Có nhiêu cách đổ xác lịnh một tạ p hợp.. Ta nới jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ịhàn xạ.. Y lả hai tập hạp.. Các ví dụ tiếp theo đ â y không còn các tín h chất đó nửa.5 Phạm trù
^ \ Á/ị, o 2* I o y íiria i B ộ S Á C H C A O H Ọ C V IỆ N T O Á N H Ọ C NGUYỄN T ự CƯỜNG GIÁO TRÌNH Ạ l S C õ ;iĩ Hà Nộ i Ổ ' H I Ệ N Đ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ạ BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN T ự CƯỜNG V iện T oán học Trung tủm Khoa học Tự nhiên Cơnạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư GIÁO TRÌNH ĐẠI SƠ HIỆN ĐẠI • • • Phần I: Đại sô trừu tượng NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP G S T R Ầ N Đ Ứ C VÂN {Chú tịch) P G S P H A N H U Y K H Ả I { T h ký) GS HÀ HUY KHOÁI GS PHẠ M H Ữ U SÁCH G S N G Ô V IỆ T T R Ư N G G S H O À N G TỤ Y G S Đ Ỗ L O N G V ÂN MỤC LỤC T rang M Ờ ĐAU C h n g I S L Ư Ợ C V Ê L Ý T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P §1 T ậ p h ợp phép toán tậ p hợp §2 Ánh x 11 §3 Q uan hệ 12 §4 T ậ p hợp tư n g đ n g 15 §5 Tiên đề chọn m ệnh đề tương đư ơng Bài tậ p 17 .20 C h n g II N H Ó M 22 §1 Định nghĩa ví dụ nhóm 22 §2 Nhóm con, Định lý Lagrange 25 §3 Nhóm chuẩn tắc 29 §4 Đồng cấu n h ó m 31 §5 Phạm trù hàm t 36 §6 Nhóm Abel hữ u hạn sinh Bài tậ p 47 58 C h n g III V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63 §1 Các định nghĩa ví d ụ 63 §2 Iđêan đồng cấu vành 67 §3 V ành giao h o n 72 §4 Vành p h ân th ứ c §5 Vành đ a th ứ c 78 83 §6 V ành G a u ß 87 Bài tậ p 92 i Giáo trình đ i s ố h iệ n đ i I * * C h n g IV M Ơ Đ U N 97 §1 Các định nghĩa ví dụ 97 §2 Đồng c ấ u §3 T ổ ng v tích trự c tiếp 102 105 §4 Dãy hợp th àn h, Định lý J o rd a n -H ö ld e r-S c h n e id e r I l l §5 Tích ten x 116 §6 Dãy khớp Bài tậ p 122 129 C h n g V M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G IA O H O Á N §1 M ơđun nội x 133 133 §2 M rộng cốt yếu v bao nội x 140 §3 M ơđun x ảnh 146 §4 M ơđun N o e t h e r 153 §5 M ơđun A r t i n §6 P h â n tích m đ u n nội x Bài tậ p 159 165 169 T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O 173 C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A 175 M Ờ ĐẦU Có thể nói lằ n g ngành toán học đại ngày qu trình p h t triển đ ều cần tới cấu trúc đại số t ấ t nhiên nhữ ng hiểu biết sâu sắc cấu trú c Điều nàv củng dễ hiểu, t a biết lằ n g hai đặc trư ng n h ấ t toán học tính trừ u tư ợ n g tính tổ ng quát, mà hai đặc tính lại biểu m ột cách rõ ràng n h ấ t đại số Đã có nhiều sách đại số tác giả Việt Nam dịch từ tiếng nước đưực x uất bàn Việt Nam, số có nhiều đ ã tr th n h kinh điển sử dụng làm giáo trìn h giảng dạy, th a m khảo