Giáo trình cơ sở toán học phần 2

CHU O NG IV: ˆ VA ` SO ˆ´ NGUYEN ˆ ˆ´ TU NHIEN SO ˆ´ TU NHIEN ˆ 4.1 SO a mˆ o.t th` anh tu u toán ho.c lâu d¯ò.i nhˆ a´t cu’a loài ngu.ò.i Ngày Sˆ o´ tu nhiên l` uc cu’a d¯ò.i sôńg xã hô.i: nay, sˆ o´ tu nhiên d¯u.o c su’ du.ng o’ mo.i no.i, mo.i l´ giao di.ch, mua b´ an, thu t´ın, d¯iê.n thoa.i, Khó có thê’ h`ınh dung mô.t x˜ a hˆ o.i ´ ´ ung c´ ac sô 0, 1, 2, 3, 4, t´ınh toán (cô.ng, tr` u , nhˆ an, khˆ ong c´ o sˆ o tu nhiên! Ta d` chia) trên c´ ac sˆ o´ d¯´ o mˆ o.t c´ ach ”tu nhiên” mo.i hoa.t d¯ô.ng cu’a m`ınh, song ´ıt à ng cách n` ta tu ho’i ngu.` o.i d¯˜ a biê´t d¯êń sô´ tu nhiên t` u bao giò và b˘ ao? Khˆ ong c´ o thê’ n´ oi d¯u o c d¯´ıch xác loài ngu ò i biê´t d¯êń c´ ac sô´ t` u n` ao o.t v˘ an ba’n cˆ o’ kh˘ać trên d¯á cách d¯ây khoa’ng 6000 n˘ am, Ngu ò i ta t`ım d¯u o c mˆ ’ à ng các dâú châ´m và ga.ch Mãi d¯êń thê´ ky’ XI, trên d¯´ o c´ o c´ ac sˆ o´ biê u thi b˘ sˆ o´ khˆ ong (0) m´ o i d¯ò i v` a t` u d¯ó ngu.ò.i b˘ a´t d¯`âu ngh˜ı hê thâ.p phˆ an ’ ’ ˜ ´ d¯ê biê u diên c´ ac sˆ o ´ àu nhâ.n biê´t vˆ è sô´ lu.o ng cu’a su vâ.t Nhu cˆ àu Sˆ o tu nhiên d¯` o i l` a nhu cˆ àn d¯´ o xuˆ a´t hiê.n ca’ mô.t xã hô.i d¯o n so nhâ´t Ch˘a’ng ha.n, ngu ò i ta cˆ àn biê´t sô´ lu o ng cu’a o´ lu o ng cu’a d¯` biê´t sˆ an th´ u d¯ê’ tô’ ch´ u c mô.t cuô.c d¯i s˘an, cˆ o.i càng ph´ at triê’n th`ı nhu bên d¯i.ch d¯ê’ tˆ o’ ch´ u c cuˆ o.c chiêń d¯âú, và xã hˆ àu d¯´ cˆ o ngày c` ang t˘ ang - `âu tiên ta chˆ Sau d¯ây, ta t`ım c´ ach xây du ng tâ.p ho p c´ ac sô´ tu nhiên D a´p àn tu’ cu’a nó thoa’ mãn mô.t sô´ t´ınh chˆ nhˆ a.n c´ o mˆ o.t tˆ a.p ho p N m` a các phˆ a´t m` a an c´ ac ta go.i l` a hê tiên d¯`ê Peano Sau d¯ó, ta d¯i.nh ngh˜ıa các phép cô.ng, phép nhˆ ´ ` ´ sˆ o tu nhiên, rˆ oi d¯i.nh ngh˜ıa quan hê th´ u tu trên N và d¯u a các t´ınh châ t c` ung ´ ´ ` ’ mˆ oi quan hê gi˜ u a ch´ ung Trên co so có d¯u o c tâ.p ho p N các sô tu nhiên, vê sau ta s˜e xˆ ay du ng tˆ a.p ho p Z các sô´ nguyên, tâ.p ho p Q các sô´ h˜ u.u tı’ 4.1.1 Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ tu nhiˆ en v` a hˆ e tiˆ en d ¯`ˆ e Peano: à ng mô.t khái niê.m mó.i bao giò c˜ 4.1.1.1 Mo’ d ¯`ˆ au: Ta biê´t r˘ ung d¯u.o c d¯.inh ngh˜ıa thˆ ong qua nh˜ u.ng kh´ niê.m tru.ó.c d¯ó C˜ ung vâ.y, mô.t mê.nh d¯`ê d¯u.o c ch´ u.ng y thuyê´t minh nh` o nh˜ u.ng mê.nh d¯`ê d¯ã biê´t tru.ó.c d¯ó V`ı vâ.y, d¯ê’ xây du ng mô.t l´ ’ ’ to´ an ho.c m` a khˆ ong bi ro i v` ao vòng luâ n quâ n, ngu ò i ta thu ò ng xuâ´t ph´ at t` u mˆ o.t sˆ o´ kh´ niê.m d¯`ˆ au tiên không d¯i.nh ngh˜ıa, go.i là các khái niê.m nguyên thuy’ v` a mˆ o.t sˆ o´ mê.nh d¯`ê d¯`ˆ au tiên d¯u.o c th` u.a nhâ.n, không ch´ u.ng minh go.i l` a c´ ac tiên d¯`ê Phu.o.ng ph´ ap xˆ ay du ng nhu vâ.y go.i là phu.o.ng pháp tiên d¯`ê L˜e tu nhiên, èu cˆ àn th` sˆ o´ c´ ac kh´ niê.m nguyên thuy’ và sô´ các tiên d¯`ê ngh˜ıa là sô´ nh˜ u.ng d¯iˆ u.a - `ông thò.i nh˜ u.ng nhˆ a.n, nên ´ıt nhˆ a´t m` a vˆ añ d¯u’ suy tâ´t ca’ các kê´t qua’ khác D mê.nh d¯`ê th` u.a nhˆ a.n thu.` o.ng là nh˜ u.ng mê.nh d¯`ê d¯o.n gia’n, “hiê’n nhiên” Mˆ o.t nh˜ u ng ngu ` o i d¯`ˆ au tiên xây du ng mô.t l´ y thuyê´t toán ho.c theo phu o ng ph´ ap tiên d¯`ê l` a nh` a toán ho.c Euclide (khoa’ng 300 n˘am tru ó c công nguyên) Cuˆ oń 91 y” cu’a ông, ho.n 20 thê´ ky’ qua vâñ là mô.t mâ˜u mu c s´ ach “Nh˜ u.ng nguyên l´ à ng phu.o.ng pháp tiên d¯`ê è viê.c xˆ ay du ng mˆ y thuyê´t toán ho.c (h`ınh ho.c) b˘ o.t l´ vˆ Ta d¯˜ a quen thuˆ o.c v´ o.i tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên, N = {0, 1, 2, 3, 4, } Tˆ a.p àn tu’ “d¯`ˆ èn sau”: ho p N c´ o phˆ au tiên” là và ánh xa “liˆ σ : N −→ N : 7→ 7→ 7→ 7→ 7→ · · · nhu vˆ a.y, ta thˆ aý tˆ a.p ho p N d¯u.o c sinh bo’.i và ánh xa σ Sau d¯ây l` a c´ ach u mô.t hê tiên d¯`ê d¯u o c nêu bo’ i Peano a.p ho p N mˆ ach toán ho.c t` mˆ o ta’ tˆ o.t c´ (1858-1932) v` ao n˘ am 1899 àn tu’ cu’a nó d¯u.o c go.i l` a 4.1.1.2 Hˆ e tiˆ en d ¯`ˆ e Peano: Tâ.p ho p N mà các phˆ c´ ac sô´ tu nhiên, l` a mˆ o.t tˆ a.p ho p thoa’ mãn: P1 ∈ N èn èn sau và σ(n) go.i là sˆ o´ liˆ P2 C´ o mˆ o.t ´ anh xa σ : N −→ N go.i là ánh xa liˆ sau cu’a n ∈ N èn sau cu’a mô.t sô´ tu nhiên nào, ngh˜ıa là ∈ P3 khˆ ong l` a sˆ o´ liˆ / σ(N) èn sau cu’a khˆ P4 σ l` a mˆ o.t d¯o.n ´ ong anh, ngh˜ıa là mô˜i sô´ tu nhiên là sô´ liˆ qu´ a mˆ o.t sˆ o´ tu nhiên ac t´ınh châ´t: P5 Mo.i tˆ a.p U cu’a N có c´ a) ∈ U, b) v´ o.i mo.i n ∈ N, n ∈ U ⇒ σ(n) ∈ U , a.p ho p N d¯`êu tr` ung v´ o.i tˆ 4.1.1.3 Ch´ uy ´: 1) Tiên d¯`ê P1 cho thâý N 6= ∅ v`ı có ∈ N èn sau cu’a và sô´ d¯ó là nhˆ òn ta.i sô´ liˆ y a´t, k´ 2) Theo tiên d¯`ê P2, tˆ èn sau cu’a 1, k´ òn ta.i nhâ´t sô´ liˆ y hiê.u hiê.u = σ(0) La.i theo tiên d¯`ê P2, tˆ = σ(1) Tiê´p tu.c nhu vˆ a.y, ta d¯u.o c mô.t h`ınh a’nh cu’a tâ.p ho p các sô´ tu nhiên l` a N = {0, 1, 2, 3, 4, } 3) Tiên d¯`ê P5 c` on go.i là nguyên l´ y cu’a phép ch´ u.ng minh quy na.p Thˆ a.y vˆ a.y, ta xét mˆ o.t h` am mê.nh d¯`ê P (n) và go.i U = {n ∈ N | P (n)} Nêú P (0) d¯u ´ ng ta c´ o ∈ U Cho P (n) d¯u ´ ng ngh˜ıa l` a n ∈ U , nêú ta ch´ u ng minh d¯u o c P (σ(n)) ’ d¯u ´ ng, ngh˜ıa l` a σ(n) ∈ U th`ı U nghiê.m d¯u ´ ng ca hai t´ınh châ´t cu’a tiên d¯`ê P5 Vˆ a.y U = N, ngh˜ıa l` a P (n) d¯u ´ ng vó i mo.i n ∈ N 4.1.2 Ph´ ep cˆ o.ng v` a ph´ ep nhˆ an trˆ en N: - i.nh ngh˜ıa: 4.1.2.1 D 1) Ph´ ep cˆ o.ng: a) m + = m v´ o.i mo.i m ∈ N, b) m + σ(n) = σ(m + n) vó.i mo.i m, n ∈ N và m + n d¯ã d¯u.o c xác d¯i.nh 2) Ph´ ep nhˆ an: a) m0 = v´ o.i mo.i m ∈ N b) mσ(n) = mn + m vó.i mo.i m, n ∈ N và mn d¯ã d¯u.o c xác d¯i.nh 92 4.1.2.2 T´ınh chˆ a´t: a phép nhˆ an d¯u.o c xác d¯i.nh trên N 1) Phép cˆ o.ng v` 2) σ(n) = n + 1, v´ o.i mo.i n ∈ N và = σ(0) àn tu’ không và vó.i phép nhân có phˆ àn tu’ d¯o.n vi., o.ng c´ o phˆ 3) N v´ o.i phép cˆ o ngh˜ıa l` a v´ o.i mo.i n ∈ N, ta c´ n + = + n = n, n1 = 1n = n a phép nhân có t´ınh kê´t ho p, ngh˜ıa là vó.i mo.i m, n, p ∈ N, 4) Phép cˆ o.ng v` ta c´ o (m + n) + p = m + (n + p), (mn)p = m(np) a phép nhân c´ o t´ınh giao hoán, ngh˜ıa là vó.i mo.i m, n ∈ N, 5) Phép cˆ o.ng v` ta c´ o m + n = n + m, mn = nm 6) Phép nhˆ an c´ o t´ınh phân phôí d¯ôí vó.i phép cô.ng, ngh˜ıa là vó.i mo.i m, n, p ∈ N, ta c´ o m(n + p) = mn + mp, (n + p)m = nm + pm 7) m + n = ⇒ m = n = 8) mn = ⇒ m = ho˘a.c n = 9) Phép cˆ o.ng c´ o t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i m, n, p ∈ N, ta c´ o m + p = n + p ⇒ m = n o 10) Phép nhˆ an c´ o t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i m, n, p ∈ N, p 6= 0, ta c´ mp = np ⇒ m = n Ch´ u.ng minh: 1) V´ o.i m ∈ N, go.i U = {n ∈ N | m + n ∈ N d¯u.o c xác d¯i.nh} và U = {n ∈ ac d¯i.nh} Rõ ràng ∈ U và ∈ U Gia’ su’ n ∈ U , ngh˜ıa N | mn ∈ N d¯u.o c x´ l` a m + n d¯u.o c x´ ac d¯i.nh Khi d¯ó m + σ(n) = σ(m + n) ∈ N d¯u.o c xác d¯i.nh hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N Gia’ su’ n ∈ U , ngh˜ıa là mn d¯u.o c xác d¯i.nh Khi d¯ó mn + m d¯u.o c x´ ac d¯i.nh hay mσ(n) d¯u.o c xác d¯i.nh t´ u.c là σ(n) ∈ U Vâ.y U = N 2) n + = n + σ(0) = σ(n + 0) = σ(n), vó.i mo.i n ∈ N 3) Go.i U = {n ∈ N | n + = + n = n} Ta có + = hay ∈ U Gia’ su’ n ∈ U hay n + = + n = n Khi d¯ó + σ(n) = σ(0 + n) = σ(n) = σ(n) + hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N Go.i U = {n ∈ N | nσ(0) = σ(0)n = n} Ta có 0σ(0) = 0.0 + = = σ(0)0 hay ∈ U Gia’ su’ n ∈ U hay nσ(0) = σ(0)n = n Khi d¯ó σ(n)σ(0) = σ(n)0+σ(n) = 0+σ(n) = σ(n) = σ(n+0) = n+σ(0) = σ(0)n+σ(0) = σ(0)σ(n) hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N 93 o 4) V´ o.i m, n ∈ N, go.i U = {p ∈ N | (m + n) + p = m + (n + p)} Ta c´ (m + n) + = m + n = m + (n + 0) hay ∈ U Gia’ su’ p ∈ U hay (m + n) + p = m + (n + p) Khi d¯´ o (m + n) + σ(p) = σ((m + n) + p) = σ(m + (n + p)) = m + σ(n + p) = m + (n + σ(p)) hay σ(p) ∈ U Vâ.y U = N T´ınh kê´t ho p cu’a phép nhân d¯u.o c ch´ u.ng minh 6) 5) Go.i U = {n ∈ N | n + = + n} Ta c´ o + = + = hay ∈ U Gia’ su’ n ∈ U hay n + = + n Khi d¯ó σ(n) + = σ(σ(n)) = σ(n + 1) = σ(1 + n) = + σ(n) hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N Go.i U = {n ∈ N | 0n = 0} Ta có 0.0 = hay ∈ U Gia’ su’ n ∈ U hay 0n = Khi d¯´ o 0σ(n) = 0n + = + = hay σ(n) ∈ U Vâ.y U = N V´ o.i m ∈ N, go.i U 00 = {n | m + n = n + m} Ta c´ o m + = + m = m hay 00 00 ∈ U Gia’ su’ n ∈ U hay m + n = n + m Khi d¯ó m + σ(n) = m + (n + 1) = (m + n) + = (n + m) + = n + (m + 1) = n + (1 + m) = (n + 1) + m = σ(n) + m hay σ(n) ∈ U 00 Vˆ a.y U 00 = N V´ o.i m ∈ N, go.i U 000 = {n ∈ N | (m + 1)n = mn + n} Ta c´ o (m + 1)0 = 000 000 ’ ’ o = m0 + hay ∈ U Gia su n ∈ U hay (m + 1)n = mn + n Khi d¯´ (m + 1)σ(n) = (m + 1)n + (m + 1) = (mn + n) + (m + 1) = (mn + m) + (n + 1) = mσ(n) + σ(n) hay σ(n) ∈ U 000 Vâ.y U 000 = N V´ o.i m ∈ N, go.i U 0000 = {n ∈ N | mn = nm} Ta có m0 = = 0m hay ∈ U 0000 Gia’ su’ n ∈ U 0000 hay mn = nm Khi d¯ó mσ(n) = mn + m = nm + m = (n + 1)m = σ(n)m hay σ(n) ∈ U 0000 Vâ.y U 0000 = N o 0(n + p) = 6) V´ o.i n, p ∈ N, go.i U = {m ∈ N | m(n + p) = mn + mp} Ta c´ = 0n + 0p hay ∈ U Gia’ su’ m ∈ U hay m(n + p) = mn + mp Khi d¯ó σ(m)(n + p) = (m + 1)(n + p) = m(n + p) + (n + p) = (mn + mp) + (n + p) = (nm + n) + (pm + p) = nσ(m) + pσ(m) = σ(m)n + σ(m)p hay σ(m) ∈ U Vâ.y -˘ U = N D a’ng th´ u.c th´ u hai có t` u t´ınh giao hoán cu’a phép nhân Go.i U = {p ∈ N | (mn)p = m(np)} Ta có (mn)0 = = m0 = m(n0) hay ∈ U Gia’ su’ p ∈ U hay (mn)p = m(np) Khi d¯ó (mn)σ(p) = (mn)p + mn = m(np) + mn = m(np + n) = m(nσ(p)) hay σ(p) ∈ U Vâ.y U = N òn ta.i k ∈ N cho σ(k) = n Khi d¯´ o = 7) Gia’ su’ n 6= Khi d¯ó tˆ èu này trái vó i tiên d¯`ê Vâ.y n = T` m + n = m + σ(k) = σ(m + k) Diˆ u d¯´ o suy m = òn ta.i k ∈ N cho σ(k) = n và = mn = 8) Gia’ su’ n 6= Khi d¯ó tˆ mσ(k) = mk + m, nên m = 9) V´ o.i m, n ∈ N, go.i U = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n} Ta c´ o m + = n + ⇒ m = n hay ∈ U Gia’ su’ p ∈ U hay m + p = n + p ⇒ m = n Khi d¯´ o m + σ(p) = n + σ(p) ⇒ σ(m + p) = σ(n + p) ⇒ m + p = n + p (do σ l` a d¯o n ´ anh) ⇒ m = n hay σ(p) ∈ U Vâ.y U = N òn ta.i x ∈ N cho m = n + x ho˘a.c n = m + x Khi 10) V´ o.i m, n ∈ N, tˆ d¯ó mp = np + xp ho˘ a.c np = mp + xp T` u mp = np suy xp = và p 6= 0, ta c´ o x = Vâ.y m = n 94 en N: 4.1.3 Quan hˆ e th´ u tu trˆ - i.nh ngh˜ıa: Cho m và n là hai sô´ tu nhiên Ta nói 4.1.3.1 D òn ta.i + m nho’ ho.n n ho˘ a.c n ló.n ho.n m, k´ y hiê.u m < n ho˘a.c n > m nêú tˆ x ∈ N, x 6= cho n = m + x a` ng n ho˘a.c n ló.n ho.n hay b˘a` ng m, k´ y hiê.u m ≤ n ho˘ a.c + m nho’ ho.n hay b˘ ´ a.c m < n Nhu vâ.y, a.c m = n ho˘ n ≥ m nêu ho˘ m ≤ n ⇔ ∃x ∈ N, n = m + x u tu trên N 4.1.3.2 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Quan hê ≤ là mô.t quan hê th´ Ch´ u.ng minh: T` ay u d¯.inh ngh˜ıa ta có quan hê ≤ có t´ınh châ´t pha’n xa Bˆ ` ´ a n ≤ m th`ı tôn ta.i x, y ∈ N cho n = m + x và m = n + y gi` o nêu m ≤ n v` Khi d¯´ o m = m + x + y D` ung luâ.t gia’n u.ó.c, ta có x + y = T` u d¯ó suy a m = n Do d¯ó quan hê ≤ có t´ınh châ´t pha’n d¯ôí x´ u.ng Quan x = y = 0, t´ u.c l` òn ta.i x, y ∈ N àu Thâ.t vâ.y, nêú m ≤ n và n ≤ p th`ı tˆ hê ≤ c` on c´ o t´ınh b˘ ać cˆ cho n = m + x v` a p = n + y Khi d¯ó p = m + (x + y) vó i x + y ∈ N, t´ u.c l` a m ≤ p V`ı vˆ a.y quan hê ≤ l` a mô.t quan hê th´ u tu a.t tam phˆ an): Vó.i mo.i m, n ∈ N, có mô.t và chı’ mˆ o.t 4.1.3.3 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e (Luˆ ba tru ` o ng ho p sau xa’y ra: m < n, m = n, m > n èu nhâ´t mô.t ba tru.` Ch´ u.ng minh: Tru.´ o d¯u.o c nhiˆ o.c hê´t, dˆ˜e dàng c´ o.ng à ng quy na.p theo n là vó.i mˆ ay gi` o ta ch´ u.ng minh b˘ o˜i m ∈ N ho p trên xa’y Bˆ c´ o ´ıt nhˆ a´t mˆ o.t ba tru ò ng ho p trên xa’y Vó i n = 0, ta có m > ho˘ a.c m = v´ o i mo.i m ∈ N Gia’ su’ vó i n ∈ N ta có ´ıt nhâ´t mô.t ba tru ` o ng o i mo.i m ∈ N Nêú m < n hay m = n th`ı ho p m < n, m = n, m > n xa’y v´ ´ m < σ(n) Nêu m > n th`ı m = σ(n) ho˘a.c m > σ(n) 4.1.3.4 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: V´ o.i mo.i m, n, k ∈ N, ta c´ o: 1) m < n ⇒ m + k < n + k 2) m < n v` a k 6= ⇒ mk < nk òn ta.i x ∈ N, x 6= 0, n = m + x Khi d¯´ Ch´ u.ng minh: Nêú m < n th`ı tˆ o n + k = (m + k) + x hay m + k < n + k vó i mo.i k ∈ N Nêú k 6= th`ı nk = mk + xk v´ o.i xk 6= hay mk < nk - inh l´ 4.1.3.5 D y: Tˆ a.p ho p N các sô´ tu nhiên d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tô´t bo’.i quan hê ≤ u.ng minh A có sô´ nho’ nhâ´t Go.i Ch´ u.ng minh: Cho A ⊂ N, A 6= ∅ Ta ch´ A1 = {n ∈ N | n ≤ x, ∀x ∈ A} 95 R˜ o r` ang A1 ⊂ N v` a c´ o các t´ınh châ´t: a) ∈ A1 (v`ı ≤ x, ∀x ∈ N) òn ta.i n ∈ A Khi d¯ó n + ∈ a.t vˆ a.y, v`ı A 6= ∅ nên tˆ / A1 b) A1 6= N Thˆ èu kiê.n th´ Nhu vˆ a.y, A1 thoa’ m˜ y quy na.p, nhu.ng an d¯iˆ u nhâ´t cu’a nguyên l´ èu kiê.n th´ òn ta.i u hai Nói cách khác, tˆ A1 6= N, nên n´ o khˆ ong thoa’ mãn d¯iˆ m ∈ A1 cho m + ∈ / A1 o Do m ∈ A1 nên m ≤ x, ∀x ∈ A M˘a.t khác, m ∈ A v`ı nêú ngu.o c la.i ta c´ m < x, ∀x ∈ A, d¯´ o m + ≤ x, ∀x ∈ A hay m + ∈ A1 Mâu thuâ’n v´ o.i gia’ è m Vˆ a sˆ o´ nho’ nhâ´t cu’a A a.y m l` thiê´t vˆ 4.1.3.6 Ch´ u y ´: Nguyên l´ y quy na.p c´ o thê’ phát biê’u la.i nhu sau Cho n0 l` a a P (n) l` a mô.t hàm mê.nh d¯`ê vó i n ∈ N Khi d¯ó nêú P (n) c´ o mˆ o.t sˆ o´ tu nhiên v` t´ınh chˆ a´t P (n0 ) d¯u ´ ng v` a nêú P (k) d¯u ´ ng vó i k ≥ n0 kéo theo P (k + 1) d¯u ´ ng th`ı àn áp du.ng tiên d¯`ê vˆ è quy na.p v` ao P (n) d¯u ´ ng v´ o i mo.i n ≥ n0 Thâ.t vâ.y, chı’ cˆ tˆ a.p ho p U = {n ∈ N | ≤ n < n0 } ∪ {n ∈ N | n ≥ n0 , P (n)} 4.1.4 Ph´ ep tr` u.: òn ta.i nhˆ a´t o.i mo.i sô´ tu nhiên m, n, nêú m ≤ n th`ı tˆ 4.1.4.