Đang tải... (xem toàn văn)
(NB) Giáo trình Cơ sở toán cho tin học cung cấp cho người học những kiến thức như: Quan hệ - Suy luận toán học; tính toán và xác suất; ma trận và thuật toán; phương pháp tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ LAO ĐỘNG -THƯƠNG BINH VÀ Xà HỘI TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ -š› & š› - GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: CƠ SỞ TỐN CHO TIN HỌC NGHỀ: LẬP TRÌNH VIÊN MÁY TÍNH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số: 13A/QĐ-CĐNKTCN ngày 10 tháng 01 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Cao đẳng nghề Kỹ thuật Công nghệ Hà Nội, năm 2021 (Lưu hành nội bộ) TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm Mà TÀI LIỆU: MHLTV 11 LỜI GIỚI THIỆU Trong năm qua, dạy nghề có bước tiến vượt bậc số lượng chất lượng, nhằm thực nhiệm vụ đào tạo nguồn nhân lực kỹ thuật trực tiếp đáp ứng nhu cầu xã hội Cùng với phát triển khoa học công nghệ giới, lĩnh vực Cơng nghệ thơng tin nói chung ngành Lập trình viên Việt Nam nói riêng có bước phát triển đáng kể Chương trình dạy nghề Lập trình viên máy tính xây dựng sở phân tích nghề, phần kỹ nghề kết cấu theo môđun Để tạo điều kiện thuận lợi cho sở dạy nghề trình thực hiện, việc biên soạn giáo trình theo mơđun đào tạo nghề cấp thiết Môn học11: Cơ sở tốn cho tin học mơn học đào tạo nghề biên soạn theo hình thức tích hợp lý thuyết thực hành Trong q trình thực hiện, nhóm biên soạn tham khảo nhiều tài liệu liên quan, kết hợp với kinh nghiệm thực tế Mặc dù có nhiều cố gắng, khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến độc giả để giáo trình hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2021 Tham gia biên soạn Chủ biên : Phùng Quốc Cảnh Tập thể Giảng viên khoa CNTT Mọi thơng tin đóng góp chia sẻ xin gửi hòm thư: canhdhtn86@gmail.com, liên hệ số điện thoại: 0359300585 MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU MỤC LỤC CHƯƠNG 1: QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC Quan hệ hai 1.1 Khái niệm quan hệ hai 1.2 Các tính chất có quan hệ tập hợp 1.3 Quan hệ tương đương 1.4 Quan hệ thứ tự Suy luận toán học 2.1 Quy nạp toán học 2.2 Định nghĩa đệ quy 2.3 Các thuật toán đệ quy 10 2.4 Tính đắn chương trình 11 Bài tập chương học sinh, sinh viên 13 CHƯƠNG 2: TÍNH TỐN VÀ XÁC SUẤT 15 Tính tốn 15 1.1 Nguyên lý cộng 15 1.2 Nguyên lý nhân 16 1.3 Lý thuyết tổ hợp 17 1.4 Nguyên lý bù trừ 20 1.5 Nguyên lý Dirichlet 21 Xác suất 21 2.1 Sự kiện ngẫu nhiên 21 2.2 Các định nghĩa xác suất 23 2.3 Các định lý xác suất 24 2.3.1 Định lý cộng xác suất 24 2.3.2 Xác xuất có điều kiện 25 Bài tập chương học sinh, sinh viên 29 CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ THUẬT TOÁN 31 Ma trận 31 1.1 Mở đầu 31 1.2 Số học ma trận : 31 1.3 Chuyển vị luỹ thừa ma trận 20 1.4 Các ma trận - (không - một) 20 Thuật toán 22 2.1 Khái niệm thuật toán 23 2.2 Các đặc trưng thuật toán 23 2.3 Ngơn ngữ thuật tốn 23 2.4 Độ phức tạp thuật toán 24 2.4.1 Khái niệm độ phức tạp thuật toán 24 2.4.2 So sánh độ phức tạp thuật toán 25 2.4.3 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 27 Bài tập chương học sinh, sinh viên 28 CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH 30 1.1 Số xấp xỉ 30 1.2 Sai số tuyệt đối 30 1.3 Sai số tương đối 31 2.1 Nghiệm khoảng phân ly nghiệm 31 2.2 Phương pháp dây cung 33 2.3 Phương pháp tiếp tuyến (newton) 34 2.4 Phương pháp phối hợp 35 2.5 Phương pháp chia đôi 36 2.6 Phương pháp lặp 37 3.1 Phát biểu toán 38 3.2 Phương pháp Gauss 39 Nội suy phương pháp bình phương cực tiểu 42 4.1 Đa thức nội suy 42 4.2 Tính giá trị đa thức : sơ đồ Hoócne 43 4.3 Đa thức nội suy Lagrăng 44 4.4 Đa thức nội suy Newton 47 4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu 51 Bài tập chương học sinh, sinh viên 54 GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Cơ sở tốn cho tin học Mã mơn học: MHLTV 11 Vị trí, tính chất, ý nghĩa vai trị mơn học: - Vị trí: Mơn học bố trí sau sinh viên học xong mơn học chung - Tính chất: Là mơn học sở nghề - Ý nghĩa vai trị mơn học: Đây mô đun đào tạo chuyên