cho sinh viên học toán khắp th ế giới Vì vậy, viết giáo trình đại số m ột việc làm khó khàn, n h ấ t tác giả không muốn rập khuôn hay chép lại từ ng phần giáo trìn h đ ã có Cuốn sách đư ợc viết d ự a trê n giảng đại số cùa tác giả vòng 10 năm tr lại đ âv cho học viên cao học nghiên cứu sinh Viện Toán học m ột số trư n g đại học nước, giảng năm gần cho lớp cử n h ân tài thuộc T rư ờn g Đại học Khoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia H Nội Nó đư ợc viết hướng tới hai mục tiêu: Mục tiêu đ ầ u tiên, giống giáo trìn h đại số, n h ằ m cung cấp cấu trú c đại số n h ấ t m khơng địi hỏi người đọc phải có b ất kiến th ứ c chuẩn bị đại số trư c ngoại tr m ột chút u thích tốn học Mục tiêu th ứ hai cùa sách trìn h bày khái niệm, cấu trú c đại số m ột ngôn ngữ tô n g qu át, thống n h ấ t với trọng nhiều h ơn các' tính phơ dụng khái niệm Nói cách khác, tá c giả m uốn người đọc nhận th ấ y mối qu an hệ qu a lại khái niệm, cấu trú c đại số khác khuyến khích cho nh ữ ng t tổng quát, tr u tư ợ n g h n Do đó, giáo trìn h đ ợ c viết theo phương pháp t t r u tư ợ n g đ ến cụ thè, m ột việc làm trái với h ầu h ết sách đại số trư c Bù lại, phương p h p cho phép t a có m ột cách nhìn tổ ng th ể hơn, r ú t ngắn đán g kế cách trìn h b ày dễ đàng đ a cấu trú c khác n h a u vào tro n g khái niệm giúp người đọc làm quen với phương ph áp t hình th ứ c Giáo trình đai s ổ hiên đai phương pháp quan trọng n h ấ t đại số Tuy nhiên đẽ giảm hớt tính hình thức, sau khái niệm tr u tư ợ n g cố gắng đ a nhióu ví dụ khác n h ằ m giúp cho người đọc dễ hình dung tiếp nh ận ill rực khái niệm Sách bao gồm chương C hương I trìn h bày vắn t ắ t ve lý rh u y ết tậ p hợp, ánh xạ, quan n h ằ m thố n g n h ấ t ký hiệu tiện cho chirưng Trong chương II vé lý thuyết nhóm, chúng tịi bỏ qu a n h n g cấu trúc nửa nhóm, tiền nhóm m vào định nghĩa nhóm C h ú n g tỏi củng bỏ qua phần lý th u vết nhóm h ữ u hạn mà (lành trìn h bày kỹ liưn vê cấu trú c nhóm Abel hữ u han sinh K hái niêm p h ạm trù hàrn tư cũn» đ ư c đ a vào chương n h ằm phục vụ cho cho việc định nghĩa khái niệm quan trọng m ang tính phố d ụng đại số suốt, giáo trin h cách n h ấ t quán Trong chương III lý th u y ế t vành, có m ột ý trono đ ịn h nghĩa vành ta đòi hỏi tồn ph ần t đ n vị đ ây đ iề u m nhiều giáo trình đại số khác khơng (lịi hổi Lý giải thích cho việc giáo trình đư ơc viết thiên nhiều vàn h giao hoán C h n g IV trìn h bày định nghĩa khái niệm bàn lý th u y ế t m ô đ u n cấu trú c quan trọng n h ấ t đại số Hai h m t q u an trọng n h ấ t lý th u y ế t m oduli hàm từ Hom ten xơ n h tín h ch ất đ n giản đ ầ u tiên chúng xét đ ến chương C hư ng cuối d n h