Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®¹i häc huÕ tr−êng ®¹i häc khoa häc nguyÔn gia ®Þnh gi¸o tr×nh C¥ Së TO¸N HäC {a} {a,b,c} {a,b} ∅ {c}{b} {a,c} {b,c} huÕ − 2005 LÒ I NÓI D À̂U Nhũ ng ngu ̀o i mó i bắt d̄[.]
Bộ giáo dục đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Së TO¸N HäC {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} ∅ huÕ − 2005 ´ D ˆU `.I NOI - `A LO o.i m´ o.i b˘ a´t d¯`ˆau nghiˆen c´ u.u to´an ho.c thu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´ o xˆ ay Nh˜ u.ng ngu.` u ng y ay, kh´ o ach ch˘a.t ch˜e nh˜ du ng th´ oi quen ph´ at biˆe’u mˆo.t c´ ´ kiˆe´n muˆo´n tr`ınh b` ho.c tˆ a.p c´ ac phu o ng ph´ ap lˆ a.p luˆa.n d¯u ´ ng d¯˘a´n v`a kh´ o n˘a´m d¯u o c c´ac kh´ai niˆe.m co `on t` ba’n cu’a to´ an ho.c Nh˜ u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu b˘a´t nguˆ u chˆo˜: mˆ o.t l` a `e lˆ u u c´ ogic to´an, mˆo.t chu’ d¯`ˆe nghiˆen c´ a.p vˆ a.n suy khˆ ong d¯u o c luyˆe.n tˆ ach lˆa.p luˆ diˆ˜e n ´ ap du.ng v` ao viˆe.c ch´ u ng minh c´ac d¯i.nh l´ y to´an ho.c; hai l`a thiˆe´u c´ ac kh´ a ng`ay niˆe.m co ba’n v` a c´ ac phu o ng ph´ap d` ung l´ y thuyˆe´t tˆa.p ho p m` ’ thu ` o ng d¯u o c ´ ap du.ng mo.i ng`anh to´an ho.c v`a d` ung l`am co so d¯ˆe’ khai ph´ a ’ ’ ’ ac kh´ niˆe.m co ban cua to´an ho.c (nhu ´anh xa., quan hˆe., ); ba v` a giai th´ıch c´ l` a khˆ ong n˘ a´m d¯u.o c nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ tr` u.u tu.o ng, mˆ o.t chu’ ac, cu at triˆe’n ma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu o’ ng d¯ˆe´n mo.i ng`anh to´an ho.c kh´ d¯`ˆe d¯ang ph´ thˆe’ qua c´ ac cˆ a´u tr´ uc d¯a.i sˆo´ cu’a c´ac tˆa.p ho p sˆo´ quen thuˆo.c (nhu tˆa.p c´ ac sˆ o´ tu u.u tı’, tˆa.p c´ac sˆo´ thu c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ ph´ a.p c´ac sˆo´ h˜ u.c) nhiˆen, tˆa.p c´ ac sˆ o´ nguyˆen, tˆ - u.o c su d¯ˆ ac Khoa To´ anac d¯`ˆong nghiˆe.p c´ o.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ D Co -Tin ho.c, Cˆ ong nghˆe Thˆ ong tin v`a Vˆa.t l´ y (Tru `o ng Da.i ho.c Khoa ho.c-Da.i ho.c - a.i ho.c Su pha.m-D - a.i ho.c Huˆe´) v` ´ a ac Khoa To´an v` a Tin ho.c (Tru `o ng D Huˆe), c´ ` ´ ’ ’ d¯˘a.c biˆe.t nhu cˆ au ho.c tˆa.p cua c´ac sinh viˆen Da.i ho.c Huˆe o c´ac Khoa n´ oi trˆen, ch´ ung tˆ oi ma.nh da.n viˆe´t gi´ao tr`ınh Co so’ To´an ho.c, trˆen thi `eu t` `an n`ay (nhu.ng d¯u.o c tr`ınh tru.`o.ng s´ ach c´ o kh´ a nhiˆ liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´n ho.c phˆ - iˆ `eu m` u.c cu’a a c´ac kiˆe´n th´ a r`o.i ra.c) D a ch´ ung tˆoi mong muˆo´n l` b` ay ta’n ma.n v` `an n` ay pha’i d¯u.o c d¯u.a v`ao d¯`ˆay d¯u’, cˆo d¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v` a b´ am ho.c phˆ `au d¯` s´ at theo yˆeu cˆ ao ta.o sinh viˆen c´ ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´ y, Cˆong nghˆe Thˆ ong tin ’ v` a mˆ o.t sˆ o´ ng` anh k˜ y thuˆ a.t kh´ ac cu’a c´ac tru `o ng d¯a.i ho.c v`a cao d¯˘ang V´o i su nˆ o’ a t`ai liˆe.u tham kha’o an, ch´ ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l` lu c hˆe´t m`ınh cu’a ba’n thˆ - a.i sˆo´ hay Co so’ To´ `an Nhˆa.p mˆon D ac gi´ ao viˆen gia’ng da.y ho.c phˆ tˆ o´t cho c´ an ho.c `an cu’a Nˆ o.i dung cu’a t` liˆe.u n`ay d¯u.o c bˆo´ tr´ı chu.o.ng Trong c´ac phˆ `eu th´ı du cu thˆe’ minh hoa cho nh˜ o nhiˆ u ng kh´ai niˆe.m c˜ ung nhu mˆ o˜i chu o ng c´ nh˜ u.ng kˆe´t qua’ cu’a ch´ ung Cuˆ o´i cu’a mˆo˜i chu.o.ng l`a nh˜ u.ng b`ai tˆa.p d¯u.o c cho.n lo.c `en sau d¯´o l`a c´ac l` t` u dˆ˜e d¯ˆe´n kh´ o b´ am theo nˆ o.i dung cu’a chu.o.ng d¯´o v`a liˆ o.i gia’i ´ -´ `e Lˆogic to´an v`a tˆa.p ho p, Anh cu’a ch´ ung D o l` a c´ ac chu.o.ng vˆ xa., Quan hˆe., Sˆ o´ tu - a th´ u.c, D nhiˆen v` a sˆ o´ nguyˆen, Sˆ o´ h˜ u.u tı’, sˆo´ thu c v`a sˆo´ ph´ u.c op y ´ Ch´ ung tˆ oi xin chˆ an th` anh c´am o.n c´ac d¯`ˆong nghiˆe.p d¯˜a d¯ˆo.ng viˆen v`a g´ ´ ’ cho cˆ ong viˆe.c viˆet gi´ao tr`ınh Co so To´an ho.c n`ay v`a l`o i c´am o n d¯˘a.c biˆe.t xin - a.i ho.c Khoa ho.c-D - a.i ho.c Huˆe´) vˆ `e su d` anh cho Khoa To´ an-Co.-Tin ho.c (Tru.`o.ng D `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i cho viˆe.c xuˆa´t ba’n gi´ao tr`ınh n` gi´ up d¯˜o qu´ y b´ au v` a ta.o d¯iˆ ay Typeset by AMS-TEX `e T´ ac gia’ mong nhˆ a.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯`ˆong nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’ vˆ ot kh´ o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach nh˜ u ng thiˆe´u s´ ˆ´t Dˆ - ˆo Huˆe´, A - ˆong (2005) Cˆo´ D a.u Tro.ng D - i.nh ˜ Nguyˆ e n Gia D CHU O NG I: ˆ ´ VA ` TA ˆ P HO .P LOGIC TOAN ˆ ´ 1.1 LOGIC TOAN a c´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic: 1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e v` `eu d¯u u ´ ng ho˘a.c sai, ch´ o.t d¯iˆ au pha’n ´anh mˆ 1.1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Mˆe.nh d¯`ˆe l`a mˆo.t cˆ u.a d¯u khˆ ong pha’i v` ´ ng v` u.a sai Th´ı du.: 1) Sˆ o´ 35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng 2) M˘ a.t tr` o i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.nh d¯`ˆe sai 3) Tam gi´ac ABC c´ o g´oc vuˆong: mˆe.nh d¯`ˆe sai 4) < 5: mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng a n´oi chung c´ac cˆau khˆ ong au ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, v` C´ ac cˆ au ho’i, cˆ `a m pha’n ´ nh˘ anh t´ınh d¯u ´ ng sai cu’a thu c tˆe´ kh´ach quan d¯`ˆeu khˆong d¯u o c coi l` a ` mˆe.nh d¯ˆe Trong lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´n cˆa´u tr´ uc ng˜ u ph´ap c˜ ung nhu o˜i mˆe.nh ´ ng sai cu’a mˆ y ´ ngh˜ıa nˆ o.i dung cu’a mˆe.nh d¯`ˆe m`a chı’ quan tˆam d¯ˆe´n t´ınh d¯u d¯`ˆe - ˆe’ chı’ c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe chu.a x´ac d¯i.nh, ta d` D ung c´ac ch˜ u c´ai: p, q, r, v` a go.i ch´ ung l` a c´ ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe Ta quy u ´o c viˆe´t p = p l`a mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng v` a p = p l` a mˆe.nh d¯`ˆe sai C´ ac gi´a tri v`a go.i l`a c´ac gi´a tri chˆan l´ y cu’a c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe ac mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i b˘ a` ng George Boole d¯˜ a