môn nghề, cung cấp cho sinh viên kỹ nghề Quản trị mạng Mục tiêu môn học: - Về kiến thức: + Vận dụng kiến thức sinh viên viên xây dựng thuật tốn tính : tổ hợp, hốn vị, giải hệ phương trình, phương trình, tính tích phân; - Về kỹ năng: + Sử dụng kiến thức sinh viên viên xây dựng thuật toán quay lại, toán tối ưu, toán tồn tại; + Là tảng để sinh viên học môn cấu trúc liệu giải thuật, cài đặt thuật toán tin học; - Về lực tự chủ trách nhiệm + Bố trí làm việc khoa học đảm bảo an toàn cho người phương tiện học tập Nội dung môn học: Thời gian Tên chương, mục Số Kiểm Thực Tổng Lý TT tra/Thi hành số thuyết Bài tập Chương 1: Quan hệ - Suy luận toán học 3 Quan hệ hai Suy luận tốn học Chương 2: Tính tốn xác suất Tính tốn Xác suất Chương : Ma trận thuật toán Ma trận Thuật toán Chương 4: Phương pháp tính Số xấp xỉ sai số Giải gần phương trình Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính Nội suy phương pháp bình phương cực tiểu Thi kết thúc môn học Cộng 8 10 30 3 7 2 1 2 23 CHƯƠNG 1: QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC Mã chương: MHLTV 11-01 Giới thiệu: Mệnh đề mảng kiến thức đơn giản ảnh hưởng nhiều đến định hướng logic tốn học Mệnh đề câu khơng phải câu mệnh đề Có thể chia câu khoa học sống làm hai loại: loại thứ gồm câu phản ánh tính sai thực tế khách quan loại thứ hai gồm câu khơng phản ánh tính sai thực tế khách quan Suy luận hành động hay trình kết luận logic phát sinh từ mệnh đề biết hay giả định chân lý Các kết luận rút gọi thành ngữ Quy tắc suy luận nghiên cứu lĩnh vực logic Mục tiêu: - Trình bày phép tốn quan hệ hai ngơi; - Trình bày thứ tự phép toán biểu thức; - Biến đổi xác quan hệ tương đương toán theo dạng quan hệ; - Trả lời xác bảng trắc nghiệm quan hệ hai ngơi suy luận tốn học; - Kiểm tra tính chương trình cụ thể; - Áp dụng giải thuật quy nạp đệ qui; - Thực thao tác an tồn với máy tính Nội dung chính: Quan hệ hai ngơi Mục tiêu: - Trình bày phép tốn quan hệ hai ngơi; - Trình bày thứ tự phép tốn biểu thức; - Biến đổi xác quan hệ tương đương toán theo dạng quan hệ 1.1 Khái niệm quan hệ hai Giả sử cho tập X khác rỗng tính chất  thoả mãnvới sốcặp phần tử a, b X Khi ta nói a có quan hệ  với bvà viết a  b,  gọi quan hệ hai ngơi X Ví dụ 1.1: 1) Trong tập R số thực, quan hệ “a = b” quan hệ “a £ b” quan hệ hai 2) Trong tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ vng góc hai đường thẳng quan hệ hai 3) Trên tập N* số nguyên dương, “ a ước số b” quan hệ hai 4) Trên tập P(E) phân tập tập E quan hệ bao hàm A Ì B quan hệ hai ngơi 1.2 Các tính chất có quan hệ tập hợp Quan hệ ℜ tập X (tức ℜ ⊂X2) có tính chất sau: - Tính phản xạ : a ℜ a " a Ỵ X (tức (a, a)∈ ℜ " a ∈ X ) - Tính đối xứng : a ℜ b Þ b ℜ a (tức (a, b) ∈ ℜ (b, a) ∈ ℜ ) - Tính phản đối xứng : (a ℜb b ℜa ) Þ a = b - Tính bắc cầu : (a ℜb) (b ℜc) Þ a ℜc Ví dụ 1.2: Trong tập hợp P(X) phân tập tập hợp X quan hệ bao hàm A⊂ B có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu mà khơng có tính đối xứng Trong tập hợp đa thức biến số thực, quan hệ có tính phản xạ, đối xứng bắc cầu 1.3 Quan hệ tương đương Quan hệ ℜ tập X gọi quan hệ tương đương có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay a ℜb Ví dụ1.3: Quan hệ song song đường thẳng tập đường thẳng không gian (coi đường thẳng trùng song song); quan hệ đồng dạng tam giác; quan hệ tỉnh tập hợp dân thành phố ví dụ trực quan quan hệ tương đương Các lớp tương đương : Giả sử ~ quan hệ tương đương X Với phần tử a ∈ X, ta ký hiệu C(a) tập hợp phần tử thuộc X tương đương với a gọi lớp tương đương chứa a C(a) = {x∈X / x ~ a} Do tính phản xạ a ≈ a nên tập C(a) khơng rỗng Hơn C(a)∩C(b)≠Ø c(a) = c(b) Thật vậy, giả sử c∈C(a)∩C(b), ta có : c∈C(a) c∈C(b) Tức c ~ a c ~ b, hay b ~ c ~ a Từ tính chất bắc cầu, suy b ~ a, b∈C(a) Lập luận tương tự ta có a∈C(b), tức C(a) = C(b) Từ rút định lý : Một quan hệ tương đương X xác định phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Họ lớp tương đương gọi tập thương, ký hiệu X/~ Ví dụ 1.4: Trong tập số nguyên Z Xét quan hệ R : a ℜb⇔a – b = 2p a, b, p Ỵ Z Ta có : (a ℜ a) a – a = 2p (p = 