Giáo trình cơ sở toán học phần 1 nguyễn gia định

Bộ giáo dục đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Së TO¸N HäC {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} ∅ huÕ − 2005 ´ D Û `.I NOI - À LO o.i m´ o.i b˘ a´t d¯`âu nghiên c´ u.u toán ho.c thu.ò.ng ca’m thâý kh´ o xˆ ay Nh˜ u.ng ngu.` u ng y ay, kh´ o ach ch˘a.t ch˜e nh˜ du ng th´ oi quen ph´ at biê’u mô.t c´ ´ kiêń muôń tr`ınh b` ho.c tˆ a.p c´ ac phu o ng ph´ ap lˆ a.p luâ.n d¯u ´ ng d¯˘ań và kh´ o n˘a´m d¯u o c các khái niê.m co òn t` ba’n cu’a to´ an ho.c Nh˜ u.ng khó kh˘an này du.ò.ng nhu b˘a´t nguˆ u chô˜: mˆ o.t l` a è lˆ u u c´ ogic toán, mô.t chu’ d¯`ê nghiên c´ a.p vˆ a.n suy khˆ ong d¯u o c luyê.n tˆ ach lâ.p luˆ diˆ˜e n ´ ap du.ng v` ao viê.c ch´ u ng minh các d¯i.nh l´ y toán ho.c; hai là thiêú c´ ac kh´ a ngày niê.m co ba’n v` a c´ ac phu o ng pháp d` ung l´ y thuyê´t tâ.p ho p m` ’ thu ` o ng d¯u o c ´ ap du.ng mo.i ngành toán ho.c và d` ung làm co so d¯ê’ khai ph´ a ’ ’ ’ ac kh´ niê.m co ban cua toán ho.c (nhu ánh xa., quan hê., ); ba v` a giai th´ıch c´ l` a khˆ ong n˘ a´m d¯u.o c nh˜ u.ng khái niê.m co ba’n cu’a d¯a.i sô´ tr` u.u tu.o ng, mˆ o.t chu’ ac, cu at triê’n ma.nh m˜e và có a’nh hu o’ ng d¯êń mo.i ngành toán ho.c kh´ d¯`ê d¯ang ph´ thê’ qua c´ ac cˆ aú tr´ uc d¯a.i sô´ cu’a các tâ.p ho p sô´ quen thuô.c (nhu tâ.p c´ ac sˆ o´ tu u.u tı’, tâ.p các sô´ thu c và tâ.p các sô´ ph´ a.p các sô´ h˜ u.c) nhiên, tâ.p c´ ac sˆ o´ nguyên, tˆ - u.o c su d¯ˆ ac Khoa To´ anac d¯`ông nghiê.p c´ o.ng viên ma.nh m˜e cu’a c´ D Co -Tin ho.c, Cˆ ong nghê Thˆ ong tin và Vâ.t l´ y (Tru ò ng Da.i ho.c Khoa ho.c-Da.i ho.c - a.i ho.c Su pha.m-D - a.i ho.c Huê´) v` ´ a ac Khoa Toán v` a Tin ho.c (Tru ò ng D Huê), c´ ` ´ ’ ’ d¯˘a.c biê.t nhu cˆ au ho.c tâ.p cua các sinh viên Da.i ho.c Huê o các Khoa n´ oi trên, ch´ ung tˆ oi ma.nh da.n viê´t giáo tr`ınh Co so’ Toán ho.c, trên thi èu t` àn này (nhu.ng d¯u.o c tr`ınh tru.ò.ng s´ ach c´ o kh´ a nhiˆ liê.u liên quan d¯êń ho.c phˆ - iˆ èu m` u.c cu’a a các kiêń th´ a rò.i ra.c) D a ch´ ung tôi mong muôń l` b` ay ta’n ma.n v` àn n` ay pha’i d¯u.o c d¯u.a vào d¯`ây d¯u’, cô d¯o.ng, ch´ınh xác, câ.p nhâ.t v` a b´ am ho.c phˆ àu d¯` s´ at theo yêu cˆ ao ta.o sinh viên c´ ac ngành Toán, Vâ.t l´ y, Công nghê Thˆ ong tin ’ v` a mˆ o.t sˆ o´ ng` anh k˜ y thuˆ a.t kh´ ac cu’a các tru ò ng d¯a.i ho.c và cao d¯˘ang Vó i su nˆ o’ a tài liê.u tham kha’o an, ch´ ung tôi thiê´t ngh˜ı d¯ây còn l` lu c hê´t m`ınh cu’a ba’n thˆ - a.i sô´ hay Co so’ To´ àn Nhâ.p môn D ac gi´ ao viên gia’ng da.y ho.c phˆ tˆ o´t cho c´ an ho.c àn cu’a Nˆ o.i dung cu’a t` liê.u này d¯u.o c bô´ tr´ı chu.o.ng Trong các phˆ èu th´ı du cu thê’ minh hoa cho nh˜ o nhiˆ u ng khái niê.m c˜ ung nhu mˆ o˜i chu o ng c´ nh˜ u.ng kê´t qua’ cu’a ch´ ung Cuˆ oí cu’a mô˜i chu.o.ng là nh˜ u.ng bài tâ.p d¯u.o c cho.n lo.c èn sau d¯ó là các l` t` u dˆ˜e d¯êń kh´ o b´ am theo nˆ o.i dung cu’a chu.o.ng d¯ó và liˆ o.i gia’i ´ -´ è Lôgic toán và tâ.p ho p, Anh cu’a ch´ ung D o l` a c´ ac chu.o.ng vˆ xa., Quan hê., Sˆ o´ tu - a th´ u.c, D nhiên v` a sˆ o´ nguyên, Sˆ o´ h˜ u.u tı’, sô´ thu c và sô´ ph´ u.c op y ´ Ch´ ung tˆ oi xin chˆ an th` anh cám o.n các d¯`ông nghiê.p d¯ã d¯ô.ng viên và g´ ´ ’ cho cˆ ong viê.c viêt giáo tr`ınh Co so Toán ho.c này và lò i cám o n d¯˘a.c biê.t xin - a.i ho.c Khoa ho.c-D - a.i ho.c Huê´) vˆ è su d` anh cho Khoa To´ an-Co.-Tin ho.c (Tru.ò.ng D èu kiê.n thuâ.n lo i cho viê.c xuâ´t ba’n giáo tr`ınh n` gi´ up d¯õ qu´ y b´ au v` a ta.o d¯iˆ ay Typeset by AMS-TEX è T´ ac gia’ mong nhˆ a.n d¯u.o c su chı’ giáo cu’a các d¯`ông nghiê.p và d¯ô.c gia’ vˆ ot kh´ o tránh kho’i cu’a cuôń sách nh˜ u ng thiêú s´ ˆ´t Dˆ - ô Huê´, A - ông (2005) Cô´ D a.u Tro.ng D - i.nh ˜ Nguyˆ e n Gia D CHU O NG I: ˆ ´ VA ` TA ˆ P HO .P LOGIC TOAN ˆ ´ 1.1 LOGIC TOAN a c´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic: 1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e v` èu d¯u u ´ ng ho˘a.c sai, ch´ o.t d¯iˆ au pha’n ánh mˆ 1.1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Mê.nh d¯`ê là mô.t cˆ u.a d¯u khˆ ong pha’i v` ´ ng v` u.a sai Th´ı du.: 1) Sˆ o´ 35 chia hê´t cho 5: mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng 2) M˘ a.t tr` o i quay quanh trái d¯â´t: mê.nh d¯`ê sai 3) Tam giác ABC c´ o góc vuông: mê.nh d¯`ê sai 4) < 5: mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng a nói chung các câu khˆ ong au ca’m thán, câu mê.nh lê.nh, v` C´ ac cˆ au ho’i, cˆ à m pha’n ´ nh˘ anh t´ınh d¯u ´ ng sai cu’a thu c tê´ khách quan d¯`êu không d¯u o c coi l` a ` mê.nh d¯ê Trong lˆ ogic mê.nh d¯`ê, ta không quan tâm d¯êń câú tr´ uc ng˜ u pháp c˜ ung nhu o˜i mê.nh ´ ng sai cu’a mˆ y ´ ngh˜ıa nˆ o.i dung cu’a mê.nh d¯`ê mà chı’ quan tâm d¯êń t´ınh d¯u d¯`ê - ê’ chı’ c´ ac mê.nh d¯`ê chu.a xác d¯i.nh, ta d` D ung các ch˜ u