-Đe cho việc trình bày dược tinh giản và có hệ thống, trong khi biên soạn chủng tôi đã thay đui đôi chút về trình tự sắp xép cúc chương, mục so với thứ tự đã ghi trong chương trình, cạ t
SÁCH ĐẠI HỌC S ư PHẠM L Ạ I ĐỨC THINH GIÁO TRÌNH số HỌC 1977 | PDF | 310 Pages buihuuhanh@gmail.com GịịVlD NHÀ X I Ấ T BẲN GIÁO DỤC - 81, Trần Hưng Đạo — Hà nội L Ờ I NỚI Đ Ầ U Giáo trình này viẽt trang thành với nội dung và tinh thần của chương trình Số học dùng cho khoa toán các trường đại học sư phạm, hệ Ặ năm do Bộ giáo dạc ban hành -Đe cho việc trình bày dược tinh giản và có hệ thống, trong khi biên soạn chủng tôi đã thay đui đôi chút về trình tự sắp xép cúc chương, mục so với thứ tự đã ghi trong chương trình, cạ thề là : Phần lý thuyẽt chia hét tronq vành số nquỵên đã được đưa ngay vào chương « vànìi số nguyên » (chương l ĩ ) mà không lách riêng ra thành một chương riêng — Phần số hỉu ti và số thực được ghép chung lại thành mật chirừng (chương HI) — Phần các hàm s ố s ố học đã không đề thành một chương riênq mù tách ra, đưa các hàm số T(n) vù ơ ( n ) vào chương « Số nguyề n tu » {chương VI) và hàm s ố ơỉe cp (n) vào chương (Lý thuyết đồng dư » (chương VI li) — Trong phần phương trình dồng dư, dã tách phươnq trình dồng dư bậc hai thành một chương riêng (chương X) Ve khối lượng kiên thức, đôi chỗ chúng tôi cũng có viẽt nhềi u hơn (không dáng kề ) so ươi mức độ yêu cầu trong dự thảo chương trình, cụ the là : — Phần lý thuyỉt số thực đã được trinh bày dầy đả chứ khùng phải chỉ là giới thiệu cách xâu đựng s ố thực như đã ghi trong chương trình- hàm số 3ĩ(n) — Về s ố nguyên tổ, đã viẽt thèm ồ3 đề giới thiệu — Đã thèm chương XI về ^1 là một song ánh cho nên A ~ A b) Nếu A — lì thì theo định nghĩa tất phải có một song ánh, giả sử là f : 4 —> B, khi đó có ánh xọ ngược f - 1 : B -f A, và f~1 cũng là song á n h , cho nên B ~ A c) Nếu A ~ B và lì ~ c thì tất phải cỏ những song ánh, giả sử là f : A ~> B và g : B -* c Khi đó ánh xọ tích tị f là một song á n h t ừ A đến c cho nên A ~ c li Quan hệ ~ xác định ỏ- trên có các tính chất của một quan hệ tương đ ư a n g , vì vậy ta cũng gọi nó là quan 6 hệ tương đương giữa các tập hợp, và khi cỏ A ~ B thi ta n ó i là tập hợp Ả tươnq đương với tập hợp B, hay c ò n n ó i hai tập hợp Ả và B tương đương với nhau 3 Tính chất 2 Phép lấy tích đề các và lấy hợp các tập hợp bảo toàn tính tương đương giữa các tập hợp, cụ t h ê là v ớ i n h ữ n g tập h ợ p Ả, Aỉ, B, Bị ta cỏ a) Nếu A ~ Ai và B ~ Bi thì A X B ~~ Ái X B i b) Nếu A -~ Ai, B ~ Bi và Á A B = Ai A B i = ệ thi A \J B ~ Ai \J Bị Chứng minh: Vì A ~ ^ 1 v à B ~ Bi n ê n t ấ t c ó n h ữ n g song ả n h , g i ả sử là f và g theo t h ử t ự t ừ A đ ế n Ai v à t ừ B đ ế n Bi D ễ t h ấ y đ ư ợ c r ằ n g c á c ả n h xạ (p v à ty xác định n h ư sau : cp: A X B -+ Aị X Bi (a,b) 1-+ẹ(a,b) = ự(a),g{b)) U) : AKJB - * i l i w B i / \ í f(x) n ế u £ ^ Ả T w ỵ_ nếu X € B là n h ữ n g song á n h , t ừ đ ó ta đ ư ợ c đ i ề u c à n c h ử n g m i n h / / 4 Định l ý 1 (*) Cho Á và B là những tập hợp, thí thì tất phải xảy ra lí nhất một trong hai trường hợp sau đây: ( * ) Định lý này do Cantor nêu lên trong khi nghiên cứu lý thuyết tập hợp, nhưng Cantor không chứng minh đ ư ợ c Phần thứ hai của định lý được Bernstein chứng minh (1897), nên được gọi là định lý Cantor-Bernstein, mà chúng ta thường gặp trong các giảo trình giải tích hay tô-pô- Phân thứ nhất của định lý được Zermelô chứng minh (1904) sau khi đưa liên đồ chọn vào lý thuyết tập hợp 7 a) A tương đương với một bộ phận của B; b) B tương đương với một bộ phận của A Nếu cà hai trường hợp a) vàb) đòng thời xảy ra thi các tập hợp Ả và B tương đương với nhau Chủng ta không chứng minh định l ý này Ta chú ý t h ê m rằng, nói A tương đương với một bộ phận của B, đ ò n g nghĩa v ớ i nói rằng có một đơn ánh từ A đến B Vi vậy khi cần chứng minh A tương đương với một bộ phận của B, ta chỉ v i ệ c c h ỉ ra rằng c ó một đ ơ n ánh từ A đến É l i - BẢN SỐ CỦA MỘT TẬP HợP 1 Định n g h í a Khi các tập hợp A và B tương đương với nhau, thi ta nói rằng chúng có cùng một lực lượng hay cùng một bản số N h ư v ậ y là mỗi tập hợp A c ó một bẳn số (hay lực lượng) ký hiệu là Card(^l), sao cho hai tập hợp có cùng một bản số khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau : Card (A) = Card (B) khi v à chỉ k h i A ~ B Nói rằng a là một bản sổ, đồng nghĩa vời nói rằng c ó một tập hợp A m à Card(A) = a 2 Đinh nghía thứ t ự giữa c á c bản Bổ Giữa các bản số ta xác định một quan hệ, ký hiệu là < , như sau: Cho a, b là những bản số, gọi A, B là những tập hợp mà Card(A) = a, Card(B) = b, ta đặt: a < b khi và chì khi A tương dương với một bộ phận cảaB 8 Quan hệ