Giáo trình số học lại đức thịnh

-Đe cho việc trình bày dược tinh giản và có hệ thống, trong khi biên soạn chủng tôi đã thay đui đôi chút về trình tự sắp xép cúc chương, mục so với thứ tự đã ghi trong chương trình, cạ t

L Ờ I N Ớ I Đ Ầ U

Giáo trình này viẽt trang thành với nội dung và tinh thần của chương trình Số học dùng cho khoa toán các trường đại học sư

phạm, hệ Ặ năm do Bộ giáo dạc ban hành -Đe cho việc trình bày

dược tinh giản và có hệ thống, trong khi biên soạn chủng tôi đã thay đui đôi chút về trình tự sắp xép cúc chương, mục so với thứ

tự đã ghi trong chương trình, cạ thề là :

Phần lý thuyẽt chia hét tronq vành số nquỵên đã được đưa ngay vào chương « vànìi số nguyên » (chương l ĩ ) mà không lách riêng ra thành một chương riêng

— Phần số hỉu ti và số thực được ghép chung lại thành mật chirừng (chương HI)

— Phần các hàm s ố s ố học đã không đề thành một chương riênq

mù tách ra, đưa các hàm số T(n) vù ơ ( n ) vào chương « Số nguyền

tu » {chương VI) và hàm s ố ơỉe cp (n) vào chương (Lý thuyết đồng

dư » (chương VI li)

— Trong phần phương trình dồng dư, dã tách phươnq trình dồng dư bậc hai thành một chương riêng (chương X)

Ve khối lượng kiên thức, đôi chỗ chúng tôi cũng có viẽt nhiều

hơn (không dáng kề) so ươi mức độ yêu cầu trong dự thảo chương

trình, cụ the là :

— Phần lý thuyỉt số thực đã được trinh bày dầy đả chứ khùng

phải chỉ là giới thiệu cách xâu đựng s ố thực như đã ghi trong

chương

trình-— Về s ố nguyên tổ, đã viẽt thèm ồ3 đề giới thiệu hàm số 3ĩ(n)

— Đã thèm chương XI về <( cư lí nguyên thảy»

Trong khi biên soạn giáo trình này, cũng như trong mấy năm iliảng dạy vừa qua, khi say nghĩ lư chương trinh môn số học,

chúng tôi thấy cần thiết phải trang bị (lầy đủ lý ihnyẽl số thực cho

3

c á c học sinh khoa toán đại học sư phạm, cho nên phấn này đã dược trình bày đầy đủ hơn so vùi diầu đã ghi trong chương trình Hối vời hai phần còn lại thì mạc đích là đe làm dự trữ đe cho học sinh học thêm, hoặc trong trường hợp cố thi thì qiảnq ngay vào chinh khóa, nó cũng thuộc phạm vi kiin thức cơ sỗ cần thiít cho mỗi học sinh, và nó giúp phồn làm giổm nhẹ (mặc dầu rát ít) các chuyên dì vì số luận

•Bề đọc cuốn sách này, học sinh cần một sổ ít kiên thức về đại

SỔ đ ã được học ở năm thứ hai theo giáo trình ((-Đại số cao cấp-)) tập li của Hoàng Xuân Sinh (Nhà xuất bản Giáo dạc, 19VÚ

Trong khi biên soạn, chúng tòi đã dược sự giúp đỡ nhiệt tình của các đòng chí trong nhỏm « số laận» của tề Đại số thuộc khoa toán trưởng Đại học sư phạm Hà nội, chúng tôi cũng đã được các đòng chí Ngô Thúc Lanh và Hoàng Xuân Sinh đọc trước bản thảo và góp nhiầu ý kiên quỷ báu, riêng đồng chi Hoàng Xuân Sinh đã giúp chúng tôi viít phần lý thuyết số thực, chúng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí nói trên

Cuối cùm/ chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiêu sót cửa cuốn sách đĩ góp phần xây dựng giáo trình

số học được tốt hơn

Tháng 6 năm 1976 LẠI ĐỨC THỊNH

4

CHƯƠNG I

SỔ T ự NHIÊN

Lý t h u y ế t vè số t ự nhiên có t h ê coi là cửa ngõ của

t o á n học Những hiếu b i ế t t ố i t h i ê u v è sổ t ự nhiên là cằn thiết cho m ọ i n g à n h toán học V ấ n đè xây dựng khái niệm số t ự nhiên là một trong những vấn đè cơ