0) phản xạ (a ℜ b) a – b = 2p ⟶ (b – a) = -2p (b ℜ a) đối xứng a – b = 2p, b – c = 2q ⇒(a – c) = (a – b) + (b – c) = 2(p + q) bắc cầu Vậy ℜ quan hệ tương đương Ta có : a = b + 2p - Lớp tương đương ứng với b = số chẳn - Lớp tương đương ứng với b = số lẻ 1.4 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1:Quan hệ ℜ X gọi quan hệ thứ tự (hay quan hệ phận) có tính phản đối xứng bắc cầu Nếu với hai phần tử x∈X, y ∈Y có x ℜy y ℜx thì ℜgọi quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính) Khi ℜlà quan hệ thứ tự X ta nói X xếp thứ tự bởi ℜ thayvìx ℜy ta viết x ≤ y đọc “x bé y” “x trước y” Ta viết y ³ x đọc “y lớn x” “y sau x” Nếu x ≤ y x ≠ y ta viết x < y (hay y > x) Ví dụ 1.5: Quan hệ < hoặc≤ thông thường tập hợp số thực quan hệ thứ tự toàn phần, R tập thứ tự Quan hệ bao hàm⊂ tập P(X) tập tập X quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên khơng thứ tự tồn phần Quan hệ “a⋮ b” tức a bội số b N* quan hệ thứ tự phận Tập X xác định quan hệ thứ tự gọi tập đựoc xếp Suy luận toán học Mục tiêu: - Trình bày xác quy nạp tốn học đệ quy; - Kiểm tra tính chương trình cụ thể; - Áp dụng giải thuật quy nạp đệ quy 2.1 Quy nạp toán học Nhiều định lý phát biểu P(n) với n nguyên dương, P(n) hàm mệnh đề Quy nạp toán học kỹ thuật chứng minh định lý thuộc loại Nói cách khác quy nạp tốn học thường sử dụng để chứng minh mệnh đề "P(n), n số nguyên dương tuỳ ý Qua trình chứng minh P(n) với số nguyên dương n bao gồm hai bước : Bước sở : Chỉ mệnh đề P(1) Bước quy nạp : chứng minh phép kéo theo P(n) " P(n + 1) với số nguyên dương n, người ta gọi P(n) giả thiết quy nạp Khi hoàn thành hai bước chứng minh P(n) với n nguyên dương, tức chứng minh P(n) Ví dụ 2.1: Bằng quy nạp toán học chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ n2 Giải: Gọi P(n) mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ n2” Đầu tiên ta cần làm bước sở, tức phải P(1) Sau phải chứng minh bước quy nạp, tức cần P(n + 1) giả sử P(n) Bước sở : P(1) hiển nhiên = 12 Bước quy nạp : Giả sử P(n) đúng, tức với n nguyên dương lẻ ta có : 1+3+5+…+(2n-1) = n2 Ta phải P(n+1) đúng, tức : 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = (n+1)2 Do giả thuyết quy nạp ta suy : 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = [1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1) = n2+(2n+1) = (n+1)2 Đẳng thức chứng tỏ P(n+1) suy từ P(n) Vì P(1) mệnh đề kéo theo P(n) "P(n + 1) với n nguyên dương, theo nguyên lý quy nạp toán học P(n) với n nguyên dương 2.2 Định nghĩa đệ quy Đôi khó định nghĩa đối tượng cách tường minh, dễ dàng địng nghĩa đối tượng qua nó.Kỹ thuật gọi đệ quy a Các hàm định nghĩa đệ quy Để định nghĩa hàm xác định tập số nguyên không âm, cho: · Giá trị hàm n = · Cơng thức tính giá trị số nguyên n từ giá trị số nguyên nhỏ Định nghĩa gọi định nghĩa đệ quy hay định nghĩa quy nạp Ví dụ 2.2: Giả sử f định nghĩa đệ quy sau : f(0) = 3, f(n+1) = 2f(n)+3 Hãy tìm f(1), f(2), f(3) f(4) Giải : Từ định nghĩa đệ quy ta suy : f(1) = 2f(0) + = 2.3 + = f(1) = 2f(1) + = 2.9 + = 21 f(1) = 2f(2) + = 2.21 + = 45 f(1) = 2f(3) + = 2.45 + = 93 Trong số định nghĩa hàm đệ quy, người ta cho giá trị hàm k số nguyên dương cho qui tắc tính giá trị hàm số nguyên dương lớn từ k giá trị Theo nguyên lý thứ hai quy nạp tốn học cách định nghĩa tạo hàm hoàn toàn xác định b Các tập hợp định nghĩa đệ quy Các tập hợp thường định nghĩa đệ quy.Trước tiên người ta đưa tập xuất phát.Sau quy tắc tạo phần tử từ phần tử biết tập.Những tập đuợc mô tả cách gọi tập dịnh nghĩa tốt, định lý chúng chứng minh cách sử dụng định nghĩa đệ quy chúng Ví dụ 2.3: Giã sử S định nghĩa đệ quy sau : ∈ S; x+y ∈ S x ∈ S y ∈ S; Hãy S tập số nguyên chia hết cho Giải : Gọi A tập số nguyên dương chia hết cho Để chúng minh A = S ta chứng minh A tập S S tập A Để chứng minh A tập S, giả sử P(n) mệnh đề “3n thuộc tập S” P(1) theo định nghĩa S “3.1 =3 ∈S” Giả sử P(n) đúng, tức 3n ∈S Vì 3 ∈Svà 3n ∈Snên theo định nghĩa 3+3n = 3(n+1) ∈S Điều có nghĩa P(n+1) Theo quy nạp tốn học số có dạng 3n, với n nguyên dương, thuộc S, hay nói cách khác A tập S