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: V´ sˆ o´ tu nhiên x cho m + x = n o t` u d¯.inh ngh˜ıa cu’a quan hê ≤ và luâ.t gia’n u.´ Ch´ u.ng minh: Kê´t qua’ c´ o.c cu’a phép cˆ o.ng - i.nh ngh˜ıa: Sˆ 4.1.4.2 D o´ tu nhiên x thoa’ mãn d¯˘a’ng th´ u.c m + x = n d¯u.o c go.i l` a hiê.u cu’a n v` a m v` a k´ y hiê.u là x = n − m (d¯o.c là n tr` u m) Quy t˘ ać t`ım hiê.u n − m go.i l` a phép tr` u u n−m thu c hiê.n d¯u.o c và chı’ m ≤ n aý phép tr` Mê.nh d¯`ê trên cho thˆ 4.1.4.3 T´ınh chˆ a´t: V´ o.i mo.i sô´ tu nhiên m, n, p mà p ≤ n, ta c´ o: m(n − p) = mn − mp, (n − p)m = nm − pm Ch´ u.ng minh: Theo d¯.inh ngh˜ıa cu’a phép tr` u ta c´ o p + (n − p) = n Do d¯´ o m[p + (n − p)] = mn Theo t´ınh châ´t phân phˆ oí cu’a phép nhân d¯ôí v´ o i phép cˆ o.ng, ta d¯u o c mp + m(n − p) = mn Do d¯ó m(n − p) là hiê.u cu’a mn và mp, t´ u.c l` a m(n − p) = mn − mp -˘ D a’ng th´ u.c th´ u hai c´ o t` u t´ınh giao hoán cu’a phép nhân ˆ´ NGUYEN ˆ 4.2 SO àu cu’a thu c tiˆ˜e n d¯ò.i sôńg và sa’n xuˆ Sˆ o´ tu nhiên d¯` o.i nh˜ u.ng yêu cˆ a´t àu cu’a xã hô.i loài ngu ò i ngày ong d¯u’ d¯áp u ´ ng nh˜ Nhu ng sˆ o´ tu nhiên khˆ u ng yêu cˆ àu vˆ è c` ang ph´ at triê’n Phˆ an sˆ o´ (du o ng) d¯u o c ngu ò.i biê´t râ´t só.m yêu cˆ 96 o.c Cˆ ong d¯o d¯a.c v` a phˆ an chia Trong mˆ o.t di ca’o Ai Câ.p, có t` u 1550 n˘am tru.´ è phân sô´ o nh˜ u ng kha’o c´ u u tı’ mı’ vˆ nguyên, d¯˜ a thˆ aý c´ ˆń D -ˆ Sˆ o´ ˆ am d¯u o c d¯`ê cˆ a.p các công tr`ınh cu’a các nhà Toán ho.c A o v` ao d¯`ˆ au th` o i k` y Trung cˆ o’ v` a chı’ d¯êń thê´ ky’ th´ u 16 sau Công nguyên ngu ò i ta m´ o.i - iˆ è gi´ èu d¯ó ch´ o vˆ a tri thu c su cu’a nó D u.ng to’ sô´ âm d¯ò.i khˆ hê´t nghi ng` ong à ng nh˜ àu b´ pha’i yêu cˆ u c b´ ach cu’a cuô.c sôńg, m˘a.c d` u r˘ u ng y ´ ngh˜ıa thu c tiˆ˜e n èu khˆ ong phu’ nhâ.n d¯u o c Khi minh hoa cho sô´ âm ta thu.` am l` a d¯iˆ cu’a sˆ o´ ˆ o.ng èu, nhu.: nhiê.t d¯ô trên 00 v` è nh˜ a du.´ nêu c´ ac v´ı du vˆ u.ng d¯a.i lu.o ng có hai chiˆ o.i èu ngu.o c nhau, Tuy nhiên, è hai chiˆ au, chuyê’n d¯ô.ng vˆ a d¯ô sˆ 00 , d¯ô cao v` àn tˆ a´t ca’ c´ ac tru.` o.ng ho p d¯´ o, ta d¯`êu có thê’ diˆ˜e n d¯a.t d¯u.o c ch´ınh xác mà khˆ ong cˆ am Ch˘ a’ng ha.n, ngu ò i ta vâñ d` u : nhiê.t d` ung d¯êń sô´ ˆ ung song song hai thuâ.t ng˜ 0 d¯ô −10 v` a 10 du ´ o i 00 , hay d¯ô sâu −1490m và 1490m du.ó.i mu c nu.ó.c biê’n, ong a ghi nhˆ a.n r˘à ng sô´ âm d¯u.o c d¯`ê câ.p d¯êń tru.ó.c hê´t các cˆ Li.ch su’ d¯˜ àn tu´ y, nhu vâń d¯`ê gia’i phu o ng tr`ınh hay c´ tr`ınh toán ho.c thuˆ ac biê’u a.y, ta h˜ ay t`ım hiê’u nguyên nhân toán ho.c cu’a su d¯ò i c´ th´ u c d¯a.i sˆ o´ V`ı vˆ ac sˆ o´ am ˆ Ta biê´t r˘ a` ng tˆ a.p ho p các sô´ tu nhiên, phép tr` u không pha’i luˆ on luˆ on ` a thu c hiê.n d¯u o c, hiê.u n − m chı’ tôn ta.i n ≥ m M˘a.t khác, hiê.u n − m ch´ınh l` ’ nghiê.m cua phu o ng tr`ınh m + x = n Vâ.y viê.c thu c hiê.n d¯u o c phép tr` u c´ o thê’ ph´ at biê’u du ´ o i mˆ o.t h`ınh th´ u c tu o ng d¯u o ng khác là su có nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh n´ oi trên, v` a ta c´ o kê´t luâ.n sau: tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên, phu.o.ng o l` a tr`ınh m + x = n c´ o nghiê.m và chı’ n ≥ m và d¯ó nghiê.m cu’a n´ x = n − m àu là mo’ rô.ng tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên d¯ê’ T` u d¯´ o.t yêu cˆ o, xuˆ a´t hiê.n mˆ d¯u.o c mˆ o.t tˆ a.p ho p sˆ o´ m` a d¯ó phép tr` u luôn luôn thu c hiê.n d¯u.o c, t´ u.c l` a phu o ng tr`ınh m + x = n luˆ on luôn có nghiê.m àu Nhu vˆ a.y, viê.c xˆ ay du ng tâ.p ho p sô´ nguyên d¯u.o c d¯˘a.t nhu mô.t yêu cˆ an ho.c nˆ o.i ta.i cu’a to´ 4.2.1 Xˆ ay du ng tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ nguyˆ en t` u tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ tu nhiˆ en: ¯`ˆ au: Sau d¯aˆy ta s˜e xˆ ay du ng tâ.p ho p Z các sô´ nguyên c` ung v´ o.i 4.2.1.1 Mo’ d phép cˆ o.ng v` a phép nhˆ an trên n´ o t` u tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên vó.i hai phép toán d¯˜ a c´ o trên N V´ o.i c´ ach cˆ aú ta.o này, các t´ınh châ´t quen thuô.c cu’a phép cˆ o.ng v` a phép nhˆ an trên Z d¯u o c suy t` u các t´ınh châ´t d¯ã có trên N ’ àu mo’ rˆ o.ng N d¯ê d¯u.o c tâ.p ho p sô´, d¯ó phép tr` u luôn thu c hiê.n Yêu cˆ d¯u.o c, c˜ ung c´ o ngh˜ıa l` a phép cô.ng c´ o phép toán ngu.o c, hay mo.i sô´ d¯`êu có sô´ d¯ˆ oí -´ D o ch´ınh l` a b` to´ an d¯ˆ oí x´ u ng hoá d¯a.i sô´ Nhu ta d¯˜ a biê´t Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, } 97 òn ta.i nhâ´t x ∈ Z cho m + x = n, ta k´ o´ tu nhiên m, n, tˆ y v` a v´ o.i hai sˆ ay gi` o xét ánh xa D : N × N −→ Z cho bo’ i D(n, m) = n − m hiê.u x = n − m Bˆ Khi d¯ó D(n1 , m1 ) = D(n2 , m2 ) ⇔ n1 + m2 = n2 + m1 V´ o.i ch´ uy ´ n` ay, ta t`ım c´ ach xˆ ay du ng tâ.p ho p Z - i.nh ngh˜ıa: Trên tâ.p ho p N × N, xét quan hê hai ngôi R: 4.2.1.2 D ∀(n1 , m1 ), (n2 , m2 ) ∈ N × N, (n1 , m1 ) R (n2 , m2 ) ⇔ n1 + m2 = n2 + m1 Khi d¯ó quan hê R l` a mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên N × N Tˆ a.p ho p thu.o.ng cu’a N×N theo quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng R nhu trên, (N×N)/R, àn tu’ cu’a Z (ch´ınh là mô˜i ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo a Z v` a mˆ o˜i phˆ d¯u.o c k´ y hiê.u l` quan hê R) go.i l` a mˆ o.t sˆ o´ nguyên - ây l` Xét ´ anh xa D : N × N −→ Z xác d¯i.nh bo’.i D(n, m) = (n, m) D a mˆ o.t o ng go.i l` a phép chiêú tu nhiên to` an ´ anh v` a thu ` 4.2.2 Ph´ ep cˆ o.ng v` a ph´ ep nhˆ an trˆ en Z: - i.nh ngh˜ıa: Cho x = D(n, m), y = D(p, q) ∈ Z 4.2.2.1 D 1) Ph´ ep cˆ o.ng: x + y = D(n + p, m + q) 2) Ph´ ep nhˆ an: xy = D(np + mq, nq + mp) 4.2.2.2 T´ınh chˆ a´t: 1) Phép cˆ o.ng v` a phép nhˆ an d¯u.o c xác d¯i.nh trên Z 2) Phép cˆ o.ng v` a phép nhân có t´ınh giao hoán, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ Z, ta c´ o x + y = y + x, xy = yx 3) Phép cˆ o.ng v` a phép nhân c´ o t´ınh kê´t ho p, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Z, ta c´ o (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz) àn tu’ không và vó.i phép nhân có phˆ àn tu’ d¯o.n vi., o.ng c´ o phˆ 4) Z v´ o.i phép cˆ òn ta.i 00 , 10 ∈ Z cho vó.i mo.i x ∈ Z, ta c´ ngh˜ıa l` a tˆ o x + 00 = 00 + x = x, x10 = 10 x = x àn tu’ d¯ôí, ngh˜ıa là vó.i mo.i x ∈ Z tˆ òn ta.i àn tu’ cu’a Z d¯`êu có phˆ 5) Mo.i phˆ (−x) ∈ Z cho x + (−x) = (−x) + x = 00 6) Phép nhˆ an c´ o t´ınh phˆ an phôí d¯ôí vó.i phép cô.ng, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Z, ta c´ o x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx 98 o 7) Phép cˆ o.ng c´ o t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Z, ta c´ x + z = y + z ⇒ x = y o 8) Phép nhˆ an c´ o t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Z, z 6= 00 ta c´ xz = yz ⇒ x = y Ch´ u.ng minh: o 1) Gia’ su’ x = D(n, m) = D(n0 , m0 ), y = D(p, q) = D(p0 , q ) Khi d¯´ 0 0 n + m = n + m, p + q = p + q Ta có (n+p)+(m0 +q ) = (n0 +p0 )+(m+q) ⇒ D(n+p, m+q) = D(n0 +p0 , m0 +q ) np + m0 p = n0 p + mp, n0 q + mq = nq + m0 q, n0 p + n0 q = n0 p0 + n0 q, m0 p0 + m0 q = m0 p + m0 q ⇒ (np + m0 p) + (n0 q + mq) + (n0 p + n0 q ) + (m0 p0 + m0 q) = (n0 p + mp) + (nq + m0 q) + (n0 p0 + n0 q) + (m0 p + m0 q ) ⇒ np + mq + n0 q + m0 p0 = n0 p0 + m0 q + nq + mp ⇒ D(np + mq, nq + mp) = D(n0 p0 + m0 q , n0 q + m0 p0 ) àn c` on la.i, cho tu` yy ´ x = D(n, m), y = D(p, q), z = D(r, s) ∈ Z Trong c´ ac phˆ 2) x + y = D(n + p, m + q) = D(p + n, q + m) = D(p, q) + D(n, m) = y + x xy = D(np + mq, nq + mp) = D(pn + qm, pm + qn) = yx 3) (x + y) + z = D(n + p, m + q) + D(r, s) = D(n + p + r, m + q + s) = D(n, m) + D(p + r, q + s) = x + (y + z) (xy)z = D(np + mq, nq + mp)D(r, s) = D(npr + mqr + nqs + mps, nps + mqs + nqr + mpr) = D(npr + nqs + mps + mqr, nps + nqr + mpr + mqs) = D(n, m)D(pr + qs, ps + qr) = x(yz) -˘ 4) D a.t 00 = D(0, 0) v` a 10 = D(1, 0) Khi d¯ó 00 = D(n, n) và 10 = D(n + 1, n) o v´ o.i mo.i n ∈ N ta c´ x + = D(n, m) + D(0, 0) = D(n + 0, m + 0) = D(n, m) = x x10 = D(n, m)D(1, 0) = D(n1 + m0, n0 + m1) = D(n, m) = x -˘ 5) D a.t −x = D(m, n) Khi d¯ó x + (−x) = D(n, m) + D(m, n) = D(n + m, m + n) = 00 6) x(y + z) = D(n, m)D(p + r, q + s) = D(n(p + r) + m(q + s), n(q + s) + m(p + r)) = D((np + mq) + (nr + ms), (nq + mp) + (ns + mr)) = D(np + mq, nq + mp) + D(nr + ms, ns + mr) = xy + xz 7) x + z = y + z ⇒ D(n + r, m + s) = D(p + r, q + s) ⇒ n + r + q + s = m + s + p + r ⇒ n + q = m + p ⇒ D(n, m) = D(p, q) ⇒ x = y 8) xz = yz ⇒ D(nr + ms, ns + mr) = D(pr + qs, ps + qr) ⇒ nr + ms + ps + qr = ns + mr + pr + qs ⇒ (n + q)r + (m + p)s = (n + q)s + (m + p)r òn ta.i t ∈ N, t 6= cho n + q = m + p + t Gia’ su’ n + q > m + p, ngh˜ıa là tˆ Khi d¯ó (m + p)r + tr + (m + p)s = (m + p)s + ts + (m + p)r ⇒ tr = ts ⇒ r = s - ièu n` ung dˆ añ D ay mˆ au thuˆ a’n v´ o.i z = D(r, s) 6= 00 Tu.o.ng tu n + q < m + p c˜ d¯êń mˆ au thuˆ a’n Vˆ a.y n + q = m + p hay x = y 99 ung vó.i phép cˆ o.ng và nhân 4.2.2.3 Hˆ e qua’: Tˆ a.p ho p Z các sô´ nguyên c` anh giao hoán có d¯o n vi và không có u.ó.c cu’a anh mˆ o.t v` (4.2.2.1) ta.o th` 4.2.2.4 Quan hˆ e gi˜ u.a N v` a Z: Xét ánh xa f : N −→ Z : n 7→ f (n) = D(n, 0) o c´ ac t´ınh châ´t sau: Khi d¯ó ´ anh xa f c´ 1) f l` a mˆ o.t d¯o n ´ anh o i n1 , n2 ∈ N, f (n1 ) = f (n2 ), ta có D(n1 , 0) = D(n2 , 0) hay a.y, v´ Thˆ a.t vˆ n1 + = + n2 hay n1 = n2 an, ngh˜ıa là vó.i mo.i n1 , n2 ∈ N, 2) f ba’o toàn phép cˆ o.ng và phép nhˆ f (n1 + n2 ) = f (n1 ) + f (n2 ), f (n1 n2 ) = f (n1 ).f (n2 ) Thˆ a.t vˆ a.y, ta c´ o f (n1 + n2 ) = D(n1 + n2 , 0) = D(n1 , 0) + D(n2 , 0) = f (n1 ) + f (n2 ), f (n1 n2 ) = D(n1 n2 , 0) = D(n1 , 0)D(n2 , 0) = f (n1 ).f (n2 ) o thê’ d¯`ông nhâ´t mô˜i sô´ tu nhiên n ac t´ınh chˆ a´t trên cu’a ánh xa f , ta c´ T` u c´ v´ o.i sô´ nguyên D(n, 0): n = D(n, 0) u d¯ó ta có: v` a d¯´ o N l` a mˆ o.t tˆ a.p thu c su cu’a Z T` 00 = D(0, 0) = 0, 10 = D(1, 0) = 4.2.3 Ph´ ep tr` u trˆ en Z: 4.2.3.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Phu.o.ng tr`ınh a + x = b vó.i a, b ∈ Z luôn có nghiê.m Z v` a nghiê.m d¯´ o l` a nhˆ a´t -˘ Ch´ u.ng minh: D a.t x = −a + b vó.i −a là sô´ d¯ôí cu’a a, ta c´ o a + x = a + (−a + b) = (a + (−a)) + b = + b = b Vˆ a.y −a + b l` a mˆ o.t nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh Ngoài ra, nêú x0 ∈ Z là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trên, ta có a + x0 = b Khi d¯ó −a + (a + x0 ) = −a + b hay x0 = −a + b Vˆ a.y nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh là nhâ´t - i.nh ngh˜ıa: Nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh a + x = b go.i là hiê.u cu’a b v` 4.2.3.2 D a a, k´ y hiê.u b − a (d¯o.c l` a b tr` u a) òn ta.i và ch´ınh là tô’ng cu’a b v´ Theo mê.nh d¯`ê trên, ta có hiê.u b − a luôn tˆ o.i sˆ o´ d¯ôí cu’a a : b − a = b + (−a) Vˆ a.y b tr` u a l` a tˆ o’ng cu’a b vó.i sô´ d¯ôí cu’a a và phép tr` u trên Z luôn luôn thu c hiê.n d¯u.o c 100 9π 9π + i sin = − √ + √ i, 12 12 2 √ √ √ √ 17π 17π 2(1 − 3) 2(1 + 3) + i sin = − i u02 = cos 12 12 4 √ √ 7π 7π + i sin ) Do d¯ó các c˘ an bˆ a.c 2) z = − i = 2( √ − √ i) = 2(cos 4 2 a: n cu’a z l` u01 = cos 7π + 2kπ + 2kπ + i sin ) (k = 0, 1, , n − 1) n n √ √ π π z = + i = 2( + i) = 2(cos + i sin ) Do d¯ó các c˘an bâ.c n cu’a 2 3 z l` a: √ uk = 2(cos 2n u0k √ n = 2(cos 7π π + 2kπ + i sin n π + 2kπ ) (k = 0, 1, , n − 1) n 13 = cos + i sin Do d¯ó có n c˘an bâ.c n là: k = cos 2kπ 2kπ + i sin (k = 0, 1, , 9) 10 10 2knπ 2knπ + n l` a bˆ o.i cu’a 10: Khi d¯ó n + i sin = (k = 0, 1, , 9) k = cos 10 10 V`ı vâ.y n n S = n + 1 + · · · + 9 = 10 + n khˆ ong l` a bˆ o.i cu’a 10: Khi d¯ó k = (cos 2π k 2π + i sin ) = k1 (k = 0, 1, , 9), 10 10 2nπ 2nπ ay n + i sin 6= V`ı vˆ a.y o’ d¯ˆ = cos 10 10 n n S = (01 )n + (11 )n + (21 )n + · · · + (91 )n = + n + (1 ) + · · · + (1 ) 10 n − (n − (10 1−1 1) ) = = n n − 1 − 1 − n = = 14 (z + i)7 + (z − i)7 = ⇔ z + i 7 z−i z+i - ˘a.t u = , phu.o.ng tr`ınh tro’ = −1 D z−i th` anh: u7 = −1 = cos π + i sin π 139 Do d¯ó n´ o c´ o c´ ac nghiê.m l` a các c˘ an bâ.c cu’a −1: uk = cos -˘ D a.t ϕk = π + 2kπ π + 2kπ + i sin (k = 0, 1, , 6) 7 π + 2kπ Ta c´ o uk = z+i ⇔ uk z − uk i = z + i ⇔ z(uk − 1) = i(uk + 1) z−i i(cos ϕk + i sin ϕk + 1) i(uk + 1) = ⇔z= uk − cos ϕk + i sin ϕk − 140 CHU O NG VI: ´.C - A THU D ´ C VA ` HAM ` ´ C - A THU - A THU 6.1 D D - i.nh ngh˜ıa: Cho F là mô.t tru.