b ả n của giáo t r ì n h số học Trong chương n à y ta sẽ xác định số t ự n h i ê n n h ư là bản số của t ậ p hợp hữu hạn Đó không p h ớ i là một sự l ự a chọn tùy tiện và cũng k h ô n g phải là một sự cần thiết cho việc trinh b à y các c h ư ơ n g sau Ta hoàn toàn có t h ê định nghĩa t ậ p hợp số t ự nhiên bằng p h ư ơ n g p h á p tiên đề, dùn g hệ tiên đè P ê a n ô quen thuộc Song ta định nghĩa số t ự nhiên n h ư là bản số của tập hợp h ữ u hạn, vì điều đ ó vừa phù hợp v ớ i q u á t r ì n h xuất h i ệ n v à hình thành

k h á i niệni số tự nhiên trong hoạt động thực t i ễ n của

xã h ộ i loài người, vừa phù hợp v ớ i việc hình thành khải niệm số cho học sinh Đê g i ả i quyết v ẫ n đè n h ư

5

phải thừa nhận mà không chửng minh hai định lý

(định tỷ í và định lý 2) vì việc chứng minh hai (lịnh

lý này đòi hỏi phải chuẫn bị nhiều h ơ n ra ngoài k h u ô n khô yêu cầu của giáo t r ì n h

2 Tình chất 1 Quan hệ —• vừa xác định giĩva các tập

hợp có cắc tính chất của một quan hệ tương đưonq, nqhĩa

là nới những tập hợp bất kỳ A, B, c ta có:

a) (Tính phản xạ) A ~ A

c) (Tính bắc cầu) Nếu A ~BvàB~Cihì A ~~ c

tị f là một song á n h t ừ A đến c cho nê n A ~ c li

Quan hệ ~ xác định ỏ- trên có các tính chất của một

quan hệ tương đ ư a n g , vì vậy ta cũng gọi nó là quan

6

hệ tương đương giữa các tập hợp, v à k h i cỏ A ~ B t h i

ta n ó i là tập hợp Ả tươnq đương với tập hợp B, h a y

c ò n n ó i hai tập hợp Ả và B tương đương với nhau

tất phải xảy ra lí nhất một trong hai trường hợp sau đây:

( * ) Định lý này do Cantor nêu lên trong khi nghiên cứu

lý thuyết tập hợp, nhưng Cantor không chứng minh đ ư ợ c Phần thứ hai của định lý được Bernstein chứng minh (1897), nên đ ư ợ c gọi là định lý Cantor-Bernstein, mà chúng ta thường gặp trong các giảo trình giải tích hay tô-pô- Phân thứ nhất của định lý đ ư ợ c Zermelô chứng minh (1904) sau khi đưa l i ê n

đồ chọn vào lý thuyết tập hợp

7

a) A tương đương với một bộ phận của B;

b) B tương đương với một bộ phận của A

Nếu cà hai trường hợp a) vàb) đòng thời xảy ra thi các tập hợp Ả và B tương đương với nhau

Chủng ta k h ô n g chứng minh đ ị n h l ý n à y Ta chú ý

t h ê m rằng, n ó i A tương đương với một bộ phận của B,

đ ò n g nghĩa v ớ i nói rằng có một đơn ánh từ A đ ế n B Vi vậy khi cần chứng minh A t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i một bộ phận của B, ta chỉ v i ệ c c h ỉ ra rằng c ó một đ ơ n ánh từ A

đến É

l i - BẢN SỐ CỦA MỘT TẬP HợP

1 Định n g h í a Khi các tập hợp A và B tương đương

với nhau, thi ta nói rằng chúng có cùng một lực lượng hay cùng một bản số

N h ư v ậ y là m ỗ i tập hợp A c ó một bẳn s ố (hay lực lượng) k ý hiệu là Card(^l), sao cho hai tập hợp có cùng

một bản số khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau :

Card (A) = Card (B) khi v à c h ỉ k h i A ~ B

Nói rằng a là một b ả n s ổ , đ ồ n g nghĩa vời nói rằng

c ó một tập hợp A m à C a r d ( A ) = a

2 Đ i n h n g h í a thứ t ự giữa c á c bản Bổ G i ữ a các bản

số ta x á c định một quan h ệ , k ý h i ệ u là < , n h ư s a u :

Cho a, b là những bản số, gọi A, B là những tập hợp mà Card(A) = a, Card(B) = b, ta đặt:

a < b khi và chì khi A tương dương với một bộ phận cảaB

8

Quan h ệ < ; g i ữ a c á c b ả n sổ v ừ a đ ị n h nghĩa k h ô n g

p h ụ t h u ộ c v à o v i ệ c c h ọ n c á c t ậ p h ợ p c ó b ả n số cho

t r ư ớ c Đ ẽ c h ử n g m i n h đ i ê u đ ó t a sẽ c h ử n g m i n h r ằ n g :

