Đang tải... (xem toàn văn)
với các p hần tir .V.. Do a là iđêan nguyên tố.. Do nên ta suy raVậy.. G iả sử ngược lại.. nên theo Bô đề K uratow ski-Zorn.. thì ta không CÒI1 gì đẽ ch ứ ng m inh nữa.. M ọi vành idean
C h n g III VÀNH, T R Ư Ờ N G VÀ V ÀN H ĐA THỨC Trên m ột tậ p hợp có th ể xác định nhiều phép to án đ ể lập nên m ộ t cấu trúc đại số T ậ p h ợ p số nguyên z m ột ví dụ đ iển hình với hai phép tốn ” cộng” ’■n h â n '’ quen biết m phép n h ân có tín h p h â n phối với phép cộng C hư ơng d n h cho việc nghiên cứu m ộ t cách m đ ầ u cô đọng nh ữ ng cấu trú c đại số đ ợ c xác đ ịn h bời hai phép tốn §1 C ác đ in h n g h ĩa v v í du 1.1 Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột tậ p hợp R đ ợ c gọi m ột vành R có liai phép to n hai ngôi, m ột gọi phép cộng m ột gọi phép nhân, cho điều kiện sau đ ợ c th ỏ a mãn: ( R \) T ậ p hợp R m ộ t nhóm Abel phép cộng (/?■>) P h ép n h â n trê n /? kết hợp có đ n vị {R:ị) Luật phân phối: P h cp n h ân p h ân phối phép cộng Tức với phần tir V ụ, z G R tu y ý, ta ln có {x + y ) z = x z + y z v z ( x + y) = z x + zy Như thông th n g t a ký hiệu p h ầ n t đ n vị phép n h â n củ a R en p h ần t khơng nhóm Abel cộng R 0/Ị T rư n g h ợ p vàn h /? đ ã xác đ ịn h cụ th ể trư c t a ký hiệu đ n giản cho p h ần t đ n vị v cho phần t không c ủ a R Một vành R đ ợ c gọi vành giao hoán Iiếu phép nh ản R th ỏ a m ãn thêm điều kiện x y — y x , Vx y e R C ần ý đ ây rằ n g tro n g giáo trìn h đ ại số kết h ợ p m ộ t v n h khơng địi hịi phải có đ n vị Tuy nhiên, nhiều hướng nghiên u khác ln cần già thiết th è m tồn đ n vị cùa vành chúng t a theo hướng Giáo trình đại s ố đại 64 (ii) Một vành R đ ợ c gọi m ột tr n g , R v n h giao hoán phần t khác không củ a R có nghịch đào Nghĩa tậ p hợp fí* = R \ {0} lập th n h m ộ t nhóm phép n h â n củ a R Trước hết t a tóm t ắ t m ột số tín h ch ất đ n giản n h ấ t v n h trirờng ể T í n h c h ấ t Cho R m ộ t vành Khi t a có tín h ch ất sau đảv ) J'0 = Ox = 0, Vx € R T h ậ t vậy, t luật p h ân phối ph cp Iihân phép cộng Ox + X — Ox + \ x — (0 + ) x — X ta suy 0.r = T ơng tự , t a có xO - 2) Nếu R có n h ấ t hai ph ần t ^ T h ậ t = X = x \ = xQ = Va- G /? 3) ( - x ) y = —(x y ) với hai ph ần từ x , y G R tu ỳ ý T h ậ t t xy ( - x ) y = (x + + { - x ) ) y = Oy = ta suy {—x ) y p h ầ n t đối củ a xy 4) Trên vành R t a x ây d ự n g phép ” t r ” n h sau: X - y — X + ( - y ) , V x y € R Khi phép nh ân p h ả n phối với phép trừ , tứ c {x - y)z = xz - yz z(x - y) = zx - zy , V.T y z e R T h ậ t từ {x - y ) z + y z = (x - y + y ) z = x z ta suy (x — y ) z = x z — y z Đẳng th ứ c t h ứ hai đ ợ c chứng m inh tư n g tự 5) B ằng quy n ạp t a dễ d n g ng m inh p h ân phối phép n h ả n phép cộng cho nhiều p h ầ n t n h