ò.ng Biê’u th´ 6.1.1 D u.c h`ınh th´ u.c f (x) = a0 + a1 x + · · · + anxn , u.c biêń x lâý hê sô´ trên F Ta d¯´ o a0 , a1 , , an ∈ F, d¯u.o c go.i là mô.t d¯a th´ c´ o thê’ viê´t f (x) du.´ o.i da.ng f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 oi f (x) có bâ.c n, k´ y hiê.u deg(f (x)) = n; còn an d¯u.o c Nêú an 6= th`ı ta n´ - ˘a.c biê.t, nêú an = th`ı ta nói f (x) l` go.i l` a hê sˆ o´ dˆ añ d¯`ˆ au cu’a f (x) D a mˆ o.t d¯a th´ u c d¯o n hê u.c không, k´ Nêú a0 = a1 = · · · = an = th`ı f (x) d¯u.o c go.i là d¯a th´ y hiê.u 0; o c d¯a th´ u c c´ o bˆ a.c b˘a` ng −∞ ta quy u ´ Tˆ a.p ho p c´ ac d¯a th´ u c biêń x lâý hê sô´ trên F d¯u.o c k´ y hiê.u là F[x] Ta trang bi cho tˆ a.p ho p n` ay hai phép toán cô.ng và nhˆ an nhu sau: ∀f (x) = a0 + a1x + · · · + an xn , g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm ∈ F[x], at, có thê’ xem n ≤ m) (khˆ ong mˆ a´t t´ınh tô’ng qu´ f (x)+g(x) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+· · ·+(an +bn )xn +bn+1 xn+1 +· · ·+bm xm , P f (x)g(x) = c0 + c1 x + · · · + cn+m xn+m , d¯ó ck = a i bj i+j=k 6.1.2 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: F[x] c` ung vó.i hai phép toán nói trên ta.o thành mô.t vành giao ho´ an, c´ o d¯o.n vi., khˆ ong c´ o u.ó.c cu’a không vó.i d¯˘a.c sô´ Char(F[x]) = Char(F) Ch´ u.ng minh: Nhˆ ac d¯a th´ u.c f (x) và g(x), ta c´ o a.n xét r˘a` ng d¯ôí v´ o.i c´ deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)) ong c´ o u.ó.c cu’a không Các kh˘a’ng d¯.inh T´ınh chˆ a´t n` ay dˆ añ t´ o.i su kiê.n F[x] khˆ c` on la.i cu’a mê.nh d¯`ê d¯`êu dˆ˜e kiê’m tra V` anh F[x] d¯u.o c go.i l` a vành d¯a th´ u.c (biêń x) Tuy nhiên, vành d¯a th´ u.c ac d¯i.nh trên tru ò ng F mà có thê’ trên v` khˆ ong nhˆ a´t thiê´t d¯u o c x´ anh giao hoán a´t k` y R v` a d¯ó R[x] c´ o thê’ có u.ó.c cu’a không c´ o d¯o n vi bˆ ´ - i.nh ngh˜ıa: Anh òn 6.1.3 D xa ϕ : F −→ F d¯u.o c go.i l` a mô.t hàm d¯a th´ u.c nêú tˆ n ta.i d¯a th´ u c f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an x ∈ F[x] cho ϕ(c) = a0 +a1 c+· · ·+an cn Khi d¯ó ta c´ o thê’ viê´t f (c) thay cho ϕ(c) u.c và mô˜i h` am d¯a Theo d¯i.nh ngh˜ıa, mˆ o˜i d¯a th´ u.c xác d¯i.nh mô.t hàm d¯a th´ ac d¯i.nh bo’ i ´ıt nhâ´t mô.t d¯a th´ u c th´ u c d¯u o c x´ 141 u.c xp − x và Zp [x] x´ Ch˘ a’ng ha.n, v´ o.i sô´ nguyên tô´ p, hai d¯a th´ ac d¯i.nh y Fermat, am d¯a th´ u c - h` c` ung mˆ o.t h` am d¯`ông nhâ´t không Thâ.t vâ.y, theo d¯i.nh l´ p à ng quy na.p theo m ∈ N m ≡ m (mod p), v´ o i mo.i m ∈ Z (có thê’ ch´ u ng minh b˘ k ’ ` ´ r˘ a ng hê sˆ o´ tˆ o ho p Cp ≡ (mod p), ≤ k ≤ p − và m < kê´t v´ o i lu u y p qua’ c´ o t` u (−m) ≡ (−m) (mod p)), cho nên cp = c vó.i mo.i c ∈ Zp 6.1.4 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Cho f (x) ∈ F[x] và c ∈ F Khi d¯ó f (x) chia hê´t cho x − c ’ v` a chı f (c) = O’ d¯ˆ ay cˆ au n´ oi “f (x) chia hê´t cho x − c” có ngh˜ıa f (x) = (x − c)g(x) v´ o.i g(x) ∈ F[x], k´ y hiê.u f (x) x − c o Ch´ u.ng minh: Gia’ su’ f (x) = a0 + a1 x + · · · + anxn Ta c´ n n n P P P f (x) − f (c) = ak xk − a k ck = ak (xk − ck ) = k=0 n P k=0 k=0 ak (x − c)(xk−1 + cxk−2 + · · · + ck−1 ) k=0 Do d¯ó nêú f (c) = th`ı f (x) = (x − c)g(x), d¯ó n P g(x) = ak (xk−1 + cxk−2 + · · · + ck−1 ) ∈ F[x] k=0 - a’o la.i, nêú f (x) = (x − c)g(x) vó.i g(x) ∈ F[x] th`ı thay x bo’.i c ta d¯u.o c f (c) = D - i.nh ngh˜ıa: Phˆ àn tu’ c ∈ F d¯u.o c go.i là mô.t nghiê.m cu’a d¯a th´ 6.1.5 D u.c f (x) ∈ F[x] nêú f (c) = v` a nó d¯u.o c go.i là mô.t nghiê.m bô.i k (vó.i k là mˆ o.t sˆ o´ k nguyên du o ng) cu’a f (x) nêú f (x) chia hê´t cho (x − c) , nhu ng không chia hê´t cho (x − c)k+1 F[x] èu nhˆ 6.1.6 Hˆ e qua’: Nêú d¯a th´ u.c f (x) ∈ F[x] có bâ.c n th`ı f (x) có nhiˆ a´t n nghiê.m F Lu.u y ´ r˘à ng ph´ at biê’u trên không còn d¯u ´ ng nêú F là mô.t vành có u.´ o.c cu’a khˆ ong o.ng F là vô ha.n th`ı hai d¯a th´ u.c khác F[x] 6.1.7 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Nêú tru.` x´ ac d¯.inh hai h` am d¯a th´ u c khác trên F Ch´ u.ng minh: Gia’ su’ f (x), g(x) ∈ F[x] và f (x) 6= g(x) Nêú f (x) v` a g(x) x´ ac d¯i.nh c` ung mˆ o.t h` am d¯a th´ u c th`ı f (c) = g(c) vó i mo.i c ∈ F M˘a.t kh´ ac, r(x) = f (x) − g(x) l` a d¯a th´ u c khác F[x] nên có h˜ u u ha.n nghiê.m - iˆ èu n` F D ay mˆ au thuˆ añ vó i r(x) c´ o vô sô´ nghiê.m F, F là vô ha.n Vˆ a.y, nêú F l` a vˆ o ha.n th`ı c´ ac khái niê.m d¯a th´ u.c và hàm d¯a th´ u.c là tu.o.ng a.t ng˜ u chuyên môn, v` anh các d¯a th´ u.c d¯˘a’ng câú vó.i vành c´ ac d¯u.o.ng (tho thuˆ h` am d¯a th´ u c) Khi d¯´ o ta s˜e d¯u o c phép quên d¯i su khác gi˜ u a các d¯a th´ u.c v` a c´ ac h` am d¯a th´ u.c 142 Th´ı du.: 1) Cho f (x) = + 4x + 2x2 , g(x) = + x + 3x2 ∈ Z5 [x] Ta c´ o: f (x)g(x) = 1.2 + (1 + 4.2)x + (1.3 + 4.1 + 2.2)x2 + (4.3 + 2.1)x3 + 2.3x4 = + 4x + x2 + 4x3 + x4 2) Cho f (x) = x + 4x2 + 2x3 , g(x) = + 3x + 3x2 ∈ Z6 [x] Ta c´ o: f (x)g(x) = 2x + 5x2 + x3 o.c cu’a không; ch˘a’ng ha.n, 2x và + 3x là hai d¯a th´ ac o u.´ u.c kh´ V` anh Z6 [x] c´ khˆ ong nhu.ng 2.(3 + 3x) = 3) Trong v` anh Q[x], d¯a th´ u.c f (x) = (x + 1)2n − x2n − 2x − chia hê´t cho 2x + 1, x + 1, x Thˆ a.t vˆ a.y, 1 1 f (− ) = (− +1)2n −(− )2n −2(− )−1 = ⇒ f (x) x+ ⇒ f (x) 2x+1, 2 2 f (−1) = (−1 + 1)2n − (−1)2n − 2(−1) − = ⇒ f (x) x + 1, f (0) = (0 + 1)2n − 02n − 2.0 − = ⇒ f (x) x a.c hai f (x) = 14 + x2 ∈ Z15 [x] Khi d¯ó c´ 4) Cho d¯a th´ u.c bˆ o nghiê.m Z15 l` a 1, 14 = −1, 4, 11 = −4 (ngoài không còn nghiê.m nào kh´ ac) - a th´ a.c hai g(x) = 20 + x2 ∈ Z21 [x] c´ D u.c bˆ o d¯u ´ ng nghiê.m Z21 l` a 1, 20, 8, 13 ˆ T TOAN ´ CHIA 6.2 THUA - i.nh l´ 6.2.1 D y (Ph´ ep chia Euclid v´ o.i du.): Cho f (x), g(x) ∈ F[x] v´ o.i òn ta.i nhâ´t c´ g(x) 6= Khi d¯´ o tˆ ac d¯a th´ u c q(x), r(x) ∈ F[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), u.c d¯´ o deg(r(x)) < deg(g(x)) Ta nói f (x) là d¯a th´ u.c bi chia, g(x) là d¯a th´ chia, q(x) l` a d¯a th´ u.c thu.o.ng và r(x) là d¯a th´ u.c du Ch´ u.ng minh: 1) T´ınh nhˆ a´t: Gia’ su’ f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), d¯´ o q(x), q1 (x), r(x), r1 (x) ∈ F[x] vó.i deg(r(x)), deg(r1 (x)) < deg(g(x)), t` u