Nếu A, B, Ai, Bi là những tập hợp mà A ~ Ai, B ~ Bi

và A tương đương với một bộ phận của B, thế thi Ai tương đương với một bộ phận của Bi

Quan hệ t h ứ tự giữa các bản số còn cỏ tính chất quan trọng sau đây, ta thừa nhận m à không chửng minh

4 Đ ị n h lý 2 Với mỗi tập họp E những bản số đã cho,

E ệ, tôn tại các bản sổ a và b qọi là cận dưới và cận trên của E, ký hiệu ỉn

a — Inf (E), b — Sup (R) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) a <; X và b > X, với mọi X £ K

b) Nếu y là một bản số sao cho y < X với mọi X ^ /í,

thì Ị] < a ; tương tự nếu z ỉa một bản sổ sao cho X < z

với mọi x^-E thì ì) < z

Chú ý: Cận d ư ớ i a và cận trên b của E không nhất

thiết plìẳi thuộc E và chúng là duy nhất

III - TẬP HỌP HỮU HẠN

1 Đ ị n h n g h í a Mội lập hừp khônq lương đương

với bất kỳ một bộ phận ihực sự nào của nó đưọx gọi là một tập hừp hữu hạn

— Một tập hừp không phải là hữu hạn đưừc gọi là một ỉập hừp vô hạn "Vại/ một tập hừp A là vô hạn khỉ

và chỉ khi có một bộ phận {hực sự của A iương đươnq với A, nói một cách khác, khi và chỉ khi có một đơn

ánh f từ A đến chính nó sao cho f(A) 4= A

2 Ví d ỉ a) Tập hợp [PQ] các điếm của đoạn thẳng

PO là một tập hợp v ô hạn Thật vậy, gọi ỉĩ là m ộ i

đ i ề m của đoạn thẳng PQ v ớ i JR =f= p v à R 4* Q,

ta sẽ chứng minh rằng [PQ] ~ [PR], hiên n h i ê n là [PR] c [PQ] và [Pfì]=h [PQì- L ấ y một điềm 5 t ù y ý không nằm trên đường thẳng PQ Ánh xạ f: [PQ] -> PS

x\-+ z

10

Hình Ì

|sao cho xz song song v ớ i OS là m ộ t song á n h , n õ n

kPQ] ~ [PS] Á n h x ạ í/ : [PSị -> [PR] sao cho ZIJ song

T ừ đ ỏ suy r a rằng A t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i một bộ phậiị thực sự f(g(B)) c ủ a A, trải v ớ i giả thiết A là hữu hạn./ị song ảnh n ê n ta cũng c ỏ g(B) ~ f(g(B)) mà f(g(B)) =f= A ị b) Mọi bộ phận của một tập hợp hữu hạn là hữu hạn<

hoặc ta c ó mệnh đ ề t ư ơ n g đ ư ơ n g : « Mọi tập hợp chức một bộ phận vô hạn là vô hạn»

c) Mọi tập hợp tương đương với một bộ phận của mội

( 4 i V A ) ) r\ (Ái - Ai) = ệ,

12

4 Định l ý 3 Hợp của hai tập hợp hữu hạn lá một

Chứng minh: Cho A và B là những tập hợp hữu hạn,

ta sẽ chửng minh rằng A \J B là h ữ u hạn T a chỉ càn xét trường hợp A A B = ệ Giả sử A \J B là v ô hạn, khi đó tất có đơn ánh f từ A\J B đến chính nó, sao cho f{A\j B)=ị= A\J B, như vậy tất có a € A \J B m à

V ậ y : X £ N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn X

sao cho Card(X) = X

2 Quan h ệ thứ tự T ậ p hợp A r

tất cả c á c s ổ tự n h i ê n

là một tập hợp những bản số, cho n ê n N cùng v ớ i

quan hệ thử tự đ ã x á c định giữa c á c bản số là một tập h ợ p sắp t h ứ tự toàn phần (§ Ì, l i , 3)

tập hợp hữu hạn

cp: A -*• A

ỉ(x) n ế u f(x) £ Á g(f(x))nềuf(x)<ỀA

13

m à Card(Y) = y, t h ế t h ì X < y khi và chỉ khi có mộ

bộ phận X e y sao cho X = Card ( X ) ( h i ê n n h i ê n ) T ừ kẽ

q u ả n à y ta suy ra r ằ n g 0 là số t ự n h i ê n duy nhíít chạ chẽ b é h ơ n 1 N ó i m ộ t c á c h k h á c , ta c ó :