nghiˆen c´ u.u phu.o.ng ph´ap ta.o c´ `eu mˆe.nh d¯`ˆe d¯˜a c´o C´ac mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i d¯u.o c go.i l` c´ ach tˆ o’ ho p t` u mˆ o.t ho˘a.c nhiˆ a ` ` ` u c ho p, ch´ ach c´ ac mˆe.nh d¯ˆe ph´ ung d¯u o c ta.o t` u c´ac mˆe.nh d¯ˆe hiˆe.n c´o b˘a ng c´ d` ung c´ ac ph´ep to´an lˆ ogic 1.1.1.2 Ph´ ep phu’ d ¯i.nh: Phu’ d¯.inh cu’a mˆe.nh d¯`ˆe p , k´ y hiˆe.u l`a p, d¯o.c l`a “khˆ ong p”, l` a mˆe.nh d¯`ˆe sai p d¯u ´ ng v`a d¯u ´ ng p sai on Ph´ep phu’ d¯.inh lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe ph` u ho p v´o.i ph´ep phu’ d¯.inh ngˆ ng˜ u thˆ ong thu ` o ng, ngh˜ıa l` a ph` u ho p v´o i y ´ ngh˜ıa cu’a t` u “khˆong” (“khˆong pha’i”) Th´ı du.: 1) p: “9 l` a mˆ o.t sˆ o´ le’” (D), p: “9 khˆong l`a mˆo.t sˆo´ le’” (S) `on ta.i sˆ 2) p: “v´ o i mo.i sˆ o´ thu c o´ thu c x, y, (x + y)2 < 0” (S), p: “tˆ - ) x, y, (x + y)2 ≥ 0” (D 1.1.1.3 Ph´ ep hˆ o.i: Hˆ o.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ y hiˆe.u l`a p ∧ q, d¯o.c l`a “p v` a q”, on l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng ca’ p lˆa˜n q c` ung d¯u ´ ng v`a sai c´ ac tru.`o.ng ho p c` la.i o.i y Ph´ep hˆ o.i ph` u ho p v´ ´ ngh˜ıa cu’a liˆen t` u “v`a” cu’a ngˆon ng˜ u thˆong thu.` o.ng - ) v`a q: “2 l`a sˆo´ ch˜an” (D - ) th`ı p ∧ q: “2 l` Th´ı du.: 1) p: “2 l` a sˆ o´ nguyˆen tˆo´” (D a ˜ sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ v` a l` a ch˘ a n” (D) u.u tı’” (S) l`a hˆo.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe 2) Mˆe.nh d¯`ˆe “Sˆ o´ π l´ o.n v`a l`a mˆo.t sˆo´ h˜ - ) v` u.u tı’” (S) o.n ho.n 3” (D “Sˆ o´ π l´ a “Sˆo´ π l`a mˆo.t sˆo´ h˜ a “p y hiˆe.u p ∨ q, d¯o.c l` 1.1.1.4 Ph´ ep tuyˆ e’n: Tuyˆe’n cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ ˜ ho˘ a.c q”, l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe sai ca’ p lˆa n q d¯`ˆeu sai v`a d¯u ´ ng mo.i tru.` o.ng on la.i ho p c` Ph´ep tuyˆe’n u ´.ng v´ o.i liˆen t` u “ho˘a.c” ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıa o.t a´t mˆ ´ ng v`a chı’ ´ıt nhˆ u , c´ khˆ ong loa.i tr` o ngh˜ıa l` a mˆe.nh d¯`ˆe “p ho˘a.c q” d¯u hai mˆe.nh d¯`ˆe p v` a q d¯u ´ ng - ) v`a q: “3 b˘a` ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ ho.n Th´ı du.: 1) p: “3 nho’ ho.n 5” (D - ) ho˘ a.c b˘ a` ng 5” (D 2) p: “Paris l` a thu’ d¯ˆo nu.´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´o.n ho.n 8” (S) th`ı p ∨ q: “Paris l` a thu’ d¯ˆ o nu.´ o.c Anh ho˘a.c l´o.n ho.n 8” (S) 1.1.1.5 Ph´ ep tuyˆ e’n loa.i: Tuyˆe’n loa.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ y hiˆe.u p ⊕ q, d¯o.c ` ’ ´ ng chı’ c´o mˆo.t o.t mˆe.nh d¯ˆe d¯u l` a “p ho˘ a.c q (nhu ng khˆ ong ca hai)”, l`a mˆ a q l` a d¯u ´ ng v` a sai mo.i tru `o ng ho p c`on la.i hai mˆe.nh d¯`ˆe p v` Ph´ep tuyˆe’n loa.i u ´.ng v´ o.i liˆen t` u “ho˘a.c” ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıa loa.i tr` u.√ u tı’” (S) v`a q: “√2 l`a mˆot sˆo´ vˆo tı’” (D - ) th`ı p ⊕ q: ´ h˜ u Th´ ı du : p: “ l` a mˆ o t sˆ o √ - ) “ l` a.c l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’” (D a mˆ o.t sˆ o´ h˜ u u tı’ ho˘ 1.1.1.6 Ph´ ep k´ eo theo: Mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo p ⇒ q, d¯o.c l`a “p k´eo theo q” hay ´ ng v`a q sai v`a d¯u ´ ng c´ac tru.` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe sai p d¯u o.ng ”nˆe´u p th`ı q”, l` ho p c` on la.i Trong ph´ep k´eo theo n´ oi trˆen, p d¯u.o c go.i l`a gia’ thiˆe´t, c`on q d¯u.o c go.i l` a kˆe´t luˆ a.n `eu no.i c´ac suy luˆa.n to´an ho.c, nˆen c´ o V`ı ph´ep k´eo theo xuˆ a´t hiˆe.n o’ nhiˆ ’ ˜ ` ` ´ a.t ng˜ u d¯u o c d` nhiˆeu thuˆ ung d¯ˆe diˆen d¯a.t mˆe.nh d¯ˆe p ⇒ q Du ´o i d¯ˆay l`a mˆo.t sˆ o th´ı du thu.` o.ng g˘ a.p nhˆ a´t – “Nˆe´u p th`ı q”, – “p k´eo theo q”, – “T` u p suy q”, `eu kiˆe.n d¯u’ d¯ˆe’ c´o q”, – “p l` a d¯iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an d¯ˆe’ c´o p” – “q l` a d¯iˆ a´ng, ch´ ung tˆoi s˜e d¯i b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.t mˆe.nh Th´ı du.: 1) “Nˆe´u hˆ om tr`o.i n˘ d¯`ˆe k´eo theo v` a d¯u o c xem l`a d¯u ´ ng tr` u phi hˆom tr`o.i thu c su n˘a´ng, nhu.ng ch´ ung tˆ oi khˆ ong d¯i b˜ biˆe’n 2) “Nˆe´u hˆ om l` a th´ u hai th`ı + = 7” l`a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo v` a l` a d¯u ´ ng v´ o i mo.i ng` ay tr` u th´ u hai Trong suy luˆ a.n to´ an ho.c, ch´ ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆ o.c loa.i tˆ o’ng `e ph´ep k´eo theo u thˆong thu `o ng Kh´ai niˆe.m to´an ho.c vˆ qu´ at ho n ngˆon ng˜ d¯ˆo.c lˆ a.p v´ o i mˆ o´i quan hˆe nhˆan - qua’ gi˜ u a gia’ thiˆe´t v`a kˆe´t luˆa.n `eu ngˆon ng˜ ung nhiˆ u lˆa.p tr`ınh Khˆ ong may, cˆ a´u tr´ uc nˆe´u - th`ı d¯u.o c d` - a sˆo´ c´ac ngˆon ng˜ u lˆa.p tr`ınh uc d¯u.o c d` ung lˆogic to´an D la.i kh´ ac v´ o.i cˆ a´u tr´ ch´ u.a nh˜ u.ng cˆ au lˆe.nh nhu nˆ e´u p th`ı S (if p then S), d¯´o p l`a mˆo.t mˆe.nh d¯`ˆe `om mˆo.t ho˘a.c nhiˆ `eu lˆe.nh cˆ `an pha’i thu c hiˆe.n) c` on S l` a mˆ o.t d¯oa.n chu o ng tr`ınh (gˆ o.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.p nh˜ u.ng cˆa´u tr´ uc nhu vˆa.y, S s˜e d¯u.o c thu c Khi thu c hiˆe.n mˆ hiˆe.n nˆe´u p l` a d¯u ´ ng, d¯´o S s˜e khˆong d¯u.o c thu c hiˆe.n nˆe´u p l`a sai 1.1.1.7 Ph´ ep tu.o.ng d y hiˆe.u l`a p ⇔ q, ¯u.o.ng: Mˆe.nh d¯`ˆe “p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´ l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng p v`a q c´o c` ung gi´a tri chˆan l´ y v`a sai c´ac tru.