cho việc trìn h bày cấu trú c m ột số lớp m ô đ u n đặc biệt quan trọ n g m ô đ u n nội xạ m ó đ u n xạ ảnh, m ỏ đu n N oether A rtin trê n vành giao hoán N hư hai chương cuối giáo trìn h cỏ th ể xom nliư m ột sir chuấn bị kiến th ứ c khời (Táu cho nhữ ng đọc giả có Ý đ ịn h tiếp tục sâu vào nghiên cứu n g àn h quan trọng cùa đ ại số n h Lý th u y ế t m ô đ u n trê n vành kết hợp Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán Cuối mỏi chương cù a sách đ ều có phần tậ p đ ợ c chọn lọc Các tậ p không đò’ người đọc giải n h ằm t ự kiêm tr a tiếp th u n h ữ n g điều học, m nhiên tậ p bô sung hay m lộn g kiến th ứ c chưa có tro n g sách Vì th ự c có ích người đọc giải đ ợ c nhiều tập Cuốn sách đ ợ c viết với mục đích có thè dùng làm giáo trìn h đại số cho cho lớp cao học dùng làm sách th a m khảo cho n h ữ n g sinh viên học ngành to n lý th u y ế t nghiên cứu sinh T uy Ìiliiõn M đầu khái niệm đư ợ c định nghĩa từ đầu, nên có th ể bơ ích cho nhữ n g muốn học thêm vồ đại số Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận nhiều kiến th ứ c đại số đại cương m ột ngón ngữ đại sách nhỏ m ột việc làm khó trá n h khỏi có nhiều th iếu sót Vì vậy, tác già mong muốn nhận đ ợ c nhận xét, góp ý đồng nghiệp đọc giả th iếu sót sách Tác giả xin chân th n h cảm ƠI1 PGS TSKH Lê T uấn Hoa đ ã đọc kỹ toàn th ảo đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để sách đư ợc tố t Tác giả xin chân th n h cảm ơn GS vs Nguyễn Văn Đạo đ ã quan tâ m đ ến hộ sách cao học Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học T ự nhién Nhà x u ấ t Đại học Quốc gia Hà Nội đ ã giúp đ ỡ đê' sách đ ợ c x u ất T c g iả Chương I s LƯỢC v'Ẻ • l ý t h u y ế t t ậ• p h ợ• p Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu (hún g ta sị trình bày cách sơ lưực tậ p hợp ánh xạ quan hẹ n h àm mục đích llumg nliất ký liiộu thuật ngữ (lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, Phần cuối cua chương hàn dạng ti r a n t (hrưii" khác n ia t it'll đe chọn Vì chưa tìm th ấ y tài liệu tie n s Yii'l có rliứiiu, minh đầy d ù cho tư ơng (lương nôn dư a mọt clnrnti, minh đè bạn đọc tham kliào thêm (¡1 T âp h p v p h ép to n tâ p h p Đ in h n g h ĩ a Tập hợp khái niệm cùa toán học lại khái niệm khỏng đ ợ c (lịnh nghĩa Một cách trự c quail, ta có t lie liiru tạp hợp n h tụ tậ p vật đối tư ợ n g hay nhữ ng kliiíi Ìiiẹm tốn học đ ợ c xác định bùi hay nhiều tính chất chung Ta thườn» sư (lụng chữ La tinh 13 c V Y z chữ Hy Lạp co nlnr I n A đè chi tậ p liựp Các vạt cùa tạ p hợp X gọi phần tư tậ p hợp Một phần từ /• cùa tạp lìcrp A' (linrc ký hiệu (• G A’ Nốu tất cà Ị)hần tư cùa tậ p hơp X đéu phần tư cùa mọt tậ p