Giáo trình Số học gồm có 7 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Xây dựng các tập hợp số; Lý thuyết chia hết trên tập số nguyên; Số nguyên tố và ứng dụng; Lý thuyết đồng dư; Hàm số học;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Õ❨ ❇❆◆ ◆❍❹◆ ❉❹◆ ❚❍⑨◆❍ P❍➮ ❍➬ ❈❍➑ ▼■◆❍ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙⑨■ ●➪◆ ●■⑩❖ ❚❘➐◆❍ ❙➮ ❍➴❈ ❚❙✳ P❍❆◆ ì ỗ ệ ệ ởt số ỵ tữớ ũ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❳❹❨ ❉Ü◆● ❈⑩❈ ❚❾P ❍ÑP ❙➮ ✸ ✶✳✶ ❙è tü ♥❤✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷ P❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸ ❙è ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✹ ❙è ❤ú✉ t➾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✺ ❚r÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✻ ❈❤✉➞♥ p✲❛❞✐❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ❤ú✉ t➾ ✶✳✼ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✽ ❚r÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✤➛② ✤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✾ ❙ü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✶✵ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ❤ú✉ t➾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữỡ ỵ tt t tr t sè ♥❣✉②➯♥ ✷✸ ✷✳✶ ❈❤✐❛ ❤➳t ✈➔ ❝❤✐❛ ❝â ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ìợ ợ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸ ❇ë✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✸✳✶ ❙è ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✸✳✷ ❉↕♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✸ ▲➟♣ ❜↔♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤ỉ♥❣ ✈÷đt q✉→ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❙è ♥❣✉②➯♥ tè ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✷✼ ❝❤♦ trữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✸✳✹ ❚❤ü❝ ❤➔♥❤ tr➯♥ ▼❛♣❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ữ tự ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✹✳✷ ❚➟♣ ❝→❝ ❧ỵ♣ t❤➦♥❣ ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✹✳✸ ❍➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ✈➔ ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ t❤✉ ❣å♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữỡ ỵ tt ỗ ữ ỵ rt ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✺✳✶ ❍➔♠ sè ❤å❝ t ố ữợ tờ ữợ ❝õ❛ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ✺✳✸ ❍➔♠ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✻✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✻✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P②t❤❛❣♦r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✼✳✶ Pữỡ tr ỗ ữ ởt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ữỡ tr ỗ ữ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ❈❤÷ì♥❣ ✺ ❍➔♠ sè ❤å❝ ✹✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ❈❤÷ì♥❣ ✻ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t ữỡ Pữỡ tr ỗ ữ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✹✺ ✹✾ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ì ề ị N ❚➟♣ ❤ñ♣ sè tü ♥❤✐➯♥ Z ❚➟♣ ❤ñ♣ sè ♥❣✉②➯♥ Q ❚➟♣ ❤ñ♣ sè ❤ú✉ t➾ R ❚➟♣ ❤ñ♣ sè t❤ü❝ C ❚r÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ Cp ❚r÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ p✲❛❞✐❝ C[x] ❱➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❤➺ sè ♣❤ù❝ f −1 (S) ❚➟♣ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ S q✉❛ f a|b a ữợ b gcd(a, b) ìợ ợ ♥❤➜t ❝õ❛ a ✈➔ b ✷ ▲❮■ ▼Ð ✣❺❯ ❙è ❤å❝ ❧➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➲ sè ✈➔ ❧➔ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝ê ①÷❛ ♥❤➜t ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❚r♦♥❣ ❙è ❤å❝ ♥❣÷í✐ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➔ ♥❤ú♥❣ q✉② t➢❝ t➼♥❤ t♦→♥ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣ sè✳ ❙è ❤å❝ ❧➔ ỹ tỗ t t ỳ t ỳ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❝❤÷❛ ❝â ❝➙✉ tr↔ ❧í✐✳ ❚r➯♥ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ t➻♠ ❦✐➳♠ ❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❣✐↔ t❤✉②➳t ✤â✱ ỵ tt ợ t s ❚r➯♥ ❝ì sð t❤❡♦ ❞ã✐ ✈➔ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➲ sè ❤å❝ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❤♦➦❝ ①✉➜t ❜↔♥ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ♥➔② ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ✤è✐ t÷đ♥❣ ❧➔ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ỳ ỡ s số rữợ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ sè ♥❤÷ sè tü ♥❤✐➯♥ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠ð rë♥❣ t➟♣ ❤đ♣ sè✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tổ ợ t ỵ tt trữớ trữớ tr ✈➔ ♠ỉ t↔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣ ✤➛② ✤õ ❝õ❛ tr÷í♥❣ số ỳ t ỵ strs ổ t t t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè ❤ú✉ t➾✱ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤ú✉ t➾ ❝❤➾ ❝â ❤❛✐ ❦✐➸✉ ❝❤✉➞♥ ✭s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✮ ❧➔✿ ❈❤✉➞♥ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ❝❤✉➞♥ ♣ ✲❛❞✐❝✳ ❉♦ ✤â✱ õ ữợ rở trữớ số ỳ t t❤➔♥❤ tr÷í♥❣ ✤➛② ✤õ✳ ◆➳✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝❤✉➞♥ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ✭❝❤✉➞♥ ❆❝s✐♠❡t✮ tr➯♥ t❤➻ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠ð rë♥❣ ❈❛♥t♦r✱ t❛ s➩ t❤✉ ✤÷đ❝ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈á♥ ♥➳✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝❤✉➞♥ ♣ ✲❛❞✐❝ ✭❝❤✉➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t✮ t❤➻ t❛ s➩ t❤✉ ✤÷đ❝ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè ♣ ✲❛❞✐❝✳ ❉♦ ✤â✱ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ✈➔ tr÷í♥❣ số ợ ợ tữ ❝→❝❤ ❧➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣ ✤➛② ✤õ ❝õ❛ tr÷í♥❣ sè ❤ú✉ t➾✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ♥➔② ❝á♥ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✤â♥❣ ✤↕✐ sè ✭♣❤ù❝ ❤♦➦❝ ♣ ✲❛❞✐❝✮ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t sè ❤å❝ tr➯♥ tr÷í♥❣ ❤➔♠✳ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❳❹❨ ❉Ü◆● ❈⑩❈ ❚❾P ❍ÑP ❙➮ ❈⑩❈ ◆❐■ ❉❯◆● ❚❘➴◆● ❚❹▼ ✶✳ ❙è tü ♥❤✐➯♥✳ ✷✳ ❙è ♥❣✉②➯♥✱ ❙è ❤ú✉ t➾✳ ✸✳ ❚r÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥❀ tr÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✤➛② ✤õ✳ ✹✳ ❚r÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t ✺✳ ❈➜✉ tró❝ tỉ♣ỉ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✤à♥❤ st ỵ strs tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ❤ú✉ t➾ ✼✳ ❈→❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❚r÷í♥❣ sè t❤ü❝ ✈➔ ❚r÷í♥❣ sè ♣✲❛❞✐❝✳ ✶✳✶ ❙è tü ♥❤✐➯♥ ❙è tü ♥❤✐➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❞♦ ♥❤✉ ❝➛✉ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ❝õ❛ ❝♦♥ ♥❣÷í✐ ❦❤✐ q✉❛♥ s→t ❝→❝ t÷ì♥❣ ù♥❣ − ❣✐ú❛ sè ❧÷đ♥❣ ❝→❝ sü ✈➟t✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝❤➼♥❤ ởt ợ tữỡ ữỡ t ủ õ ũ số tự t ủ ỳ ú tỗ t↕✐ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ❙è ✵ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠✉ë♥ ỡ ữủ q ữợ ỹ ữủ t rộ ❈✉è✐ t❤➳ ❦✛ ✶✾✱ P❡❛♥♦ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ sè tü ♥❤✐➯♥ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤➦t ❝❤➩ ❜➡♥❣ ❤➺ t✐➯♥ ✤➲✳ ◆â✐ ❦❤→❝ ✤✐✱ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t✐➯♥ ✤➲ P❡❛♥♦ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ◆❣÷í✐ t❛ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ỵ tt t ủ ❤➻♥❤ t❤ù❝ ✈➲ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝õ❛ P❡❛♥♦ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ tỗ t t P ủ số tü ♥❤✐➯♥ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ N ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët →♥❤ ①↕ σ : N → N ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦➳ t✐➳♣ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✹ s❛✉✿ ✶✮ ∈ N✳ ✷✮ σ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ →♥❤✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ n ∈ N, σ(n) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦➳ t✐➳♣ ❝õ❛ n✳ ✸✮ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦➳ t✐➳♣ ❝õ❛ ❜➜t ❦ý ♣❤➛♥ tû ♥➔♦ ❝õ❛ n✳ ✹✮ ❱ỵ✐ U ⊂ N ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t✿ ∈ N ✈➔ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ U ❦➨♦ t❤❡♦ σ(n) ∈ U t❤➻ t❛ ❝â U = N✳ ❈❤ó ỵ ữ t N ỗ tỷ ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ♣❤➛♥ tû ✵ ✈➔ →♥❤ ①↕ tỷ t ỵ ữ s❛✉✿ → σ(0) = → σ(1) = → σ(2) = → σ(3) = → · à à ú ỵ ứ t s r ỵ q ữủ t ữ s❛✉✿ ◆➳✉ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ P (n) ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n t❤ä❛ ♠➣♥ P (0) ✤ó♥❣ ✈➔ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ n✱ P (n) ✤ó♥❣ s✉② r❛ P (σ(n)) ❝ơ♥❣ ✤ó♥❣ t❤➻ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ P (n) ❧✉ỉ♥ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t U = {n ∈ N/P (n) ✤ó♥❣}✳ ❚❛ ❝â P (0) ✤ó♥❣✱ ❞♦ ✤â ∈ U ✳ ◆➳✉ n ∈ U ✱ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ P (n) ✤ó♥❣✱ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t P (σ(n)) ❝ơ♥❣ ✤ó♥❣✱ ❞♦ ✤â σ(n) ∈ U ✱ s✉② r❛ U t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t✐➯♥ ✤➲ P❡❛♥♦✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ U = N✳ ❉♦ ✤✐➲✉ ♥➔② ♥➯♥ t✐➯♥ ✤➲ ✹✮ ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t✐➯♥ ✤➲ q✉② ♥↕♣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ n + = n, n0 = 0✳ ●✐↔ sû m + n ✈➔ mn ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ m + σ(n) = σ(m + n), mσ(n) = mn + m ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✱ t❛ ❝â + n = n, 0n = n ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ + n = n ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣✳ ❱➻ + = ♥➯♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 0✳ ●✐↔ sû ❝â + n = n✱ t❛ ❝â + σ(n) = σ(0 + n) = σ(n)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✳ ✺ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✶✳ ỵ = (0) t õ (n) = n + 1✳ ✷✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✱ t❛ ❝â n + = + n = n, m0 = 0m = 0✳ ✸✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤đ♣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ m, n, r ∈ N✱ t❛ ❝â (m + n) + r = m + (n + r), (mn)r = m(nr) ✹✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ m, n ∈ N✱ t❛ ❝â m + n = n + m, mn = nm ✺✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ m, n, r ∈ N✱ t❛ ❝â m(n + r) = mn + mr ✻✳ ◆➳✉ m + n = t❤➻ m = 0, n = ✈➔ ♥➳✉ mn = t❤➻ m = ❤♦➦❝ n = P õ t ữợ ✈ỵ✐ ♠å✐ m, n, r ∈ N✱ ♥➳✉ m + r = n + r t❤➻ m = n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✶✮ ❚❛ ❝â σ(n) = σ(n + 0) = σ(n) + σ(0) = n + ✷✮ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ n + = n t❤❡♦ q✉② ♥↕♣✳ ❱➻ + = ♥➯♥ ♠➺♥❤ ✤➲ ❞ó♥❣ ✈ỵ✐ ♥❂✵✳ ●✐↔ sû ❝â n + = n✱ t❛ ❝â σ(n) + = σ(n + 0) = σ(n)✳ ❈→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ●✐↔ sû m, n ❧➔ ❝→❝ sè tü t õ m n tỗ t số tü ♥❤✐➯♥ x s❛♦ ❝❤♦ n = m + x✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺✳ ≤ ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t♦➔♥ ♣❤➛♥ tr➯♥ N✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❘ã r➔♥❣ ≤ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤↔♥ ①↕ ✈➔ ❜➢❝ ❝➛✉✳ ◆➳✉ m, n ∈ N s❛♦ ❝❤♦ n ≤ m ✈➔ m ≤ n✱ tỗ t x, y s m = x + n ✈➔ ✻ n = y + m✳ ❙✉② r❛ m + n = x + y + m + n✳ ❉♦ ✤â x + y = ♥➯♥ x = y = ♥➯♥ m = n✳ ❍❛② ≤ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤↔♥ ①ù♥❣✳ ❱➟② ≤ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü✳ ●✐↔ sû m ❧➔ ♠ët số tỹ tũ ỵ t U = {n ∈ N/m ≤ n ❤♦➦❝ n < m} ❚❛ ❝â ≤ m ♥➯♥ ∈ U ●✐↔ sû ❝â n ∈ U ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ m ≤ n ❤♦➦❝ n < m✱ t❛ ①➨t ✷ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿ ✭❛✮ ◆➳✉ m n t tỗ t x N s ❝❤♦ n = m + x ❤❛② n + = m + (x + 1)✱ ❞➝♥ ✤➳♥ m < σ(n)✳ ❙✉② r❛ σ(n) ∈ U ✳ ✭❜✮ ◆➳✉ n < m tỗ t y = 0, y N s❛♦ ❝❤♦ m = n + y ✳ ❉♦ y = tỗ t z s y = σ(z) = z + ❞➝♥ ✤➳♥ m = n + (z + 1) = (n + 1) + z = σ(n) + z ✳ ❙✉② r❛ σ(n) ≤ m ❤❛② σ(n) ∈ U ✳ ❚ø ✤✐➲✉ ♥➔② ✈➔ t✐➯♥ ✤➲ ✹✮ t❛ ❝â U = N✳ ❱➻ ✈➟② m s s ữủ ợ t ý tỷ ❝õ❛ N✱ ❤❛② ≤ ❧➔ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü t♦➔♥ ♣❤➛♥✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✻✳ ❚➟♣ N ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝â t❤ù tü tèt✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû S ⊂ N, S ̸= ∅ ✈➔ S ❦❤æ♥❣ ❝â ♣❤➛♥ tü ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✣➦t U = {a ∈ N/a < x∀x ∈ S}✳ ❚❛ ❝â ∈ U ✳ ◆➳✉ a ∈ U t❤➻ σ(a) ≤ x, ∀x ∈ S ✳ tỗ t x0 S s (a) = x0 t❤➻ S ❝â ♣❤➛♥ tû ♥❤ä ♥❤➜t✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ð tr➯♥✳ ❙✉② r❛ σ(a) < x, ∀x ∈ S ❤❛② σ(a) ∈ U ✈➔ ❞♦ ✤â U = N S = ổ ỵ N s➢♣ t❤ù tü tèt✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✼✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ õ t ữợ ợ tỷ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ m, n, r ∈ N, r ̸= 0✱ ♥➳✉ mr = mr t❤➻ m = n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû m ̸= n✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺ t õ tỗ t x N, x = s❛♦ ❝❤♦ m = n + x ❤♦➦❝ n = m + x✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➻♥❤ tê♥❣ q✉→t ❣✐↔ sû m = n + x✳ ❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t mr = nr s✉② r❛ xr = 0✱ t✉② ♥❤✐➯♥ r ̸= ❞➝♥ ✤➳♥ x = 0✳ ▼➙✉ t❤✉➝♥✳ ✼ ✶✳✷ P❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ✈➔ ✤÷đ❝ ♣❤→t ữợ s ỵ trữợ số tỹ n0 P (n) ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n ≥ n0 ✳ ●✐↔ sû P (n0 ) ✤ó♥❣ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ✱ ♥➳✉ P (n) ✤ó♥❣ s✉② r❛ P (n + 1) ✤ó♥❣✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ P (n) ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t U = {k ∈ N/k < n0 } ∪ {k ∈ N/P (k) ✤ó♥❣ }✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ t✐➯♥ ✤➲ ✹✮ t❛ ❝â U = N✳ ❱➻ ✈➟② ♠➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➼ ❞ư ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ 2n ≥ n + ✈ỵ✐ ♠å✐ n ỵ trữợ số tỹ n0 ✈➔ ♠➺♥❤ ✤➲ P (n) ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n ≥ n0 ✳ ●✐↔ sû P (n0 ) ✤ó♥❣ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ m ≥ n0 ✱ ♥➳✉ P (k) ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ k ♠➔ n0 ≤ k < m s✉② r❛ P (m) ✤ó♥❣✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ P (n) ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ n0 ự ữỡ tỹ ỵ ố ỹ số t ỗ tø ♥❤✉ ❝➛✉ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x + a = b, a, b ∈ N ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❜❛♦ ❣✐í ❝ơ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ N✳ ❉♦ ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ ♠ð rë♥❣ t➟♣ ❤đ♣ sè tü ♥❤✐➯♥ s❛♦ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❣å✐ ❝❤ó♥❣ ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❳➨t t➟♣ t➼❝❤ ✣➲❝→❝ N × N = {(a, b)/a, b ∈ N}✳ ❚r➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ ♥➔② t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ∼✱ ữ s (a, b), (c, d) N ì N : (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c ❑❤✐ ✤â✱ ∼ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ tữỡ ữỡ N ì N t ợ tữỡ ữỡ ộ ợ ữủ ỵ (a, b) ợ (a, b) N ì N ỵ Z = N ì N ữỡ tr ỗ ữ ởt ữỡ tr ỗ ữ ởt õ f1 (x) f2 (x) ≡ 0(mod m1 ) ≡ 0(mod m2 ) ✭✼✳✷✳✶✮ fk (x) ≡ 0(mod mk ) ▼ët sè ♥❣✉②➯♥ x0 ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✼✳✷✳✶✮ ♥➳✉ t❛ õ ỗ ữ tự fi (x0 ) 0(mod mi ), ≤ i ≤ k ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr ỗ ữ t tt ữỡ tr ỗ ữ ữủ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ✭tr➯♥ Z✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ trị♥❣ ♥❤❛✉✳ ❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ ♣❤➨♣ t❛ ❣✐ỵ✐ t ữỡ tr ỗ ữ tr ởt t ữ m ợ m ❧➔ ❜ë✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ m1 , , mk ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✼✳✷✳✷✳ ◆➳✉ α ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✼✳✷✳✶✮ t❤➻ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû tr ợ t ữ []m ợ m = lcm(m1 , , mk )✱ ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✼✳✷✳✶✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ α ❧➔ ♥❣❤✐➯♠ ❝õ❛ t õ ỗ ữ tự fi (α) ≡ 0(modmi ), ≤ i ≤ k ❱ỵ✐ ♠å✐ β ∈ [α]m t❛ ❝â α ≡ β(modm)✳ ❉♦ ✤â fi (α) ≡ fi (β)(modm), ≤ i ≤ k ✳ ❙✉② r❛ fi (β) ≡ fi (α) ≡ 0(modmi ), ≤ i ≤ k ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ β ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✼✳✷✳✶✮✳ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✼✳✷✳✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â r ♥❣❤✐➺♠ ♠♦❞✉❧♦ m ♥➳✉ ♥â ❝â ✤ó♥❣ r ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ♠♦❞✉❧♦ m ♥➔♦ ✤â✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❞↕♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ ✺✸ tr➻♥❤ ỗ ữ t ởt ử ữỡ tr ỗ ữ ủ số ữỡ tr ỗ ữ t s t tr ữỡ tr ỗ ữ t ởt ❝â ❞↕♥❣✿ x x ≡ b1 (mod m1 ) ≡ b2 (mod m2 ) ✭✼✳✷✳✷✮ x bn (mod mn ) ỵ ❤➺ ✭✼✳✷✳✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t❤➻ ♥â s➩ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ♠♦❞✉❧♦ m✱ ✈ỵ✐ m = lcm(m1 , , mn )✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû α ✈➔ β ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✼✳✷✳✷✮✱ ❞♦ t➼♥❤ ❜➢❝ q ỗ ữ t ữủ ≡ β(modmi ), ≤ i ≤ n ❚ø ✤â s r (modm) ỵ s t ởt ữỡ tr ỗ ữ õ ỵ ỵ ❞÷ ❚r✉♥❣ ❍♦❛✮✳ ❈❤♦ m1, m2, , mn ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ ✈➔ ✤ỉ✐ ♠ët ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✱ a1 , a2 , , an ❧➔ ❝→❝ số t ý õ tỗ t số x tọ ữỡ tr ỗ ữ s x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) x ≡ an (mod mn ) ◆➳✉ x ✈➔ x0 ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ tr➯♥ t❤➻ x ≡ x0 (mod M)✱ ✈ỵ✐ M = m1 m2 mn ✳ ✺✹ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t ki = m1 mi−1 mi+1 mn ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ki ✈➔ mi ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ tỗ t số si , ti s❛♦ ❝❤♦ si ki +ti mi = 1, s✉② r❛ si ki ≡ 0(modki ) ✈➔ si ki ≡ 1(modmi )✳ ❱➻ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ m1 mi−1 mi+1 mn ữợ ki ♥➯♥ xi = si ki ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ xi ≡ 0(mod m1 ) xi ≡ 1(mod mi ) xi ≡ 0(mod mn ) ❈❤♦ i ❝❤↕② tø ✶ ✤➳♥ n ✈➔ ✤➦t x = a1 x1 + · · · + an xn ❑❤✐ ✤â x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❝á♥ ❧↕✐ ữủ s r tứ ỵ r trữớ ủ tờ qt ỵ s t ữỡ tr ỗ ữ õ ỵ ữỡ tr ỗ ữ ✭✼✳✷✳✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ gcd(mi , mj ) ❝❤✐❛ ❤➳t bi − bj ✈ỵ✐ ♠å✐ i ̸= j ✳ ✺✺ ❇⑨■ ❚❾P ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✶✳ ❈❤♦ a ❧➔ ♠ët sè ❤ú✉ t➾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ a ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ |a|p ≤ 1✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè p✳ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❝❤✉➞♥ ϕ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ K ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ϕ(n) ≤ ∀n ∈ N✳ ◆➳✉ t❤❛② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ϕ(n) ≤ ∀n ∈ N ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ϕ(n0 ) ≤ 1✱ ✈ỵ✐ n0 > ❧➔ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤â✱ t❤➻ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ tr➯♥ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♥ú❛ ❦❤ỉ♥❣❄ ✸✳ ❈❤♦ ϕ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ tr÷í♥❣ K ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ϕ ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❦❤æ♥❣ ❆❝s✐♠❡t tr➯♥ K ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ϕ(2) ≤ 1✳ ✹✳ ❈❤♦ ϕ, ψ ❧➔ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ tr÷í♥❣ F ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ϕ, ψ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∀x ∈ F, ❉ị♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ✤➸ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ ✈➔ ổ tữỡ ữỡ ợ tr trữớ số ỳ t➾✱ ✈ỵ✐ ✈➔ ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ Pt ự ỵ t ❣✐→❝ ❝➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t✳ ▲➜② ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤♦↕ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè ❤ú✉ t➾✳ ✻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤❛✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❦❤ỉ♥❣ ❆❝s✐♠❡t ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉✱ ❤♦➦❝ ❝❤ù❛ ♥❤❛✉✳ ✼✳ ❈❤♦ ϕ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ ❦❤æ♥❣ st tr trữớ số ỳ t ự r tỗ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t sè ♥❣✉②➯♥ tè p s❛♦ ❝❤♦ ❝❤✉➞♥ tữỡ ữỡ ợ p ự ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♠å✐ tr÷í♥❣ ❝â ✤➦❝ sè ✵ ✤➲✉ ❝❤ù❛ trữớ ởt trữớ ợ trữớ số ỳ t ữỡ ự ợ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤➻ n5 − n ✈➔ n3 + 5n ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✻✳ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ 15 + 25 + 35 + · · · + n5 ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ + + + · · · + n✳ ✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ | n(2n + 7)(7n + 1)✳ ✳ ✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ (a9 + b9 + c9 )✳✳9 t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ sè a, b, c ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (x−y)5 +(y −z)5 +(z −x)5 | 5(x−y)(y −z)(z −x)✳ ✻✳ ❈❤♦ x, y ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦✿ x3 + x | xy − 