cái: p, q, r, v` a go.i ch´ ung l` a c´ ac biêń mê.nh d¯`ê Ta quy u ó c viê´t p = p là mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng v` a p = p l` a mê.nh d¯`ê sai C´ ac giá tri và go.i là các giá tri chân l´ y cu’a c´ ac mê.nh d¯`ê ac mê.nh d¯`ê mó.i b˘ a` ng George Boole d¯˜ a nghiên c´ u.u phu.o.ng pháp ta.o c´ èu mê.nh d¯`ê d¯ã có Các mê.nh d¯`ê mó.i d¯u.o c go.i l` c´ ach tˆ o’ ho p t` u mˆ o.t ho˘a.c nhiˆ a ` ` ` u c ho p, ch´ ach c´ ac mê.nh d¯ê ph´ ung d¯u o c ta.o t` u các mê.nh d¯ê hiê.n có b˘a ng c´ d` ung c´ ac phép toán lˆ ogic 1.1.1.2 Ph´ ep phu’ d ¯i.nh: Phu’ d¯.inh cu’a mê.nh d¯`ê p , k´ y hiê.u là p, d¯o.c là “khˆ ong p”, l` a mê.nh d¯`ê sai p d¯u ´ ng và d¯u ´ ng p sai on Phép phu’ d¯.inh lˆ ogic mê.nh d¯`ê ph` u ho p vó.i phép phu’ d¯.inh ngˆ ng˜ u thˆ ong thu ` o ng, ngh˜ıa l` a ph` u ho p vó i y ´ ngh˜ıa cu’a t` u “không” (“không pha’i”) Th´ı du.: 1) p: “9 l` a mˆ o.t sˆ o´ le’” (D), p: “9 không là mô.t sô´ le’” (S) òn ta.i sˆ 2) p: “v´ o i mo.i sˆ o´ thu c o´ thu c x, y, (x + y)2 < 0” (S), p: “tˆ - ) x, y, (x + y)2 ≥ 0” (D 1.1.1.3 Ph´ ep hˆ o.i: Hˆ o.i cu’a hai mê.nh d¯`ê p, q, k´ y hiê.u là p ∧ q, d¯o.c là “p v` a q”, on l` a mˆ o.t mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng ca’ p lâñ q c` ung d¯u ´ ng và sai c´ ac tru.ò.ng ho p c` la.i o.i y Phép hˆ o.i ph` u ho p v´ ´ ngh˜ıa cu’a liên t` u “và” cu’a ngôn ng˜ u thông thu.` o.ng - ) và q: “2 là sô´ chãn” (D - ) th`ı p ∧ q: “2 l` Th´ı du.: 1) p: “2 l` a sˆ o´ nguyên tô´” (D a ˜ sˆ o´ nguyên tˆ o´ v` a l` a ch˘ a n” (D) u.u tı’” (S) là hô.i cu’a hai mê.nh d¯`ê 2) Mê.nh d¯`ê “Sˆ o´ π l´ o.n và là mô.t sô´ h˜ - ) v` u.u tı’” (S) o.n ho.n 3” (D “Sˆ o´ π l´ a “Sô´ π là mô.t sô´ h˜ a “p y hiê.u p ∨ q, d¯o.c l` 1.1.1.4 Ph´ ep tuyˆ e’n: Tuyê’n cu’a hai mê.nh d¯`ê p, q, k´ ˜ ho˘ a.c q”, l` a mˆ o.t mê.nh d¯`ê sai ca’ p lâ n q d¯`êu sai và d¯u ´ ng mo.i tru.` o.ng on la.i ho p c` Phép tuyê’n u ´.ng v´ o.i liên t` u “ho˘a.c” ngôn ng˜ u thông thu.ò.ng theo ngh˜ıa o.t a´t mˆ ´ ng và chı’ ´ıt nhˆ u , c´ khˆ ong loa.i tr` o ngh˜ıa l` a mê.nh d¯`ê “p ho˘a.c q” d¯u hai mê.nh d¯`ê p v` a q d¯u ´ ng - ) và q: “3 b˘a` ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ ho.n Th´ı du.: 1) p: “3 nho’ ho.n 5” (D - ) ho˘ a.c b˘ a` ng 5” (D 2) p: “Paris l` a thu’ d¯ô nu.ó.c Anh” (S) và q: “6 ló.n ho.n 8” (S) th`ı p ∨ q: “Paris l` a thu’ d¯ˆ o nu.´ o.c Anh ho˘a.c ló.n ho.n 8” (S) 1.1.1.5 Ph´ ep tuyˆ e’n loa.i: Tuyê’n loa.i cu’a hai mê.nh d¯`ê p, q, k´ y hiê.u p ⊕ q, d¯o.c ` ’ ´ ng chı’ có mô.t o.t mê.nh d¯ê d¯u l` a “p ho˘ a.c q (nhu ng khˆ ong ca hai)”, là mˆ a q l` a d¯u ´ ng v` a sai mo.i tru ò ng ho p còn la.i hai mê.nh d¯`ê p v` Phép tuyê’n loa.i u ´.ng v´ o.i liên t` u “ho˘a.c” ngôn ng˜ u thông thu.ò.ng theo ngh˜ıa loa.i tr` u.√ u tı’” (S) và q: “√2 là môt sô´ vô tı’” (D - ) th`ı p ⊕ q: ´ h˜ u Th´ ı du : p: “ l` a mˆ o t sˆ o √ - ) “ l` a.c là mô.t sô´ vô tı’” (D a mˆ o.t sˆ o´ h˜ u u tı’ ho˘ 1.1.1.6 Ph´ ep k´ eo theo: Mê.nh d¯`ê kéo theo p ⇒ q, d¯o.c là “p kéo theo q” hay ´ ng và q sai và d¯u ´ ng các tru.` a mˆ o.t mê.nh d¯`ê sai p d¯u o.ng ”nêú p th`ı q”, l` ho p c` on la.i Trong phép kéo theo n´ oi trên, p d¯u.o c go.i là gia’ thiê´t, còn q d¯u.o c go.i l` a kê´t luˆ a.n èu no.i các suy luâ.n toán ho.c, nên c´ o V`ı phép kéo theo xuˆ a´t hiê.n o’ nhiˆ ’ ˜ ` ` ´ a.t ng˜ u d¯u o c d` nhiêu thuˆ ung d¯ê diên d¯a.t mê.nh d¯ê p ⇒ q Du ó i d¯ây là mô.t sˆ o th´ı du thu.` o.ng g˘ a.p nhˆ a´t – “Nêú p th`ı q”, – “p kéo theo q”, – “T` u p suy q”, èu kiê.n d¯u’ d¯ê’ có q”, – “p l` a d¯iˆ èu kiê.n cˆ àn d¯ê’ có p” – “q l` a d¯iˆ ańg, ch´ ung tôi s˜e d¯i bãi biê’n” là mô.t mê.nh Th´ı du.: 1) “Nêú hˆ om trò.i n˘ d¯`ê kéo theo v` a d¯u o c xem là d¯u ´ ng tr` u phi hôm trò.i thu c su n˘ańg, nhu.ng ch´ ung tˆ oi khˆ ong d¯i b˜ biê’n 2) “Nêú hˆ om l` a th´ u hai th`ı + = 7” là mˆ o.t mê.nh d¯`ê kéo theo v` a l` a d¯u ´ ng v´ o i mo.i ng` ay tr` u th´ u hai Trong suy luˆ a.n to´ an ho.c, ch´ ung ta xét các phép kéo theo thuˆ o.c loa.i tˆ o’ng è phép kéo theo u thông thu ò ng Khái niê.m toán ho.c vˆ qu´ at ho n ngôn ng˜ d¯ô.c lˆ a.p v´ o i mˆ oí quan hê nhân - qua’ gi˜ u a gia’ thiê´t và kê´t luâ.n èu ngôn ng˜ ung nhiˆ u lâ.p tr`ınh Khˆ ong may, cˆ aú tr´ uc nêú - th`ı d¯u.o c d` - a sô´ các ngôn ng˜ u lâ.p tr`ınh uc d¯u.o c d` ung lôgic toán D la.i kh´ ac v´ o.i cˆ aú tr´ ch´ u.a nh˜ u.ng cˆ au lê.nh nhu nˆ eú p th`ı S (if p then S), d¯ó p là mô.t mê.nh d¯`ê òm mô.t ho˘a.c nhiˆ èu lê.nh cˆ àn pha’i thu c hiê.n) c` on S l` a mˆ o.t d¯oa.n chu o ng tr`ınh (gˆ o.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.p nh˜ u.ng câú tr´ uc nhu vâ.y, S s˜e d¯u.o c thu c Khi thu c hiê.n mˆ hiê.n nêú p l` a d¯u ´ ng, d¯ó S s˜e không d¯u.o c thu c hiê.n nêú p là sai 1.1.1.7 Ph´ ep tu.o.ng d y hiê.u là p ⇔ q, ¯u.o.ng: Mê.nh d¯`ê “p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´ l` a mˆ o.t mê.nh d¯`ê d¯u ´ ng p và q có c` ung giá tri chân l´ y và sai các tru.