litrp V t 111 ta nói tạ p lu/Ị) A’ tạ p hợp tậ p h p y ký hiệu l A ỗ V hay V D -V T n r n g h p X ỗ V v )' ỗ X thỡ ta núi riiớ t p hp X hàn» tậ p lurp V ký hiệu -V = V Nu X ỗ V v X till -V đ ợ c gọi tậ p hợp coil thự c cua )' ký hiệu A' c V Xác định tạ p h p xác clịnh tất cà phần từ cùa 11Ĩ Có nhiêu cách đổ xác (lịnh tạ p hợp Đơn giàn liệt kè tấ t cà p h ầ n tứ cùi» tạp hợp (le liai (làu 111ĨC Cách thõng dụ ng th ứ liai mo tậ p h p qua tính chất (lặc tn ru g p h ần t tậ p hợp C h ản g hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} d ể nói X tậ p h ợp gồm t ấ t phần từ r tliồ m àn m ệnh (Tó P(.r) Giáo trình đại s ổ đại 10 T ậ p hợp không ch ứ a m ộ t phần t đư ợc gọi tập h ợp ròng v ký hiẽu 1.2 C c p h é p t o n t r ê n t â p h p 1) Hợp Hợp củ a hai tậ p hợp X Y ký hiệu A' u tậ p h p đ u ự c xác đ ịn h X u y = {x I X € X X € Y ) 2) Giao G iao củ a hai tậ p hợp X v Y ký hiệu X n Y tậ p h ợ p đ ợ c xác định bời X n Y = {x \ X e X v x e Y } 3) Tích Descartes Tích Descartes hai tậ p hợp X Y ký hiệu X X tậ p hợp đ ợ c xác đ ịn h bời X x Y = {z = ( x , y ) \ x e X , y e Y } 4) Hiệu Hiệu củ a hai tậ p hựp X v Y ký hiệu X \ Y tậ p h ợ p dược xác địn h bời X \ Y = {x \ X £ X v X ị Y } ệ C h ú ý Các phép to n hợp, giao, tích D escartes h o àn to n có thố 111Ờ rộng cho m ột họ tù y ý tậ p h ợp {(X ,) I i £ /} đ â y I m ột tậ p chi số Khi t a xác định: Ị J X i = {.r I i e L x e X i } iei f ] x t = { x I X e X i Vi € /} ieĩ = {c = {Xi)i£i I ẽ X i Vi € /} i€7 Đặc biệt, t a hay viết tậ p h ợp X x n để ký hiệu cho tích D escartes củ a n - lần Giáo trình đại s ố đai 48 đối tích cùa họ nhóm Abel (G ị),g / tro n g 21 đ ă n g cấu với tổng trự c tiếp © je/G j 6.1 Đ ị n h lý Tích đối tích ln tịn p h m trù n h ó m A bcl 21 Cụ the cho (6\),e/ m ộ t tích tổng trực tiếp họ n hó m Abel, tích trự c tiếp n.e/G« đối tích họ Chứng minh Trước tiên ta th ấ y rằ n g với m ột họ nhó m Abcl ( G ,) ,£ / cho trư ớc t íi'll trự c tiếp n L e / ^ í ya tơ n s t n rc tiếp © ,e /G', lại n h ữ n g Iilióm Abel Khi hồn to n tư n g t ự n hư chứng minh tồn tích tron g phạm trù nhóm (Định lý 5.12) ta dễ dàn g chi đ ợ c rằ n g (11,6/ G Ệ ÌPi)iei)- với Pi '■ n G, — * G ị Vi G / to n cấu tắc tích họ [G,),e i 21 T iếp theo, t a chi rằ n g (X = ©ie/Gi, tro n g j, : G, — ♦ ® ,e ;G , đ n cấu tắc xác đ ịn h bời y k = x t , k = i ỈJk = eGk k Ỷ ilà đối tích họ (G, ) j £i tro ng 21 T h ậ v cho H m ộ t nhóm Abel g, : G, — » H ị / m ột họ đồng cấu nhóm X ét ánh x q : X H xác định bời g(.r) = i ( x i )- V'v — ( x ì ) i £ i ẽ A'ằ C h ú ý r ằ n g chi có h ữ u hạn chi số i E I đê X, Ỷ liên ph ép lấy tổ n g ỡ vế phải c ủ a đ ằ n g th ứ c trê n