V ớ i mọi X N, X =f= 0 thì X > í

Chủ ý: T ừ đ â y đ ế n h ế t c h ư ơ n g , n h i ê u k h i đ è chi

g ọ n ta sẽ d ù n g t ừ « số » đ ê t h a y cho l ừ « số t ự n h i ê n J

l i - SỐ T ự NHIÊN KỀ SAU

-1 Định nghĩa Cho hai số tự nhiên X, ỊỊ với X <; ỵ

Gọi Y là một tập hợp mà Card (Ý) = ụ, như vậy tất c

X c y mà Card(X) = X y được gọi là số, kề sau X kỉ

nhau T ù ( l ị n h nghĩa suy ra ngay đ ư ợ c r ằ n g m ọ i sỗ t ự

Duy nhất G i ả s ử ỊỊi v à y2 đ ề u l à số k ề sau X và Y , ,

c) Mỗi số tự nhiên là kề sau của không quá một số

của c á c số x t v à x-i và ỵ là t ậ p h ợ p m à Card(Y) = g Theo đ ị n h n g h ĩ a tíu c ó c á c tụ p h ợ p KỊ c Ý , X'2 c Ý sao cho

Card(X,) = x i [và Card(Y - X , ) == Ì , Card(X 2) = x 2 v à

Card(Y - x 2) « Ì , t ừ đ ó ta c ó ĩ ~ X, ~ y - X 2 , do đ ó

X, = y - (Ỳ - X , ) và x 2 = y - (Y - x 2 ) l à n h ư n g t ậ p

1 5

hợp t ư ơ n g đ ư ơ n g (§1, H I , 3, e) cho nên Xi = Xỉ và mệnh

đè được chứng minh li Ị

d) Mỗi số tự nhiên khác khống đều là số ke sau của một ì

số tự nhiên (nghĩa là đêu có số kẽ trưởc)

Chứng minh T h ậ t vậy giả sử X là một số t ự nhiên

k h á c 0, thế thì tát cỏ tập hợp hữu hạn X =h 0 sao cho

Card(X) = X Vì X 4= ệ nên phải có một phần t ử a

chẳng hạn của X, k h i đỏ X sẽ là số kè sau của số

Chứng minh: Thật vậy gọi y là tập hợp mà Card(Y)

= y Vì X < y nên tòn t ạ i X e Y, x ị y sao cho

Caì-d(X) = X và tồn t ạ i a £ y - X Khi đỏ ta có x' =

Card(Xv ị a ồ) và X u ịaị < Y, do đỏ x' < y và mệnh

đề được chửng minh li

Mệnh đè n à y có h ệ quả là giữa hai số tự nhiên kè

nhau k h ô n g có một sổ tự nhiên n à o k h á c Ta diễn đạt

vời quan hệ thứ iạ đã xác định) là mội tập hợp sắp thứ

iự tốt, nghĩa l à mọi bộ phận khác rỗng của N đều có- số

Chứ ỳ: Cỏ thê chứng minh được rằng hai định lý 4

và 5 t ư ơ n g đương v ớ i nhau

3 Hệ quả (Định lý VẾ phé p chửng minh qui nạp)

Nếu một mệnh đề <£(n) nào đỏ phụ thuộc vào số tự nhiên

lì thỏa mãn các điều kiện sau đây

thỏa mãn các điều k i ệ n của định lý 5, v à điêu đó là

hiên nhiên Ta còn thường dùng định lý về p h é p chứng minh qui nạp d ư ớ i các hình thức sau đây

a) Nếu một mệnh đề <Z(n) thỏa mãn các điều kiện sau

thi <Z(ri) đúng với mọi số tự nhiên n > a

4 Đoạn dân s n Tập hợp s n = Ị X £ N I X < n Ị gọi là

đoạn n số tự nhiên đầu tiên, hay gọi tắt là đoạn đầu s u

Ví dạ: s 0 te ị, s, = Ị 0 ị\ s 2 = Ị 0, Ì Ị ,

18

d o đ ó Card (s x - — s x ) = Card(Ịarị) = Ì v ậ y Card(sx ') là

số k ề sau C a r d (s x ) nghĩa là Card(s x') = X

2 Mỗi số tự nhiên cỏ một và chỉ một sổ kề sau

3 Mỗi số tạ nhiên là kè sau của không quá một số (nếu

Ta đã biết rằng hợp của hai tập họp hứu hạn là một

tập hợp hứu hạn (§1, in, đi 3) Bằng p h é p qui nạp ta

d ễ dàng chứng minh được rằng hợp của một h ọ hứu hạn nhứng t ậ p hợp hứu hạn là một tập hợp hứu hạn Đối v ớ i phép l ấ y tích đềcác ta cũng có một kết quả