` o.ng on la.i ho p c` - i.nh ngh˜ıa cu’a phép tu.o.ng d¯u.o.ng ph` D u ho p v´ o.i y ´ ngh˜ıa cu’a cu.m t` u “khi an ho.c, v` a chı’ khi” hay “nêú v` a chı’ nêú” cu’a ngôn ng˜ u thông thu.ò.ng Trong to´ èu kiê.n cˆ àn v` mê.nh d¯`ê “p tu o ng d¯u o ng q” có thê’ diˆ˜e n d¯a.t du ó i da.ng: “d¯iˆ a d¯u’ ’ d¯ê c´ o p l` a c´ o q” - iˆ àn và d¯u’ d¯ê’ 4ABC cân là hai góc o’ d¯áy cu’a n´ èu kiê.n cˆ o b˘ a` ng Th´ı du.: 1) D u.c Cauchy a` ng xa’y bâ´t d¯˘a’ng th´ 2) Dˆ aú b˘ a1 + a2 + · · · + an √ n a1 a2 a n ≤ n v` a chı’ a1 = a2 = · · · = an an tri cu’a các phép toán lôgic nói trên Sau d¯ây l` a ba’ng chˆ p q p p∧q p∨q p⊕q p⇒q p⇔q 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1.1.1.8 C´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic v` a c´ ac ph´ ep to´ an bit: Các máy t´ınh d` ung ´ c´ ac bit d¯ê’ biê’u diˆ˜e n thˆ ong tin Mô.t bit có hai giá tri là và Y ngh˜ıa cu’a t` u òn t` n` ay b˘ a´t nguˆ u binary digit (sô´ nhi phân) Thuâ.t ng˜ u này nhà Thˆ ońg kê ’ ’ ho.c nˆ o i tiêńg John Turkey d¯u a vào n˘am 1946 Bit c˜ ung có thê d¯u o c d` ung d¯ê’ biê’u diˆ˜e n gi´ a tri chˆ an l´ y Ta s˜e d` ung bit d¯ê’ biê’u diˆ˜e n giá tri d¯u ´ ng và bit d¯ê’ biê’u diˆ˜e n gi´ a tri sai Ta s˜e d` ung c´ ac k´ y hiê.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ ac phép toán −, ∧, ∨, ⊕ nhu thu ` o ng d¯u o c làm các ngôn ng˜ u lâ.p tr`ınh khác a` ng cách d` ung các xâu bit, d¯ó l` a d˜ ay Thˆ ong tin thu ` o ng d¯u o c biê’u diˆ˜e n b˘ c´ ac sˆ o´ v` a Khi d¯ã l` am nhu thê´, c´ ac phép toán trên các xâu bit c˜ ung c´ o thê’ d¯u o c d` ung d¯ê’ thao t´ ac c´ ac thông tin d¯ó Ta có thê’ mo’ rô.ng các phép toán bit t´ o i c´ au ac xˆ au bit Ta d¯i.nh ngh˜ıa các OR bit, AND bit v` a XOR bit d¯ôí vó.i hai xˆ èu d` bit c´ o c` ung chiˆ l` a c´ ac xˆ au c´ o các bit cu’a ch´ ung là các OR, AND v` a XOR cu’a c´ ac bit tu o ng u ´ ng hai xâu tu o ng u ´ ng Th´ı du.: xˆ au 1 1 1 xˆ au 1 0 1 1 OR bit 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 XOR bit 1 1 1 1.1.2 Su tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic cu’a c´ ac cˆ ong th´ u.c: niê.m công th´ u.c, tu.o.ng tu nhu Trong lˆ ogic mê.nh d¯`ê, ngu.ò.i ta d¯u.a kh´ kh´ niê.m biê’u th´ u.c toán ho.c - i.nh ngh˜ıa: 1.1.2.1 D u.c, 1) C´ ac biêń mê.nh d¯`ê p, q, r, là các công th´ a c´ ac cˆ ong th´ u.c th`ı P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l` a 2) Nêú P, Q l` c´ ac cˆ ong th´ u c, o.t sˆ o´ 3) Chı’ chˆ a´p nhˆ a.n c´ ac công th´ u.c d¯u.o c thành lâ.p b˘a` ng viê.c áp du.ng mˆ h˜ u u ha.n c´ ac quy t˘ ać 1)-2) - i.nh ngh˜ıa: Cˆ 1.1.2.2 D ong th´ u.c A go.i l` o.i a h˘a` ng d¯u ´ ng nêú A nhâ.n giá tri v´ mo.i hê gi´ a tri chˆ an l´ y c´ o thê’ có cu’a các biêń mê.nh d¯`ê có m˘a.t A à ng sai nêú A nhâ.n giá tri vó.i mo.i hê giá tri chˆ Cˆ ong th´ u c A go.i l` a h˘ an l´ y ’ o.t mˆ au ac biêń mê.nh d¯`ê có m˘a.t A Khi d¯ó ta go.i A là mˆ c´ o thê c´ o cu’a c´ ’ thuˆ a n Mˆ o.t cˆ ong th´ u.c khˆ ong pha’i là h˘a` ng d¯u ´ ng, c˜ ung không pha’i là mâu thuˆ a’n a tiê´p liên d¯u o c go.i l` - i.nh ngh˜ıa: Hai cˆ 1.1.2.3 D ong th´ u.c A và B d¯u.o c go.i là tu.o.ng d¯u.o.ng lˆ ogic, à ng d¯u a k´ y hiê.u A ≡ B, nêú A ⇔ B là mô.t h˘ ´ ng Hê th´ u c A ≡ B còn d¯u o c go.i l` mˆ o.t d¯˘a’ng th´ u c 1.1.2.4 C´ ac tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic co ba’n: 1) Luˆ a.t d¯`ông nhˆ a´t: p ∧ ≡ p, p ∨ ≡ p 2) Luˆ a.t nuˆ o´t: p ∧ ≡ 0, p ∨ ≡ 3) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p 4) Luˆ a.t phu’ d¯.inh kép: p ≡ p an: 5) Luˆ a.t giao ho´ p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 6) Luˆ a.t kê´t ho p: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7) Luˆ a.t phˆ an phˆ oí: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 8) Luˆ a.t De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q 9) Mˆ o.t sˆ o´ tu.o.ng d¯u.o.ng tiê.n ´ıch: p ∧ p ≡ 0, p ∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), p ⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p) an ho.c: 1.1.3 Suy luˆ a.n to´ ˜ 1.1.3.1 Suy luˆ a.n diˆ e n di.ch: Suy luâ.n là r´ ut mˆ o.t mê.nh d¯`ê mó.i t` u mˆ o.t hay ` ` nhiêu mê.nh d¯ê d¯˜ a c´ o u.ng Phˆ an t´ıch c´ ac suy luˆ a.n ch´ u.ng minh toán ho.c, ngu.ò.i ta thâý mô˜i ch´ òm mˆ u.u ha.n bu.ó.c suy luâ.n d¯o.n gia’n Trong mô˜i bu.