có nghĩa, n a H nhóm Abel, g m ột đồng cấu nhóm K hi đ ó ta suy Vậy g đồng cấu nhóm đ ợ c xác đ ịn h d uy n h ấ t cho g o j i — g, Vỉ G / Điều chứng tò (A\ { j , ) , ei ) đối tích củ a họ (G j)jg /) đ ịn h lý đ ợ c chứng minh □ Bảy cho tậ p h ợ p không rỗng Ta xảy d ự n g p h ạm trù 21(5) sau: - O b( 2t(S )) bao gồm tấ t cà n h ữ n g cặp (.4 f) tro n g đ ó A Iihóm Abel / : s — * m ột n h xạ hai tậ p hợp s Ả - Mor ((.4 / ) ( B g)) t ấ t n h ữ n g đồng cấu n hó m /; : A — * B cho g — h o f đ ây ( / ) ( B g ) n h ữ n g v ật tù y ý 21(5) Với địn h nghĩa tích hai c ấ u xạ 21( ) đồng cấu h ợ p th n h , ta dễ dàng chứng m inh đ ợ c rằ n g 21(5) th o ả m ã n tiên đ ề (A'i) ( K 2) ( K i ) trnncr Fìinil TIrrViTí^ ^ mAt 49 Ch ơng II N h ó m Đ i n h n g h ĩ a C ho s m ột t ậ p hợp tù y ý không rỗng V ật đ ẩ y phô dụ ng củ a p h ạm tr ù 21(5) vừa xác đ ịn h đ ợ c gọi nhóm Abel tự tậ p hợp s Vậy, m ộ t nhóm Abel t ự tậ p hợp s m ộ t cặp (F / ) với F m ột nhóm Abel v / : s — > F m ột án h xạ, cho đ iề u kiện sau đ â y đ ợ c th o ả mãn: với ánh x g : s — * B t tậ p h ợ p s vào m ột nhóm Abel B ln tồn nhấ t m ột đồng cấu nhóm h : F — > B cho Đ i n h lý V ó i tập h ọ p tự s s cho trước tù y ý, củng có n h óm A b c l Hơn nữa, n ếu (F, f ) (F ' , f ') hai n hó m tự s tồn d u y n h ấ t m ộ t đ ẳ n g cấu ip : F — > F ' cho f ' = ự o / Chúng minh C ho z nhóm cộng t ấ t số nguyên X ét m ộ t tậ p h ợp án h xạ F = { a : s — ■> z I a ( s ) Ỷ yới nhiều h ữ u h ạn p h ầ n t s G S} Dễ th ấ y F với m ộ t p h ép cộng án h x Oi + f3 thô n g thư ng , (q + /3){s) = a(s) + Ị3{s), Vs e s, trở th n h m ộ t Iihóni Abel Với s €s cho trư c t a xác đ ịn h m ộ t án h x e F n hư sau 1, X = s , 0, n ếu Khi tư n g ứ n g / : s Ỷ s - I— > F xác đ ịn h bời s 3s cho t a m ột án h xạ t X s vào I— > fs e F, \/s es F Ta chứng m inh rằ n g cặp (F, / ) m ộ t Iilióni Abel t ự T h ậ t vậy, giả sử g : s — > B m ột án h x t tậ p h ợ p s vào m ộ t nhóm Abel B T a xét m ộ t án h x h : F — > B đ ợ c xác đ ịn h bời h(a) — a( s ) g( s ) , Vo G F C h ú ý rằ n g ph ép lấy tổ n g tro n g công th ứ c hồn to n có ngh ĩa a( s ) / với nhiều n h ấ t h ữ u hạn p h ầ n t s G nhóm g = h o f s Rỏ ràn g h m ộ t đồng cấu Việc cịn lại chứng minh tín h du y n h ấ t c ủ a h G iả sử Giáo trình đại s ố đai rn 5U h' : F — » B m ột đồng cấu khác có tín h ch ất g = h' o f T rư c tiên ta nhận th ấ y p h ần t ữ ẽ f đ ều có th ể viết đ ợ c dư i d ạn g Ct = J ^ q ( s ) / s se s T d ự a vào tính ch ất h m ộ t đồng cấu ta suy h' ( a) = Ỵ ^ n { s ) h ' { f s ) = ỵ Q(ấ)9(s) = h{a) Va g f s£S ses Vậy h = h' T ính d uy Iihất sai khác m ột đ ằ n g cấu củ a n h ó m t ự ( F f ) suv