d¯´ o suy deg(r(x)−r1 (x)) < deg(g(x)) Khi d¯ó r(x)−r1 (x) = g(x)[q1(x)−q(x)] Nêú r(x) 6= r1 (x) th`ı r(x) − r1 (x) và q1 (x) − q(x) là hai d¯a th´ u.c khác - iˆ èu vˆ o F[x] v` a deg(r(x) − r1 (x)) = deg(g(x)) + deg(q1 (x) − q(x)) ≥ deg(g(x)) D l´ y n` ay cho biê´t r(x) = r1 (x) và d¯ó q(x) = q1 (x) òn ta.i: Nêú deg(f (x)) < deg(g(x)) th`ı f (x) = g(x)q(x) + r(x), vó.i q(x) = Su tˆ v` a r(x) = f (x) Nêú deg(f (x)) ≥ deg(g(x)), v´ o.i f (x) = a0 + a1x + · · · + an xn , g(x) = an n−m b0 +b1 x+· · ·+bm xm (m ≤ n), ta lâý h(x) = x và f1 (x) = f (x)−g(x)h(x) bm 143 o th`ı ta c´ o f (x) = g(x)h(x) + f1 (x), vó.i deg(f1 (x)) < deg(f (x)) Tu.o.ng tu , ta c´ biê’u diˆ˜e n f1 (x) = g(x)h1(x) + f2 (x), vó i deg(f2 (x)) < deg(f1 (x)) Tiê´p tu.c nhu o ay f1 (x), f2 (x), , fk (x) cho deg(fk (x)) < deg(g(x)) Khi d¯´ vˆ a.y ta d¯u.o c d˜ f (x) = g(x)q(x) + r(x) v´ o i q(x) = h(x) + h1 (x) + · · · + hk−1 (x) và r(x) = fk (x) ´ r˘ a` ng nêú r(x) = th`ı f (x) = g(x)q(x) và ta nói f (x) chia hê´t cho Lu.u y o.c cu’a f (x), k´ y hiê.u f (x) g(x) g(x) hay g(x) l` a mˆ o.t u.´ 6.2.2 Hˆ e qua’: Cho f (x) ∈ F[x] và c ∈ F Khi d¯ó du cu’a phép chia f (x) cho x − c l` a f (c) Ch´ u.ng minh: Ta c´ o f (x) = (x − c)q(x) + r(x), vó.i deg(r(x)) < deg(x − c) = 1, cho nên r(x) = r ∈ F Thay x = c, ta c´ o r = f (c) - i.nh ngh˜ıa: Cho f (x), g(x) ∈ F[x] là hai d¯a th´ 6.2.3 D u.c không d¯`ông thò.i b˘ a` ng d¯a th´ u c Da th´ u c d(x) d¯u o c go.i là u ó c chung ló n nhâ´t cu’a f (x) và g(x) nêú n´ o a u´ a mo.i u ó c chung cu’a f (x) v` a g(x) d¯`êu l` l` a mˆ o.t u ´ o c chung cu’a f (x) và g(x) v` oc cu’a d(x), k´ y hiê.u d(x) = UCLN(f (x), g(x)) hay d¯o n gia’n là d(x) = (f (x), g(x)) à ng sˆ ung ac không th`ı f (x) và g(x) d¯u.o c go.i là nguyên tˆ o´ c` Khi d(x) l` a h˘ o´ kh´ nhau, k´ y hiê.u (f (x), g(x)) = Nhu vˆ a.y, f (x) v` a g(x) nguyên tô´ c` ung và chı’ f (x) v` a g(x) khˆ ong c` ung chia hê´t cho d¯a th´ u c nào có bâ.c ≥ a d2 (x) l` a hai u.ó.c chung ló.n nhâ´t cu’a f (x) và g(x) F[x] Nêú d1 (x) v` òn ta.i u(x), v(x) ∈ F[x] cho d1 (x) = u(x)d2 (x), d2 (x) = v(x)d1 (x) Khi th`ı tˆ d¯ó d1 (x) = u(x)v(x)d1 (x) hay u(x)v(x) = Do d¯ó u(x) = c, v(x) = d ∈ F v` a o suy d1 (x) = cd2 (x), vó i c ∈ F, c 6= cd = T` u d¯´ è u.´ T` u d¯.inh ngh˜ıa vˆ o.c chung ló.n nhˆ a´t cu’a hai d¯a th´ u.c, ta dˆ˜e dàng suy mê.nh d¯`ê du.´ o.i d¯ˆ ay an ac d¯a th´ u.c f (x), g(x), q(x), r(x) ∈ F[x] thoa’ m˜ 6.2.4 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Cho c´ à ng d¯a th´ f (x) = g(x)q(x) + r(x), v´ o i f (x) và g(x) khˆ ong d¯`ông thò i b˘ u c Khi d¯´ o UCLN(f (x), g(x)) =UCLN(g(x), r(x)) 6.2.5 Ch´ uy ´ (Thuˆ a.t to´ an Euclid t`ım UCLN): Cho hai d¯a th´ u.c f (x), g(x) ∈ è phép chia v´ F[x], v´ o.i g(x) 6= Theo d¯i.nh l´ y vˆ o.i du., ta c´ o f (x) = g(x)q1 (x) + ´ r1 (x), v´ o i deg(r1 (x)) < deg(g(x)) Nêu r1 (x) = th`ı UCLN(f (x), g(x)) = g(x) ´ Nêu r1 (x) 6= 0, la.i su’ du.ng phép chia vó.i du., ta d¯u.o c dãy: f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), 6= deg(r1 (x)) < deg(g(x)), g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), 6= deg(r2 (x)) < deg(r1 (x)), , rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), 6= deg(rk (x)) < deg(rk−1 (x)), rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x) + c, c ∈ F 144 Theo (6.2.4), UCLN(f (x), g(x)) =UCLN(g(x), r1 (x)) =UCLN(r1 (x), r2 (x)) = · · · =UCLN(rk−1 (x), rk (x)) =UCLN(rk (x), c) Nêú c = th`ı UCLN(f (x), g(x)) = rk (x) ung a g(x) nguyên tô´ c` Nêú c 6= th`ı f (x) v` 6.2.6 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Hai d¯a th´ u.c f (x), g(x) ∈ F[x] nguyên tô´ c` ung v` a ` ’ chı tˆ on ta.i r(x), s(x) ∈ F[x] cho f (x)r(x) + g(x)s(x) = Ch´ u.ng minh: - iˆ èu kiˆ òn ta.i r(x), s(x) ∈ F[x] cho f (x)r(x) + g(x)s(x) = D e.n d ¯u’: Nêú tˆ y cu’a f (x) và g(x) ta suy d(x) là u.ó.c cu’a 1, th`ı t` u d(x) l` a u´ o c chung bˆ a´t k` t´ u.c là d(x) l` a d¯a th´ u.c bˆ a.c Nhu vâ.y, f (x) và g(x) không c´ o u.ó.c chung n` ao l` a ung d¯a th´ u c c´ o bˆ a.c ≥ 1, d¯ó f (x) và g(x) nguyên tô´ c` - iˆ èu kiˆ àn: Gia’ su’ f (x) và g(x) nguyên tô´ c` àn xét D e.n cˆ ung Ta chı’ cˆ ` ’ u c d¯êu kh´ ac không Thu c hiê.n thuâ.t toán Euclid o’ tru ò ng ho p ca hai d¯a th´ (6.2.5) ta d¯u o c c 6= òi rk (x) t´ınh d¯u.o c theo Ta nhˆ a.n thˆ aý c t´ınh d¯u.o c theo rk−1 (x), rk (x), rˆ rk−1 (x) v` a rk−2 (x), , r1 (x) t´ınh d¯u.o c g(x) và f (x) Do d¯ó c t´ınh d¯u.o c theo f (x) v` a g(x) du.´ o.i da.ng c = f (x)e r (x) + g(x)e s(x) V`ı c 6= nên ta c´ o −1 −1 f (x)r(x) + g(x)s(x) = 1, v´ o i r(x) = c re(x), s(x) = c se(x) Th´ı du.: 1) H˜ ay x´ ac d¯.inh sô´ nguyên p d¯ê’ du cu’a phép chia d¯a th´ u.c x3 + px + à ng cho x2 + 5x + Z7 [x] b˘ Thu c hiê.n phép chia Euclid Z7 [x] d¯a th´ u.c x3 + px + cho x2 + 5x + 6, - ê’ cho ta nhˆ a.n d¯u.o c thu.o.ng l` a d¯a th´ u.c x + và du là d¯a th´ u.c (p − − 3)x D o p ≡ (mod 7), hay p có da.ng 7k + v´ o.i k ∈ Z (p − − 3) = ta pha’i c´ a g(x) = 2) T`ım u.´ o.c chung l´ o.n nhâ´t cu’a f (x) = x5 + x3 + x2 + x + v` x + 2x + x + Q[x] f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), q1 (x) = x2 − 2x + 4, r1 (x) = −6x2 − x − 3, 11 1 g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), q2 (x) = − x − , r2 (x) = x+ , 36 36 12 396 216 180 r1 (x) = r2 (x)q3 (x)r3 (x), q3 (x) = − x+ , r3 (x) = − 49 49 o.c chung l´ o.n nhˆ a´t cu’a f (x) = x5 + x3 + x2 + x + và g(x) = x3 + Vˆ a.y u.´ 2x2 + x + l` a hay (f (x), g(x)) = ’ QUY ´ C BA ˆ´T KHA - A THU 6.3 D - i.nh ngh˜ıa: D - a th´ 6.3.1 D u.c f (x) ∈ F[x] d¯u.o c go.i là bâ´t kha’ quy trên F hay F[x] nêú n´ o c´ o bˆ a.c du.o.ng và nêú nó không th` u.a nhâ.n mô.t phân t´ıch n` ao c´ o da.ng f (x) = g(x)h(x), d¯ó các d¯a th´ u c g(x), h(x) ∈ F[x] d¯`êu có bˆ a.c nho’ 145 o.t d¯a th´ u.c d¯u.o c go.i là kha’ quy trên F nêú nó không bˆ a´t kha’ ho.n deg(f (x)) Mˆ quy trên F N´ oi c´ ach kh´ ac, d¯a th´ u.c f (x) ∈ F[x] là bâ´t kha’ quy trên F nêú n´ o c´ o bˆ a.c u c bâ.c du o ng có da.ng cf (x) ∈ F[x], du o ng v` a chı’ chia hê´t cho các d¯a th´ d¯ó c ∈ F \ {0} u.c bâ.c nhâ´t F[x] d¯`êu bâ´t kha’ quy trên F Th´ı du.: 1) Mo.i d¯a th´ 2) Mo.i d¯a th´ u.c bˆ a´t kha’ quy trên F bâ.c ló.n ho.n d¯`êu vô nghiê.m F - iˆ èu ngu.o c la.i khˆ ong d¯u ´ ng Ch˘a’ng ha.n, f (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 3) ∈ D R[x] vˆ o nghiê.m R nhu.ng la.i kha’ quy trên R 3) Cho f (x) ∈ F[x] c´ o deg(f (x)) = ho˘a.c Khi d¯ó nêú f (x) kha’ quy th`ı F[x] c´ o phˆ an t´ıch f (x) = g(x)h(x) và g(x) ho˘a.c h(x) là bâ.c nhâ´t, d¯´ o n´ o ´ ’ c´ o nghiê.m V`ı vˆ a.y, tru ò ng ho p này, f (x) là bâ t kha quy trên F v` a chı’ f (x) vˆ o nghiê.m F è t´ınh d¯óng d¯a.i sô´ cu’a tru.