Ngược lại, 3 ∈S, hiển nhiên chia hết 3 ∈A Tiếp theo ta chứng minh tất phần tử S sinh phần tử thứ định nghĩa, thuọcc A Giả sử x, y hai phần tử S, hai phần tử A Theo định nghĩa S x+y phần tử S, x y chia hết x+y chia hết cho 3, tức x+y ∈A Vậy S tập A Đi qua điểm Mi(xi, yi) biết (i = 0, n ) đường cong y = f(x) y M0 y=f(x) M1 Mn-1 Mi Mn y=Pn(x) Xn-1 Xn X0 X1 Xi x Hình 4.4: Đường cong y=f(x) y=Pn(x) Sau đó, ta dùng đa thức Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần giá trị hàm số f(x) điểm x ¹ xi (i = 0, n ) Nếu điểm x Ỵ (xo, xn) phép tính gọi phiép tính nội suy Nếu điểm x Ï (xo, xn) (x (xo, xn)) phép tính gọi phép tính ngoại suy Sở dĩ ta chọn đa thức Pn(x) tính tốn, đa thức hàm số dễ tính Nhằm giảm bớt khối lượng tính, người ta dùng đa thức nội suy Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần giá trị hàm số f(x) điểm x ¹ xi(i = 0, n ) trường hợp biểu thức giải tích cụ thể hàm số f(x) biết tương đối phức tạp, phải tính nhiều giá trị Về đa thức nội suy, ta có định lý sau : Định lý 4.1: Đa thức nội suy Pn(x) hàm số f(x), có, có mà Chứng minh : Giả sử điều kiện (4.1), ta xây dựng hai đa thức nội suy khác Pn(x) Qn(x) với : Pn(xi) = yi; Qn(xi) = yi (i = 0, n ) Khi Pn(x) - Qn(x) đa thức bậc không lớn n, lại triệt tiêu n + điểm xi khác : Pn (xi) - Qn(xi) = yi - yi = 0(i = 0, n ) Vậy : Pn(x) - Qn(x) = (nghĩa Pn(x) - Qn(x) không với x), hay : Pn(x) = Qn(x) Đó điều phải chứng minh 4.2 Tính giá trị đa thức : sơ đồ Hoócne Cho đa thức bậc n : Pn(x) = aoxn + a1xn-1 + + an-1x + an Với hệ số thực ak (k = 0, 1, 2, , n), cần tính giá trị đa thức x = c : Ph(c) = aocn + a1cn-1 + + an-1c + an (4.2) Cách tính Pn(c) tiết kiệm số phép tính sau : ta viết (4.2) dạng : Pn(c) = ( ((((aoc + a1)c + a2)c + a3)c + + an -1)c + an) Vậy để tính Pn(c), cần tính số : bo = ao b1 = a1 + boc b2 = a + b c b3 = a + b c 43 bn = an + bn - 1c = Pn(c) Để tiện tính tốn, người ta thường dùng sơ đồ sau, gọi sơ đồ Hoócne : ao + bo a1 a2 an boc b1c bn-1c b1 B2 bn = Pn(c) C Ví dụ : Dùng sơ đồ Hcne, tính giá trị : P3(x) = 3x3 + 2x2 - 5x + Tại x = Giải : Ta có : -5 + 33 84 11 28 91= P3(3) 4.3 Đa thức nội suy Lagrăng a Thành lập đa thức nội suy Lagrăng Giả sử [a,b] cho n +1 giá trị khác đối số : xo, x1, , xn biết, hàm số y = f(x), giá trị tương ứng : f (x i ) = y1 , i = 0, n Bây ta xây dựng đa thức nội suy Ln(x), bậc không cao n, thoả mãn điều kiện : L n (x i ) = y i , i = 0, n Theo cách Lagrăng Trước hết, xây dựng đa thức li(x) thoả mãn điều kiện : ì1 nãúuj = i (*) l i (x j ) = ợ0 nóỳuj i Vỡ a thức li(x) phải tìm triệt n điểm xo, x1, , xi-1, xi+1, , xn nên li(x) viết dạng : li(x) = Ci(x - x0) (x - x1) (x - xi-1)(x - xi+1) (x - xi+1) (x - xn) (4.3) Ci số phải tìm Đặt x = xi (4.3) để ý điều kiện (4.3), ta có : li(xi) = Ci(xi - x0) (xi - x1) (xi - xi-1)(xi - xi-1) (xi - xi+1) (xi - xn) Trong : Ci = (x i - x o )(x i - x1 ) (x i - x i -1 )(x i - x i +1 ) (x i - x n ) Thay vào (6.32), ta có : l i (x ) = (x - x o )(x - x1 ) (x - x i -1 )(x - x i +1 ) (x i - x n ) (4.4) (x i - x o )(x i - x1 ) (x i - x i -1 )(x i - x i +1 ) (x i - x n ) Đa thức li(x) bậc n gọi đa thức Lagrăng Bây giờ, ta xét đa thức sau : L n (x ) = å l (x )y n i =0 i (4.5) i Dễ thấy bậc đa thức Ln(x) không cao n điều kiện (*), có : 44 L n (x j ) = å l (x )y n i i =0 j i = l j (x j )y j = yi ; j = 0, n (4.6) Vậy đa thức Ln(x), xác định (4.44) đa thức nội suy phải tìm Thay biểu thức li(x) từ (4.44) vào (4.45), nhận : (x - x o )(x - x1 ) (x - x i -1 )(x - x i +1 ) (x i - x n ) y (4.7) (x i - x o )(x i - x1 ) (x i - x i -1 )(x i - x i +1 ) (x i - x n ) i L n (x ) = å n i =0 Đây đa thức nội suy Lagrăng Sau xét hai trường hợp hay sử dụng đa thức nội suy Lagrăng i) Nội suy bậc hay nội suy tuyến tính : Khi n = 1, ta có hai nút nội suy xo x1, : L1 (x ) = x - x1 x - x0 yo + y1 x o - x1 x1 - x (4.8) Phương trình y = L1(x) phương trình đường thắng qua hai điểm Mo(xo, yo) M1(x1 , y1) ii) Nội suy bậc hai : Khi n = 2, ta có nút nội suy xo, x1, x2 : L (x ) = (x - x1 )(x - x ) (x - x )(x - x ) y yo + (x o - x1 )(x o - x ) (x1 - x )(x1 - x ) (x - x )(x - x ) + y (x - x )(x - x ) (4.9) Phương trình y = L2(x) phương trình đường parabol qua ba điểm Mo(xo,yo), M1(x1, y1) M2(x2, y2) Ví dụ 4.1: Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrăng hàm số y = sinpx, chọn nút nội suy : xo = 0, x1 = 1 x2 = Giải: Ta có : yo = sin0 = 0; y1 = sin p p = ; y2 = sin = Áp dụng công 2 thức (4.9), nhận : 1ư ưỉ 1ư ỉ ổ xỗ x - ữ ỗ x - ữỗ x - ÷ 2ø øè 2ø L (x ) = è x 0+ è x + æ1 1ử ổ ửổ ỗ - ữỗ - ữ ỗ - ữ ố6 2ứ ố ứố ứ 1ử ổ xỗ x - ữ 6ø è x = x - 3x 1æ1 1ử ỗ - ữ 2ố2 6ứ Vớ d 4.2 : Cho bảng giá trị hàm số y = log10x X 300 304 305 Y 2,4771 2,4829 2,4843 Tính gần log10301 đa thức nội suy Lagrăng Giải : Dùng (6.35) với n = 3, ta có : Log10 301 » + (- 3)(- 4)(- 6) x 2,4771 + 1(- 4)(- 6) x 2,4829 4(- 1)(- 3) (- 4)(- 5)(- 7) 1(- 3)(- 6) 1(- 3)(- 4) x 2,4843 + x 2,4871 5(1)(- 2) 7(3)(2) 45 307 2,4871 = 1,2739 + 4,9 658 - 4,4717 + 0,7106 = 2,4786 b Đánh giá sai số : Để đánh giá độ lệch đa thức nội suy Lagrăng Ln(x) hàm số f(x) điểm x ¹ xi (i = 0, n ) ta xét định lý sau : Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a,b] có đạo hàm liên tục đến cấp n + (a,b) sai số nội suy Rn(x) = f(x) - Ln(x) có dạng sau : f n +1 (c) Rn (x ) = p n +1 ( x ) ( n + 1)! (4.10) Trong c phụ thuộc x Ỵ [a,b], pn+1(x) = (x - xo)(x - x1) (x - xn) Chứng minh : Xét hàm số phụ sau : u(x) = f(x) - Ln(x) - kpn+1(x) (4.11) Trong k số lựa chọn sau Hàm số u(x) có n+1 nghiệm điểm xo, x1, , xn Bây ta chọn k cho hàm số u(x) có nghiệm thứ n + điểm cố định x [a,b], không trùng với nút nội suy Muốn thế, cần cho : f( x ) - Ln( x ) - kpn+1( x ) = Vì kpn+1( x ) ¹ nên : k = () () f x - Ln x p n +1 x () Với giá trị k vừa chọn, hàm số u(x) n + điểm : xo, x1, x2, , xn, x [a,b] Ap dụng định lý Rôn, thấy đạo hàm u’(x) có khơng n+1 nghiệm [a,b] Lại áp dụng định lý Rôn vào đạo hàm u’(x), thấy đạo hàm cấp hai u’’(x) có khơng nghiệm [a,b] Tiếp tục lập luận trên, thấy [a,b] đạo hàm u(n+1)(x) có nghiệm c, nghĩa : u(n+1)(c) = ( n +1) ( n _ +1) Vì L n (x ) = vaìpn +1 (x ) = (n + 1) ! Nên theo (4.11) có : u( u+1) (x ) = f ( n+1) (x ) - k (n + 1) ! Tại x = c, nhận : u( u +1) (c) = f ( n +1) (c) - k (n + 1) ! = hay f ( n +1) (c) k (n + 1)! (4.12) Từ (6.40) (6.41) suy : () () f x - Ln x f (n +1) (c) = (n + 1)! pn +1 x f ( n +1) (c) (4.13) : f x - L n x = p x (n + 1)! n+1 Vì x điểm bấ kỳ [a, b] không trùng với nút nội suy, nên () () () () viết lại (4.13) dạng : 46 f ( n+1) (c) R n ( x ) = f ( x ) - L n (x ) = p (x ) (n + 1)! n+1 (4.14) : c phụ thuộc x nằm [a,b] Đó cơng thức xác định số hạng dư đa thức nộ suy Ln(x) Chú ý (4.14) với điểm [a,b], kể điểm nút nội suy Đặt Mn+1= max f ( n +1) (x ) , nhận đánh giá sau sai số tuyệt đối aa £ x £ b đa thức nội suy Lagrăng : R n (x ) = f (x ) - L n (x ) £ M n +1 p (x ) (n + 1) ! n+1 (4.15) Ví dụ 4.3 : Cho bảng giá trị hàm số y = sinx sau : X p p Y 0,707 Tính gần sin p đa thức nội suy Lagrăng đánh giá sai số giá trị gần nhận Giải : Dùng (4.9), ta cú : pổp pử ỗ - ữ p 3 2ø x 0,707 + sin » è pỉp pư ç - ÷ 4è 2ø pỉp pư ç - ữ ố 4ứ = 0,851 pổp pử ỗ - ÷ 2è2 4ø Để đánh giá sai số giá trị gần nhận được, ta dùng (4.15) Vì M = max(sin x )' ' ' = 1, nên : é pù ê 0, ú ë 2û p p p ổpử R2 ỗ ữ Ê x x x = 0,024 3! 12 è 3ø p sin = 0,85 ± 0,03 4.4 Đa thức nội suy Newton Bây ta xét cách khác để xây dựng đa thức nội suy: cách Niutơn Trước hết ta đưa vào khái niệm tỉ hiệu Giả sử hàm y = y(x) có bảng giá trị 4-1 mục Tỉ hiệu cấp y xi, xjlà : y[x i , x j ] = (y (x i i - yj ) - xj) Tỉ hiệu cấp hai y xi, xj, xklà : y[x i , x j , x k ] = (y[x i , x j ] - [x j , x k ]) (x i - xk ) n Với y(x) = P(x) đa thức bậc thỉ tỉ hiệu cấp x, x : 47 Pn [x , x o ] = [P (x ) - P (x )] (x - x ) n n o o Là đa thức bậc n -1, tỉ hiệu cấp hai x, xo, x1 [P (x , x o ) - Pn (x o , x )] Pn [x , x o , x ] = n (x - x ) Là đa thức bậc n -2, tỉ hiệu cấp n + Pn [x , x , , x n ] = Từ định nghĩa tỉ hiệu ta suy : Pn(x) = Pn(xo) + (x - xo) Pn (x, xo) Pn[x, xo] = Pn[xo, x1] + (x - x1) Pn(x, xo, x1) Pn[x, xo, x1] = Pn[xo, x1, x2] + (x - x2)Pn [x, xo, x1, x2] Pn[x, xo, , xn-1] = Pn[xo, , xn] + (x - xn)Pn[x, xo, , xn] Từ Pn[x, xo, , xn] = ta có : Pn(x) = Pn(xo) + (x - xo) Pn(xo, x1) + (x - xo) (x - x1) Pn(xo, x1, x2) + + (x - xo) (x - xn-1)Pn[xo, , xn] (4.16) Nếu Pn(x) = pn(x) đa thức nội suy hàm y = f(x) : Pn(xi) = pn(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, n Do tỉ hiệu từ cấp đến cấp n Pn y (4.16) trùng Vì thay cho (4.16) ta có : pn(x) = yo + (x - xo) y [xo, x1] + (x - xo)(x - x1) y [xo, x1, x2] + + (x - xo) (x x1) (x - xn-1) y [xo , xn] (4.17) Đa thức goi đa thức Niutơn tiến xuất phát từ nút xo hàm y = f(x) Đa thức sau đa thức Niutơn lùi xuất phát từ nút xn hàm y = f(x) Pn(x) = yn + (x - xn) y [xn, xn-1] + (x - xn) (x - xn-1) y[xn, xn-1, xn-2] + + (x - xn) (x - xn-1) (x - x1) y [xn, xo] (4.18) Chú ý rằng, theo định nghĩa, tỉ hiệu có tính đối xứng : y[xi, xj] = y[xj, xi] y[xi, xj, xk] = y[xk, xj, xi] Chú thích : Đa thức Niutơn (4.17) trùng với đa thức Lagrangiơ bố trí cách thức khác Theo cách Niutơn thêm nút xn+1 vào lưới nội suy ta phải thêm vào pn(x) số hạng pn+1(x) = pn(x) + (x - xo) (x - xn) (x - xn+1), y [xo, , xn, xn+1] mà xây dựng lại tất đa thức sở cách làm Lagrange a Trường hợp nút cách Giả sử nút xj cách : xi = xo + ih, i = 0, 1, , n i) Trước hết ta đưa vào khái niệm sai phân tiến Sai phân tiến cấp i : Dyi = yi+1 - yi Sai phân tiến cấp hai i : D2yi = D(Dyi) = yi+2 - 2yi+1 + yi Sai phân tiến cấp n i : Dnyi = D(Dn-1yi) 48 Khi ta có : y[x o , x ] = y[x Dy o h ]= D y o , x1 , x o 2h Dn y o y[x o , , x n ] = (n ! h ) n Bây đặt x = xo + ht đa thức Niutơn tiến ta : p n (x ) x = x + ht + = y o + tDy o + t (t - 1) D y o + t (t - 1) (t - n + 1) n D yo n! (4.13) Gọi đa thức Niutơn tiến xuất phát từ xo trường hợp nút cách Với n = ta có : (x ) (4.19) p1 x = x + ht = y o + Dy o o Với n = ta có : p2 (x ) x = x o + ht = y + tDy o + t (t - 1) D yo 2t (4.20) ii) Một cách tương tự, với khái niệm sai phân lùi i Ñy i = y i - y i -1 Ñ y i = Ñ(Ñy i ) = y i - 2y i -1 + y i -2 Ñ n y = Ñ(Ñ n-1 y i ) Ta có đa thức nội suy Niutơn lùi xuất phát từ xn trường hợp nút cách : p n (x ) x = x x + ht = y n + tÑy n + t (t + 1) Ñ y n + 2! t (t + 1) (t + n - 1) + Ñnyn n! (4.21) Ví dụ 4.4: Cho số giá trị hàm sin x : Bảng X 0.1 0.2 0.3 0.4 Sinx 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 Hãy tính gần sin (0,14) sin (0,46) Giải : Dựa vào bảng giá trị cho sinx, ta thay hàm sinx đa thức nội suy Vì nút xj cách với h = 0,1, nên ta áp dụng đa thức Niutơn Trước hết ta lập bảng sai phân : Bảng I x sinx Dy D2y D3y 0,1 0,09983 49 9884 0,2 0,19867 0,3 0,29552 I 0,4 x 0,38942 Sinx -199 9685 -96 -295 9390 Đy Đ2y Đ3y a) Tính : sin(0,14) Vì 0,1< 0,14 < 0,2 nên ta dùng đa thức Niutơn tiến (4.17) xuất phát từ xo = 0,1 với h = 0,1 dựa vào sai phân tiến xuống bảng (gạch gạch) : p(x ) x = 0,1 + ,1t = 0,09983 + 0,09884 + - t (t - 1) t (t - 1)(t - ) 0,00199 0,00096 2! 3! Ứng với x = 0,14 ta có 0,14 = 0,1 + 0,1 t, ta suy t = 0,4 Thay t = 0,4 vào vế phải ta tính sin(0,14) » p(0,1 + 0,1 0,4) = 0,13954336 Sai số tính theo cơng thức (4.7) Ở n = 3, ta có : sinn +1 (x ) = sin( ) (x ) = sin x £ p(x) = (x - 0,1) (x - 0,2)(x - 0,3) (x - 0,4) p(0,14) = (0,14 - 1)(0,14 - 0,2 )(0,14 - 0,3) x (0,14 - 0,4 ) £ 10 -4 Vậy (4.7) cho : 10 -4 £ 4,2 10 - sin(0,14 ) - 0,13954336 £ 4! Ta thấy số 0,13954336 có nhiều chữ số nghi, ta quy trịn đến chữ số lẻ thập phân : sin(0,14) = 0,13945 ± 10 b) Tính : sin(0,46) Vì 0,46> 0,4 gần 0,4 nên ta dùng đa thức Niutơn lùi (4.18) xuất phát từ x3 = 0,4 dựa vào sai phân lùi lên (gạch hai gạch bảng 2) : P(x ) x = , + ,1t = 0,38942 + t 0,09390 + - t (t + 1)(t + ) 0,00096 3! t (t + 1) 0,00295 2! Ứng với x = 0,46 ta có 0,46 = 0,4 + 0,1 t ta suy t = 0,6 Thay t = 0,6 vào vế trái ta tính : sin(0,46) »p(0,4 + 0,1 0,6) = 0,4439446 Sai số tính theo cơng thức (4.7) : sin(0,46) - 0,4439446 £ 3,8 10-5 Ta quy tròn số 0,4439446 đến chữ số lẻ thập phân : sin(0,46) = 0,44394 ± 5.10-5 Chú thích : Ta nhận thấy sai số tính sin(0,46) gấp lần sai số tính sin(0,14) Lý chỗ 0,46 khoảng (0,1 ; 0,4) cịn 0,14 khoảng đó, 50 tính sin (0,46) ta phải “ngoại suy” cịn tính sin(0,14) ta “nội suy” thơi Ta