t tín h phố d ụ n g củ a v ậ t {F f ) p h m t r ù 2l(S) d ự a vào Mệnh đề 5.11 D H ê q u ả ệ Cho (F f ) m ộ t n h ó m Abe] tự tren tập h ợ p s K hi f : s — > F đơn ánh f ( S ) m ộ t hệ sinh cùa n h ó m F Chúng minh VI nhóm Abel t ự xác đ ịn h d u y n h ấ t sai khác m ột đẳng cấu nén t a có th ể giả sir (F / ) đ ợ c xây d ự ng nh tro n g p h ép chứng minh cùa Định lý 6.3 Khi đ ó ta n h ậ n th ấ y rõ ràng rằ n g f m ột đ n ánh F= □ Hệ 6.4 cho phép đồng n h ấ t tậ p hợp s với ả n h củ a f { S) nhóm Abel t ự (F f ) T rư n g h ợ p nàv ta nói s m ột sở F ta viết đ n giản F đ ể chi nhó m Abel t ự (F / ) N ếu tậ p hợp h ữ u h ạn gồm n p h ầ n t th ì nhóm Abel t ự F đ ợ c gọi có hạng n ký hiệu r ( F ) = n Ngoài phép ch ứ ng m inh củ a Định lý 6.3 t a n h ặ n t h ấ y rằng, mỏi phần t q g F đ ều có m ột b iểu diễn d i dạn g tố n g h ữ u h ạn Q = > ( * ) / „ s€S Hơn nửa Iiếu Q = n sf s m ột biểu diễn tố n g h ữ u h ạn khác Q với phần từ t € s ta có = n , c s - ( a ( s ) - n s ) f s {t) = o (t) - n t T đ ảy suy p h ầ n t F đ ợ c biểu diễn d uy n h ấ t t h n h m ột tố n g h ữ u h ạn phần t họ n h ữ n g n h ó m xyclic vị h ạn < f s >.,e s c ủ a F Họ th o ả m ãn m ột cách hiển nhiên đ iều kiện Định lý 5.14 đ ó SUY F - Z , C hư ơn g II Nhó m 51 đ ó Z s đ ẳ n g cấu với nhóm Abel cộng số nguyên (Z + ) Vậy t a đ ã chứng minh đirợc kết qu ả sau H ê q u ả N h ó m A b c l tự m ộ t tập h ợ p s ln ph ân tích đ ợ c thành tịng trực ticp cùa Iììột họ chi số hố s n hó m xyclic cấp vơ hạn Hệ chi rằ n g hạng rủ a m òđ un tự bất hiến qua đ ẳ n g cấu nhóm 6 H ê q u ả Cho h : F — * F ' m ộ t đ ằ n g cấu n húm hai n h ó m A h c l tự với sỡ tư n g ứ n g s S ' K hi s S ' có ]ựcề lượng Chứng minh T heo Hệ q uà 6.5 ta có th ể già thiết th ê m mà không làm m ấ t tính tố n g q uát rằ n g F đ S,'ZS v F ' â sằe s1 c I 7=1 I=k Điền m âu th u ẫ n với I c 1= D I Định lý đ ợ c chứng m inh xong □ Đặc biệt, hai Iihóm Abel G H trù n g n h au t a th u đ ợ c hệ quà sau đáy 6.13 H ê q u ả Mọi n h ó m Abc] hữ u hạn sinh đêu có m ộ t phản tích tiêu chuẩn d u y Số hạng t xyclic Yỏhạn p h ản tích tiêu chu ẩn m ột nhóm Abel hữu hạn sinh G đ ợ c gọi hạng nhóm v đ ợ c ký hiệu r(G) C ấp nhóm xyclic nguyên sơ p h ản tích tiêu ch uẩn G gọi b ấ t biến nguyên sơ củ a G Các b ấ t biến nguyên sơ với hạng G lập th n h m ột hệ đ ợ c gọi hệ bất biến đầy đủ G Khi hệ quà sau đ ây đ ợ c SUY lặp tứ c t Định lý 6.12 6.14 H ê q u M ộ t n h óm A b c l h ữ u hạn sinh â ợ c xá c định hoàn toàn bới hộ bất biến đ ầ y đ ủ cùa T ứ c hai n hóm A h e ỉ h ữ u hạn "inh có hạng bất biến nguyên sơ chúng đẳng cấu với B ài tâp 1) Các tậ p h ợp số với phép to n đ ợ c định đ ây