sau: (y + + y, , ) x = y i x + + y nx x ( y i + + y n) = x y i + + x y n ) M ột p h ần t khác không a G R đ ợ c gọi m ột ước không, tồn phần t khác khôn g b E R cho ab = ba = Khi đ ó v n h R C hư ơn g III Vành, tr ờn g đa thức 65 ph ần t ước khơng, chi luật giản ước trái VO / i e i?, Va b e R, xa — xb =>■ a = b luật giản ước phải VO 7- X e R Va ò e R, a x = bx ==>• a = b đ ợ c thòa m ãn R T h ậ t vậy, giả sử R khơng có ước củ a khơng T xa = xb kéo theo x ( a - b) = t suy a = b X Ỷ 0- L uật giản ước phải đ ợ c chứng m inh tư n g tự Ngược lại giả sử chẳng hạn R có luật giản ước trái K hi với hai phần t a.b e R tu ỳ ý cho ab = a Ỷ t ab — aữ ta suy r a theo luật giản ước rằn g = M ột vành giao hốn khơng có ước khơng đ ợ c gọi m ột m iền nguyên 7) Nếu R m ộ t tr n g R khơng có ước củ a khơng, suy m ột miền nguyên T h ậ t vậy, cho x y = X ^ y = {x~ì x)y = x ~ lxy = 1.3 V í d u 1) Ta ký hiệu z tậ p hợp t ấ t số nguyên, Q tậ p h ợp t ấ t cả số h ữ u tỷ v Z ,1 tậ p hợp t ấ t số nguyên m ô đ u n 71, với n m ột số nguyên d n g Khi với phép to n n h â n v cộng số thông th n g t a th ấ y rằng: - z m ột v n h giao hoán, h ơn n ữ a m ột miền nguyên n g m ột trư ng - Q trư ng - z „ m ộ t v n h giao hoán, ng không miền nguyên n không m ộ t số ngu yên tố T h ậ t giả sử n — kl với k v / hai số nguyên dương khác không thực nhỏ 77 rõ ràng k ^ 0(mod n) ỉ (niod rì) nlnm g ki = 0(m od n) T rư ờn g hợp n m ột số nguyên tố, t a có th ể chứng m inh dề d àn g rằ n g z „ m ộ t trường 2) Cho tậ p h ợ p M n (R ) gồm t ấ t m a tr ậ n vuông cấp n có hệ số tậ p hợp số th ự c R Dễ kiểm t r a th ấ y rằ n g M n (R ) lập th n h m ột vành với phép cộng n h â n m a tr ậ n thông thường Hơn nữa, n > th ì vành không v n h giao hốn Giáo trình đạt s ố đại 66 3) Cho s m ột tậ p hợp v R m ột vành Khi đ ó tậ p h ợp M ( S R ) tấ t ánh xạ / : s — » R lập th n h m ộ t vành với phép cộng v n h ả n sau: ( / + g){s) = f ( s ) + g{s) Vs € s Ư9 ) ( s ) = f ( s ) g ( s ) , Vs G s P h ần t không vàn h án h xạ h ằn g cho giá trị p h ần t không R phần t đ n vị ánh xạ h ằn g cho giá trị ph ần t đ n vị R Rõ ràng M ( S , R ) giao hoán v R m ộ t v n h giao hoán 4) Cho A m ột nhóm Abel Xét tậ p h ợp End(A ) t ấ t đồng cấu nhóm từ A vào A Với ph ép cộng cộng ánh xạ th ô n g th n g v phép nhân phép lấy án h x hợp th n h , t a có th ể kiểm t r a m ột cách khơng khó khăn đư ợc rằn g E n d(Ẩ ) với phép toán lập th n h m ộ t v n h vành nói chung khơng v àn h khơng giao hốn Ề Đ i n h n g h ĩ a C ho R m ột vành Nếu tồn m ộ t số nguyên dương n nhỏ n h ấ t cho n l — t a nói rằ n g v àn h R có đặc s ố n T rư n g hợp ngược lại, không tồn số t ự nhiên n Iiào đ ể n l = th ì t a nói R có đặc s ố Đặc số vành R đ ợ c ký hiệu c h (R) l ể5 M ê n h đ ề Các m