l à m ộ i song ả n h B â y g i ờ g i ả s ử A v à B là hai t ậ p

h ợ p h ữ u h ạ n , t h ế t h i

A X B = V ị a Ị X B

a ^ A nghĩa là t í c h đềcảc A X B là h ợ p c ủ a m ộ t h ọ h ữ u h ạ n

v à t í c h đ è các bảo toàn tinh tương đ ư ơ n g giữa các tập h ợ p , nên c á c p h é p toán trên đ â ỹ là h o à n toàn xác đ ị n h

k é o theo h ệ thức b — c, nghĩa là đối với phép cộng,

mọi số tạ nhiên đều là chỉnh qui

5 Phép nhân có tinh chất giao hoán, nghĩa là v ỏ i m ọ i

7 Số í là phần tử trung lập (còn g ọ i là đơn Dị) của

phép nhăn, nghĩa là với mọi 9Ố t ự n h i ê n a ta c ỏ :

là một vị nhóm cộng giao hoán, với phần tử trung lập

là số 0, trong đó mọi phần tờ đầu là chinh qui

— Tập hợp N tất cả các số tự nhiên cùng với phép nhân là một vị nhỏm nhân giao hoán, với phần tử trung

lập là số í, trong đó mọi số khác 0 đều là phàn tử

chính quỉ

— Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng

IV - LIÊN QUAN GIỮA CẢO P H É P TOÁN VÀ QUAN H Ệ

Chứng minh: Việc chứng minh các tinh chất trên

không cỏ gì khỏ k h ă n , ta h ã y chửng minh tính c h ã i 2

chẳng hạn đễ làm ví d ụ

Gọi A v à B là những tập hợp mà Card(Ạ) = ã và Card(B) = b Vi b =f= ọ nên B =f= ị Gọi p0 là một phần

1 Đ ị n h n g h í a h i ệ n của hai số tự n h i ê n Cho a, b

là hai số t ự nhiên, nếu có số tự nhiên X sao cho

kỷ h i ệ u là X = a — b P h é p tìm h i ệ u cốa hai số tự

nhiên được gọi là phép trừ

* 2 Đ i ề n k i ệ n c ó h i ệ u Cho hai sổ tự nhiên a và b,

điều kiện cần và đả đề có hiệu a — b lá a^b

Chứng minh: a) Điều kiện cần Già sử có a — b, khi

đ ỏ theo định nghĩa ta cỏ a = b 4- (a — b) > b

b) Điều kiện đả Giả sử a > b Gọi A là tập hợp m à Card(A) = a Vì 5 < c t nên t á t cỏ B < A sao cho Card(J5) = b, khi đỏ Card(4 - B) sẽ là biêu a — b li

3 Định n g h í a t h ư ơ n g cửa hai số tự n h i ê n Cho hai

số tự nhiên a và b, b 4=0 Nếu có một sổ tự nhiên X sao cho bx — a thi X được gọi là thương trong phép chìa a cho b và được ký h i ê u là X — a : b hay X = — Phép

b

24

tìm thương của hai số gọi là phép chia. Dễ thấy được

rằng nếu có thương a : b thì hoặc a = 0 hoặc' a > b, song điều kiện a > b không đủ đễ cho có thương a : b-

Với các định nghĩa trên ta được các tính chất thông thường quen thuộc của hiệu và thương các số tự nhiên

7 T ô n g của n số t ự n h i ê n Xi, í € Sn (in là đ o ạ n n số t ự

nhiên đâu tiên) ký hiệu là ]T) Xi

Lũy thừa X J v ớ i X, y N được định nghĩa như sau:

Gọi X y là những tập h ợ p m à X = Card(X) g = Card(Y)

ta đặt :

X 7 = Card (XY ) (X xác định trong bài tập 2), và thừa nhận rằng với mọi

tập hợp X ta cỏ x 0 = Ị ệ Ị, do đó vr|i m ọ i X ^ N ta có a: 0 = Ì ,

và với mọi tập hợp y =£= 0 ta có 0 Y — ộ, do đó với mọi

ị/ € AT, Ị/ ^= 0 ta có 0 y = 0 Hãy chứng minh rằng v ớ i mọi

x T = n X

9 a) Cho X, ụ là những số tự nhiên, ỉ/ gọi là sỗ đ ố i cổa X

khi và chỉ khi X + y = 0 Chứng minh rằng số 0 là số duy nhất có

số đ ố i

b) Cho X, y là những số tự nhiên, g gọi l ả số nghịch đảo cổa

X khi và chỉ khi xụ = 1 Chứng minh rằng Ì là số duy nhất cỏ

số n g h ị c h đảo

10 Phép chia có dư Cho a, b là những sổ tự nhiên, và

b=f=0-Chửng minh rằng có các số tự nhiên q, r duy nhất sao cho

0 < / - < &

11 Cho g là một số tự nhiên khác 0 và khác 1 Chứng minh

rằng mỗi số tự nhiên X khác 0 đêu biêu diễn được một cách

duy nhát d ư ớ i dạng : '