lặp th n h nhóm hay khơng? (i) T ậ p hợp tấ t số nguyên với phép cộng: với phép nhân (ii) T ậ p hợp tấ t số h ữ u tỷ khác không với phép nhân: với ph ép cộng (iii) T ậ p hợp tấ t số vỏ ty với phép nhản: với phép cộng (iv) T ậ p hợp t ấ t số th ự c d n g a b với phép to n * đ ợ c xác định sau: a * b = a b Chư ơn g II Nhóm 59 2) Clio R tậ p h p tấ t số thự c R* — R \ {0} Trẽn tậ p h ợp G — R* X R ta xác đ ịn h m ột phép nhản sau (o b)(c d ) = (ac be + d) C h ứ n g minh rằ n g G m ột nhóm n h ản khơng giao hốn 3) C h ứ n g minh rằ n g m ột nhóm G Abel lieu với p h ần t a G G ta đ có fl- = ec4) C h ứ n g minh r ằ n g với p h ầ n tử a b c cùa nhóm n h ân G ta đ ều có: (i) Các ph ần t ab ba có cấp (ii) Các p h ầ n t abc bra cab có cấp •5)* C h ứ ng minh r ằ n g tậ p h ợ p t ấ t phần t có cấp h ữ u h ạn m ột nhóm Abcl lập th n h m ột nhóm M ệnh đề có CỊI1 đ ú n g khơng khơng Ílhólii Abel? Tại sao? ) Cho G m ột nhó m x y d ic cấp n (ì ước số rì C h ứ n g minh mệnh đề sau đúng: (i) Tồn tro n g G d uy n h ấ t nhóm H có cấp d (ii) T ậ p tấ t p h ầ n t sinh cù a H trũ n g với tậ p tấ t cà p h ầ n t cấp d G 7) Cho H K liai nh óm nhóm h ữ u h ạn G C h ứ n g m inh r ằ n g H II K |< | H n A' ||< H K >1 )* C h ứ n g m inh r ằ n g nhóm cấp 15 đ ều nhóm xyclic 9) Cho A nhóm Abel, với n số t ự nhiên ta đ ặ t A„ = {.r G I r" = e A ) Chứng m inh m ệnh đ ề sau đúng: (i) A „ nhóm (ii) Nếu (n.ììì) — -4„ n A,„ — {e\ẳi} (iii) Nếu (n m) — A = A,,,u -4 = Ả nA ,n 10) Giã sử K nhóm H H nhóm củ a m ột nhó m h ữ u hạn G C h ứ n g m inh r ằ n g (G : K ) = (G : H ) ( H : K) Giáo trình đại s ố đại 60 11 ) Cho G m ột nhóm K ý hiệu D( G) nhóm củ a G sinh bời tấ t phần tử có dạng x ~ l y ~ l x y , Vx, y e G (D { G ) đ ợ c gọi đ o nh óm nhóm G) C ng m inh rằng: (i) D( G) Iihóm chuẩn tắ c G (ii) Cho H m ột nhóm chuẩn tắ c G Khi đ ó G / H nhó m Abel chi D( G) c H 12 ) Chứng minh rằn g nhóm N m ột nhóm G c h u ẩn tắ c tồn m ột đồng cấu nhóm / : G — * H cho N = Ker / 13) Cho N m ột nhóm củ a Iihóm G th o ả m ã n tín h ch ất G : N = Chứng minh rằ n g N m ột nhóm chuẩn tắ c củ a G H ãy xác địnli nhóm thư ơng G / N tr n g h ợ p 14) Cho s tậ p hợp củ a m ột nhóm G Xét tậ p hợp Z ( S ) — { x e G I Xtí = sx, Vs e 5} Chứng minh rằn g Z ( S ) m ộ t nhóm G, gọi nhóm tâ m hóa s nhóm G C h ứ ng m inh rằ n g nhóm củ a G ch ứ a Z ( G ) ln nhóm chuẩn tắ c c ủ a G 15) C ng minh rằ n g nhóm th n g G / Z ( G ) củ a m ột nhó m G nhóm tâ m Z { G ) xyclic G nhóm Abel 16) Cho G m ột nhóm c ấ p C h ứ n g m inh rằ n g G nhóm xyclic G đ ẳ n g cấu với Iihỏni phép th ế Sị 17) Cho A B hai nh ó m xyclic không tầ m th n g v c = A B tổng trự c tiếp cùa chúng G iả sử ị Ả 1= n, I B 1= m C h ứ n g m inh r ằ n g c nhóm xyclic chi (n.