ệ n h đ ề sau đ ú n g m ọi m iền n guvcn R (i) N ếu c h ( R ) = cấp cùa m ọi phần tủ n hó m A b e l cộng R vô hạn (ii) N ếu ch(R ) = n, với n m ộ t s ố nguvên dương, cấp cùa m ọi phần tử n h óm A b c l cộng R đ cu n h un nửa, n phải m ộ t s ố nguyên tố Chứng minh (i) G iả sử ngược lại, tồn m ộ t ph ần t khác không X € R m ột số nguyên d n g n cho ĨỈX = T đ â y t a suy n ( l x ) = (ríl)a : — Ox = Do R miền nguyên, nên n l = Điều kéo theo ch (/ỉ) < n m â u th u ẫ n với giả th iết R có đ ặ c số không (ii) K ết luận đ ầ u củ a m ệnh đ ề lập tứ c đ ợ c suy ra, t a chứng m inh đư ợc rằng: với hai p h ầ n t khác không x y G R tu ỳ ý v m m ộ t số Iiguyên 67 Chươ ng III Vành, t r n g đa thức t rn.v = kéo theo m ụ = T h ậ t vậy, từ x { m y ) = m ( x y ) = (■m x ) y = Oy = t a suy đo R miền nguyên rằ n g m y = Bây giả sử ngược lại rằ n g n m ộ t số nguyên tố, tứ c tồn hai số nguyên d n g p q th ự c nhò 77 cho n = pq Khi đ ó ta có {pì)(ql )=pqì = n\ = T đày suy R m iền nguyên, p l = q\ = T rư n g h ợ p đến ch ( R) < n Vậy n p hải m ột số nguyên tố □ Ịị2 Iđ êa n v đ n g c ấ u v n h 2.1 Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột tậ p hợp COI1 A vành R đ ợ c gọi m ột vành cùa R lập th n h nhóm Abel với phép cộng R v đóng phép nhàn, tứ c ab e A Va.b G A T rư ng hợp R m ột trư n g t h ì m ộ t v n h COI1 c ủ a R đ ợ c gọi l m ộ t trường n ế u n ó m ộ t t r n g với phép tốn fí (ii) Một tậ p h ợp a củ a m ột vành R đ ợ c gọi m ột iđêan trái (hoặc iđêan phải) /?, Iiếu a m ột vàn h R v thỏa m ã n tín h chất Ra c a (hoặc a/? c a) Nếu a vừa iđõan phải vừa iđêan trái /? đ ợ c gọi m ột iđèan cùa /? C hú ý rằng, ta không đòi hỏi m ột vàn h A v àn h R phải ch ứ a đ n vị cùa R liên Iiói chung m ột vàn h chư a phải vành Rõ ràn g R v {0} nh ữ n g iđêan R M ột iđêan (trái, phải) R khác với R đ ợ c gọi iđêan (trái, phải) thực 2.2 M ê n h đ ề Giao cùa m ộ t họ bất k ỳ vành (hoặc iđêan trái, phải) cùa m ộ t vành R cho trư c m ộ t vành (hoặc iđẽan trái, phãi) R Chứng minh G iả sử ( Aj ) i £Ị m ột họ vành (hoặc iđ êan trá i phải) cùa /? Đặt Giáo trình đại s ố đại 68 Theo II (2.4) A m ột nhóm củ a nhóm Abel cộng R H iển nhiên A đóng với phép nh ản c ủ a R Aị đóng với phép n h õ n ú (hoc R A ỗ A hoc A R ỗ A vỡ mi A l đ ều có tín h ch ất tư n g ứng) □ Cho s m ột tậ p h ợ p m ột vàn h R Khi đó, giao củ a t ấ t vành (hoặc iđêan trái, phải) R a s theo (2.2) lại m ột v n h (hoặc iđêan trái, phải) củ a R V àn h (hoặc iđêan trái, phải) n ày đ ợ c gọi vành (hoặc iđêan trái, phải) sinh bời s s đ ợ c gọi hệ sinh chúng Đối với iđêan trái sinh bời m ột tậ p h ợp s t a th n g ký hiệu ¿(S ) R( S) Tương t ự t a ký hiệu cho iđêan phải s i n h bời s { S ) n (S ) R Cịn với iđêan sinh bới th ì ký hiệu đ n giản (5) (khi