X = a 0 g n + dig"-1 + + a n -lflf + ơn

với n > 0 , Ì < ao < g - Ì, 0 < ai < g - Ì (ì - 1.2, , li)

12 Cho hai số t ự nhiên m, n v ớ i n =4=- 0 Chứng minh rằng

có sô tự nhiên X sao cho ta cỏ

x n < m < (x + l ) n

13 Cho m là một sỗ tự nhiên, chứng minh rằng cỏ cặp số

tự nhiên X, r duy nhát sao cho ta có

ở chỗ là trong tập hợp số tự nhiên ^không phải bao giờ cũng thực hiản được phép trừ và phép chia Vì lý

do đó càn mả rộng tập hợp số tự nhiên đề cỏ những tập hợp số mới chửa tập hợp số tự nhiên mà trong đó bao giờ cũng thực k hiản được phép trừ và phép chia (không kề chia cho 0).Đó là tập hợp số nguyên và tập hợp số hữu tỉ Theo sự phát triền của lịch sử, thì con người biết phân sổ (tức sổ hữu tỉ dương) trước khi biết số

âm Nhưng ở đây ta giải quyết vẩn đề mở rộng tập hợp

sổ tự nhiên khác đi một chút Ta biết rằng tập hợp số

tự nhiên cùng với hai phép toán cộng và nhân là một

vị nhỏm cộng giao hoán v à một vị nhóm nhân giao hoán và phép nhân phân phối đối với phép cộng Ta thấy ngay rằng nếu ta có một tập hợp số chứa tập hợp

sổ tự nhiên, cùng với hai phép toán cộng và nhân như trong tập họp sổ tự nhiên, nhưng khác hơn là trong đỏ phép tinh trừ bao giờ cũng thực hiản được,

28

số tự n h i ê n t h à n h t r ư ờ n g số h ữ u tỉ Song cách giải quyết n h ư t r ê n của ta có t h u ậ n t i ệ n là từng bước ta được t r ọ n vẹn ngay từng cấu trúc số, ngày càng rộng h ơ n

§ 1 XÂY DỰNG VÀNH SỐ NGUYÊN

1 Định l ý 1 Có một vành z và một đơn ảnh f từ

tập hợp các sổ tự nhiên N đến z sao cho :

gi) ỉ vừa là đơn cấu nửa nhỏm cộng vừa là đơn cấu nửa nhóm nhân

b) Các phần tử của z có dạng f(a) — f(b) với a,b£zN

c) Cứp (Z, f ) xác định như trên là duy nhất sai khác

một đẳng cấu

Chứng minh: Ta chú ỷ rằng đinh lý trên đây chẳng

quạ là định lý về đ ổ i xứng hỏa nọa nhóm cộng các

ả6 t ự nhiên N thành nhóm cộng các ,số nguyên z, chỉ

cần trong khi thực hiện đ ố i xứng hóa ta xác định thêm

trong z phép nhân, ta sẽ được vành z

— Vành z Xét tập hợp tích A ' X N , trên đó ta xác

định một quan hệ tương đương s n h ư sau

(a, b) s (c, d) khi và chỉ khi a + d = b + c

29

Dễ dàng t h ử l ạ i được rằng s là một quan hệ ttftmg ị

đ ư ơ n g G ọ i z là tập h ợ p I h ư a n g c ủ a tập hợp N ỵ N trên j

quan hệ s M ỗ i phần t ử của z chửa cặp số (a, b) được ị

ký hiệu như thông thường là (a, b)

v à n h giao hoán với phần t ử không là (0,0) = (a, a) v ớ i

mọi a £ N, phần tử đơn vớ là (1,0) = (a',a) vời mọi

agzN (a' là số kề sau à), phần t ử đ ố i của (a,b) là (b,a)