ĩĩi) — 18) Cho H m ột nhóm ch uẩn tắ c cấp m củ a nhóm h ữ u h ạn G có cấp n Chứng m inh rằ n g Iilióm th n g G / H Abel Ti / m < 19) Cho s m ộ t tậ p h ợ p m ộ t nlióni G Đ ặt N s = {x G G I x S — S x ) (i) C hư ng m inh rằ n g N s m ộ t nhóm củ a G, a tậ p h ợp s Nhóm đ ợ c gọi nhóm chu ẩn hoá củ a tậ p hợp s tro n g G (ii) C hư n g minh rằ n g nhóm chu ẩn hố củ a m ột nhóm COI1 H nhóm 1(711 n h ấ t cua nhóm Cì n h ậ n H làm nhóm chuẩn tắ c C hư ơng II Nhóm 61 20) C ho G m ộ t nhóm v a G G m ột phần t tù y ý T a xác đ ịn h n h xạ Tn : G — * G Ta {x) = a.T Vx e G gọi phép tịn h tiến trái G bời ph ần tử a C ng m inh rằng: (i) T a m ột song ánh (ii) Anh x đ ợ c xác đ ịn h bời J : G — * S(G), j(a) = r„ Va e G đ n cấu, đ ó S ( G) nhóm đối xứ ng tậ p h ợ p G (xem địn h Iigliĩa nhóm đối x ứ ng ví dụ 1.3) 21) Tìm t ấ t cà t ự đ ằ n g cấu nhóm xyclic cấp vơ hạn 22 ) Với m ột nhóm G t a ký hiệu A u t(G ) tậ p h ợp t ự đ ẳ n g cấu củ a nhóm G Int(G ) tậ p h ợ p t ự đ ẳ n g cấu G C ng m inh rằng: (i) A u t(G ) In t(G ) với phép nh ân h ợp th n h củ a hai ánh xạ nhóm củ a nh ó m đối xứ ng S( G) (ii) Int(G ) nhó m chuẩn tắ c A ut(G ) (iii) G / Z ( G ) Int(G ) (iv) Int(5„) = s n Vn > 23) Một nhóm G đ ợ c gọi x o ắn phần tử củ a đ ều có c ấ p h ữ u hạn C ng m inh rằ n g nhó m th n g Q / Z nhóm xoắn, tro n g Q , z tư n g ứng nhóm cộng số h ữ u tỳ số nguyên 24) Cho G n hóm Abel h ữ u hạn với I G 1= n v d ước cùa n Chứng minh r ằ n g tro n g G ln có n h ấ t m ột nhóm cấp d 25) Cho G m ột nh óm h ữ u hạn (không Iihất thiết phải Abel) với Ị G 1= n p m ột ước nguyên tố củ a n Già sừ p k' lũy th a lớn n h ấ t p chia h ết n C n g m inh rằ n g ln tồn n h ấ t m ột nhóm H rủ a G với \H\ = p*ề, (nhóm n h th ế đ ợ c gọi nhóm Xylow G ) 26) Một nhóm Abel A đ ợ c gọi chia đư ợc, lieu n A = A Mn G z C h ứ n g minh m ệnh đ ề sau đày: (i) T ổ n g trự c tiếp m ột họ nhóm Abel chia đ ợ c chia đư ợc: nhóm th n g m ột nh ó m Abel chia đ ợ c chia (ii)ể Nếu nh óm Abel có nhóm B chia đ ợ c th ì D hạng t trự c tiếp G'2 Giáo trình đại s ố đạt 27) C hứng niinli rằn g nhóm COI1 nlióni Abel h ữ u h ạn sinh lại hữu hạn sinh 28) C hứng minh rằ n g nhóm cùa nhóm Abel t ự h ữ u hạn siiili lại Iihóm Abel tự 29) C ng minh rằn g nhóm cộng số hữ u tỳ Q nhóm khơng phán tích 30) Cho A nhóm Abel ]) số nguyên tố Ký hiệu C,,{A) tập tấ t cà phần tử củ a A có cấp lũy th a cùa p (Cf,(A ) đ ợ c gọi thành phần p-iiguyên sơ nlióni 4) C h ứ n g minh C P(A) nhóm COI1 n ia A Hơn n ữ a C'P(A) phán tích đ ợ c th n h tổ ng trự c tiếp th n h phan p-nguyẻn sơ với t ấ t sổ nguyên tố p