` o.ng on la.i ho p c` - i.nh ngh˜ıa cu’a ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng ph` D u ho p v´ o.i y ´ ngh˜ıa cu’a cu.m t` u “khi an ho.c, v` a chı’ khi” hay “nˆe´u v` a chı’ nˆe´u” cu’a ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng Trong to´ `eu kiˆe.n cˆ `an v` mˆe.nh d¯`ˆe “p tu o ng d¯u o ng q” c´o thˆe’ diˆ˜e n d¯a.t du ´o i da.ng: “d¯iˆ a d¯u’ ’ d¯ˆe c´ o p l` a c´ o q” - iˆ `an v`a d¯u’ d¯ˆe’ 4ABC cˆan l`a hai g´oc o’ d¯´ay cu’a n´ `eu kiˆe.n cˆ o b˘ a` ng Th´ı du.: 1) D u.c Cauchy a` ng xa’y bˆa´t d¯˘a’ng th´ 2) Dˆ a´u b˘ a1 + a2 + · · · + an √ n a1 a2 a n ≤ n v` a chı’ a1 = a2 = · · · = an an tri cu’a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen Sau d¯ˆay l` a ba’ng chˆ p q p p∧q p∨q p⊕q p⇒q p⇔q 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1.1.1.8 C´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic v` a c´ ac ph´ ep to´ an bit: C´ac m´ay t´ınh d` ung ´ c´ ac bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n thˆ ong tin Mˆo.t bit c´o hai gi´a tri l`a v`a Y ngh˜ıa cu’a t` u `on t` n` ay b˘ a´t nguˆ u binary digit (sˆo´ nhi phˆan) Thuˆa.t ng˜ u n`ay nh`a Thˆ o´ng kˆe ’ ’ ho.c nˆ o i tiˆe´ng John Turkey d¯u a v`ao n˘am 1946 Bit c˜ ung c´o thˆe d¯u o c d` ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´ a tri chˆ an l´ y Ta s˜e d` ung bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´a tri d¯u ´ ng v`a bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´ a tri sai Ta s˜e d` ung c´ ac k´ y hiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ ac ph´ep to´an −, ∧, ∨, ⊕ nhu thu ` o ng d¯u o c l`am c´ac ngˆon ng˜ u lˆa.p tr`ınh kh´ac a` ng c´ach d` ung c´ac xˆau bit, d¯´o l` a d˜ ay Thˆ ong tin thu ` o ng d¯u o c biˆe’u diˆ˜e n b˘ c´ ac sˆ o´ v` a Khi d¯˜a l` am nhu thˆe´, c´ ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ ung c´ o thˆe’ d¯u o c d` ung d¯ˆe’ thao t´ ac c´ ac thˆong tin d¯´o Ta c´o thˆe’ mo’ rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bit t´ o i c´ au ac xˆ au bit Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v` a XOR bit d¯ˆo´i v´o.i hai xˆ `eu d` bit c´ o c` ung chiˆ l` a c´ ac xˆ au c´ o c´ac bit cu’a ch´ ung l`a c´ac OR, AND v` a XOR cu’a c´ ac bit tu o ng u ´ ng hai xˆau tu o ng u ´ ng Th´ı du.: xˆ au 1 1 1 xˆ au 1 0 1 1 OR bit 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 XOR bit 1 1 1 1.1.2 Su tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic cu’a c´ ac cˆ ong th´ u.c: niˆe.m cˆong th´ u.c, tu.o.ng tu nhu Trong lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe, ngu.`o.i ta d¯u.a kh´ kh´ niˆe.m biˆe’u th´ u.c to´an ho.c - i.nh ngh˜ıa: 1.1.2.1 D u.c, 1) C´ ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe p, q, r, l`a c´ac cˆong th´ a c´ ac cˆ ong th´ u.c th`ı P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l` a 2) Nˆe´u P, Q l` c´ ac cˆ ong th´ u c, o.t sˆ o´ 3) Chı’ chˆ a´p nhˆ a.n c´ ac cˆong th´ u.c d¯u.o c th`anh lˆa.p b˘a` ng viˆe.c ´ap du.ng mˆ h˜ u u ha.n c´ ac quy t˘ a´c 1)-2) - i.nh ngh˜ıa: Cˆ 1.1.2.2 D ong th´ u.c A go.i l` o.i a h˘a` ng d¯u ´ ng nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri v´ mo.i hˆe gi´ a tri chˆ an l´ y c´ o thˆe’ c´o cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t A `a ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri v´o.i mo.i hˆe gi´a tri chˆ Cˆ ong th´ u c A go.i l` a h˘ an l´ y ’ o.t mˆ au ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t A Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆ c´ o thˆe c´ o cu’a c´ ’ thuˆ a n Mˆ o.t cˆ ong th´ u.c khˆ ong pha’i l`a h˘a` ng d¯u ´ ng, c˜ ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆ a’n a tiˆe´p liˆen d¯u o c go.i l` - i.nh ngh˜ıa: Hai cˆ 1.1.2.3 D ong th´ u.c A v`a B d¯u.o c go.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆ ogic, `a ng d¯u a k´ y hiˆe.u A ≡ B, nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.t h˘ ´ ng Hˆe th´ u c A ≡ B c`on d¯u o c go.i l` mˆ o.t d¯˘a’ng th´ u c 1.1.2.4 C´ ac tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic co ba’n: 1) Luˆ a.t d¯`ˆong nhˆ a´t: p ∧ ≡ p, p ∨ ≡ p 2) Luˆ a.t nuˆ o´t: p ∧ ≡ 0, p ∨ ≡ 3) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p 4) Luˆ a.t phu’ d¯.inh k´ep: p ≡ p an: 5) Luˆ a.t giao ho´ p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 6) Luˆ a.t kˆe´t ho p: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7) Luˆ a.t phˆ an phˆ o´i: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 8) Luˆ a.t De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q 9) Mˆ o.t sˆ o´ tu.o.ng d¯u.o.ng tiˆe.n ´ıch: p ∧ p ≡ 0, p ∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), p ⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p) an ho.c: 1.1.3 Suy luˆ a.n to´ ˜ 1.1.3.1 Suy luˆ a.n diˆ e n di.ch: Suy luˆa.n l`a r´ ut mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i t` u mˆ o.t hay ` ` nhiˆeu mˆe.nh d¯ˆe d¯˜ a c´ o u.ng Phˆ an t´ıch c´ ac suy luˆ a.n ch´ u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´y mˆo˜i ch´ `om mˆ u.u ha.n bu.´o.c suy luˆa.n d¯o.n gia’n Trong mˆo˜i bu.´ o.t sˆ o´ h˜ minh bao gˆ o.c suy `am” vˆa.n du.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´ luˆ a.n d¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆ at d¯ˆe’ u a nhˆa.n l`a d¯u t` u c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe d¯˜ a d¯u o c th` ´ ng (tiˆen d¯`ˆe, d¯i.nh l´ y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’ ac mˆe.nh d¯`ˆe xuˆa´t ph´ at d¯˜ a thiˆe´t) c´ o thˆe’ r´ ut mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe m´o i Ngu `o i ta go.i c´ `en d¯`ˆe, c`on mˆe.nh d¯`ˆe m´o i d¯u o c r´ d¯u o c th` u a nhˆ a.n l` a d¯u ´ ng l` a c´ac tiˆ ut (nh` o vˆ a.n ’ `en d¯`ˆe Ph´ep du.ng c´ ac quy t˘a´c suy luˆ a.n tˆo ng qu´at) go.i l`a hˆe qua’ lˆogic cu’a c´ac tiˆ ˜ ´ ˜ suy luˆ a.n nhu thˆe´ go.i l` a suy luˆa.n diˆen di.ch hay go.i t˘a t l`a suy diˆen - i.nh ngh˜ıa: Gia’ su’ A1 , A2 , , An , B l`a nh˜ u.ng cˆong th´ 1.1.3.2 D u.c Nˆe´u tˆ a´t ca’ c´ ac hˆe gi´ a tri chˆ an l´ y cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t c´ac cˆong th´ u c d¯´ o am cho B nhˆa.n gi´ a tri 1, a.n gi´a tri c˜ ung d¯`ˆong th`o.i l` l` am cho A1 , A2 , , An nhˆ t´ u.c l`a A1 ∧ A2 ∧ ∧ An ⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´ ´ ng, th`ı ta go.i B l` a hˆe u.c h˘a` ng d¯u `a ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆ qua’ lˆ ogic cu’a A1 , A2 , , An Khi d¯´o ta c˜ ung n´oi r˘ a.n `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An t´o i hˆe qua’ lˆogic B cu’a ch´ ac tiˆ t` u c´ ung y hiˆe.u l`a: Quy t˘ a´c suy luˆ a.n d¯´ o d¯u.o c k´ A1 , A1 , , An B ´c suy luˆ a a.n thu.