— Ánh xạ f Ảnh xạ f được xác đớnh n h ư s a u :

f : N-+Z

và f là đơn á n h vì khi a =f= b a, t h ì (a, 0) 4* (6^0)

a) V i v ớ i mọi a,b^N ta cỏ

/•(a + 6) = (a + &, ỡ) =7ãTơ)+75TO) = /"(a) + /•(&) nên

/ là một đơn cấu nửa nhỏm cộng

L ạ i vì v ớ i m ọ i a, b^N ta có

f(ab) = (abj)) = ỘTÕ).(Ỉ>7ÕJ = /"(à)./•(&) nôn /"là một

đơn cấu nửa n h ó m n h â n

v à n h cun của z chứa tập hợp số tỉ n h i ê n N đ ề u trùng

xởi Z), v à đảo l ạ i mọi vành cực niu chứa tập hợp số tự nhiên N như là nửa nhóm con cộng và nửa nhóm con nhăn đầu trùng với z, (sai k h á c một đẳng cấu)

Chứng minh: a) Thật v ậ y giả sử Z' là một v à n h con

SỐ tỉ nhiên thì n ỏ c ư n g chứa m ọ i phần tử đ ổ i c ủ a các

s ố tỉ n h i ê n , do đ ó Z' trùng v ớ i z

31

b ) G i ả sử X là m ộ t v à n h cực t i ề u chứa t ậ p h ợ p c á c

sổ t ự n h i ê n À ' n h ư l à n ử a n h ó m c o n cộng v à n ử a n h ó m con n h ả n Ta x é t t ậ p h ợ p

trên gọi là vành số nguyền, n ó i m ộ t c á c h k h á c :

Vành sổ nguyên z lá vành cực tiêu chứa tập hợp lất cả các số tự nhiên N sao cho các phép toán cộng và nỉìân trong

z thu hẹp trong N trùng với các phép toán cộng và nhân

§ 2 TÍNH C H Ấ T C Ủ A VÀNH SỐ NGUYÊN

ì - VÀNH SẮP T H Ứ T ự

Định n g h í a Một vành giao hoán A cùng với một quan

hệ thử tự toàn phần « < » trên A được gọi là vánh sắp thứ

tự nếu các điều kiện sau đây được thỏa mần

* Nếu X, y €: z mà X < y t h ì , theo* định nghĩa, ta

Định n g h í a Các số nguyên X vù X + í , được qọi là số

kề nhau, X + í gọi /ù số kề sau X

V ớ i k ế t quả trên ta nói rằng v à n h số n g u y ê n z là

đ ư ợ c sắp thử tự rời rạc

I V — S ự SẮP T H Ứ T ự A c s i m é l

Với mọi cộp số nguyên Xy y mủ y >• 0, lất có mội số lự nhiên n sao cho nụ > X

Chứng minh : Thật v ậ y nếu X < 0 thì t a chỉ viắc láy

ti = Ì, c ò n nếu X > 0 thì la lẩy ri = X + Ì khi đ ó ta ó

uy = ( X + 1) í/ = T y + ý > xỵ > X / /

V ớ i kết quả n à y ta nói rằng vành sổ n g u y ê n z là một

vành sáp thứ tự Acsimét

34

số nguyên a sao cho X < a (theo t h ứ l ự T > a) bới

mọi X £ M

Mội bộ phận của vành số nguyên z gọi lù bị chặn nếu

nó bị chặn trên và bị chặn tìiríri

2 Mọi bộ phận khác rỗna và bị chặn trên (theo t h ứ t ự

bị chặn dưới) của vành số nguyên z đều có số lớn nhất

§ 3 LÝ T H U Y Ế T C H I A H Ế T TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN

ì — T Í N H C H I A H Ế T

Ta biết rằng vành số nguyên z là một m i ề n nguyên,

các xtởc của đơn vị là Ì và — 1 Ta nhắc l ạ i các tính

chất đơn giản d ư ớ i đây của tinh chia hết trong một

m i ề n nguyên phát biêu cụ thê trong vành số nguyên z

Việc chứng minh các tính chất ấy không có gì khó khăn

1 ỗịnh nghía Cho hai sổ nguyên a và b, v ớ i b=í=Q Nếu có một số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói rằng b chia hét a hay b là ước của a oà ký hiệu là b\a