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r tỗ t số z s x + y + z = xyz ✳ ✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ n sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝â ♠ët ✈➔ ❝❤➾ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ n❀ ❚r♦♥❣ n + số tũ ỵ õ ổ õ t t sè ❝â ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ n✳ ✽✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ m − n ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ am + bn t❤➻ m − n ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ an + bm, tr♦♥❣ ✤â a, b, m, n ∈ Z✳ ✾✳ ❈❤♦ ❛✱ ❜ ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ ◆➳✉ a2 + b2 ❝❤✐ ❤➳t ❝❤♦ ✸ t❤➻ ❝↔ a ✈➔ b ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸❀ ❜✮ ◆➳✉ a2 + b2 ❝❤✐ ❤➳t ❝❤♦ ✼ t❤➻ ❝↔ a ✈➔ b ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼✳ ✶✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tê♥❣ ❝õ❛ ✸ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸❀ ❚ê♥❣ ❝õ❛ n sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ (n ≥ 1) ❝â ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ n ❦❤ỉ♥❣❄ ✶✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✤➙② ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥✳ ❛✮ x2 + = 3y ❀ ❜✮ x2 + = 5y ✶✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (n + 1) · · · (n + n) ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 2n ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 2n+1 ợ n số ữỡ ự ♠✐♥❤ r➡♥❣ gcd(8a + 13b, 3a + 5b) = gcd(a, b)✱ ✈ỵ✐ a, b ∈ Z✳ ✶✹✳ ❚➻♠ d = gcd(a, b) ✈➔ t➻♠ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ u, v s❛♦ ❝❤♦ d = au + bv tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉✿ ❛✮ a = 786 ✈➔ b = 285❀ ❜✮ a = 1365 ✈➔ b = 2205 ✶✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a, b ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ a ± b, ab ✈➔ 2a + b, a(a + b) ❧➔ ❝→❝ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ✶✻✳ ❚➻♠ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ a, b t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ a + b = 432 ✈➔ gcd(a, b) = 36; ❜✮ ab = 4800 ✈➔ gcd(a, b) = 20 ✶✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ a, b s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❛✮ a = 21m + ✈➔ b = 14m + 3; ❜✮ a = m3 + 2m ✈➔ b = m4 + 3m2 + 1; ❝✮ a = m2 n + 2m ✈➔ b = mn + 1✳ ✶✽✳ ❈❤♦ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ a, b, c t❤ä❛ ♠➣♥ a ≤ b ≤ c, b = aq1 + r1 ✱ c = aq2 + r2 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ gcd(a, b, c) = gcd(a, r1 , r2 )✳ ⑩♣ ❞ö♥❣✱ t➼♥❤ gcd(1248, 1794, 2730) ✶✾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ ❛✮ ❚ê♥❣ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜❛ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✾❀ ❜✮ ❚➼❝❤ ❝õ❛ s→✉ sè ♥❣✉②➯♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼✷✵✳ ✷✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r tỗ t ổ số tỹ n s ❝❤♦ 4n2 + ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ❝↔ ✺ ✈➔ ✶✸✳ ✷✶✳ ❉➣② sè F1 , F2 , ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ♥➳✉ F1 = F2 = 1✱ Fn = Fn−1 + Fn−2 ✱ n > 2✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✺✽ ❛✮ Fn ✈➔ Fn+1 ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1; ❜✮ ◆➳✉ gcd(m, n) = d t❤➻ gcd(Fm , Fn ) = Fd ❀ ❝✮ Fm | Fn ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ m | n❀ ❞✮ ❉➣② ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ❝❤ù❛ ♠ët t➟♣ ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ✷✷✳ ❈❤♦ a, m, n ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ gcd(am−1 , an−1 )) = agcd(m,n) − ✷✸✳ ❚➻♠ ❝→❝ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ a ✈➔ b s❛♦ ❝❤♦ gcd(a, b) = 24 ✈➔ lcm(a, b) = 2496 ✷✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ m t❛ ❝â✿ ✳ ❛✮ m3 + 11m✳✳6❀ ✳ ❜✮ m5 − m✳✳30❀ ✳ ❝✮ m5 − 5m3 + 4m✳✳120 ✷✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❧➫ m t❛ ❝â✿ ✳ ❛✮ m3 + 3m2 − m − 3✳✳48❀ ✳ ❜✮ m12 − m8 − m4 + 1✳✳512✳ ✷✻✳ ❈❤♦ a, m, n, a ̸= ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (an −1) | (am − 1) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ n | m✳ ✷✼✳ ❈❤♦ a, b ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 5✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ pa4m + qb4m ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✺ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ p + q ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✺✳ ✷✽✳ ❈❤♦ a, b ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ab(a2 + b2 )(a2 − b2 ) ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✵✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✺✾ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ n > 1✱ ❝→❝ sè ❝â ❞↕♥❣ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❤ñ♣ sè✳ ❛✮ n4 + 4; ❜✮ n4 + n2 + ✷✳ ❈❤♦ ♣ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ p2 − ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✷✹✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ♥➳✉ p, q ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✸ t❤➻ p2 − q ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✷✹✳ ✸✳ ❈❤♦ 2n − ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ n ❝ô♥❣ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✹✳ ❈❤♦ n4 + ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ n = 1✳ ✺✳ ❈❤♦ 2n − ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ✭n > 3✮✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ 2n + ❧➔ ♠ët ❤ñ♣ sè✳ ✻✳ ❈❤♦ p ✈➔ 9p − ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ 8p + ❧➔ ❤ñ♣ sè✳ ✼✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n > 1✱ sè n5 + n4 + ❧➔ ♠ët ❤ñ♣ sè✳ ✽✳ ●✐↔ sû p1 , p2 , , pn , ❧➔ ❞➣② sè ♥❣✉②➯♥ tè t➠♥❣ ❞➛♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ ❛✮ pn+1 < p1 p2 · · · pn ❀ ❜✮ pn > 2n∀n > 4✳ ✾✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè p s❛♦ ❝❤♦ 8p2 + ✈➔ 8p2 − ✤➲✉ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✶✵✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè p s❛♦ ❝❤♦ 3p + p2 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✶✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè p s❛♦ ❝❤♦ p + 2, p + 6, p + 8, p + 11 ✤➲✉ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✶✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r tỗ t ổ số số tố õ 4m + 3✳ ✻✵ ✶✸✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè p, q t❤ä❛ ♠➣♥ p2 − 2q = 1✳ ✶✹✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tèt p s❛♦ ❝❤♦ 2p + ❧➔ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ac ≡ bd (mod m) , a ≡ b (mod m) , gcd(a, m) = t❤➻ c ≡ d (mod m)✳ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ 2a+11b 19 ∈ Z ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ 5a+18b 19 ∈Z ✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ t❛ ❝â ✳ ❛✮ 42n + 3n + 2✳✳3; ✳ ❜✮ 24n − 1✳✳15 ✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ m ✈➔ n ❧➔ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧➫✱ t❛ ❝â 1n + 2n + · · · + mn ≡ (mod m)✳ ✺✳ ❈❤♦ p ❧➔ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❛✮ p ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè❀ ❜✮ Cpk ≡ 0(mod p) ✈ỵ✐ ♠å✐ k = 1, 2, , p − k ❝✮ Cp−1 ≡ (−1)k (mod p) ✈ỵ✐ ♠å✐ k = 1, 2, , p − ✻✳ ❈❤♦ m ✈➔ n ❧➔ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a ≡ b(mod mn ) t❤➻ am ≡ bm (mod mn+1 ) ự r ộ ỗ m số ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✤➲✉ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ♠♦❞✉❧♦ m✳ ✽✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ♠♦❞✉❧♦ ✽ ❞↕♥❣ 3x − ✾✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ❝→❝ sè ax1 +b, ax2 +b, , axm +b ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ♠♦❞✉❧♦ m t❤➻ ❝→❝ sè x1 , x2 , , xm ❝ơ♥❣ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ ✤➛② ✤õ ♠♦❞✉❧♦ m ✭ð ✤â a, b ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ trữợ ự {5, 52 , 53 , 54 , 56 }❧➔ ♠ët ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ t❤✉ ❣å♥ ♠♦❞✉❧♦ ✼✳ ✶✶✳ ❈❤♦ m ✈➔ n ❧➔ ❤❛✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ ✈➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ mϕ(n) + nϕ(m) ≡ 1(mod mn)✳ ✶✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a1 + a2 + · · · + an ≡ 0(mod 30) t❤➻ a51 + a52 + · · · + a5n ≡ 0(mod 30) ❈❤÷ì♥❣ ✺ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ ❙è tü ♥❤✐➯♥ n > ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ τ (n) = 2; ❜✮ ❙è tü ♥❤✐➯♥ n > ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ σ(n) = n + 1✳ ✷✳ ❙è ♥❣✉②➯♥ ♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ♥➳✉ σ(n) = 2n ự r ổ tỗ t số ❝❤➾♥❤ n ♠➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉ ❛✮ n = pα ❀ ❜✮ n = p3 q ✸✳ ❙è tü ♥❤✐➯♥ n ≥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè t❤✐➳✉ ♥➳✉ σ(n) < 2n✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè t❤ø❛ ♥➳✉ σ(n) > 2n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ ▲ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧➔ ♠ët sè t❤✐➳✉❀ ❜✮ ❈â ✈æ sè sè tü ♥❤✐➯♥ t❤ä❛ ♠➣♥ σ(n) = 2n − 1; ❝✮ ố õ ữợ tố ũ ❧➔ sè t❤✐➳✉✳ ✹✳ ❈❤♦ p ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ p ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ϕ(p) = p − 1✳ ✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ ◆➳✉ m | n t❤➻ ϕ(m) | (n); ❜✮ ϕ(mα ) = mα−1 ϕ(m) ✻✷ ✻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ n > t❛ ❝â ϕ(n) ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥ ✼✳ ●å✐ m = lcm(a, b)✱ d = gcd(a, b)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ ϕ(ab) = dϕ(m); ❜✮ ϕ(ab)ϕ(d) = dϕ(a)ϕ(b); ❝✮ ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(m)ϕ(d) ❈❤÷ì♥❣ ✻ ✶✳ ●✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ 73x − 41y = 1; ❜✮ 32x − 48y = 112; ❝✮ 114x − 41y = 5; ❞✮ 38x + 117y = 109❀ ❡✮ 43x + 47y = 50; ❢✮ 83x − 79y = 105; ❣✮ 1657x + 367y = 23; ❤✮ 7959x − 2754y = ✷✳ ❚➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ x + 2y − 3z = 0; ❜✮ 2x + 3y − 5z = 15; ❝✮ 2x − 5y + 2z = 10; ❞✮ 3x + 4y + 5z = 25 ✸✳ ●✐↔✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ t❤❡♦ t❤❛♠ sè ♥❣✉②➯♥ ♠ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ 6x − 11y = m + 2; ❜✮ 3x + my = 3; ❝✮ 3x + (2m − 1)y = m + 1; ❞✮ 15x − 25y = 2m − ✻✸ ✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ✤➙② ❝â ✈ỉ ❤↕♥ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❛✮ x3 + y + z = x2 + y + z ✳ ❜✮ x4 + y + z = 2t4 ❝â ✈ỉ ❤↕♥ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥✳ ✺✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ s❛✉✿ x3 + 5z(x2 + y ) = ✻✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ tr➯♥ t➟♣ sè tü ♥❤✐➯♥✿ x2 y + = z2 25 ❈❤÷ì♥❣ ✼ ✶✳ ❈❤♦ p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ p✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ax ≡ b(mod p) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ x ≡ b(−1)a−1 (p − 1)(p − 2) · · · (p − a − 1) (mod p) a! ữỡ tr ỗ ữ s ❛✮ 3x ≡ 7(mod 8)❀ ❜✮ 5x ≡ 4(mod 11)❀ ❝✮ 7x ≡ 6(mod 13)❀ ❞✮ 13x ≡ 1(mod 27)✳ ữỡ tr ỗ ữ s 6x ≡ 27(mod 33)❀ ❜✮ 10x ≡ 15(mod 65)❀ ❝✮ 18x ≡ 6(mod 42)❀ ❞✮ 14x ≡ 25(mod 70)✳ ✹✳ ữỡ tr ỗ ữ s (a + b)x ≡ a2 + b2 (mod ab)✱ ✻✹ ❜✮ (a + b)2 x ≡ a2 − b2 (mod ab)✳ ✈ỵ✐ ❛ ✈➔ ❜ ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ tố ũ ổ ỗ ữ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ 31x − 43y = 5; ❜✮ 79x − 13y = 27; ❝✮ 132x + 37y = 78; ❞✮ 1998x + 2003y = 1945 ổ ỗ ữ ữỡ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡ s❛✉ ✤➙②✿ ❛✮ 65x − 200y = 7m + 24❀ ❜✮ 147x + 301y = 13m + 20✱ ợ m ởt số trữợ ữỡ tr ỗ ữ s x ≡ 5(mod 7) x ≡ 7(mod 11) ❜✮ 5x ≡ 4(mod 11) 11x ≡ 8(mod 13) ❝✮ x ≡ 7(mod 10) x ≡ 6(mod 21) ❞✮ 3x ≡ 1(mod 35) 5x ≡ 7(mod 12) ✻✺ ✽✳ ữỡ tr ỗ ữ s x ≡ 4(mod 5) x ≡ 2(mod 7) x ≡ 3(mod 13) ❜✮ 3x ≡ 5(mod 7) 2x ≡ 3(mod 5) 5x ≡ 1(mod 9) ❝✮ x ≡ a(mod 3) x ≡ b(mod 5) x ≡ c(mod 7) ✾✳ ❚➻♠ sè tü ♥❤✐➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ♥â ❝❤♦ ✸❀ ✺❀ ✼ ✈➔ ✶✶ t❛ ✤÷đ❝ sè ❞÷ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✶❀ ✷❀ ✸ ✈➔ ✾✳ ✶✵✳ ❚➻♠ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✺ ✈➔ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❧➛♥ ❧÷đt ❝❤♦ ✷❀ ✸❀ ✹ ✤➲✉ ❝â sè ❞÷ ❧➔ ✶✳ ✶✶✳ ✳ ❱ỵ✐ a ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ trữợ ữỡ tr ỗ ữ s ✤➙②✿ ❛✮ x ≡ a(mod 6) x ≡ 1(mod 8) ✻✻ ❜✮ x ≡ 2(mod 6) x ≡ a(mod 8) ❝✮ ❛✮ 2x ≡ a(mod 4) 3 ≡ 4(mod 10) ... ữỡ t ủ số õ ởt ữợ ữỡ tt sỹ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû n ❧➔ ♠ët ủ số p ởt ữợ ữỡ tt sỹ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ n✳ ◆➳✉ p ❦❤æ♥❣ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤➻✱ ❞♦ p > 1, p ❧➔ ♠ët ❤ñ♣ số õ tỗ t ởt số < a ✤➲✉ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ✤÷đ❝ ♠ët t s tự tỹ ữợ k n= pα1 · · · pαk k pαi i =