` 1.1.3.3 Mˆ o.t sˆ o´ quy t˘ o.ng d` ung: p (Quy t˘ a´c cˆ o.ng) 1) p∨q p∧q (Quy t˘ a´c r´ ut go.n) 2) p p, p ⇒ q 3) (Quy t˘ a´c kˆe´t luˆa.n - Modus ponens) q p ⇒ q, q (Quy t˘ a´c kˆe´t luˆa.n ngu.o c - Modus tollens) p p ⇒ q, q ⇒ r 5) (Quy t˘a´c tam d¯oa.n luˆa.n) p⇒r p ⇒ q, q ⇒ p 6) (Quy t˘a´c d¯u.a tu.o.ng d¯u.o.ng v`ao) p⇔q 4) p ∨ q, p (Quy t˘ a´c t´ ach tuyˆe’n) q p ⇒ r, q ⇒ r 8) (Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’ thiˆe´t) p∨q ⇒r p ⇒ q, p ⇒ r 9) (Quy t˘a´c hˆo.i kˆe´t luˆa.n) p⇒q∧r 7) 10) q⇒p (Quy t˘ a´c pha’n d¯a’o) p⇒q 11) p ⇒ q, p ⇒ q (Quy t˘a´c pha’n ch´ u.ng) p Th´ı du.: 1) Cho: Nˆe´u tr`o.i mu.a (p) th`ı sˆan u.´o.t (q) Tr` o.i d¯ang mu.a Kˆe´t luˆ a.n: Sˆ an u.´ o.t `a ng (q) 2) Cho: Nˆe´u hai g´ oc d¯oˆ´i d¯’ınh (p) th`ı b˘ b v` b khˆ A aB ong b˘a` ng b v` b khˆ Kˆe´t luˆ a.n: A aB ong d¯ˆo´i d¯ı’nh 3) Cho: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`ˆeu l`a h`ınh thoi (p ⇒ q) Mo.i h`ınh thoi c´ o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) Kˆe´t luˆ a.n: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`ˆeu c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) 1.1.3.4 Suy luˆ a.n nghe c´ o l´ y: Suy luˆa.n nghe c´ o l´ y l`a suy luˆ a.n khˆong theo mˆ o.t `en d¯`ˆe d¯˜a c´o, r´ ut d¯u o c mˆ o’ng qu´ at n` ao d¯ˆe’ t` u nh˜ u ng tiˆ o.t kˆe´t quy t˘ a´c suy luˆ a.n tˆ `en d¯`ˆe d¯`ˆeu d¯u luˆ a.n x´ ac d¯i.nh Nˆe´u c´ ac tiˆ ´ ng th`ı kˆe´t luˆa.n r´ ut khˆong ch˘ a´c ch˘ a´n o t´ınh chˆ a´t du d¯o´an, gia’ thuyˆe´t d¯u ´ ng, m` a chı’ c´ Trong to´ an ho.c c´ o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´ y thu.`o.ng d` ung, d¯´o l`a – Ph´ep quy na.p khˆ ong ho`an to`an, – Ph´ep tu o ng tu y h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.`o.ng th˘a’ng c` Th´ı du.: 1) T` u d¯.inh l´ ung vuˆ ong g´ oc v´ o.i mˆ o.t d¯u.` o.ng th˘ a’ng th´ u ba th`ı song song v´ o.i nhau”, ch´ ung ta nˆeu mˆ o.t an”: “Hai m˘ a.t ph˘ a’ng c` ung vuˆ ong g´oc v´o i mˆo.t m˘a.t ph˘ a’ng th´ u ba th`ı song “du d¯o´ song v´ o i nhau” -ˆ `e ph´ep suy luˆa.n b˘a` ng tu.o.ng tu D ay l` a mˆ o.t th´ı du vˆ 2) C´ ac sˆ o´ 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + l`a nh˜ o´ u.ng sˆo´ nguyˆen tˆ n Kˆe´t luˆ a.n: v´ o i mo.i sˆ o´ tu nhiˆen n, sˆo´ + l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´ -ˆ a.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo’.i Fermat (1601D ay l` a lˆ o´i suy luˆ 1665) sau d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.m v´o.i c´ac sˆo´ n = 0, 1, 2, 3, Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜ a o i n = 5, kh˘ a’ng d¯i.nh n`ay khˆ ong d¯u ´ ng, ngh˜ıa l`a + khˆong l` chı’ r˘`a ng v´ a sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ 3) = + 3, = + 5, 10 = + 5, 12 = + 7, Kˆe´t luˆa.n: mo.i sˆ o´ ˜ nguyˆen du o ng ch˘ a n l´ o n ho n l`a tˆo’ng cu’a hai sˆo´ nguyˆen tˆo´ - ˆay l`a mˆo.t nhiˆ `eu kh˘ a’ng ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach D Mˆe.nh d¯`ˆe n` d¯.inh to´ an ho.c chu a d¯u o c ch´ u ng minh 3 o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınh 4) Phu o ng tr`ınh x + y = z khˆong c´ 4 x + y = z khˆ ong c´ o nghiˆe.m nguyˆen Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh xn + y n = z n khˆ ong c´ o nghiˆe.m nguyˆen v´ o.i mo.i sˆo´ nguyˆen n > y cuˆ o´i c` ung Mˆe.nh d¯`ˆe n` ay d¯u.o c nˆeu bo’.i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´ cu’a Fermat” M˜ d¯ˆe´n th´ ang n˘am 1995, mˆe.nh d¯`ˆe n`ay m´o i d¯u o c ho`an to`an ch´ u ng minh xong bo’ i nh` a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles To´ an ho.c l` a khoa ho.c cu’a suy luˆa.n diˆ˜e n di.ch Tˆa´t ca’ c´ac vˆa´n d¯`ˆe to´ an ` ˜ ay b˘ a ng c´ac suy luˆa.n diˆen di.ch Tuy nhiˆen, qu´ a tr`ınh ho.c chı’ d¯u o c tr`ınh b` ˜ ´ ph´ at minh, s´ ang ta.o to´an ho.c, l´ y luˆa.n diˆen di.ch g˘a n ch˘a.t v´o i c´ac suy luˆa.n nghe c´ o l´ y Ta d` ung quy na.p khˆ ong ho`an to`an hay tu.o.ng tu d¯ˆe’ nˆeu c´ ac gia’ thuyˆe´t Sau d¯´o m´ o i ch´ u ng minh c´ ac gia’ thuyˆe´t n`ay b˘a` ng diˆ˜e n di.ch 1.1.4 C´ ac phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh: `en d¯`ˆe 1.1.4.1 Ch´ u.ng minh l` a g`ı? Trong suy luˆa.n diˆ˜e n di.ch, nˆe´u t` u c´ac tiˆ `a ng c´ach vˆa.n du.ng nh˜ A1 , A2 , , An , ta r´ ut kˆe´t luˆa.n B b˘ u ng quy t˘ a´c suy `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An v` a luˆ a.n tˆ o’ng qu´ at th`ı ta n´ oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆ `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An d¯`ˆeu d¯u ogic Nˆe´u tˆa´t ca’ c´ac tiˆ ´ ng th`ı suy luˆ a.n d¯´ o l` a ho p lˆ ´ ´ a mˆ o.t ta go.i kˆet luˆ a.n lˆ ogic B l` a mˆo.t kˆet luˆa.n ch´ u ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l` ch´ u ng minh `om mˆ u.ng minh gˆ o.t sˆ o´ Phˆ an t´ıch c´ ac ch´ u.ng minh to´an ho.c ta thˆa´y mˆo˜i ch´ o.t h˜ u u ha.n bu ´ o c, mˆ o˜i bu ´ o c l`a mˆo.t suy luˆa.n diˆ˜e n di.ch d¯´o ta vˆa.n du.ng mˆ `om ba bˆ quy t˘ a´c suy luˆ a.n tˆo’ng qu´ at Nhu vˆa.y, mˆo.t ch´ u ng minh to´an ho.c gˆ o phˆ a.n cˆ a´u th`anh: `an ch´ u.ng minh u.c l` a mˆe.nh d¯`ˆe cˆ 1) Luˆ a.n d ¯`ˆ e, t´ `en d¯`ˆe, u.a nhˆa.n (d¯i.nh ngh˜ıa, tiˆ 2) Luˆ a.n c´ u., t´ u.c l` a nh˜ u.ng mˆe.nh d¯`ˆe d¯u.o c th` `en d¯`ˆe mˆo˜i suy luˆa.n a´y l`am tiˆ d¯.inh l´ y, gia’ thiˆe´t) d¯u o c lˆ 3) Luˆ a.n ch´ u ng, t´ u ng quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´at d¯u.o c vˆa.n du.ng u c l`a nh˜ u.ng minh mˆ o˜i bu.´ o.c suy luˆ a.n cu’a ch´ 1.1.4.2 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh tru c tiˆ e´p: Khi ta ch´ u.ng minh mˆe.nh d¯`ˆe `a ng c´ `en d¯`ˆe d¯u ´ ng A1 , A2 , , An , B b˘ ach va.ch r˜ o B l` a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a nh˜ u.ng tiˆ ngh˜ıa l` a B l` a mˆ o.t kˆe´t luˆ a.n ch´ u ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´ u.ng minh tru c tiˆe´p mˆe.nh d¯`ˆe B Th´ı du.: H˜ ay ch´ u.ng minh tru c tiˆe´p mˆe.nh d¯`ˆe: “Nˆe´u n l`a mˆo.t sˆo´ le’ th`ı n2 c˜ ung ´ ’ l` a mˆ o.t sˆ o le” ’ ´ ng, t´ u.c l`a n l`a mˆ a` ng gia’ thiˆe´t cu’a mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo n`ay l`a d¯u Gia su’ r˘ o.t sˆ o´ 2 le’ Khi d¯´ o n = 2k + 1, v´ o i k l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen T` u d¯´o suy n = 4k + 4k + = 2 o n l`a mˆo.t sˆo´ le’ 2(2k + 2k) + Do d¯´ `an ch´ 1.1.4.3 Phu.o.ng ph´ u.ng ap ch´ u.ng minh t`ım pha’n th´ı du.: Gia’ su’ ta cˆ a minh mˆe.nh d¯`ˆe p sai Nˆe´u ta t`ım d¯u.o c mˆe.nh d¯`ˆe q, tru.