´ o.t sˆ o´ h˜ minh bao gˆ o.c suy àm” vâ.n du.ng mô.t quy t˘ać suy luâ.n tô’ng qu´ luˆ a.n d¯o.n gia’n d¯ó, ta d¯ã “ngˆ at d¯ê’ u a nhâ.n là d¯u t` u c´ ac mê.nh d¯`ê d¯˜ a d¯u o c th` ´ ng (tiên d¯`ê, d¯i.nh l´ y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’ ac mê.nh d¯`ê xuâ´t ph´ at d¯˜ a thiê´t) c´ o thê’ r´ ut mˆ o.t mê.nh d¯`ê mó i Ngu ò i ta go.i c´ èn d¯`ê, còn mê.nh d¯`ê mó i d¯u o c r´ d¯u o c th` u a nhˆ a.n l` a d¯u ´ ng l` a các tiˆ ut (nh` o vˆ a.n ’ èn d¯`ê Phép du.ng c´ ac quy t˘ać suy luˆ a.n tô ng quát) go.i là hê qua’ lôgic cu’a các tiˆ ˜ ´ ˜ suy luˆ a.n nhu thê´ go.i l` a suy luâ.n diên di.ch hay go.i t˘a t là suy diên - i.nh ngh˜ıa: Gia’ su’ A1 , A2 , , An , B là nh˜ u.ng công th´ 1.1.3.2 D u.c Nêú tˆ a´t ca’ c´ ac hê gi´ a tri chˆ an l´ y cu’a các biêń mê.nh d¯`ê có m˘a.t các công th´ u c d¯´ o am cho B nhâ.n gi´ a tri 1, a.n giá tri c˜ ung d¯`ông thò.i l` l` am cho A1 , A2 , , An nhˆ t´ u.c là A1 ∧ A2 ∧ ∧ An ⇒ B là mô.t công th´ ´ ng, th`ı ta go.i B l` a hê u.c h˘a` ng d¯u à ng có mô.t quy t˘ać suy luˆ qua’ lˆ ogic cu’a A1 , A2 , , An Khi d¯ó ta c˜ ung nói r˘ a.n èn d¯`ê A1 , A2 , , An tó i hê qua’ lôgic B cu’a ch´ ac tiˆ t` u c´ ung y hiê.u là: Quy t˘ ać suy luˆ a.n d¯´ o d¯u.o c k´ A1 , A1 , , An B ć suy luˆ a a.n thu.` 1.1.3.3 Mˆ o.t sˆ o´ quy t˘ o.ng d` ung: p (Quy t˘ ać cˆ o.ng) 1) p∨q p∧q (Quy t˘ ać r´ ut go.n) 2) p p, p ⇒ q 3) (Quy t˘ ać kê´t luâ.n - Modus ponens) q p ⇒ q, q (Quy t˘ ać kê´t luâ.n ngu.o c - Modus tollens) p p ⇒ q, q ⇒ r 5) (Quy t˘ać tam d¯oa.n luâ.n) p⇒r p ⇒ q, q ⇒ p 6) (Quy t˘ać d¯u.a tu.o.ng d¯u.o.ng vào) p⇔q 4) p ∨ q, p (Quy t˘ ać t´ ach tuyê’n) q p ⇒ r, q ⇒ r 8) (Quy t˘ać tách tuyê’n gia’ thiê´t) p∨q ⇒r p ⇒ q, p ⇒ r 9) (Quy t˘ać hô.i kê´t luâ.n) p⇒q∧r 7) 10) q⇒p (Quy t˘ ać pha’n d¯a’o) p⇒q 11) p ⇒ q, p ⇒ q (Quy t˘ać pha’n ch´ u.ng) p Th´ı du.: 1) Cho: Nêú trò.i mu.a (p) th`ı sân u.ó.t (q) Tr` o.i d¯ang mu.a Kê´t luˆ a.n: Sˆ an u.´ o.t à ng (q) 2) Cho: Nêú hai g´ oc d¯oˆí d¯’ınh (p) th`ı b˘ b v` b khˆ A aB ong b˘a` ng b v` b khˆ Kê´t luˆ a.n: A aB ong d¯ôí d¯ı’nh 3) Cho: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`êu là h`ınh thoi (p ⇒ q) Mo.i h`ınh thoi c´ o các d¯u.ò.ng chéo vuông góc (q ⇒ r) Kê´t luˆ a.n: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`êu có các d¯u.ò.ng chéo vuông góc (p ⇒ r) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) 1.1.3.4 Suy luˆ a.n nghe c´ o l´ y: Suy luâ.n nghe c´ o l´ y là suy luˆ a.n không theo mˆ o.t èn d¯`ê d¯ã có, r´ ut d¯u o c mˆ o’ng qu´ at n` ao d¯ê’ t` u nh˜ u ng tiˆ o.t kê´t quy t˘ ać suy luˆ a.n tˆ èn d¯`ê d¯`êu d¯u luˆ a.n x´ ac d¯i.nh Nêú c´ ac tiˆ ´ ng th`ı kê´t luâ.n r´ ut không ch˘ ać ch˘ ań o t´ınh chˆ a´t du d¯oán, gia’ thuyê´t d¯u ´ ng, m` a chı’ c´ Trong to´ an ho.c c´ o hai kiê’u suy luâ.n nghe có l´ y thu.ò.ng d` ung, d¯ó là – Phép quy na.p khˆ ong hoàn toàn, – Phép tu o ng tu y h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.ò.ng th˘a’ng c` Th´ı du.: 1) T` u d¯.inh l´ ung vuˆ ong g´ oc v´ o.i mˆ o.t d¯u.` o.ng th˘ a’ng th´ u ba th`ı song song v´ o.i nhau”, ch´ ung ta nêu mˆ o.t an”: “Hai m˘ a.t ph˘ a’ng c` ung vuˆ ong góc vó i mô.t m˘a.t ph˘ a’ng th´ u ba th`ı song “du d¯o´ song v´ o i nhau” -ˆ è phép suy luâ.n b˘a` ng tu.o.ng tu D ay l` a mˆ o.t th´ı du vˆ 2) C´ ac sˆ o´ 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + là nh˜ o´ u.ng sô´ nguyên tˆ n Kê´t luˆ a.n: v´ o i mo.i sˆ o´ tu nhiên n, sô´ + là sô´ nguyên tô´ -ˆ a.n quy na.p không hoàn toàn d¯ã nêu lên bo’.i Fermat (1601D ay l` a lˆ oí suy luˆ 1665) sau d¯ã kiê’m nghiê.m vó.i các sô´ n = 0, 1, 2, 3, Nhu.ng sau d¯ó Euler d¯˜ a o i n = 5, kh˘ a’ng d¯i.nh này khˆ ong d¯u ´ ng, ngh˜ıa là + không l` chı’ r˘à ng v´ a sˆ o´ nguyên tˆ o´ 3) = + 3, = + 5, 10 = + 5, 12 = + 7, Kê´t luâ.n: mo.i sˆ o´ ˜ nguyên du o ng ch˘ a n l´ o n ho n là tô’ng cu’a hai sô´ nguyên tô´ - ây là mô.t nhiˆ èu kh˘ a’ng ay mang tên là bài toán Goldbach D Mê.nh d¯`ê n` d¯.inh to´ an ho.c chu a d¯u o c ch´ u ng minh 3 o nghiê.m nguyên, phu.o.ng tr`ınh 4) Phu o ng tr`ınh x + y = z không c´ 4 x + y = z khˆ ong c´ o nghiê.m nguyên Kê´t luâ.n: phu.o.ng tr`ınh xn + y n = z n khˆ ong c´ o nghiê.m nguyên v´ o.i mo.i sô´ nguyên n > y cuˆ oí c` ung Mê.nh d¯`ê n` ay d¯u.o c nêu bo’.i Fermat n˘am 1637, go.i là “d¯i.nh l´ cu’a Fermat” M˜ d¯êń th´ ang n˘am 1995, mê.nh d¯`ê này mó i d¯u o c hoàn toàn ch´ u ng minh xong bo’ i nh` a toán ho.c ngu.ò.i Anh tên là Wiles To´ an ho.c l` a khoa ho.c cu’a suy luâ.n diˆ˜e n di.ch Tâ´t ca’ các vâń d¯`ê to´ an ` ˜ ay b˘ a ng các suy luâ.n diên di.ch Tuy nhiên, qu´ a tr`ınh ho.c chı’ d¯u o c tr`ınh b` ˜ ´ ph´ at minh, s´ ang ta.o toán ho.c, l´ y luâ.n diên di.ch g˘a n ch˘a.t vó i các suy luâ.n nghe c´ o l´ y Ta d` ung quy na.p khˆ ong hoàn toàn hay tu.o.ng tu d¯ê’ nêu c´ ac gia’ thuyê´t Sau d¯ó m´ o i ch´ u ng minh c´ ac gia’ thuyê´t này b˘a` ng diˆ˜e n di.ch 1.1.4 C´ ac phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh: èn d¯`ê 1.1.4.1 Ch´ u.ng minh l` a g`ı? Trong suy luâ.n diˆ˜e n di.ch, nêú t` u các tiˆ à ng cách vâ.n du.ng nh˜ A1 , A2 , , An , ta r´ ut kê´t luâ.n B b˘ u ng quy t˘ ać suy èn d¯`ê A1 , A2 , , An v` a luˆ a.n tˆ o’ng qu´ at th`ı ta n´ oi B là kê´t luâ.n lôgic cu’a các tiˆ èn d¯`ê A1 , A2 , , An d¯`êu d¯u ogic Nêú tâ´t ca’ các tiˆ ´ ng th`ı suy luˆ a.n d¯´ o l` a ho p lˆ ´ ´ a mˆ o.t ta go.i kêt luˆ a.n lˆ ogic B l` a mô.t kêt luâ.n ch´ u ng minh và go.i suy luâ.n d¯ó l` ch´ u ng minh ac ch˘ a.n du.