` Ch´ ung ta th` u.a nhˆ a.n d¯.inh l´ y sau d¯ây, nói vˆ o.ng sˆ o´ ph´ u c C - a.i sˆ - i.nh l´ - i.nh l´ u.c bâ.c du.o.ng o´ ho.c): Mo.i d¯a th´ 6.3.2 D y (D y co ba’n cu’a D u.c d¯`êu c´ o nghiê.m ph´ u.c v´ o.i hê sˆ o´ ph´ N´ oi c´ ach kh´ ac, mˆ o.t d¯a th´ u.c hê sô´ ph´ u.c là bˆ a´t kha’ quy trên C và chı’ n´ o l` a mˆ o.t d¯a th´ u c bˆ a.c nhˆ a´t Nhu vˆ a.y, nêú f (x) ∈ C[x] có bâ.c n th`ı nó th` u.a nhâ.n phân t´ıch f (x) = an (x − z1 ) (x − zn ), añ d¯`âu cu’a f (x) và z1 , , zn là các sô´ ph´ u.c n` ao d¯´ o d¯´ o an 6= l` a hê sˆ o´ dˆ Cho t´ o i nay, mo.i ch´ u ng minh d¯ã biê´t cu’a d¯.inh l´ y này d¯`êu mang ba’n s˘ ać àn tu´ Tˆ opˆ o, H`ınh ho.c ho˘a.c Gia’i t´ıch Chu a có mô.t ch´ u ng minh thuˆ y d¯a.i sˆ o´ n` ao cho d¯.inh l´ y n` ay o nghiê.m Nh˘ ać la.i r˘ a` ng tam th´ u.c bâ.c hai hê sô´ thu c ax2 + bx + c không c´ a chı’ biê.t th´ u c cu’a nó ∆ = b − 4ac < thu c v` y co ba’n cu’a d¯a.i sô´ ho.c là kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆ ay Mˆ o.t u ´.ng du.ng cu’a d¯.inh l´ - i.nh l´ 6.3.3 D y: Mˆ o.t d¯a th´ u.c hê sô´ thu c là bâ´t kha’ quy trên R và chı’ n´ o ho˘a.c l` a mˆ o.t d¯a th´ u.c bˆ a.c nhâ´t ho˘a.c là mô.t d¯a th´ u.c bâ.c hai vó.i biê.t th´ u.c ˆ am Ho n n˜ u a, mo.i d¯a th´ u c f (x) ∈ R[x] d¯`êu th` u a nhâ.n phân t´ıch f (x) = an(x − x1 )k1 (x − xr )kr (x2 + b1 x + c1 )l1 (x2 + bs x + cs )ls , a hê sˆ o´ dˆ añ d¯`ˆ au cu’a f (x), d¯ó an l` r P ki + i=1 s P lj = n = deg(f (x)), x1 , , xr j=1 a c´ ac tam th´ u.c bâ.c hai hê sô´ thu c (x2 + bi x + ci ) d¯`êu khˆ l` a c´ ac sˆ o´ thu c v` ong c´ o nghiê.m thu c 146 o.i biê.t o r` ang mo.i d¯a th´ u.c hê sô´ thu c bâ.c nhâ´t ho˘a.c bâ.c hai v´ Ch´ u.ng minh: R˜ a´t kha’ quy trên R Kh˘a’ng d¯i.nh ngu.o c la.i d¯u.o c bao hàm th´ u.c ˆ am d¯`êu bˆ àn t`ım cho mo.i d¯a th´ phˆ an t´ıch cˆ u.c f (x) nói d¯.inh l´ y à ng a tˆ a´t ca’ các nghiê.m thu c cu’a f (x) vó.i bô.i tu.o.ng u Go.i x1 , , xr l` ´.ng b˘ o k1 , , kr Ta c´ f (x) = an (x − x1 )k1 (x − xr )kr P (x), d¯´ o P (x) l` a mˆ o.t d¯a th´ u.c hê sô´ thu c nhu.ng không có nghiê.m thu c Gia’ su’ z1 l` a mˆ o.t nghiê.m ph´ u.c cu’a P (x), d¯ó z c˜ ung là mˆ o.t nghiê.m cu’a P (x) Thˆ a.t m o da.ng P (x) = dm x + · · · + d1 x + d0 , d¯ó dm , , d0 là c´ vˆ a.y, P (x) c´ ac sˆ o´ u c l` a di = di Dˆ˜e thˆ thu c, t´ aý r˘a` ng = P (z1 ) = dm z1m + · · · + d1 z1 + d0 = dm z1m + · · · + d1 z + d0 = dm z m + · · · + d1 z + d0 = P (z ) a.n Do d¯ó P (x) = (x − z1 )(x − z )Q(x), d¯ó Q(x) là mô.t d¯a th´ u.c Nhˆ à ng xét r˘ (x − z1 )(x − z ) = x2 − (z1 + z )x + z1 z = x2 − 2Re(z1 )x + |z1 |2 a.c hai hê sô´ thu c nhu.ng không có nghiê.m thu c Do t´ınh l` a mˆ o.t tam th´ u.c bˆ nhˆ a´t cu’a phép chia d¯a th´ u.c P (x) cho d¯a th´ u.c x2 − 2Re(z1 )x + |z1 |2 c´ ac ´ ong c´ o v` anh R[x] v` a C[x], ta c´ o Q(x) c˜ ung là mô.t d¯a th´ u c hê sô thu c Nó khˆ nghiê.m thu c v`ı P (x) c˜ ung vâ.y L˘a.p la.i nh˜ u.ng lâ.p luâ.n o’ trên vó.i Q(x) thay cho P (x) Bo’.i v`ı deg(Q(x)) < deg(P (x)), cho nên ta nhˆ a.n d¯u.o c phân t´ıch cu’a f (x) à ng cách quy na.p theo deg(P (x)) nhu n´ oi d¯i.nh l´ y b˘ u.c bâ.c du.o.ng f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ Z[x] 6.3.4 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Nêú d¯a th´ r u.u tı’ d¯ó có da.ng , v´ o.i r|a0 và s|an c´ o mˆ o.t nghiê.m h˜ u.u tı’ th`ı nghiê.m h˜ s p o.t nghiê.m h˜ u.u tı’ c = Khi d¯ó p = rd, q = sd, Ch´ u.ng minh: Gia’ su’ f (x) có mˆ q r a u´ o c chung l´ o n nhˆ a´t cu’a p và q và c = , vó i (r, s) = (t´ u.c l` a r v` as v´ o i d l` s nguyên tˆ o´ c` ung nhau) Do f (c) = 0, ta có a0 sn + a1 rsn−1 + · · · + an−1rn−1 s + an rn = 0, d¯ó s|an rn v` a r|a0 sn T` u (s, rn ) = và (r, sn ) = ta suy r|a0 v` a s|an èu kiê.n d¯u’ cu’a t´ınh bˆ a.n d¯i.nh l´ y sau d¯ây, mô.t d¯iˆ a´t kha’ Ch´ ung ta th` u.a nhˆ quy trên Q - i.nh l´ 6.3.5 D y (Tiˆ eu chuˆ a’n bˆ a´t kha’ quy Eisenstein): Cho d¯a th´ u.c f (x) = òn ta.i sô´ nguyên tô´ p cho a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ Z[x] (n > 1) Khi d¯ó nêú tˆ p|a0 , p|a1 , , p|an−1, p |an , p |a0 th`ı f (x) là bˆ a´t kha’ quy trên Q 147 ` TA ˆ P CHU.O.NG VI BAI èu kiê.n P (0) = v` a T`ım tâ´t ca’ các d¯a thú.c hê sô´ thu c P (x) thoa’ mãn d¯iˆ u c: a´t th´ d¯`ông nhˆ P (x) = (P (x + 1) + P (x − 1)), ∀x ∈ R 2 1) Cho f (x) là d¯a thú.c bâ.c n vó.i hê sô´ thu c và f (x) là d¯a.o hàm cu’a f (x) à ng f (x) c´ à ng nêú sˆ o´ thu c o n nghiê.m thu c x1 , x2 , , xn Ch´ u.ng minh r˘ Biê´t r˘ a khˆ ong pha’i l` a nghiê.m cu’a f (x) th`ı 1 f (a) + + ··· + = a − x1 a − x2 a − xn f (a) o nghiê.m thu c x1 , x2 , x3 T´ınh 2) Cho d¯a th´ u.c ϕ(x) = x3 + x2 − 4x + c´ 1 + + , − 3x1 + x2 − 3x2 + x3 − 3x3 + 1 B= + + x1 − 2x1 + x2 − 2x2 + x3 − 2x3 + A= x21 Chú.ng minh r˘a` ng vó.i mo.i sô´ tu nhiên n, d¯a thú.c (x + 1)2n+1 + xn+2 chia hê´t cho d¯a th´ u.c x2 + x + Cho k và n là hai sô´ nguyên du.o.ng, r là du cu’a phép chia Euclid k cho n Ch´ u.ng minh r˘ a` ng du cu’a phép chia Euclid xk cho xn − là xr Cho n là mô.t sô´ nguyên du.o.ng và ϕ là mô.t sô´ thu c T`ım du cu’a phép chia Euclid (x sin ϕ + cos ϕ)n cho x2 + C[x] Trên tru.ò.ng Q các sô´ h˜u.u tı’, t`ım u.ó.c chung ló.n nhâ´t cu’a f (x) = 2x4 − x3 + x2 + 3x + 1, g(x) = 2x3 − 3x2 + 2x + u.c d¯ã cho v` a sau d¯´ o biê’u thi n´ o nhu là tô’ ho p tuyêń t´ınh cu’a các d¯a th´ Trên tru.ò.ng Z3 , t`ım u.ó.c chung ló.n nhâ´t cu’a f (x) = x5 + x3 + x2 + x + 1, g(x) = x3 + 2x2 + x + Cho A, B, C thuô.c F [x], F là mô.t tru.