`o.ng ho p d¯˘a.c biˆe.t cu’a p l` ´ sai Khi d¯´ o q d¯u ´ ng v` a p ⇒ q l`a d¯u ´ ng Do d¯´o theo quy t˘a c kˆe´t luˆa.n ngu o c th`ı p l` a d¯u ´ ng T` u d¯´ o p l` a sai y Ch´ u.ng minh r˘`a ng n + m < Th´ı du.: Cho m v` a n l` a nh˜ u.ng sˆo´ kh´ac khˆong bˆa´t k` `an lˆa´y n = m = th`ı + = > 1.1 nm l` a khˆ ong d¯u ´ ng Chı’ cˆ `an ch´ 1.1.4.4 Phu.o.ng ph´ u.ng minh ap ch´ u.ng minh pha’n d ¯a’o: Gia’ su’ ta cˆ p ⇒ q Nˆe´u ta ch´ u.ng minh d¯u.o c q ⇒ p th`ı theo quy t˘a´c pha’n d¯a’o, ta c´o p ⇒ q a.y, d¯ˆe’ ch´ u.ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe’ chuyˆe’n sang ch´ u.ng minh q ⇒ p d¯u ´ ng Nhu vˆ l` a d¯u’ u.ng minh r˘a` ng nˆe´u b l`a mˆo.t sˆ o´ vˆ o Th´ı du.: Cho a l` a mˆ o.t sˆ o´ h˜ u.u tı’ kh´ac Ch´ ´ tı’ th`ı ab c˜ ung l` a mˆ o.t sˆ o vˆ o tı’ m Ta viˆe´t a = , v´ o i m, n l`a hai sˆo´ nguyˆen kh´ac Nˆe´u ab l`a sˆo´ h˜ u.u tı’ th`ı ta n ab kn k k/l a hai sˆo´ nguyˆen v`a l 6= Khi d¯´o b = o i k, l l` = m/n = c´ o thˆe’ viˆe´t ab = v´ l a lm v` a suy b l` a mˆ o.t sˆ o´ h˜ u.u tı’ 1.1.4.5 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh pha’n ch´ u.ng: Co so’ lˆogic cu’a phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh pha’n ch´ u.ng l`a nhu sau: muˆo´n ch´ u.ng minh mˆe.nh d¯`ˆe p l`a d¯u ´ ng, a p l`a d¯u ´ ng Sau d¯´o ta ch´ u ng minh r˘a` ng p ⇒ q l` a d¯u ´ ng ta gia’ thiˆe´t p l` a sai, t´ u c l` ˜ ´ `eu n`ay dˆ ´ ng Diˆ a n d¯ˆe´n v` a q l` a d¯u ´ ng Do d¯´ o theo quy t˘a c pha’n ch´ u ng th`ı p l`a d¯u ’ mˆ au thuˆ a n (luˆ a.t b` trung) 10 a` ng u.´o.c sˆo´ tu nhiˆen nho’ nhˆa´t kh´ ac cu’a mˆo.t sˆo´ tu nhiˆen Th´ı du.: Ch´ u.ng minh r˘ o´ nguyˆen tˆo´ l´ o.n ho.n l` a mˆ o.t sˆ Gia’ su’ k l` a u´ ak o.c tu nhiˆen nho’ nhˆa´t kh´ac cu’a sˆo´ tu nhiˆen n (n > 1) v` `on ta.i u ´o c sˆo´ m cu’a k cho < m < k Nhu.ng khˆ ong l` a sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ Do d¯´o tˆ - iˆ `eu n`ay mˆau thuˆa’n v´o.i k l`a u.´o.c tu nhiˆen d¯´ o m c˜ ung l` a mˆ o.t u.´ o.c sˆo´ cu’a n D nho’ nhˆ a´t kh´ ac cu’a n ac tru.` 1.1.4.6 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh x´ et tˆ a´t ca’ c´ o.ng ho p: Trong ´ ng, ta c´o thˆe’ x´et n´o tˆ a´t ca’ to´ an ho.c, d¯ˆe’ ch´ u.ng minh mˆe.nh d¯`ˆe n`ao d¯´o l`a d¯u c´ ac tru ` o ng ho p c´ o thˆe’ c´ o Th´ı du.: Ch´ u ng minh r˘ a` ng t´ıch cu’a sˆo´ nguyˆen liˆen tiˆe´p chia hˆe´t cho a V´ o i n l` a mˆ o.t sˆo´ nguyˆen, ta viˆe´t n = 3q + r v´o.i q l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen v` r = 0, 1, a) r = : n = 3q hay n chia hˆe´t cho 3, d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho b) r = : n = 3q + hay n + = 3(q + 1) hay n + chia hˆe´t cho 3, d¯´o n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho c) r = : n = 3q + hay n + = 3(q + 1) hay n + chia hˆe´t cho 3, n(n + 1)(n + 2) chia hˆe´t cho 1.1.4.6 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh quy na.p: Phu.o.ng ph´ap n`ay s˜e d¯u.o c `e “Sˆo´ nguyˆen v`a sˆo´ tu nhiˆen” tr`ınh b` ay Chu.o.ng IV vˆ ˆ P HO.P 1.2 TA 1.2.1 Tˆ a.p ho p v` a c´ ach x´ ac d ¯i.nh mˆ o.t tˆ a.p ho p: a´t 1.2.1.1 Kh´ niˆ e.m tˆ a.p ho p: Nh˜ u.ng d¯ˆo´i tu.o ng d¯u.o c tu tˆa.p mˆo.t t´ınh chˆ - ˆay khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa m` chung n` ao d¯´ o th` anh lˆ a.p mˆo.t tˆa.p ho p D a chı’ l` a mˆ o.t su mˆ o ta’ cho ta mˆ o.t h`ınh a’nh tru c quan cu’a kh´ai niˆe.m d¯´o `e Su mˆ o ta’ mˆ o.t tˆ a.p ho p c´ac d¯ˆo´i tu.o ng du a trˆen mˆo.t kh´ niˆe.m tru c quan vˆ -u mˆ o.t d¯ˆo´i tu o ng n` ao d¯´o d¯˜a d¯u o c nh`a to´an ho.c ngu `o i D ´ c Georg Cantor d¯u a `an d¯`ˆ lˆ au tiˆen v` ao n˘ am 1895 L´ y thuyˆe´t h`ınh th`anh t` u kh´ai niˆe.m tru c quan d¯´o a dˆ a˜n d¯ˆe´n nh˜ u.ng nghi.ch l´ cu’a tˆ a.p ho p d¯˜ y ho˘a.c c´ ac mˆau thuˆa’n lˆogic nhu nh` a triˆe´t ’ o i Anh Bertrand Russell d¯˜a chı’ n˘am 1902 Nh˜ u ng mˆau thuˆa n lˆ ogic ho.c ngu ` ’ ` ´ ´ d¯´ o c´ o thˆe tr´ anh d¯u o c b˘ a ng c´ach xˆay du ng mˆo.t l´ y thuyˆet tˆa.p ho p xuˆa t ph´ at t` u nh˜ u ng gia’ thiˆe´t co ba’n, go.i l`a c´ac tiˆen d¯`ˆe Tuy nhiˆen, ch´ ung ta s˜e d` ung phiˆen ´ ` ’ ’ y thuyˆet tˆa.p ho p ngˆay tho , ch´ ban ban d¯ˆ au cua Cantor, d¯u o c go.i l`a l´ u khˆ ong ph´ at triˆe’n phiˆen ba’n tiˆen d¯`ˆe cu’a l´ y thuyˆe´t n`ay, bo’.i v`ı tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p ho p d¯u.o c xem x´et t` liˆe.u n` ay c´ o thˆe’ xu’ l´ y phi mˆau thuˆa’n b˘a` ng c´ ach d` ung l´ y thuyˆe´t ban d¯`ˆau cu’a Cantor `an tu’ cu’a tˆa.p o.t tˆa.p ho p go.i l`a c´ac phˆ C´ ac vˆ a.t hay d¯ˆ o´i tu.o ng th`anh lˆa.p mˆ o ho p d¯´ 11 ong thu.`o.ng, ngu.`o.i ta d` ung nh˜ u.ng t` u nhu.: nh´om, to` an Trong ngˆ on ng˜ u thˆ `e mˆo.t tˆa.p ho p n`ao d¯´o `ay, d¯`an, d¯ˆe’ n´oi vˆ um, bˆ thˆe’, tˆ a.p thˆe’, ch` Mˆ o.t tˆ a.p ho p thu ` y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜ u c´ai in hoa: A, B, C, D, o ng d¯u o c k´ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p thu.`o.ng d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜ u c´ in E, X, Y , Z, Phˆ thu ` o ng: a, b, c, d, x, y, z, Th´ı du.: ac sˆ o´ tu nhiˆen, k´ y hiˆe.u N 1) Tˆ a.p ho p c´ 2) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ nguyˆen, k´ y hiˆe.u Z u.u tı’, k´ y hiˆe.u Q 3) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ h˜ 4) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ thu c, k´ y hiˆe.u R ac sˆ o´ ph´ u c, k´ 5) Tˆ a.p ho p c´ y hiˆe.u C ac d¯iˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng 6) Tˆ a.p ho p c´ 7) Tˆ a.p ho p c´ ac nghiˆe.m thu c cu’a phu.o.ng tr`ınh sin 3x − sin x + sin 2x = - a.i ho.c 8) Tˆ a.p ho p c´ ac sinh viˆen n˘am th´ u nhˆa´t ng`anh tin ho.c cu’a tru.