ó.i cu’a X là các u.ó.c chung N∗ cu’a 2, cu’a 2, 3, 6, v` a tˆ a.p ho p c´ 3, 6, Do d¯´ o sup X = BCNN(2, 3, 6, 8) = 24 và inf∗ X = UCLN(2, 3, 6, 8) = N N∗ a X = 3) Xét tˆ a.p ho p P(X) d¯u.o c s˘a´p th´ u tu bo’.i quan hê “bao hàm” v` n n {A1 , A2 , , An } ⊂ P(X) Khi d¯ó sup X = ∪ Ai và inf X = ∩ Ai P(X) i=1 P(X) i=1 - i.nh ngh˜ıa: Cho tâ.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu A bo’.i quan hê ≤ v` a X l` a 3.2.2.6 D ˜ ` ` ´ ’ ’ ’ ac rô ng cua A Phân tu m ∈ X d¯u o c go.i l` a.p kh´ a phân tu tôi d¯a.i (t.u mˆ o.t tˆ tˆ oí tiê’u) cu’a X nêú v´ o.i mo.i x ∈ X ta có: m ≤ x ⇒ x = m (t.u x ≤ m ⇒ x = m), àn tu’ x nào cu’a X cho x > m (t.u x < m) àn phˆ òn ta.i phˆ t´ u.c l` a khˆ ong tˆ àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) m cu’a A cho m ∈ X c˜ R˜ o r` ang r˘à ng phˆ ung ’ ` ´ ` ´ ´ ´ ’ ’ ’ l` a phˆ an tu tˆ oi d¯a.i (t.u tˆ oi tiê u) cua X Tuy nhiên, nêu m là phân tu tˆ oi d¯a.i àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) cu’a A (t.u tˆ oí tiê’u) cu’a X th`ı chu.a ch˘ać m là phˆ òn àn tu’ tˆ oí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) cu’a mô.t tâ.p ho p có thê’ không có v` a nêú tˆ Phˆ ta.i, c´ o thê’ c´ o ho n u tu A bo’.i quan hê ≤ v` a X l` a 3.2.2.7 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Cho tâ.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ ˜ mˆ o.t tˆ a.p kh´ ac rô ng cu’a A Khi d¯ó: ´ àn tu’ ló.n nhâ´t (t.u nho’ nhâ´t) là a th`ı a là phˆ àn tu’ tˆ 1) Nêu X c´ o phˆ oí d¯a.i (t.u tˆ oí tiê’u) nhˆ a´t cu’a X àn bo’.i quan hê ≤ th`ı phˆ àn tu’ a ∈ X l` a´p th´ u tu toàn phˆ a 2) Nêú X d¯u o c s˘ àn tu’ l´ àn tu’ tôí d¯a.i (t.u phˆ o n nhˆ a´t (t.u nho’ nhâ´t) cu’a X và chı’ a là phˆ tˆ oí tiê’u) cu’a X àn tu’ ló.n nhâ´t (t.u nho’ nhâ´t) cu’a X Khi d¯´ Ch´ u.ng minh: 1) Gia’ su’ a là phˆ o ta c´ o x ≤ a (t.u x ≥ a) v´ o i mo.i x ∈ X và nêú a ≤ x (t.u a ≥ x) th`ı t´ınh ´ ´ àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) cu’a X ’ u ng ta c´ oi x´ châ t phan d¯ˆ o x = a Vâ.y a là phˆ àn àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) t` Nêú a l` uy y´ cu’a X th`ı a l` a phˆ a mˆ o.t phˆ 0 àn tu’ tu’ l´ o n nhˆ a´t (t.u nho’ nhˆ a´t) cu’a X ta c´ o a ≤ a (t.u a ≥ a) và a là phˆ tˆ oí d¯a.i (t.u tˆ oí tiê’u) cu’a X nên a0 = a 2) (⇒) C´ o t` u 1) àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) cu’a X Khi d¯´ a phˆ o X (⇐) Gia’ su’ a ∈ X l` àn nên vó i mo.i x ∈ X, ta có x ≤ a ho˘a.c a ≤ x Nêú d¯u o c s˘ a´p th´ u tu to` an phˆ àn tu’ tôí d¯a.i (t.u tôí tiê’u) cu’a X ta có x = a a ≤ x (t.u a ≥ x) th`ı a là phˆ àn tu’ ló.n nhâ´t (t.u nho’ nhˆ Vˆ a.y x ≤ a (t.u x ≥ a) v´ o.i mo.i x ∈ X hay x là phˆ a´t) ’ cua X àn tu’ tôí tiê’u nhˆ Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N∗ v´ a´t l` a o.i quan hê “chia hê´t” có phˆ ∗ àn tu’ nho’ nhâ´t cu’a N , khˆ òn ta.i phˆ àn tu’ tôí d¯a.i 1, d¯ó c˜ ung l` a phˆ ong tˆ ∗ ∗ àn tu’ tôí tiê’u là các sô´ nguyên tˆ Tˆ a.p X = N \ {1} cu’a N có c´ o´ ac phˆ àn tu’ tˆ oí d¯a.i v` a X khˆ ong c´ o phˆ 76 àn tu’ tôí tiê’u l` a 2, 3, Tˆ a.p X = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} cu’a N∗ có c´ ac phˆ àn tu’ tˆ a 9, 19, 24 oí d¯a.i l` 19 v` a c´ ac phˆ 2) Cho tˆ a.p ho p X = {x1 , x2 , , xn } Xét tâ.p ho p A = P(X) \ {∅, X} v´ o.i àn tu’.: àn tu’ tôí tiê’u là các tâ.p phˆ quan hê “bao h` am” Khi d¯o´ A có c´ ac phˆ àn tu’.: àn tu’ tôí d¯a.i là các tâ.p n − phˆ {x1 }, {x2 }, , {xn } v` a c´ o các phˆ {x2 , x3 , , xn }, {x1 , x3 , , xn }, , {x1 , x2 , , xn−1 } - inh ngh˜ıa: Cho tâ.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ oi 3.2.2.8 D u tu A bo’.i quan hê ≤ Ta n´ A d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu tˆ o´t bo’.i quan hê này nêú mo.i tâ.p kh´ ac rôñg cu’a A d¯`êu àn tu’ nho’ nhˆ c´ o phˆ a´t u tu tô´t bo’.i mô.t quan hê n` ao 3.2.2.9 Hˆ e qua’: Nêú mô.t tâ.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ àn bo’ i quan hê d¯ó d¯´ o th`ı n´ o d¯u o c s˘ a´p th´ u tu toàn phˆ Ch´ u.ng minh: Gia’ su’ A l` a tâ.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tô´t bo’.i quan hê ≤ Khi àn tu’ nho’ àn tu’ bˆ y a, b ∈ A, tâ.p X = {a, b} cu’a A có phˆ d¯´ o v´ o.i hai phˆ a´t k` àn tu’ nho’ nhâ´t cu’a X th`ı a ≤ b và nêú b là phˆ àn tu’ nho’ nhˆ nhˆ a´t Nêú a l` a phˆ a´t a´p th´ u cu’a X th`ı b ≤ a Nhu vˆ a.y, a và b so sánh d¯u o c vó i hay A d¯u o c s˘ àn bo’.i quan hê ≤ an phˆ tu to` Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tô´t bo’.i quan hê ≤ thông thu.ò.ng u tu tô´t bo’.i quan hê “chia hê´t” ong d¯u.o c s˘a´p th´ 2) Tˆ a.p ho p N∗ khˆ 3) C´ ac tˆ a.p ho p Z, Q, R không d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tô´t bo’.i quan hê ≤ thˆ ong thu ` o ng - i.nh ngh˜ıa: Tˆ 3.2.2.10 D a.