ò.ng Chú.ng minh r˘à ng nêú A, B, C nguyên tˆ o´ c` ung t` u.ng d¯ôi mˆ o.t th`ı AB + BC + CA và ABC nguyên tˆ o´ c` ung 148 Chú.ng minh r˘a` ng R[x] các d¯a thú.c A = x4 + và B = x3 − nguyên a.p U, V ∈ R[x] thoa’ mãn: ung v` a t`ım mˆ o.t c˘ tˆ o´ c` AU + BV = 10 Dùng tiêu chuâ’n Eisenstein d¯ê’ chú.ng minh các d¯a thú.c sau là bâ´t kha’ quy Q[x]: 1) x4 − 13x3 + 45x2 − 61x + 25 2) x4 + x3 + x2 + x + 11 1) Dùng tiêu chuâ’n Eisenstein d¯ê’ chú.ng minh d¯a thú.c sau là bâ´t kha’ quy Q[x]: x3 − 3x + 2) Trong v` anh Q[x], ch´ u.ng minh r˘à ng d¯a th´ o.i n u.c f (x) = x3 − 3n2 x + n3 v´ a mô.t d¯a th´ u.c bâ´t kha’ quy l` a mˆ o.t sˆ o´ nguyên du.o.ng, l` 12 Cho n là mô.t sô´ nguyên du.o.ng, a và b là hai sô´ thu c khác T`ım hai d¯a th´ u.c U v` a V R[x] cho U (x − a)n + V (x − b)n = 1, deg(U ) ≤ n − 1, deg(V ) ≤ n − àn v` èu kiê.n cˆ u.c a d¯u’ d¯ê’ d¯a th´ 13 T`ım d¯iˆ f (x) = x4 + px2 + q ∈ Q[x] l` a bˆ a´t kha’ quy trên Q 14 Gia’ su’ f (x) = (x − a1)(x − a2 ) (x − an ) − vó.i là nh˜u.ng sô´ nguyên a´t kha’ quy trên Q phˆ an biê.t, i = 1, , n Ch´ u.ng minh r˘a` ng f (x) là bˆ 149 `.I VA ` HU.O ´.NG DA ˆ˜ N GIA’I BAI ` TA ˆ P TRA’ LO CHU O NG VI Rõ ràng P (0) = 0P (1) Gia’ su’ P (k) = kP (1) vó.i ≤ k ≤ n Khi d¯ó P (n + 1) = 2P (n) − P (n − 1) = 2nP (1) − (n − 1)P (1) = (n + 1)P (1) Vâ.y theo o P (n) = nP (1), ∀n ∈ N nguyên l´ y quy na.p ta c´ Do d¯´ o d¯a th´ u c P (x) − xP (1) c´ o vô sô´ nghiê.m, nên P (x) − xP (1) là d¯a th´ u.c -˘ khˆ ong D a.t a = P (1), ta c´ o P (x) = ax 1) Ta có f (x) = c(x − x )(x − x ) (x − x ) vó.i c ∈ R, c 6= Khi d¯ó n f (x) = c[(x − x2 )(x − x3 ) (x − xn ) + (x − x1 )(x − x3 ) (x − xn ) + · · · +(x − x1 )(x − x2 ) (x − xn−1 )] ay suy T` u d¯ˆ f (a) 1 = + + ··· + f (a) a − x1 a − x2 a − xn 2) 1 + + (2 − x1 )(1 − x1 ) (2 − x2 )(1 − x2 ) (2 − x3 )(1 − x3 ) 1 1 1 =( + + )−( + + ) − x1 − x2 − x3 − x1 − x2 − x3 ϕ0 (1) ϕ0 (2) − = ϕ(1) ϕ(2) A= Ta có ϕ(1) = −1, ϕ(2) = 5, ϕ0 (1) = 1, ϕ0 (2) = 12 Vâ.y A = − 17 1 ϕ (x) , ta c´ o + + = Lˆ aý d¯a.o h` am vê´ cu’a x − x1 x − x2 x − x3 ϕ(x) −( 1 ϕ(x)ϕ00 (x) − ϕ0 (x)2 + + ) = (x − x1 )2 (x − x2 )2 (x − x3 )2 ϕ(x)2 1 ϕ0 (1)2 − ϕ(1)ϕ00 (1) + + = = (1 − x1 )2 (1 − x2 )2 (1 − x3 )2 ϕ(1)2 Chú.ng minh quy na.p theo n Rõ ràng mê.nh d¯`ê d¯u´ ng n = Gia’ su’ mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng d¯êń n Khi d¯´ o Do d¯ó B = (x + 1)2n+3 + xn+3 = (x + 1)2 (x + 1)2n+1 + x.xn+2 = (x2 + 2x + 1)(x + 1)2n+1 + x.xn+2 = (x2 + x + 1)(x + 1)2n+1 + x((x + 1)2n+1 + xn+2) 150 a´t chia hê´t cho x2 + x + 1, sô´ ha.ng th´ Sˆ o´ ha.ng th´ u nhˆ u hai chia hê´t cho x2 + x + a.y mê.nh d¯`ê d¯u.o c ch´ u.ng minh theo gia’ thiê´t quy na.p Vˆ q−1 P jn+r xk = xqn+r = (xqn − 1)xr + xr = (xn − 1) x + xr , d¯ó j=0 a deg(x ) = r < n = deg(x − 1) Do d¯ó du cu’a phép chia Euclid xk cho xn − l` r x r n òn ta.i q(x) ∈ C[x] v` Theo phép chia Euclide (x sin ϕ + cos ϕ)n cho x2 + 1, tˆ a a, b ∈ C cho (x sin ϕ + cos ϕ)n = (x2 + 1)q(x) + ax + b + b = cos(nϕ) + i sin(nϕ), Thay x bo’ i i v` a −i, ta có −ai + b = cos(−nϕ) + i sin(−nϕ) àn t`ım l` T` u d¯´ a x sin(nϕ) + cos(nϕ) o du cˆ Su’ du.ng phép chia Euclid: f (x) = (x + 1)g(x) + (2x2 − x − 1), g(x) = (x − 1)(2x2 − x − 1) + (2x + 1), 2x2 − x − = (x − 1)(2x + 1) o.c chung ló.n nhâ´t cu’a f (x) và g(x) Ta có Do d¯ó 2x + l` a u.´ 2x + = g(x) − (x − 1)(2x2 − x − 1) = g(x) − (x − 1)(f (x) − (x + 1)g(x)) = g(x) + (x2 − 1)g(x) − (x − 1)f (x) = x2 g(x) − (x − 1)f (x) Su’ du.ng phép chia Euclid: f (x) = (x2 + x + 1)g(x) + 2x, g(x) = 2x(2x2 + x) + x + 1, 2x = 2(x + 1) + Do d¯ó l` a u.´ o.c chung l´ o.n nhâ´t cu’a f (x) và g(x) òn Gia’ su’ AB + BC + CA không nguyên tô´ cùng vó.i ABC Khi d¯ó tˆ ta.i d¯a th´ u c bˆ a´t kha’ quy D ∈ F [x] cho D | (AB + BC + CA) và D | ABC a Do D bˆ a´t kha’ quy nên D | A ho˘a.c D | B ho˘a.c D | C Gia’ su’ D | A V`ı D | A v` D | (AB + BC + CA) nên D | BC và D bâ´t kha’ quy nên D | B ho˘a.c D | C èu kiê.n (A, B) = Gia’ su’ D | B Vˆ a.y D | A và D | B Mâu thuâ’n vó.i d¯iˆ Thu c hiê.n liên tiê´p phép chia Euclid, ta d¯u.o c (A, B) = 1 V´ o.i U = (x2 − x + 1), V = − (x3 − x2 + x + 1), ta c´ o AU + BV = 2 10 1) Thay x b˘à ng x + 1, ta có (x + 1)4 − 13(x + 1)3 + 45(x + 1)2 − 61(x + 1) + 25 = x4 − 9x3 + 12x2 − 6x − 151 - a th´ ay bˆ a´t kha’ quy Q[x] theo tiêu chuâ’n Eisenstein vó.i p = D u.c n` à ng x + 1, ta c´ 2) Thay x b˘ o (x + 1)4 + (x + 1)3 + (x + 1)2 + (x + 1) + = x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + - a th´ D u.c n` ay bˆ a´t kha’ quy Q[x] theo tiêu chuâ’n Eisenstein vó.i p = 11 1) Thay x b˘à ng x + 2, ta có (x + 2)3 − 3(x + 2) + = x3 + 6x2 + 9x + - a th´ D u.c n` ay bˆ a´t kha’ quy Q[x] theo tiêu chuâ’n Eisenstein vó.i p = 2) f (x) c´ o bˆ a.c Q[x] nên f (x) là bâ´t kha’ quy Q[x] v` a chı’ f (x) vˆ o nghiê.m Q Gia’ su’ f (x) c´ o nghiê.m h˜ u.u tı’ là q ∈ Q Khi d¯ó q − 3n2 q + n3 = hay q 3 q q - iˆ èu n` u.c x3 − 3x + D ay −3 + = Nhu vâ.y là nghiê.m cu’a d¯a th´ n n n mˆ au thuˆ a’n v´ o.i 1) 12 (b−a)2n−1 = ((x−a)−(x−b))2n−1 = 2n−1 P k C2n−1 (−1)k (x−a)2n−1−k(x−b)k k=0 n−1 P k = C2n−1(−1)k (x − a)n−1−k (x − b)k (x − a)n + k=0 2n−1 P k k 2n−1−k k−n + C2n−1(−1) (x − a) (x − b) (x − b)n k=n o ta c´ o U (x − a)n + V (x − b)n = 1, d¯ó T` u d¯´    U   V n−1 P k C2n−1(−1)k (x − a)n−1−k (x − b)k , 2n−1 (b − a) k=0 n−1 P n+l = C2n−1(−1)n+l (x − a)n−1−l(x − b)l 2n−1 (b − a) l=0 = 13 Gia’ su’ f (x) là kha’ quy trên Q Khi d¯ó f (x) có thê’ phân t´ıch d¯u.o c thành t´ıch cu’a hai d¯a th´ u.c bˆ a.c hai: x4 + px2 + q = (x2 + ax + m)(x2 + bx + n) So s´ anh hê sˆ o´ o’ hai vê´, ta suy  a+b     m + n + ab  an + bm    mn 152 = 0, = p, = 0, = q m + n = p, Khi d¯ó m và n là nghiê.m cu’a mn = q u.u tı’ v` a chı’ phu.o.ng tr`ınh x2 − px + q = Phu.o.ng tr`ınh này có nghiê.m h˜ u u tı’ ∆ = p − 4q l` a b`ınh phu o ng cu’a mô.t sô´ h˜  = −b,  a 2n − a = p, V`ı a và n là nh˜ u.u tı’ Nêú a 6= th`ı m = n và u.ng sô´ h˜   n = q √ nên q, q − p pha’i l` u.ng sô´ h˜ u.u tı’ a b`ınh phu o ng cu’a nh˜ Nêú a = th`ı b = và T` u c´ ac kê´t qua’ trên suy r˘a` ng d¯a th´ u.c x4 + px2 + q là bâ´t kha’ quy trên √ u.ng sˆ o´ Q v` a chı’ q, p2 − 4q và q − p không pha’i là b`ınh phu.o.ng cu’a nh˜ h˜ u u tı’ 14 Gia’ su’ f (x) = (x − a1)(x − a2 ) (x − an ) − vó.i là nh˜u.ng sô´ nguyên òn ta.i hai phˆ an biê.t, i = 1, , n, khˆ ong pha’i là bâ´t kha’ quy trên Q Khi d¯ó tˆ d¯a th´ u c g(x) v` a h(x) Z[x] cho (1) f (x) = g(x)h(x), vó.i < deg(g(x)), deg(h(x)) < deg(f (x)) T` u d¯˘ a’ng th´ u.c (1) suy f (ai ) = g(ai )h(ai ) = −1, vó.i i = 1, , n V`ı g(ai ), h(ai ) ∈ Z nên g(ai ) = −h(ai ), vó.i i = 1, , n -˘ a.y D a.t k(x) = g(x) + h(x) Nêú k(x) = th`ı ta có g(x) = −h(x), nhu vˆ à ng 1, c` f (x) = −(g(x)) Hê sˆ o´ dâñ d¯`âu cu’a f (x) b˘ on hê sô´ dâñ d¯`âu cu’a ’ èu n` −(g(x)) luˆ on ˆ am Diˆ ay không thê xa’y Nêú k(x) 6= th`ı deg(k(x)) < n, nhu ng k(ai ) = g(ai ) + h(ai ) = 0, i = 1, , n Vâ.y k(x) có n nghiê.m phân biê.t, mˆ au thuˆ añ v´ o.i deg(k(x)) < n 153