`o.ng D Khoa ho.c K´ y hiˆ e.u: - ˆe’ chı’ a l` `an tu’ cu’a tˆa.p ho p A, ta viˆe´t a ∈ A v`a d¯o.c l`a “a thuˆ o.c a mˆ o.t phˆ –D `an tu’ cu’a tˆa.p ho p A” A” hay “a l` a phˆ - ˆe’ chı’ b khˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p A, ta viˆe´t b ∈ –D ong pha’i l`a mˆ o.t phˆ / A ho˘ a.c `an tu’ cu’a tˆa.p b∈A v` a d¯o.c l`a “b khˆ ong thuˆo.c A” ho˘a.c “b khˆong pha’i l`a mˆ o.t phˆ ho p A” ˜ng: Tˆa.p ho p khˆong ch´ `an tu’ n`ao go.i l`a tˆa.p rˆo˜ng, k´ 1.2.1.2 Tˆ a.p ho p rˆ u.a phˆ y o hiˆe.u ∅ ac nghiˆe.m thu c cu’a phu.o.ng tr`ınh x2 + = l`a tˆa.p ho p rˆ o˜ng Th´ı du.: Tˆ a.p ho p c´ 1.2.1.3 C´ ach x´ ac d ¯i.nh mˆ o.t tˆ a.p ho p `an tu’ cu’a tˆ a.p ho p: Theo c´ach n`ay, d¯ˆe’ x´ Liˆ e.t kˆ e tˆ a´t ca’ c´ ac phˆ ac `an tu’ cu’a n´o ao d¯´o ta liˆe.t kˆe d¯`ˆay d¯u’ tˆa´t ca’ c´ac phˆ d¯.inh mˆ o.t tˆ a.p ho p n` Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p sˆo´ nguyˆen du o ng d¯`ˆau tiˆen d¯u o c viˆe´t l`a: {1, 2, 3, 4} 2) Tˆ a.p ho p c´ ac ch˜ u c´ ba’ng ch˜ u c´ai tiˆe´ng Anh d¯u.o c viˆe´t l`a: {a, b, c, , z} ´ 3) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o tu nhiˆen ch˘a˜n d¯u.o c viˆe´t l`a: {0, 2, 4, 6, , 2n, } ` `an tu’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho p ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´n Ch´ uy ´ r˘ a ng liˆe.t kˆe c´ ac phˆ th´ u tu cu’a ch´ ung `an tu’ cu’a tˆ a.p ho p Ta Chı’ r˜ o thuˆ o.c t´ınh d ¯˘ a.c tru.ng cu’a c´ ac phˆ `a ng c´ach chı’ r˜o c´ac t´ınh chˆa´t chung cu’a c´ac phˆ `an c´ o thˆe’ x´ ac d¯.inh mˆ o.t tˆ a.p ho p b˘ tu’ cu’a tˆa.p ho p d¯´o d¯ˆe’ sau d¯´o du a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t n`ay ta c´o thˆe’ kh˘a’ng d¯.inh `an tu’ cu’a tˆa.p ho p d¯´o hay khˆong C´ mˆ o.t d¯ˆo´i tu.o ng n` ao d¯´o c´ o l` a mˆ o.t phˆ ac t´ınh `an tu’ cu’a tˆa.p ho p chˆa´t nhu vˆ a.y go.i l` a thuˆ o.c t´ınh d¯˘a.c tru ng cu’a c´ac phˆ ´ ac u ´ Th´ı du.: Tˆ a.p ho p c´ o c sˆo nguyˆen du o ng cu’a 24 l`a: 12 a: v` a d¯u.o c viˆe´t la.i l` A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} A = {n ∈ N : n|24} ’ `an tu’ Trong tru ` o ng ho p tˆo ng qu´at, nˆe´u tˆa.p ho p X l`a tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac phˆ x, cho x c´ o t´ınh chˆ a´t T th`ı ta viˆe´t: X = {x | x c´ o t´ınh chˆ a´t T } ho˘a.c X = {x : x c´o t´ınh chˆ a´t T } `a ng h`ınh ¯`o ˆ Venn: C´ac tˆa.p ho p c˜ 1.2.1.4 Gia’n d ung c´o thˆe’ d¯u.o c minh hoa b˘ `an d¯`ˆ v˜e nh` o d` ung gia’n d¯`ˆ o Venn, nh`a to´an ho.c ngu `o i Anh John Venn lˆ au tiˆen ao n˘ am 1881 Trong c´ ac gia’n d¯`ˆo Venn, tˆa.p ho p v˜ u tru U - tˆa.p ho p ch´ u.a d¯u a v` `a ng mˆo.t h`ınh ch˜ tˆ a´t ca’ c´ ac d¯ˆ o´i tu.o ng d¯ang x´et - d¯u.o c biˆe’u diˆ˜e n b˘ u nhˆa.t Bˆen `en ph˘a’ng gi´o.i ha.n bo’.i c´ a.t n` ay, nh˜ u.ng miˆ ac d¯u.`o.ng cong kh´ep h`ınh ch˜ u nhˆ - ˆoi c´ k´ın khˆ ong tu c˘ a´t d¯u.o c d` ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n c´ac tˆa.p ho p D ac d¯iˆe’m d¯u.o c `an tu’ cu’a tˆa.p ho p C´ac gia’n d¯`ˆo Venn thu.`o.ng d¯u.o c d` ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n c´ ac phˆ u.a c´ac tˆa.p ho p o´i quan hˆe gi˜ d` ung d¯ˆe’ chı’ mˆ - inh ngh˜ıa: Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p Nˆe´u c´o ch´ınh x´ac n phˆ `an tu’ phˆ 1.2.1.5 D an o.t tˆ a.p biˆe.t A, v´ o.i n l` a mˆ o.t sˆo´ nguyˆen khˆong ˆam, th`ı ta n´oi r˘a` ng A l`a mˆ h˜ u.u ha.n v` a n l` a ba’n sˆ o´ cu’a A Ba’n sˆo´ cu’a A d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a |A| Mˆo.t tˆ a.p ho p a vˆ o ha.n nˆe´u n´ o khˆong pha’i l`a h˜ u.u ha.n d¯u.o c go.i l` u c´ai tiˆe´ng Anh Khi ac ch˜ u c´ai ba’ng ch˜ Th´ı du.: 1) Cho A l` a tˆ a.p ho p c´ d¯´o |A| = 26 2) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆ o´ nguyˆen tˆo´ l`a mˆo.t tˆa.p ho p vˆo ha.n 1.2.2 Tˆ a.p ho p v` a quan hˆ e bao h` am: - inh ngh˜ıa: Tˆ 1.2.2.1 D a.p ho p A d¯u o c go.i l`a mˆo.t tˆa.p ho p (hay tˆa.p con) `an tu’ cu’a B Nhu vˆ `an tu’ cu’a A l`a mˆo.t phˆ cu’a B, k´ y hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u mˆo˜i phˆ a.y, A ⊂ B v` a chı’ v´o i mo.i x ∈ A k´eo theo x ∈ B Khi c´ o A ⊂ B, ta c` on n´oi “A l`a mˆo.t bˆo phˆa.n cu’a B” hay “A bao h`am u.a A” B” Khi d¯´o ta c` on viˆe´t B ⊃ A v`a d¯o.c l`a “B bao h`am A” hay “B ch´ u.c A ⊂ B, B ⊃ A Quan hˆe “⊂” d¯u.o c go.i l`a quan hˆe bao h`am C´ac hˆe th´ a c´ ac bao h` am th´ u.c d¯u.o c go.i l` `an tu’ thuˆ o.c B nhu.ng khˆong thuˆo.c A th`ı ta Nˆe´u A ⊂ B v` a c´ o ´ıt nhˆ a´t mˆo.t phˆ n´ oi A l` a mˆ o.t tˆ a.p thu c su cu’a B hay bˆo phˆa.n thu c su cu’a B Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N c´ ac sˆo´ tu nhiˆen l`a tˆa.p thu c su cu’a tˆa.p ho p Z c´ ac sˆ o´ nguyˆen ac h`ınh vuˆong l`a tˆa.p cu’a tˆa.p ho p c´ac h`ınh ch˜ u nhˆa.t, c˜ ung 2) Tˆ a.p ho p c´ nhu l` a tˆ a.p cu’a tˆ a.p c´ ac h`ınh thoi y, ta luˆon c´ o: 1.2.2.2 T´ınh chˆ a´t: V´ o.i A, B, C l`a tˆa.p ho p bˆa´t k` 1) ∅ ⊂ A, 2) A ⊂ A, 3) nˆe´u A ⊂ B v` a B ⊂ C th`ı A ⊂ C 13 u mˆe.nh d¯`ˆe “x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A” l`a luˆon luˆon d¯u ´ ng Thˆ a.t vˆ a.y, 1) d¯u.o c suy t` on u mˆe.nh d¯`ˆe “x ∈ A ⇒ x ∈ A” l`a luˆon luˆ (do “x ∈ ∅” l` a sai) 2) d¯u o c suy t` d¯u ´ ng Cuˆ o´i c` ung 3) d¯u o c suy t` u t´ınh d¯u ´ ng cu’a mˆe.nh d¯`ˆe “(x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)” a.p l˜ uy th` u.a cu’a X, k´ y 1.2.2.3 Tˆ a.p ho p l˜ uy th` u.a: Cho X l`a mˆo.t tˆa.p ho p Tˆ X ´ ` ’ ’ u c l`a a tˆa.p ho p gˆom tˆa t ca c´ac tˆa.p cua X, t´ hiˆe.u P(X) hay , l` P(X) = {A | A ⊂ X} o Th´ı du.: 1) V´ o.i X = {a, b, c} th`ı ta c´ P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X} 2) P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}} - i.nh ngh˜ıa: Hai tˆa.p A v`a B d¯u.o c go.i l` `a ng nhau, k´ 1.2.2.4 D a b˘ y hiˆe.u A = B, a B ⊂ A nˆe´u A ⊂ B v` Th´ı du.: V´ o i A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} v`a B = {n ∈ N : n|30} th`ı ta c´o A = B 1.2.3 C´ ac ph´ ep to´ an tˆ a.p ho p: - i.nh ngh˜ıa: Ho p cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´ y hiˆe.u l`a A ∪ B (d¯o.c l` a 1.2.3.1 D `an tu’ thuˆ `om c´ac phˆ a.p ho p “A ho p B”), l` a tˆa.p ho p gˆ o.c ´ıt nhˆ a´t mˆo.t hai tˆ A, B, t´ u c l` a A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Th´ı du.: 1) V´ o.i A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f }, ta c´o A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } 2) V´ o.i A = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 2} v`a B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 3}, ta c´ o A ∪ B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho ho˘a.c 3} - i.nh ngh˜ıa: Giao cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´ 1.2.3.2 D y hiˆe.u l`a A ∩ B (d¯o.c l` a `om c´ac phˆ `an tu’ v` “A giao B”), l` a tˆ a.p ho p gˆ u a thuˆo.c A v` u a thuˆo.c B, t´ u c l` a A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Hai tˆ a.p ho p d¯u.o c go.i l` a r`o.i nˆe´u giao cu’a ch´ ung l`a tˆa.p ho p rˆo˜ng Th´ı du.: 1) V´ o.i A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f }, ta c´o A ∩ B = {c, d} 2) V´ o i A = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 2} v`a B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 3}, ta c´ o A ∩ B = {x ∈ N | x chia hˆe´t cho 6} ac sˆo´ h˜ u.u tı’ v`a tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ vˆo tı’ l`a hai tˆa.p r`o.i 3) Tˆ a.p ho p c´ ac sˆo´ thu c cu’a tˆ a.p ho p R c´ - i.nh ngh˜ıa: Hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´ 1.2.3.3 D y hiˆe.u l`a A \ B hay A − B, ` ` l` a tˆ a.p ho p gˆom c´ ac phˆ an tu’ thuˆ o.c A nhu ng khˆong thuˆo.c B, t´ u.c l`a A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} 14 o Nˆe´u B ⊂ A th`ı ta k´ y hiˆe.u A \ B = CA B hay B A d¯˜a d¯u.o c x´ac d¯i.nh r˜ `an b` u cu’a B A o l` a phˆ v` a go.i d¯´ Hiˆe.u d¯ˆ o´i x´ u ng cu’a hai tˆa.p ho p A v`a B, k´ y hiˆe.u l`a A ⊕ B, l` a tˆa.p ho p d¯u.o c x´ ac d¯.inh bo’.i A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {x | (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (x ∈ / A ∧ x ∈ B)} Th´ı du.: 1) V´ o.i A = {a, b, c, d} v`a B = {c, d, e, f }, ta c´o A \ B = {a, b}, B \ A = {e, f } v` a A ⊕ B = {a, b, e, f } 2) V´ o.i A = {x ∈ R | x < 1} = (−∞, 1), ta c´o CR A = {x ∈ R | x ≥ 1} = [1, +∞) ` a.p o.t tˆ 1.2.3.4 C´ ac h˘ a ng d ¯˘ a’ ng th´ u.c tˆ a.p ho p co ba’n: Mˆo˜i tˆa.p cu’a mˆ ´ ` ho p d¯u o c tu o ng u ´ ng v´ o i mˆ o.t t´ınh chˆa t (mˆe.nh d¯ˆe) x´ac d¯i.nh n´o trˆen tˆa.p ho p d¯˜ a an cho V´ o.i tu.o.ng u ´.ng n` ay, c´ ac ph´ep to´an tˆa.p ho p d¯u.o c chuyˆe’n sang c´ac ph´ep to´ `an b` lˆ ogic: phu’ d¯.inh tu.o.ng u o.i tu.o.ng ´.ng v´o.i phˆ u, tuyˆe’n tu.o.ng u ´.ng v´o.i ho p, hˆ u.ng o.i giao, tuyˆe’n loa.i tu.o.ng u ´.ng v´o.i hiˆe.u d¯ˆo´i x´ u ´.ng v´ T` u c´ ac tu.o.ng d¯u.o.ng lˆ ogic co ba’n 1.1.2.4, v´o.i A, B, C l`a c´ac tˆ a.p cu’a tˆ a.p v˜ u tru U , ta c´ o c´ ac h˘a` ng d¯˘a’ng th´ u c tˆa.p ho p co ba’n du ´o i d¯ˆay (lu.u y ´ ` r˘ a ng mˆe.nh d¯`ˆe x ∈ ∅ c´ o gi´ a tri chˆan l´ y v`a mˆe.nh d¯`ˆe x ∈ U c´o gi´a tri chˆan l´ y 1) ´ ` a t: 1) Luˆ a.t d¯ˆong nhˆ A ∩ U = A, A ∪ ∅ = A 2) Luˆ a.t nuˆ o´t: A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U 3) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: A ∩ A = A, A ∪ A = A 4) Luˆ a.t b` u: A = A 5) Luˆ a.t giao ho´ an: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A 6) Luˆ a.t kˆe´t ho p: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 7) Luˆ a.t phˆ an phˆ o´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 15 8) Luˆ a.t De Morgan: A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B ˜ `eu c´ach d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n 1.2.3.5 Biˆ e’u diˆ e n c´ ac tˆ a.p ho p trˆ en m´ ay t´ınh: C´o nhiˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ay t´ınh Mˆo.t phu.o.ng ph´ap l`a lu.u tr˜ u c´ac phˆ c´ ac tˆ a.p ho p trˆen m´ `eu d¯´o d¯˜a l`am d¯u.o c, th`ı viˆe.c ho p theo c´ ach khˆ ong s˘ a´p th´ u tu Tuy nhiˆen, nˆe´u d¯iˆ t´ınh ho p, giao ho˘a.c hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p s˜e rˆa´t mˆa´t th`o.i gian, v`ı mˆ o˜i ph´ep t´ınh `an tu’ Ta s˜e c´o o’ d¯ˆ d¯´ o d¯` oi ho’i mˆ o.t lu o ng t`ım kiˆe´m rˆa´t l´o n d¯ˆo´i v´o i c´ ac phˆ ay mˆ o.t `a ng c´ `an tu’ b˘ `an tu’ cu’a phu o ng ph´ ap lu u tr˜ u c´ ac phˆ ach d` ung su s˘a´p t` uy y´ c´ac phˆ u.ng tˆ tˆ a.p v˜ u tru Phu o ng ph´ ap biˆe’u diˆ˜e n tˆa.p ho p n`ay s˜e l`am cho viˆe.c t´ınh nh˜ o’ ac tˆ a.p ho p tro’ nˆen dˆ˜e d`ang ho n ho p cu’a c´ a.p v˜ u tru U l`a h˜ u.u ha.n (v`a c´ o k´ıch thu.´o.c ho p l´ y d¯ˆo´i v´o.i dung Gia’ su’ tˆ `an tu’ cu’a U , ch˘ lu.o ng bˆ o nh´ o.) Tru.´ o.c hˆe´t, h˜ay chı’ r˜o su s˘a´p t` uy y ´ c´ac phˆ a’ng `a ng mˆo.t xˆau bit c´ o d¯ˆ o ha.n a1 , a2 , , an , sau d¯´ o biˆe’u diˆ˜e n tˆa.p A cu’a U b˘ ´ ´ ’ d` n, d¯´ o bit th´ u i o xˆau n`ay l`a nˆeu ∈ A v`a l`a nˆeu ∈ / A - ˆe’ nhˆ u.ng cu’a hai tˆ a.p ac xˆ au bit cho c´ ac ho p, giao v` a hiˆe.u d¯ˆo´i x´ D a.n d¯u.o c c´ ho p, ta s˜e thu c hiˆe.n c´ ac ph´ep to´an Boole trˆen c´ ac xˆau bit biˆe’u diˆ˜e n hai tˆ a.p ho p o.i ho p, giao, hiˆe.u d¯ˆo´i x´ u.ng l`a OR bit, AND bit, d¯´ o T` u d¯´ o ta c´ o xˆ au bit d¯ˆ o´i v´ au bit biˆe’u diˆ˜e n hai tˆa.p ho p d¯˜a cho XOR bit cu’a hai xˆ Th´ı du.: V´ o.i U = {x1 , x2 , , xn }, A = {x1 , x3 , x5 , x6 , x8 }, B = {x2 , x3 , x4 , x6 , x9 , x10 }, ta c´ o: A 1 1 0 B 1 1 0 1 A∩B 0 0 0 0 A∪B 1 1 1 1 A⊕B 1 1 0 1 1.2.4 T´ıch Descartes: - i.nh ngh˜ıa: Cho n d¯ˆo´i tu.o ng a1 , a2, , an , ta th`anh lˆa.p mˆ 1.2.4.1 D o.t d¯ˆo´i ´ ’ ’ o i l` a (a1 , a2, , an ), d¯´o a1 o vi tr´ı th´ u nhˆa t, a2 o vi tr´ı th´ u hai, tu o ng m´ u n v` a bˆo n s˘a´p th´ u tu ., an o’ vi tr´ı th´ a d¯u o c go.i l` `a ng Hai bˆ o n s˘ a´p th´ u tu (a1 , a2, , an ) v`a (b1 , b2 , , bn ) d¯u.o c go.i l` a b˘ nhau, k´ y hiˆe.u (a1 , a2 , , an ) = (b1 , b2 , , bn ), nˆe´u = bi v´o i i = 1, 2, , n -˘ `an tu’ d¯u.o c go.i l` D a.c biˆe.t, d˜ ay c´ o hai phˆ a c˘a.p s˘a´p th´ u tu hay go.i t˘a´t l`a c˘ a.p 16 - i.nh ngh˜ıa: T´ıch Descartes cu’a n tˆa.p ho p A1 , A2 , , An , k´ 1.2.4.2 D y hiˆe.u l` a n `om c´ac bˆ o n s˘a´p th´ u tu (a1, a2 , , an ), A1 ×A2 ×· · ·×An hay Π Ai , l`a tˆa.p ho p gˆ i=1 u.c l`a d¯´ o a ∈ A v´ o.i i = 1, 2, , n, t´ i i A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2 , , an ) | ∈ Ai , i = 1, 2, , n} -˘ y hiˆe.u A1 ×A2 ×· · ·×An = An D a.c biˆe.t, A1 = A2 = · · · = An = A th`ı ta k´ Th´ı du.: V´ o.i A = {x, y}, B = {0, 1, 2}, C = {a, b}, ta c´ o A × B × C = {(x, 0, a), (x, 0, b), (x, 1, a), (x, 1, b), (x, 2, a), (x, 2, b), (y, 0, a), (y, 0, b), (y, 1, a), (y, 1, b), (y, 2, a), (y, 2, b)} 1.2.5 Su lu.o ng ho´ a: - i.nh ngh˜ıa: H` au ch´ u.a