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu A d¯u.o c go.i l` a mô.t d` an nêú àn tu’ bˆ v´ o i hai phˆ a´t k` y a, b ∈ A, tâ.p ho p {a, b} luôn có câ.n trên và cˆ a.n du.´ o.i àn lu.o t d¯u.o c k´ y hiê.u là a ∨ b và a ∧ b Cˆ a.n trên v` a cˆ a.n du.´ o.i cu’a {a, b} lˆ 3.2.2.11 T´ınh chˆ a´t: Cho A là mô.t dàn Khi d¯ó vó.i mo.i a, b, c ∈ A, ta c´ o: 1) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: a ∨ a = a, a ∧ a = a 2) Luˆ a.t giao ho´ an: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a 3) Luˆ a.t kê´t ho p: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) 4) Luˆ a.t hˆ a´p thu.: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a Ch´ u.ng minh: C´ o t` u d¯.inh ngh˜ıa cu’a câ.n trên và câ.n du.ó.i Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N∗ v´ o.i mo.i m, n ∈ N∗ , o.i quan hê chia hê´t là mô.t dàn v`ı v´ ta c´ o m ∨ n l` a BCNN(m, n) và m ∧ n là UCLN(m, n) o.i quan hê “bao hàm” là mô.t dàn v`ı v´ 2) Tˆ a.p ho p P(X) v´ o.i mo.i A, B ∈ P(X), ta c´ o A ∨ B l` a A ∪ B và A ∧ B là A ∩ B è su tˆ òn ta.i a.n mê.nh d¯`ê sau, thu.ò.ng d¯u.o c go.i là Bô’ d¯`ê Zorn, vˆ Ta th` u.a nhˆ ´ àn tu’ tˆ phˆ oí d¯a.i mˆ o.t tâ.p ho p d¯u o c s˘a p th´ u tu Mê.nh d¯`ê này tu o ng d¯u.o.ng ang loa.t mê.nh d¯`ê kh´ ac l´ y thuyê´t tâ.p ho p, sô´ này có Tiên d¯`ê v´ o.i h` - i.nh d¯`ê Zermelo, Nguyên l´ cho.n, D y s˘a´p th´ u tu tô´t, 77 u tu quy na.p 3.2.2.12 Bˆ o’ d ¯`ˆ e Zorn: Nêú tâ.p ho p khác rôñg X d¯u.o c s˘a´p th´ àn cu’a nó d¯`êu có ch˘a.n trên th`ı X a.p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu toàn phˆ ngh˜ıa l` a mo.i tˆ àn tu’ tˆ c´ o phˆ oí d¯a.i ` TA ˆ P CHU.O.NG III BAI àn tu’ d¯êń tâ.p ho p c´ o Có bao nhiêu quan hê khác tù tâ.p ho p có m phˆ ` ’ n phˆ an tu ? Xác d¯i.nh xem quan hê R trên tâ.p ho p các ngu.ò.i trên trái d¯â´t có là pha’n àu không, vó.i (a, b) ∈ R nêú và chı’ nêú: u.ng, b˘ać cˆ u.ng, pha’n d¯ˆ oí x´ xa., d¯ˆ oí x´ a) a cao ho.n b ? b) a v` a b sinh c` ung ng` ay ? c) a v` a b c` ung tên ? d) a v` a b c´ o c` ung mˆ o.t ông ? C˜ung ho’i nhu trên, vó.i quan hê R trên tâ.p ho p Z các sô´ nguyên và x R y nêú v` a chı’ nêú: a) x 6= y b) xy ≥ c) x = y + hay x = y − d) x + y l` a sˆ o´ ch˘ añ e) x l` a bˆ o.i sˆ o´ cu’a y am ho˘ a.c d¯`êu không âm f ) x v` a y d¯`êu ˆ g) x = y h) x ≥ y Mô.t quan hê R trên tâ.p ho p A d¯u.o c go.i là pha’n pha’n xa nêú vó.i mo.i u.ng nêú vó.i mo.i a, b ∈ A, (a, b) ∈ R a ∈ A, (a, a) ∈ / R v` a d¯u.o c go.i là bâ´t d¯ôí x´ kéo theo (b, a) ∈ / R a) C´ ac quan hê n` ao Bài và là pha’n pha’n xa b) C´ ac quan hê n` ao Bài và là bâ´t d¯ôí x´ u.ng Cho R là mô.t quan hê tù tâ.p ho p A d¯êń tâ.p ho p B Quan hê ngu.o c tù B y hiê.u l` a R−1 , là tâ.p ho p {(b, a) | (a, b) ∈ R} Quan hê b` u R l` a d¯êń A, d¯u.o c k´ −1 / R} T`ım R và R cu’a R sau: tˆ a.p ho p {(a, b) | (a, b) ∈ a) R = {(a, b) | a < b} trên tâ.p ho p Z các sô´ nguyên b) R = {(a, b) | b chia hê´t cho a} trên tâ.p ho p N∗ các sô´ nguyên du.o.ng òm c´ ac c˘ a.p (a, b), c) R l` a quan hê trên tâ.p ho p các tı’nh cu’a Viê.t Nam gˆ d¯´ o tı’nh a gi´ ap gi´ o i v´ o i tı’nh b Gia’ su’ R và S là hai quan hê có t´ınh pha’n xa trên tâ.p ho p A Xác d¯i.nh xem c´ ac quan hê R ∪ S, R ∩ S, R ⊕ S, R \ S và S ◦ R có t´ınh châ´t pha’n xa hay pha’n pha’n xa 78 Cho R là mô.t quan hê trên tâ.p ho p A Chú.ng minh r˘a` ng: a chı’ nêú R−1 là pha’n xa a) R l` a pha’n xa nêú v` b) R l` a pha’n xa nêú v` a chı’ nêú R là pha’n pha’n xa u ng nêú và chı’ nêú R ∩R−1 là tâ.p cu’a quan hê d¯u.` oí x´ o.ng c) R l` a pha’n d¯ˆ chéo ∆ = {(a, a) | a ∈ A} Cho R là mô.t quan hê trên tâ.p ho p A và n là mô.t sô´ nguyên du.o.ng Chú.ng minh r˘ a` ng a) Nêú R l` a pha’n xa th`ı Rn là pha’n xa b) Nêú R l` a d¯ôí x´ u.ng th`ı Rn là d¯ôí x´ u.ng àu th`ı Rn = R c) Nêú R l` a pha’n xa v` a b˘ać cˆ àn tu’ là òm n phˆ Có bao nhiêu quan hê trên tâ.p ho p gˆ a) Pha’n xa.? -ˆ b) D oí x´ u.ng? u.ng? c) Bˆ a´t d¯ôí x´ u.ng? d) Pha’n d¯ˆ oí x´ e) Pha’n xa v` a d¯ˆ oí x´ u.ng? 10 Các quan hê nào sô´ các quan hê trên tâ.p {0, 1, 2, 3} cho du.ó.i d¯ây là quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng? a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} 11 C˜ung ho’i nhu trên d¯ôí vó.i các quan hê trên tâ.p ho p các ánh xa tù Z d¯êń Z d¯u.o c cho du.