A C B Hình chóp tam giác S.ABC (Tứ diện S.ABC) C Hình chóp tứ giác S.ABCD b/ Hình chóp : * Hình chóp tam giác (Tứ diện đều) S C A I B *Tính chất: -Đáy tam giác -Tất cạnh bên -Tất mặt bên tam giác cân -Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy trọng tâm  ABC) -Tất góc tạo cạnh bên mặt đáy -Tất góc tạo mặt bên mặt đáy *Chú ý: canh   canh  -Đường cao  đều: h  -Diện tích : S * Hình chóp tứ giác *Tính chất: -Đáy hình vuông -Tất cạnh bên -Tất mặt bên tam giác cân -Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy giao điểm đường chéo) -Tất góc tạo cạnh bên mặt đáy -Tất góc tạo mặt bên mặt đáy *Chú ý: -Diện tích hình vuông : S=Cạnh2 -Đường chéo hình vuông: = cạnh  Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 16 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 2/ Hình lăng trụ Lăng trụ thường Lăng trụ đứng Hình lập phương II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), ta làm sau: *CÁCH 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với HAI đường thẳng caét nằm mp(α) d  a   d  ( ) d  b a , b  ( )  *CÁCH 2: Sử dụng định lí:’’Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến cũn g vuông góc với mặt phẳng kia’’ ( )  (  ) d  ( )   d  ( )  c  ( )  (  ) d  c  *CÁCH 3: Sử dụng định lí:’’Nếu hai mp phân biệt vuông góc với mp thứ giao tuyến chúng vuông góc với mp ñoù’’ ( )  ( )   c  ( ) (  )  ( ) c  ( )  (  )  2/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng d  ( ) d a  a  ( ) Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com 17 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 3/ Phương pháp chứng minh mặt phẳng vuông góc Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng d  ( )  ( )  (  )  d  (  ) III CÁC VẤN ĐỀ VỀ GÓC 1/ Góc hai đường thẳng Định nghóa: Góc hai đường thẳng a, b không gian góc hai đường thẳng a’, b’ qua điểm song song với a, b a’ a b   (a , b )  (a ', b ') b’ 2/ Góc đường thẳng mặt phẳng a) Định nghĩa: Góc đường thẳng a mặt phẳng ( ) góc đường thẳng a hình chiếu lên mặt phẳng ( ) b) Phương pháp thực *PP: Gọi  góc cần tìm -B1: Tìm giao điểm O a ( ) -B2: Tìm đường vuông góc từ đường thẳng a xuống mặt phẳng ( ) -B3:  OH hình chiếu a lên ( )  Vậy   (a ,OH ) 3/ Góc mặt phẳng a) Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với GIAO TUYẾN hai mặt phẳng b) Phương pháp *PP: Gọi  góc cần tìm -B1: Xác định giao tuyến c ( ) (  ) -B2: Tìm đường vuông góc với hai mặt phẳng -B3: Từ chân đường vuông góc, hạ đt vuông góc với gt c H -B4: Chứng minh đt hạ từ đỉnh đường vuông góc xuống H vuông góc với gt c Suy góc  Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 18 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm IV CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mp Qua A Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp ( ) ,ta tìm đt thỏa: a :    ( ) H Khi : AH khoảng cách cần tìm *Lưu ý: Nếu AB cắt ( ) I d ( A, ( )) IA  d ( B, ( )) IB Khoảng cách đường thẳng mp song song khoảng cách từ điểm đt đến mp AB  ( )  d (AB , ( ))  IH , I  AB Khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm mp đến mp ( )  (  )  d (( ), (  ))  d (A, (  )), A  ( )  d (B , ( )), B  (  ) Khoaûng cách hai đường thẳng chéo Nhắc lại: Đường vuông góc chung đt chéo a, b đt cắt a, b đồng thời vuông góc với đt *TH1: a, b chéo a  b Khi đó: PP:  Chứa b -B1: Tìm mp ( )    a A -B2: Từ A kẻ AB  b B  AB đoạn vuông góc chung a b Vaäy d (a , b )  AB Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 19 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm *TH2: a, b chéo đồng thời có mp ( ) chứa b song song với a PP: -B1: Lấy M  a ,kẻ MH  ( ) H -B2: Từ H dựng a '  a , cắt b B -B3: Từ B dựng đt  MH cắt a A  AB đoạn vuông góc chung Vậy d (a, b)  AB  MH  d (M , ( )) *TH3: Trường hợp tổng quát PP - Dựng mp ( ) vuông góc với a O Dựng hình chiếu vuông góc b’ b ( ) - Dựng hình chiếu vuông góc H O b’ Từ H dựng đt song song với a cắt b B - Từ B dựng đt song song với OH, cắt a A Đoạn AB đoạn vuông góc chung d(a,b) = AB = OH MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ: Shình vuông = cạnh Diện tích hì nh chữ nhật = dài rộng Đường chéo hình vuông = cạnh Shìnhtròn= R Diện tích tam giác thường = (cạnh đáy.