Ta cũng nói a chia hít cho b hay a là bội của b và ký hiệu là a: b

2 ± ĩ\a với mọi z, ngoài ; t l ra khôngcòn số nguyên

nào có tính chất n à y

3 0 ' a với m ọ i a^z,a=4=0, ngoài số 0 ra không còn sỗ

nguyên nào cỏ tính chất n à y

4 a\a với mọi a€Z, a=f=0

5 b\a và a/b kéo theo a = 4 ; b

6 bịa và c/b kéo theo c\a

7 b\(ti, ì = 0,1 n kéo theo

Trong trường hợp r = 0 thì a = bq, tức là 6 chia hết

a, ta đã gọi ợ là t h ư ơ n g trong p h é p chia a cho b G i ả

s ử b â y giờ a = bq.+ r v à 0 < r I 6 I T a nói đó là một

p h é p c h i a c ó d ư , r gọi là số dư, q gọi là thương hạt trong p h é p chia a cho b

37

2 H ệ quả 1 Vành sổ nguyên z cừnq với ánh xạ

ơ c l i t n é n trong z có khái niệm ước chung l ớ n nhất

c ủ a n h i ề u số v à c ó thuật loàn ơ c l i t đê tìm ước chung lởn nhất D ư ớ i đ à y ta sẽ nêu lại các kết q u ả ve ư ớ c chung l ớ n nhất c ụ thề trong vành số n g u y ê n v à sẽ

b ỏ qua c á c chỉng minh d ễ

1 Định n g h í a , a) Một số nguyên được qọi là ước

chung của nhiêu số ri,, a 2 , ơn khi nó là ước cửa mỗi

số đó

b) Một ước chung d của các sổ a2, , a„ sao cho mọi

ước chung của <7|, a 2 , , «n đều là ước của d, thì được gọi là ước chụnq lớn nhất (ƯCLN) của dị, a 2 , , a n

c) Nếu í là ƯCLN của a lt a 2 ) íỉ n, thi các số ŨỊ, a 2 ,

a n gọi là nguyên tố cùng nhau Nếu ta còn có í là ƯCLN của mọi cặp số ơi, dị, i,j = í , 2, , n, í' =^= j , thì các số a,,

d i , : , a a gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một, hay nguyền

với tập hợp các ước của ƯCLN (nếu c ó ) của các s ố đ ộ Chú ý í T ậ p h ợ p tất cả các ưỏrc chung c ủ a các số

n g u y ê n Oi, a 2 , a n k h ô n g thay đ ố i khi ta t h ê m v à o hay

bớt đ i c á c s ỗ bằng 0 Vì vậy ta sẽ giả thiết rằng Oi 4= 0

v ớ i m ọ i ĩ = Ì, 2, , ÍT

38

Chú ý 2 N ế u ã là m ộ i ƯGLN của c á c số a,, a2, , a„ thi — d cũng là m ộ t ƯCLN của c á c sổ đ ỏ

H ơ n nữa n ế u d và ã' đ ề u là Ư C L N của ơi, a-i, , a a

tronq tập hợp các ước chung của tt,, a 2 , a n

C á c l í n h c h á t của ƯCLN sẽ cho ta t h ấ y r ứ n g đ ị n h nghĩa n à y t u ô n g đ ư ơ n g v ớ i đ ị n h n g h ĩ a đ ã n ê u ở t r ê n

n ế u k h ô n g k ê đ ế n sự sai k h á c v ề c á c số l i ê n k ế t

2 S ự tòn tại của ƯCLN

Định lý 5 Tôn tại ƯCLN của các số a u a 2 , , a a

Chứng minh: G ọ i A là i đ ê a n của v à n h số n g u y ê n z

sinh l a b ở i c á c số O i , di, , An- V ì z là m ộ t v à n h c h í n h ,

n ê n A là m ộ t i đ ế a n c h í n h , nghĩa là c ó d £ z đ ẽ cho ,1 = dZ, ả 4= 0 v ì cii=h 0 Ta có t h ề g i ả t h i ế t r ứ n g ả > 0,

ta sẽ c h ứ n g m i n h r ứ n g ả — a 2 , , ơn) T h ậ t v ậ y v ì

(li € A — dZ n ê n d\di v ớ i m ọ i ĩ = 1,2, , n, nghĩa là d là

m ộ i ư ớ c chung của ( l i , (li, , a n M ặ t k h á c v ì d (£Ị A và

.1 là i d ê a n s i n h ra b ở i a u a,, a n, n ê n c ó c á c số n g u y ê n

ÍT,, Xi, , x n sao cho d = à, T i + + On x n , do đ ó m ọ i

t r ó c c h u n g của n,, , a„ đ ề u l à "ước của á, v ậ y d là

Ư C L N của Oi, Oi, , a B /l

3 Các tinh chắt của ƯCLN

Si) Nêu đ ìa ƯCLN của các số ( l i , a>, , «„ thi tắt có những

số nqiựỊên Xi, x 2 , x n sao cho

ả = « , X , + « 2 Xì + + a a x n

39