´ o.i d¯ˆ ay: a) {(f, g) | f (1) = g(1)} b) {(f, g) | f (0) = g(0) ho˘a.c f (1) = g(1)} c) {(f, g) | f (x) − g(x) = 1, ∀x ∈ Z} d) {(f, g) | ∃C ∈ Z, f (x) − g(x) = C và ∀x ∈ Z} e) {(f, g) | f (0) = g(1) và f (1) = g(0)} èn xác d¯i.nh 12 Cho A là mô.t tâ.p ho p khác rôñg, f là mô.t ánh xa có A là miˆ cu’a n´ o v` a R = {(x, y) ∈ A × A | f (x) = f (y)} Ch´ u ng minh r˘a` ng R là mô.t quan hê tu o ng d¯u o ng trên A v` a xác d¯i.nh các ló p tu o ng d¯u.o.ng cu’a R 13 Cho A là mô.t tâ.p ho p khác rôñg và R là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên A òn ta.i mô.t ánh xa f có A là miˆ èn xác d¯i.nh cho (x, y) ∈ R Ch´ u.ng minh r˘à ng tˆ v` a chı’ f (x) = f (y) 14 T`ım quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng nho’ nhâ´t trên tâ.p {a, b, c, d, e} chú.a quan hê {(a, b), (a, c), (d, e)} 79 àn tu’ 15 Xác d¯.inh sô´ các quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng khác trên tâ.p ho p phˆ à ng c´ ac quan hê d¯ó b˘ ach liê.t kê c´ àn tu’ 16 Có bao nhiêu quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng khác cho trên tâ.p ho p phˆ c´ o d¯u ´ ng l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng khác nhau? 17 Mô.t quan hê R trên tâ.p ho p X d¯u.o c go.i là quan hê vòng quanh nêú xRy à ng quan hê R là pha’n xa và vòng quanh v` a yRz kéo theo zRx Ch´ u.ng minh r˘ v` a chı’ R l` a mˆ o.t quan hê tu o ng d¯u.o.ng 18 Cho L0 là mô.t d¯u.ò.ng th˘a’ng cô´ d¯.inh trên m˘a.t ph˘a’ng R2 Mô.t quan hê R trên tˆ a.p ho p L tˆ a´t ca’ c´ ac d¯u.ò.ng th˘a’ng trên m˘a.t ph˘a’ng R2 d¯u.o c xác d¯i.nh nhu sau: ∀L1 , L2 ∈ L, L1 RL2 ⇔ L1 ∩ L0 6= ∅ ∧ L2 ∩ L0 6= ∅ o l` a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng hay không? X´ ac d¯i.nh xem R c´ 19 Cho M là mô.t tâ.p ho p khác rôñg và a ∈ M Trên X = P (M ) ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hê hai ngˆ oi nhu sau: R = {(A, B) ∈ X | A = B hay a ∈ A ∩ B} à ng R l` a.p ho p a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên X Hãy chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ thu.o.ng 20 Go.i X là tâ.p ho p mo.i ańh xa tù R vào R Chú.ng to’ quan hê R sau là quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên X: a) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C x(t) − y(t) b) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ lim = 0, d¯ó n ∈ N cho tru.ó.c n t→0 t 21 Xét quan hê hai ngôi R trên N nhu sau: ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 a` ng R l` a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên N2 Hãy chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ a.p ho p thu.o.ng 22 Trên Z × N∗ (N∗ = N \ {0}), xét quan hê hai ngôi sau: ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) ∈ Z × N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ⇔ z1 n2 = z2 n1 a` ng R l` a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên Z × N∗ Hãy chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ a.p ho p thu o ng 23 Trong m˘a.t ph˘a’ng có hê toa d¯ô vuông góc, hai d¯iê’m P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) a quan hê v´ o.i bo’.i R nêú và chı’ nêú x1 y1 = x2 y2 Ch´ a` ng d¯u.o c go.i l` u.ng to’ r˘ R l` a mˆ o.t quan hê tu o ng d¯u o ng và t`ım c´ ac ló p tu o ng d¯u o ng 80 Bˆ ay giò nêú d¯.inh ngh˜ıa P1 S P2 ⇔ x1 y1 = x2 y2 ∧ x1 x2 ≥ th`ı S c` on l` a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng n˜ u.a không ? 24 Trên tâ.p ho p R các sô´ thu c, xét quan hê hai ngôi R sau: ∀x, y ∈ R, x R y ⇔ x3 − y = x − y à ng R l` Ch´ u.ng minh r˘ a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng T`ım các ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng 25 Xét quan hê R trên tâ.p ho p R các sô´ thu c nhu sau: ∀a, b ∈ R, a R b ⇔ a3 ≤ b3 àn tâ.p ho p R a` ng R s˘ a´p th´ u tu toàn phˆ Ch´ u.ng minh r˘ Nêú xét quan hê S trên tâ.p ho p R nhu sau th`ı S có là mô.t quan hê th´ u tu khˆ ong? ∀a, b ∈ R, a S b ⇔ a2 ≤ b2 26 Xét tâ.p ho p N∗ vó.i quan hê thú tu “chia hê´t ” và X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} àn tu’ l´ o.n nhˆ H˜ ay t`ım c´ ac phˆ a´t, nho’ nhâ´t, ch˘a.n trên, ch˘a.n du.ó.i, câ.n trên, cˆ a.n oí d¯a.i, tˆ oí tiê’u cu’a X V˜e biê’u d¯`ô Hasse minh hoa tâ.p d¯u o c s˘a´p th´ u tu du ó i, tˆ X 27 Xét tâ.p ho p P(X) vó.i quan hê thú tu “bao hàm”, d¯ó X = {1, 2, 3, 4, 5} àn tu’ l´ H˜ ay t`ım c´ ac phˆ o.n nhˆ a´t, nho’ nhâ´t, ch˘a.n trên, ch˘a.n du.ó.i, câ.n trên, cˆ a.n ’ ´ ´ ’ du ó i, tˆ oi d¯a.i, tôi tiê u cua P(X) \ {∅, X} và X = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 4}} 28 Xét tâ.p ho p R các sô´ thu c vó.i quan hê thú tu ≤ thông thu.ò.ng và X = m àn tu’ ló.n nhˆ { | m, n ∈ N, < m < n} Ch´ u.ng minh r˘a` ng X không có phˆ a´t n v` a nho’ nhˆ a´t H˜ ay t`ım cˆ a.n trên và cˆ a.n du.ó.i cu’a X 29 Tâ.p A d¯u.o c go.i là s˘a´p thú tu d¯`ây d¯u’ bo’.i quan hê thú tu ≤ nêú mo.i tâ.p kh´ ac rˆ oñg cu’a A bi ch˘a.n trên d¯`êu có câ.n trên a) Ch´ u.ng minh r˘ a` ng s˘ a´p th´ u tu tô´t là s˘a´p th´ u tu d¯`ây d¯u’ b) Ch´ u.ng to’ r˘ a` ng N v` a R s˘a´p th´ u tu d¯`ây d¯u’ bo’.i quan hê ≤ thông thu.