xem lại mục 7, hình 4-1 ta thấy sai số ngoại suy (tuyệt đối) lớn vọt nhanh 4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu a Mở đầu Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hố học, kỹ thuật ) x y có liên hệ phụ thuộc theo dạng biết : y = a + bx y = a + bx + cx2 y = a + bcosx + csinx y = aebx y = axb Nhưng chưa biết giá trị cụ thể tham số a, b, c Muốn xác định chúng người ta tìm cách có - thí nghiệm, đo đạc - số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i = 1, 2, n: Bảng x X1 x2 xn y Y1 y2 yn Rồi áp dụng phương pháp bình phương bé để xác định tham số b Trường hợp y = a + bx Giả sử y phụ thuộc x dạng y = a + bx yi - a - bx1 = ei, i = 1, 2, , n sai số xi, : tổng cá bình phương sai số S phụ thuộc a b, xi, yi biết Mục đích phương pháp bình phương bé xác định a b cho S bé Như a b nghiệm hệ phương trình ¶S ¶S = 0, =0 ¶a ¶b tức na + bå x i = aå åy (4.22) ü ï ý x i + å x i = å x i yi ù ỵ i (4.23) T bng ta tính tổng å x , å y ,å x ,å x y 1 i i i thay vào hệ (4.23) giải hệ ta a b Ví dụ 4.5: Cho biết phụ thuộc hai đại lượng x y có dạng y = a + bx cho bảng số liệu : Bảng x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 Hãy xác định a b phương pháp bình phương bé Giải.Trước hết ta lập bảng số 51 Bảng xi yi x2i xiyi -1,1 0,78 1,21 -0,858 2,1 7,3 4,41 15,33 3,2 9,2 10,24 29,44 n=5 4,4 11,9 19,36 52,36 5,2 13,3 27,04 69,16 13,8 42,48 62,26 165,43 å Sau hệ phương trình viết : 5a + 13,8b = 42,48 13,8a + 62,26b = 165,432 Giải hệ ta : A = 2,9939036 » 3; b = 1,9935131 » Vậy có quan hệ : Y = + 2x Bây ta thử tính giá trị y x1 so sánh chúng với giá trị y1 cho bảng (xem bảng 6) Bảng x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y cũ 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 y 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4 Như quan hệ xấp xỉ tốt bảng số liệu c Các dạng quan hệ khác Các dạng phụ thuộc 2, nêu mục quan hệ tuyến tính tham số a, b, c nên giải cách tương tự Chẳng hạn, : y = a + bx + cx2 a,b,c nghiệm hệ : na + b å x i + cå x = å y i a å x i + bå x = cå x i = a å x + bå x = cå x i i åx y = åx y i i i i Trường hộp quan hệ x y có dạng hay ta phải biến đổi đơi chút quan hệ phi tuyến tham số a b Giả sử : Y = aebx, a > Lấy lôgarit nhập phân hai vế ta : Logy = loga + bxloge Đặt : logy = Y, loga = A, bloge = B, x = X Ta có : Y = A + BX Đây quan sát hệ dạng y = a + bx Từ bảng số liệu x,y ta suy bảng số liệu X, Y với ý : X = x, Y = logy Sau áp dụng cách làm mục ta thu A, B từ suy a b Bây giả sử : Y = axb, a > 0, x > Lấy Logarit hai vế ta : Logy = loga + blogx 52 Đặt : logy = Y, loga = A, b = B, logx = X Ta có : Y = A + BX Đó quan hệ dạng y = a + bx Ta lại làm mục Ví dụ 4.6 : Cho biết cặp giá trị x y theo bảng sau: xi x yi 0.65 0.65 0.96 0.75 0.85 0.95 1.15 1.06 1.17 1.29 1.58 Lậpcơngthứcthựcnghiệmcủaydạngaebx Giải Tacó:y=aebx Lấy Logarit số e hai vế:Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa dạng: Y = A + BX Xi = xi Yi = lnyi Yi =lnyi 0.65 0.65 -0.04 -0.04 X 4.35 0.75 0.85 0.95 1.15 0.06 0.18 0.25 0.46 X XX 3.93 0.92 xi 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B nghiệm hệ phương trình ⎧ ⎪ ⎨ ⎪A ⎩ nA + B X + X = X = Y XY 5A + 4.35B = 0.89 4.35A + 3.39B = 0.92 Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = Suy ra: a = , b = B =1 Vậy f(x) = e 53 Bài tập chương học sinh, sinh viên Bài 1: Dùng phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x30,2x2 - 0,2x - 1,2 = Biết khoảng phân ly nghiệm : (1,1 ; 1,4) Bài 2: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x30,2x2 - 0,2x - 1,2 = Biết khoảng cách phân ly nghiệm : (1,1 ; 1,4) Bài 3: Chứng minh phương trình : x5+ 5x + = có nghiệm thực đơn khoảng [-1, 0] tính nghiệm xác đến 0,01 phương pháp hỗn hợp Bài 4: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương phương trình : x4- 2x - = (Tính bước, lấy đến số lẻ) Bài 5: Bằng phương pháp tiếp tuyến giải phương trình : x4- 2x - = (Tính bước, lấy đến số lẻ) Bài 6: Bằng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần phương trình : x3 + x2 - 11 = khoảng (1 ; 2) với độ chinh xác