vàn h R đ ã xác định trước) Cho X m ột p h ầ n t tu ỳ ý vàn h /?, th ì tạ p h p R x x R R x R nh ữ ng ví dụ đ n giản cho iđêan trái, phải v iđêan R có phần tử sinh X, chúng đ ợ c gọi m ột cách tư n g ứng iđêan trái, pháỉ iđêan củ a R M ột vàn h giao hốn R m iđéan đ ều iđêan đ ợ c gọi vành iđêan Bây cho a m ột iđ êan củ a m ột v àn h R Vì a nhó m củ a nhóm Abel cộng R nên th eo II (3.7) t a có nhóm th n g R / a củ a t ấ t lớp ghép { x + a}x e /Ị T a ng m inh rằn g R / a có cấu trú c m ột vành 2.3 Đ i n h lý Cho a m ộ t iđêan m ộ t vành R K h i R / a m ộ t vành với p h ép nhân đ ợ c định nghĩa n h sau: (x + a)(y + a) = x y + a, Vx y e R Chúng minh Trư ớc h ết t a chứng m inh phép n h ân đ ợ c xác đ ịn h n h trén có nghĩa, tứ c khơng p h ụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp ghép Cụ thể, cho a = X (m od a) v b = y (m od a), t a phải chứng m inh rằ n g ab = x y (mod a) T h ậ t vậy, tồn theo giả th iế t hai p h ầ n t c d £ a cho a = X + c b — y + d Khi nh luật p h â n phối c ủ a R t a có ab = (x + c) ( y + d) = x y + (x d + cy + cd) Chư ơng III Vành, t r n g đa thức 69 Rõ ràng x d + cy + cd € a a iđêan T đ ây ta suy ab — x y G a điều cần chứng minh Dễ th ấ y lớp ghép + a phần t đ n vị phép nh ân Việc ng m inh phép n h ân định nghĩa p h ân phối với phép cộng lớp ghép củ a R / a hiển Iiliiên d ự a vào tín h p h â n phối củ a phép nhân ph ép cộng vành R Vậy R / a m ột vành □ V ành R / a xác đ ịn h n h trê n đư ợc gọi vành thương củ a R theo iđêan a 2.4 Đ i n h n g h ĩ a C ho R v hai vành tu ỳ ý M ột ánh xạ ĩ : R —>s đư ợ c gọi m ột đồng cấu vành, th ỏ a m ãn điều kiện sau với phần t x y € R f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) , f ( r y) = f (x)f (y) Đống cấu v àn h / đ ợ c gọi đ n cấu toàn cấu hay đẳng cấu ánh x f tư n g ứng đ n cấu to àn cấu hay đ ẳ n g cấu 2.5 B ổ đ ề Cho f : R — + s m ộ t đòng cấu vành từ vành R vào vành s K h i tập hợp ảnh Im ( / ) = f ( R ) m ộ t vành s h t nhàn Ker(/) = r 1(0s) m ộ t iđcan R Chứng minh Ta đ ã biết chương II nhóm rằ n g I m ( / ) K e r ( / ) tư n g ứng n h ữ n g nhóm C011 nhóm Abel cộng R H iển nhiên I n i( / ) đóng phép n h ả n củ a s nên Im( f) m ột v n h Ngoài r a , v i c c p h ầ n t (1 E K er( / ) v X G R t u y ý t a có f { a x ) = f ( a ) f (.r) = f ( x ) = / ( x o ) = / ( x ) / ( o ) = f ( x ) = Đicu kéo theo a x x a € K e r ( / ) V ậy K e r ( /) iđêan R □ 2.6 C h ú ý ẳ B ảy ta xét lớp ÍH t ấ t vàn h mà cấu x giữ a hai v ậ t R s ÍH đồng c ấ u vèilll y tích cùa hai cấu xa án h xa h a n th n h Giáo trinh đại s ố đại 70 Dễ chứng minh đ ợ c rằ n g h ợp th n h hai đồng cấu vàn h lại m ột đồng cấu vành Khi đó, rõ ràng SR th ỏ a m ã n tiên đề ( K i) (A >) (A.