biˆe´n v`a tro’ th`anh mˆe.nh 1.2.5.1 D am mˆe.nh d¯`ˆe l`a mˆo.t cˆ `a ng mˆo.t phˆ `an tu’ cu thˆe’ thuˆ d¯`ˆe ta thay biˆe´n d¯´ o b˘ o.c mˆo.t tˆa.p ho p x´ac d¯.inh Th´ı du.: 1) P (x): “x l` a sˆ o´ nguyˆen tˆo´” l`a h`am mˆe.nh d¯`ˆe mˆo.t biˆe´n x´ac d¯i.nh trˆen tˆ a.p ho p N c´ ac sˆo´ tu nhiˆen 2) Mˆ o˜i phu.o.ng tr`ınh l` a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯`ˆe Ch˘a’ng ha.n phu.o.ng tr`ınh x2 + o 4x + 3, l` a mˆ o.t h` am mˆe.nh d¯`ˆe mˆo.t biˆe´n x´ac d¯i.nh trˆen tˆa.p ho p R c´ac sˆo´ thu c N´ ` tro’ th` anh mˆe.nh d¯ˆe d¯u ´ ng v´ o i x = −1 v`a x = −3 ´ 3) Bˆ a t phu o ng tr`ınh l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯`ˆe Ch˘a’ng ha.n bˆa´t phu.o.ng tr`ınh ac (x − 3)(x + 2) < 0, l` a mˆ o.t h`am mˆe.nh d¯`ˆe mˆo.t biˆe´n x´ac d¯.inh trˆen tˆa.p ho p R c´ ´ ng v´o.i mo.i x ∈ R, cho −2 < x < sˆ o´ thu c N´o tro’ th` anh mˆe.nh d¯`ˆe d¯u 4) Phu.o.ng tr`ınh x2 + y = z l`a mˆo.t h`am mˆe.nh d¯`ˆe ba biˆe´n 5) X´et cˆ au: If x > then x := x + a Khi g˘a.p cˆ au n` ay chu.o.ng tr`ınh, gi´a tri cu’a biˆe´n x o’ d¯iˆe’m d¯´o qu´ u c l`a d¯˘a.t v`ao cˆ tr`ınh thu c hiˆe.n chu o ng tr`ınh s˜e d¯u o c d¯˘a.t v`ao P (x), t´ au “x > 0” Nˆe´u P (x) d¯u ´ ng d¯ˆ o´i v´ o i gi´ a tri n`ay cu’a x, th`ı lˆe.nh g´an x := x + s˜e d¯u.o c thu c hiˆe.n v` a gi´ a tri cu’a x s˜e t˘ang lˆen Nˆe´u P (x) l`a sai d¯ˆo´i v´o.i gi´a tri d¯´o cu’a x, th`ı lˆe.nh g´an s˜e khˆ ong d¯u.o c thu c hiˆe.n v`a gi´a tri x khˆong thay d¯ˆo’i Khi tˆ a´t ca’ c´ ac biˆe´n h`am mˆe.nh d¯`ˆe d¯`ˆeu d¯u.o c g´an cho gi´a tri x´ac d¯i.nh, th`ı mˆe.nh d¯`ˆe ta.o th` anh s˜e c´o gi´a tri chˆan l´ y Tuy nhiˆen, c`on c´o mˆo.t c´ach quan tro.ng kh´ ac d¯ˆe’ biˆe´n c´ ac h` am mˆe.nh d¯`ˆe th`anh c´ac mˆe.nh d¯`ˆe, m`a ngu.`o.i ta go.i l` a su lu.o ng ho´ a Ta x´et o’ d¯ˆ ay hai loa.i lu.o ng ho´a, d¯´o l`a lu.o ng t` u phˆo’ du.ng v`a lu.o ng `on ta.i t` u tˆ `an tu’ cu’a A, ngh˜ıa Cho A l` a mˆ o.t tˆ a.p ho p v`a P l`a mˆo.t t´ınh chˆa´t cu’a c´ac phˆ l` a P (x) l` a mˆ o.t h` am mˆe.nh d¯`ˆe x´ac d¯i.nh trˆen A X´et tˆa.p ho p AP = {x ∈ A | P (x)}, 17 `om c´ `an tu’ x ∈ A cho P (x) d¯u ´ ng Du.´o.i d¯ˆay l`a c´ac tru.` o.ng ngh˜ıa l` a tˆ a.p gˆ ac phˆ o thˆe’ x˜ ay ho p c´ - i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho p AP = A, ngh˜ıa l`a tˆa´t ca’ c´ac phˆ `an tu’ 1.2.5.2 D - iˆ `eu n`ay d¯u.o c k´ cu’a A d¯`ˆeu thoa’ m˜ an t´ınh chˆ a´t P D y hiˆe.u l`a: ∀x ∈ A, P (x) hay go.n ho.n l` a (∀x)(P ), d¯o.c l`a “v´o.i mo.i x thuˆ o.c A, x thoa’ m˜an t´ınh chˆ a´t P ” a “v´ o i mo.i”) d¯u o c go.i l` a lu o ng t` K´ y hiˆe.u ∀ (d¯o.c l` u phˆo’ du.ng - i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho p AP 6= ∅, ngh˜ıa l`a c´o ´ıt nhˆa´t mˆ `an o.t phˆ 1.2.5.3 D `eu n`ay d¯u o c k´ tu’ cu’a A thoa’ m˜ an t´ınh chˆ a´t P Diˆ y hiˆe.u l`a: ∃x ∈ A, P (x) `on ta.i) phˆ `an tu’ x thuˆ o.c A thoa’ hay go.n ho.n l` a (∃x)(P ), d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆ a´t (hay tˆ `on ta.i”) d¯u.o c go.i l` y hiˆe.u ∃ (d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆa´t” hay “tˆ m˜ an t´ınh chˆ a´t P ” K´ a `on ta.i lu o ng t` u tˆ Lu u y´ r˘ a` ng tˆ a.p ho p A d¯u.o c go.i l` a khˆong gian c´ac lu.o ng t` u `an tu’ n` 1.2.5.4 Ch´ uy ´: 1) Trong tru.`o.ng ho p AP = ∅, ngh˜ıa l`a khˆong c´ ao o phˆ - iˆ `eu n`ay ch´ınh l`a mˆe.nh d¯`ˆe: cu’a A thoa’ m˜ an t´ınh chˆ a´t P D (∃x)(P ) ay AP = A, t´ v` a tru.` u.c l`a (∀x)(P ), d¯´o P k´ y hiˆe.u t´ınh chˆ a´t o.ng ho p n` khˆ ong P Nhu vˆ a.y (∃x)(P ) ≡ (∀x)(P ) `an tu’ cu’a A d¯`ˆeu o.ng ho p AP 6= A, ngh˜ıa l`a khˆong pha’i mo.i phˆ 2) Trong tru.` - iˆ `eu n`ay ch´ınh l`a mˆe.nh d¯`ˆe: thoa’ m˜ an t´ınh chˆ a´t P D (∀x)(P ) o.ng ho p n` ay AP 6= ∅, t´ v` a tru.` u.c l`a (∃x)(P ) Nhu vˆa.y (∀x)(P ) ≡ (∃x)(P ) Th´ı du.: 1) X´ ac d¯.inh t´ınh d¯u ´ ng sai cu’a c´ac mˆe.nh d¯`ˆe sau: (∃x ∈ R) (4x − = −2x + 1) l`a mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng (∃x ∈ Q) (x = 2) l` a mˆe.nh d¯`ˆe sai (∀x ∈ R)(∀y ∈ R) (x < y) l`a mˆe.nh d¯`ˆe sai (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) (x + y = 1) l`a mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng 18 ac mˆo.t ngu.`o.i ba.n tˆ o´t 2) H˜ ay biˆe’u diˆ˜e n cˆ au: “Mo.i ngu.`o.i d¯`ˆeu c´o ch´ınh x´ ong th´ u c (lˆogic) anh mˆ o.t cˆ nhˆ a´t” th` a cˆ au “y l`a ngu.`o.i ba.n tˆo´t nhˆa´t cu’a x” Khi d¯´o cˆau Gia’ su’ P (x, y) l` th´ı du c´ o thˆe’ di.ch th` anh: (∀x) (∃y) (∀z) [P (x, y) ∧ ((z 6= y) ⇒ P (x, z)] `e t´ınh liˆen tu.c cu’a mˆo.t h`am sˆo´ ta.i mˆo.t d¯iˆe’m, ta c´ o: h` am 3) T` u d¯.inh ngh˜ıa vˆ f x´ ac d¯i.nh trˆen tˆ a.p ho p A ⊂ R l`a liˆen tu.c ta.i a ∈ A nˆe´u v`a chı’ nˆe´u (∀ > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ A) (|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ) `a ng c´ Khi d¯´o b˘ ach lˆ a´y phu’ d¯.inh ta c´o: f khˆong liˆen tu.c ta.i x = b v`a chı’ (∃ > 0) (∀δ > 0) (∃x ∈ A) (|x − b| < δ ∧ |f (x) − f (b)| ≥ ) ` TA ˆ P CHU.O.NG I BAI Trong c´ac cˆau sau d¯ˆay, cˆau n`ao l`a mˆo.t mˆe.nh d¯`ˆe? X´ac d¯i.nh gi´a tri chˆan l´y o cu’a c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe d¯´ a) Khˆ ong d¯u o c d¯i qua ’ b) Tˆ o ng c´ ac g´ oc mˆ o.t tam gi´ac c´ o b˘a` ng 180o khˆong? c) x l` a mˆ o.t sˆ o´ le’ d) Sˆ o´ 124 chia hˆe´t cho e) 51 chia cho d¯u.o c du `e da.ng hˆo.i ho˘a.c tuyˆe’n cu’a c´ac mˆe.nh d¯`ˆe H˜ay d¯u.a mˆo˜i mˆe.nh d¯`ˆe du.´o.i d¯ˆay vˆ d¯o n, sau d¯´ o√h˜ ay t`ım gi´ a tri chˆan l´ y cu’a c´ac mˆe.nh d¯`ˆe d¯´o a) < < π | > b) | sin 12 c) Sˆ o´ 235 chia hˆe´t cho nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho d) v` a l` a hai sˆ o´ le’ nguyˆen tˆo´ c` ung e) H`ınh thoi ABCD c´ o AB = AC v`a AD ⊥ BC T`ım phu’ d¯.inh cu’a c´ac mˆe.nh d¯`ˆe sau: a) Khˆ ong c´ oˆ o nhiˆ˜e m o’ Huˆe´ `o Ch´ı Minh l`a n´ong v`a n˘a´ng b) M` ua h`e o’ TP Hˆ c) + = 11 d) 22 + = 4294967297 v`a khˆong pha’i l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´ H˜ay ph´at biˆe’u c´ac d¯i.nh l´y sau d¯ˆay du.´o.i da.ng mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo p ⇒ q ho˘a.c p ⇔ q `e v´ a) G´ oc ngo`ai cu’a mˆ o.t tam gi´ac b˘ a` ng tˆo’ng hai g´oc khˆong kˆ o.i n´ o 19