đến 0,001 Bài 7: Cho hàm f(x) thoả mãn: xi xi 0.65 F(xi) -1 Tìm hàm nội suy f(x), tính f(5) Bài 8: Cho bảng giá trị : x 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Dùng phương pháp bình phương cực tiểu, tìm cơng thức thực nghiệm có dạng : y = a + bx Bài 9: Cho bảng giá trị : x 0,78 1,56 2,34 y 2,5 1,2 1,12 Hãy tìm cơng thức nghiệm có dạng : y = a + bx + cx2 3,12 2,25 3,81 4,28 Hướng dẫn thực tập mở rộng nâng cao Bài 1: Dùng công thức: x = x − ( ( ) tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly ) nghiệm (1.1 ; 1.4) Lặp lại trình điểm (x1, f(x1)) ta thu nghiệm gần đúngx = ( ) x − ( ) Lặp lại trình điểm (x2, f(x2)) ta thu nghiệm gần ( ) x = x − ( ) x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) 54 Bài 2: Dùng công thức: x = x − ( ) ( ) f(x ) tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Lặp lại trình điểm (x1, f(x1)) ta thu nghiệm gần đúngx = x − f(x ) ( ) ( ) Lặp lại trình điểm (x2, f(x2)) ta thu nghiệm gần x = x − f(x ) ( ) ( ) x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Bài 3: Bước 1: Chứng minh [-1,0] khoảng phân ly nghiệm phương trình Bước 2: Dùng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần khoảng phân ly nghiệm [-1,0] với độ xác 0.01 ( ) Dùng phương pháp tiếp tuyến: x = x − tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly nghiệm (-1,0) Dùng phương pháp dây cung: x = x − ( ( ) ) ( ) f(x ) tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly nghiệm (-1,0) Nếu |x − x |0.01 ta tiếp tục lặp lại trình để tìm nghiệm gần Bài 4: Dùng công thức: x = x − f(x ) tìm nghiệm gần x1 khoảng ( ) ( ) phân ly nghiệm Lặp lại trình điểm (x1, f(x1)) ta thu nghiệm gần đúngx = x − f(x ) ( ) ( ) Lặp lại trình điểm (x2, f(x2)) ta thu nghiệm gần x = x − f(x ) ( ) ( ) x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm Bài 5: Dùng công thức: x = x − ( ( ) tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly ) nghiệm Lặp lại trình điểm (x1, f(x1)) ta thu nghiệm gần đúngx = ( ) x − ( ) Lặp lại trình điểm (x2, f(x2)) ta thu nghiệm gần ( ) x = x − ( ) x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm Bài 6: Dùng phương pháp tiếp tuyến: x = x − khoảng phân ly nghiệm (1,2) Dùng phương pháp dây cung: x = x − x1 khoảng phân ly nghiệm (1,2) 55 ( ) ( ) ( ) ( tìm nghiệm gần x1 ) f(x ) tìm nghiệm gần Nếu |x − x |0.001 ta tiếp tục lặp lại trình để tìm nghiệm gần Bài 7: Để tìm hàm nội suy f(x) ta sử dụng đa thức nội suy Lagrăng sau: L n (x ) = å n i =0 (x - x o )(x - x1 ) (x - x i -1 )(x - x i +1 ) (x i - x n ) y (x i - x o )(x i - x1 ) (x i - x i -1 )(x i - x i +1 ) (x i - x n ) i Tính f(5) theo giá trị đa thức nội suy vừa tìm Bài 8: Dựa vào bảng giá trị tính hệ ta a b na + bå x i = aå åy å x , å y ,å x ,å x 1 ü ï ý x i + å x i = å x i yi ù ỵ i i y i thay vo hệ (*) giải i (*) Từ suy cơng thức thực nghiệm cần tìm Bài 9: Dựa vào bảng giá trị tính ∑ x ,∑ y ,∑ x y , ∑ x , ∑ x , ∑ x thay vào hệ (**) giải hệ ta a, b c na + b å x i + cå x = å y i a å x i + bå x = cå x i = a å x + bå x = cå x i i åx y = åx y i (**) i i i Từ suy cơng thức thực nghiệm cần tìm 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kenneth H.Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội, 1998 [2] Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc ứng dụng tin học, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [4] Bùi Minh Trí, Giáo trình tốn ứng dụng tin học, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục, 1999 57 ... học sinh, sinh viên 54 GIÁO TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: Cơ sở tốn cho tin học Mã mơn học: MHLTV 11 Vị trí, tính chất, ý nghĩa vai trị mơn học: - Vị trí: Mơn học bố trí sau sinh viên học. .. vực Cơng nghệ thơng tin nói chung ngành Lập trình viên Việt Nam nói riêng có bước phát triển đáng kể Chương trình dạy nghề Lập trình viên máy tính xây dựng sở phân tích nghề, phần kỹ nghề kết... tạo điều kiện thuận lợi cho sở dạy nghề trình thực hiện, việc biên soạn giáo trình theo môđun đào tạo nghề cấp thiết Mơn học1 1: Cơ sở tốn cho tin học mơn học đào tạo nghề biên soạn theo hình