đường cao) Thể tích khối chóp V = Diện tích tam giác thường = góc vuông) Diện tích tam giác = a b (a, b cạnh canh  Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung (Sđáy  cao) Thể tích khối lăng trụ V = Sđáy  cao Thể tích khối cầu V= R 3 DeThiThuDaiHoc.com 20 Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Diện tích mặt cầu S= 4R canh  Đường cao tam giác = Shình thang = (đáy nhỏ + đáy lớn)  cao Tam giác ABC vng A: Thể tích khối nón V= 1   2 AH AB AC Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm 1 (Sđáy  cao)= R 2h 3 Thể tích khối trụ V= Sđáy  cao = R 2h DeThiThuDaiHoc.com 21 www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm K SỐ PHỨC Định nghĩa số phức khái niệm liên quan Định nghĩa : Số phức biểu thức có dạng a  bi ; a , b   i  1 Tập hợp số phức kí hiệu   Nếu z  a  bi a gọi phần thực b phần ảo số phức z  z gọi số thực kh i a   z gọi số ảo b  Các khái niệm liên quan : Cho số phức z  a  bi Khi :  Mỗi s ố phức z  a  bi biểu diễn điểm M a ;b  mặt phẳng tọa độ Oxy   z  OM  a  b gọi mođun số phức z  Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp số phức z Hai số phức : Cho số phức z  a  bi z   a   b i Khi đó: a  a  z  z   b  b  Các phép toán tập hợp số phức Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : a  bi   c  di   a  c   b  d  i a  bi   c  di   a  c   b  d  i a  bi c  di   ac  bd   ad  bc  i Chú ý :  Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực rút gọ n biểu thức đại số thông thường với ý i  1  Các quy tắc đại số áp dụng tập số thực áp dụng tập số phức  Cho z  a  bi Khi : z z  a  b Phép chia hai số phức : z  z .z  z   z z z Số phức nghịch đảo z  z   : z 1  z Phương trình bậc hai Căn bậc hai số thực âm : Cho a số thực âm Khi a có hai bậc hai : i a i a Giáo viên biên soạn: Trương Hồi Trung DeThiThuDaiHoc.com 22 www.MATHVN.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực : az  bz  c  0; a , b , c  ; a   Tính   b  4ac Kết luận :    b   2a b Nếu   phương trình có nghiệm kép thực z1  z  2a Nếu    có hai bậc hai i  i  Khi phương trình có hai nghiệm phức Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1,2  phân biệt z1  b  i  2a Dạng lượng giác số phức z  b  i  2a 4.1 Dạng lương giác z = a + bi (a, b  R, z  0) laø:  r  a  b  a  z = r (cos   i sin  )  cos   r  b  sin   r  +  acgumen z +   (Ox ,OM ) 4.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos   i sin  ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') : a) z z '  r r '[cos(   ')  i sin(   ') ] z r b)  [cos(   ')  i sin(   ')] z' r' 4.3 Công thức Moa-vrơ : n  N * [r (cos   i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) 4.4 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Căn bậc hai số phức z = r(cos   i sin  ) (r > 0) laø : r (cos vaø r (cos    i sin ) 2      i sin )  r [cos(   )  i sin(   )] 2 2 Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung DeThiThuDaiHoc.com 23 ... an2a  cos 3a  cos3 a  3cos a t an3a  tan a  tan a  tan a Công thức hạ bậc  cos 2a sin a  3sin a  s in3a sin a   cos 2a 3cos a  cos 3a cos3 a  cos a  Công thức biến đổi tổng thành... b Công thức nhân 4.1 Công thức nhân đôi sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos a  sin a  cos a    2sin a t ana  tan a 4.2 Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a t an2a  cos 3a  cos3 a... DeThiThuDaiHoc.com Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng www.MATHVN.com Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm F CƠNG THỨC MŨ – LOGARIT CÔNG THỨC MŨ a  a a a    STT n CÔNG THỨC LOGARIT STT loga 