ỉ) II (5.1) nên lập th n h m ột p h ạm tr ù gọi phạm trù vành T háy trớ đi, nói tới m ột đồng cấu ta hiểu m ột đồng cấu nhóm t a xét p hạm tr ù nhóm m ột đồng cấu v n h n ếu ta đ a n g làm việc với phạm trù vành ÍK 2.7 V í d u 1) Cho a iđẻan củ a vành R Xét v n h th n g R a đ ã định nghĩa (2.3) Ta đ ã biết rằn g ánh xạ p : R ♦ R / a p( x) = X + a v.r e R tồn cấu tắ c t nhóm Abel c ộng R nhóm cộng cùa R /a Vì p ( x y ) = x y + a = (x + a)(y + a) = p( x) p( y) nên p m ột to n cấu vành H ơn nửa ta có a = Ker(p) Như vậy, k ết h ợ p với (2.6) ta đ ã chứng m inh đ ợ c m ệnh đ ề sau đây: M ột tập hợp a cùa vành R m ột iđêan chi tòn đồng cấu f : R — - tủ R vào m ột vành s cho a — K e r ( / j 2) Xét v àn h t ự đồng cấu nhó m Abel cộng E n d (R ) = E c ủ a m ộ t vành R (xem Ví dụ 1.2 (4)) C ho a € R m ột p h ần t tu v ý Ta xét n h xạ ỉa : R ’ R- f a ( x ) = ax Vx 5 Iìiột d ằ n g cấu Trờ lại với p h m tr ù vành ÍR Khi ta có đ ịn h lý tồn tích đối tích p h m t r ù n ày m chứng minh đ ợ c suy dễ dàn g t tồn tích đối tích tron g phạm tr ù nhóm Abel ẳ9 Ế Đ i n h lý Tích đối tích tồn p h m trù vành ÍR Chứng minh Với m ột họ ( R, ) i £Ị v àn h cho trư c ta xem họ n h họ nhóm Abel với phép to n cộng K hi tích trự c tiếp R = Yl &ĩ Rị (Pì)íg/ p, to n cấu tắ c nhóm, tích v tổ n g trự c tiế p X — (j , ) , ei - tro n g đ ó j, đ n cấu tắ c nhóm , đối tích củ a họ nhóm tro n g p h m t r ù nhóm Abel 21 (xem Định lý 6.1, C h n g II) Bây ta đ ịn h nghĩa phép n h â n trẽii^i? (suy cho trê n À”) 'Giáo trinh đại s ố đại 72 phép nhản từ n g th n h p h ần , tứ c với a — (a,)i£Ị, b = (b , ) , e i £ R ta x c đ ịn h ab = (a?6,)iG/ Khi dễ dàng th ấ y rằn g đồng cấu p, ji n h ữ n g đồng cấu vành Vậy R tích v X đối tích họ (/?,),£/ tro n g p h m tr ù vành ÍH _ §3ế V n h giao h o n Ta giả thiết v àn h đ ợ c xét tiết đ ề u vàn h giao hoán, khái niệm iđêan trái, iđêan phải trù n g n h a u chúng iđêan ế Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột iđêan th ự c a củ a m ộ t vành R đ ợ c gọi ìđèan nguyên sơ, x y G a v ả y ị a = > 3n : x n E a (ii) Iđêan th ự c p đ ợ c gọi iđêan nguyên tố x y € p ==ỉ> x E p h o ặ c y e p (iii) Iđêan m đ ợ c gọi iđêan cực đại m p h ầ n t cực đ ại (theo quan hệ bao hàm ) tro n g tậ p hợp t ấ t iđêan th ự c R (iv) Cho a iđêan R T ậ p h ợ p Rad(/?) xác đ ịn h bời R ad (a) = {x G R I 3n : x " E f l } gọi cản a Dẻ thấy R ad (a) củng m ột iđ êan R Đặc biệt, iđêan không {0} đ ợ c gọi luỹ linh R đ ợ c ký hiệu Rad(i?) T ứ c V R ad(i?) = { x e R \ n : x n = } M ột phần t Rad(i?) đ ợ c gọi phần tủ luỹ linh R Trước h ết t a nêu lên n h ữ n g tín h ch ất đ n giàn n h ấ t đ ợ c suy t định nghĩa tro ng m ệnh đề sau đáy 3.2 M ệ n h đ e Cho a m ộ t iđêan vành fí K h i đ ó m ện h đ ẽ sau đ úng: (i) a iđêan n guyên t ố k h i chi k h i R / a m ộ t m iền nguyên (ii) a iđóan cục đại kh i chi kh i R / a m ột trường (iii) a iđơan n gun sơ k h i R ad (a) iđcan nguyên tố 169 C h u n g V M ô đ u n tr ê n vành giao hoán phần t cực đại (theo q u an hệ bao hàm), chằng hạn Eo, f ì Khi đó, định lý đ ợ c chứng m inh t a Eo = E T a chứng m inh điều p h ản chứng G iả sử Eo Ỷ E Vì R vành N oether, nên theo Định lý 4.8, Eo /?-m ôđun nội xạ, suy Eo hạng t trự c tiếp E (xem Định lý 1.6) G iả sử E = E0 © E' với E' m ột /?-m ơđun nội x khác khơng Iiào Bây giờ, theo chứng minh Định lý 6.6, tồn m ột iđêan nguyên tố p cùa R /?-m ôđun coil N E' cho N = R / p Vậy, th eo Định lý 6.6, E' có m ột m ô đ u n đ ẳ n g cấu với m ôđun nội x không p h â n tích đ ợ c E(R/p) Điều cho phép xem E(R /p) m ột hạng t trự c tiếp E' T ta suy /?-m ơđun Eq © E ( R / p) e v Eo c Eo © E ( R / p) T ín h chất cuối m â u th u ẫ n với cách chọn E0 cực đại tro n g n Do đ ó Eo = E định lý đ ợ c chứng minh □ K ết qu ả quan trọn g tính xác đ ịn h d u y n h ấ t sai khác đằng cấu phân tích m ộ t m ô đ u n nội x tổ n g trự c tiếp nhữ n g m ô đ u n nội xạ không phàn tích đư ợc K ết q u đư ợ c chứng m inh bời M atlis p hát biểu cuối tiế t n ày m chứng minh đ ể b ạn đọc th a m khảo 6.9 Đ ị n h l ý ẽ Cho E m ột mô đu n nội xạ vành Noether R Giả sủ E = © ¿ e /p E = ®J£ Ị ' E ' hai phàn tích E thành tơng trực tiếp m ơã un nội xạ khơng phản tích Khi tịn song ánh : / — ■* I ' cho E, = E'ơụ y Vỉ € / B ài tâp 1) Chứng m inh rằ n g tổ n g trự c tiếp tích trự c tiếp cua m ột họ m ô đun chia đư ợc lại chia đư ợc 2) Cho M /?-m ôđuii chia đ ợ c v N m ột m ô đ u n củ a M Hãy chứng minh m ô đ u n th n g M Ị N chia 3) Cho R m ột m iền nguyên v M R- môđun M đ ợ c gọi không xoắn ax — ũ suy a = X = với a e R v X e M C h ứ n g minh rằn g m ột i?-m ôđun M không xoắn v chia đ ợ c nội xạ 4) Clio E m rộng m ột R- m ôđim M G iả sử E nội xạ C h ứ n g minh rằn g tồn m ộ t m ô đ u n E m rộng cốt yếu M Gián trinh đữi s o hiên đ i 170 5) Chứng minh rằn g E bao nội xạ củ a m ột /¡’-m òđ un M chi E nội xạ N m ột m ô đ un th ự c E a M A kliịng nội xạ 6) C’ho I m ột iđêan vành R a m ột phần t n ằ m tro n g A n n Ị ị E ( R / /) Chứng minh rằn g tồn m ột phần t ủ b € R \ I cho ab = 7) Cho R miền nguyên I m ột iđêan R C h ứ n g m in h Ann n ( E ( R / I ) ) = 8) Cho p m ột /?-m ôđun x ảnh C h ứ ng minh rằ n g tồn m ột Rm ôđun tự F cho F — p ® F 9) Cho I iđêan m ột miền nguyên R C h ứ n g m inh rằn g , / i?-mơđun xạ ản h I iđêan h ữ u h ạn sinh 10) Cho M m ô đ un h ữ u hạn sinh trê n m ột vàn h đ ịa p h n g R H ãy chứng minh rằn g M /?-m ôđun xạ ảnh chi M t ự 11) Cho R m ột miền iđêan C ng m inh rằ n g /?-m ỏđun xạ ảnh chi I1Ĩ /?-m ơđun t ự 12) C ng minh rằ n g n ếu p Q nhữ ng R - m ỏ ă u n x ản h th ì tích ten xơ p