` o.ng, a´p th´ u tu khˆ ong d¯`ây d¯u’ bo’.i ≤ nhu.ng Q s˘ òn ta.i các tâ.p 30 Cho X là mô.t tâ.p d¯u.o c s˘a´p thú tu Chú.ng minh r˘a` ng tˆ A ⊂ X v` a B ⊂ X cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X, A d¯u o c s˘a´p th´ u tu tô´t (theo àn tu’ nho’ nhâ´t quan hê th´ u tu X), c` on B không có phˆ 81 31 Cho E là tâ.p d¯u.o c s˘a´p thú tu bo’.i quan hê R Ta nói tâ.p F ⊂ E là a.p tu cu’a tâ.p E nêú vó.i mo.i a, b ∈ F, a 6= b kéo theo (a, b) ∈ / R v` a mˆ o.t tˆ (b, a) ∈ / R Go.i S l` a tâ.p tˆ a´t ca’ các tâ.p tu cu’a E Trên S ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hê ≤ nhu sau: ∀X, Y ∈ S, X ≤ Y ⇔ ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ R Ch´ u.ng minh r˘ a` ng: u tu trên tâ.p S a mˆ o.t quan hê th´ a) Quan hê ≤ l` b) V´ o.i X, Y ∈ S, nêú X ⊂ Y th`ı X ≤ Y àn bo’.i quan hê ≤ và chı’ tâ.p E a´p th´ u tu toàn phˆ c) Tˆ a.p S d¯u.o c s˘ àn bo’.i quan hê R d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu to` an phˆ 32 Mô.t tâ.p s˘a´p thú tu L d¯u.o c go.i là mô.t dàn d¯`ây d¯u’ nêú mo.i tâ.p khác à ng: o cˆ a.n trên và câ.n du.ó.i Ch´ rˆ oñg cu’a L d¯`êu c´ u.ng minh r˘ àn tu’ nho’ nhâ´t và phˆ àn tu’ ló.n nhâ´t a) Mˆ o.t d` an d¯`ˆ ay d¯u’ L ch´ u a phˆ òm tâ´t ca’ các tâ.p cu’a X vó.i quan hê bao hàm l` b) Tˆ a.p P(X) gˆ a mˆ o.t d` an d¯`ây d¯u’ u tu là quan hê chia hê´t ac sô´ nguyên du.o.ng vó.i quan hê th´ c) Tˆ a.p Z+ c´ a mˆ o.t d` an d¯`ˆ ay d¯u’ khˆ ong pha’i l` 33 Cho X là mô.t tâ.p tùy y´, S là tâ.p tâ´t ca’ các quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên X Ch´ u.ng minh r˘à ng tˆ a.p S v´ o.i quan hê th´ u tu là quan hê bao hàm là mô.t d` an d¯`ây d¯u’ 34 Chú.ng minh r˘à ng mô.t tâ.p s˘a´p thú tu L là mô.t dàn d¯`ây d¯u’ và chı’ èu kiê.n sau d¯ây: thoa’ m˜ an mˆ o.t c´ ac d¯iˆ àn tu’ ló.n nhâ´t và mo.i tâ.p kh´ ac rôñg cu’a L d¯`êu c´ o a) Tˆ a.p L ch´ u a phˆ cˆ a.n du ´ o i àn tu’ nho’ nhâ´t và mo.i tâ.p khác rôñg cu’a L d¯`êu c´ b) Tˆ a.p L ch´ u.a phˆ o cˆ a.n trên 82 `.I VA ` HU.O ´.NG DA ˆ˜ N GIA’I BAI ` TA ˆ P TRA’ LO CHU O NG III àn tu’ là mô.t tˆ àn tu’ d¯êń tâ.p B có n phˆ a.p Mô˜i quan hê tù tâ.p A có m phˆ àn t`ım là 2mn cu’a A × B Do d¯´ o sˆ o´ quan hê cˆ a) R không có t´ınh pha’n xa., không có t´ınh d¯ôí xú.ng, không có t´ınh pha’n àu d¯ôí x´ u.ng, c´ o t´ınh b˘ ać cˆ u.ng, b), c) R c´ o t´ınh pha’n xa., có t´ınh d¯ôí x´ u.ng, không có t´ınh pha’n d¯ôí x´ àu c´ o t´ınh b˘ ać cˆ àu (phân biê.t ông nˆ d) R c´ o t´ınh pha’n xa., d¯ôí x´ u.ng, không có t´ınh b˘ać cˆ o.i, ong ngoa.i) ˆ a) R chı’ có t´ınh d¯ôí xú.ng àu u.ng và b˘ać cˆ o t´ınh d¯ˆ oí x´ b) R chı’ c´ u ng o t´ınh d¯ˆ oí x´ c) R chı’ c´ àu u.ng và b˘ać cˆ o t´ınh pha’n xa., d¯ôí x´ d) R chı’ c´ àu e) R chı’ c´ o t´ınh pha’n xa và b˘ać cˆ àu f ) R chı’ c´ o t´ınh pha’n xa., d¯ôí x´ u ng và b˘ać cˆ ´ u ng o t´ınh pha’n d¯ôi x´ g) R chı’ c´ ´ àu ’ ’ u.ng và b˘ać cˆ o t´ınh phan d¯ôi x´ h) R chı c´ a) Các quan hê R Câu a) cu’a Bài 2, Câu a) và Câu c) cu’a Bài là pha’n pha’n xa u.ng th`ı nó là pha’n pha’n b) T` u d¯.inh ngh˜ıa ta thâý mô.t quan hê là bâ´t d¯ôí x´ xa Do d¯´ o chı’ c´ o quan hê R Câu a) cu’a Bài là bâ´t d¯ôí x´ u.ng a) R−1 = {(a, b) | a > b} và R = {(a, b) | a ≥ b} b) R−1 = {(a, b) | a chia hê´t cho b} và R = {(a, b) | b không chia hê´t cho a} òm c´ c) V`ı R c´ o t´ınh d¯ˆ oí x´ u.ng nên R−1 = R Ngoài ra, R gˆ ac c˘ a.p (a, b), ’ ’ o i tınh b d¯´ o tınh a khˆ ong gi´ ap gió i v´ V`ı ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R ∧ (a, a) ∈ S nên R ∪ S, R ∩ S, S ◦ R có t´ınh pha’n xa v` a R ⊕ S, R \ S c´ o t´ınh pha’n pha’n xa a) V`ı (a, a) ∈ R ⇔ (a, a) ∈ R−1 b) V`ı (a, a) ∈ R ⇔ (a, a) ∈ / R ´ c) V`ı R l` a pha’n d¯ôi x´ u ng ⇔ (∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b) ⇔ (∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∩ R−1 ⇒ a = b) ⇔ R ∩ R−1 ⊂ ∆ a) ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R nên (a, a) ∈ Rn b) (a, b) ∈ Rn ⇒ ∃b1 , b2 , , bn−1 ∈ A, (a, b1 ) ∈ R, (b1 , b2 ) ∈ R, , (bn−2 , bn−1 ) ∈ R, (bn−1 , b) ∈ R ⇒ (b, bn−1 ) ∈ R, (bn−1 , bn−2) ∈ R , (b2 , b1 ) ∈ R, (b1 , a) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R 83 àu nên Rn ⊂ R R có t´ınh pha’n xa nên vó.i (a, b) ∈ R, ta c) R c´ o t´ınh b˘ ać cˆ c´ o (a, b1 ), (b1 , b2 ), , (bn−1 , b) ∈ R, d¯ó b1 = b2 = · · · = bn−1 = a, d¯´ o n (a, b) ∈ R Vˆ a.y R ⊂ R Gia’ su’ A = {a1 , a2 , , an } Khi d¯ó mô˜i quan hê R trên A d¯u.o c biê’u diˆ˜e n òm n dòng v` àn tu’ dòng i cˆ bo’.i mˆ o.t ba’ng (ma trˆ a.n) − gˆ a n cô.t, d¯ó phˆ o.t ´ ´ a l` a nêu (ai , aj ) ∈ / R j là nêu (ai , aj ) ∈ R v` à ng V`ı ` ’ ’ a chı các phân tu’ trên d¯u.ò.ng chéo d¯`êu b˘ a) R l` a phan xa v` à ng sô´ cách cho.n ho˘a.c cho n − n phˆ àn tu’ vˆ a.y sˆ o´ quan hê pha’n xa trên A b˘ ngoài d¯u.` o.ng chéo, t´ u.c l` a b˘ a` ng 2n(n−1) à ng phˆ àn tu’ dòng i, cô.t j b˘ àn tu’ dòng j, cˆ a chı’ phˆ o.t b) R l` a d¯ˆ oí x´ u.ng v` à ng sô´ cách cho.n ho˘ i, ∀i, j = 1, , n V`ı vˆ a.y sô´ quan hê d¯ôí x´ u ng trên A b˘ a.c n(n+1) àn tu’ tam gi´ ac du ó i, kê’ ca’ trên d¯u ò ng chéo (1 + + · · ·+ n = cho c´ ac phˆ ), n(n+1) t´ u.c l` a b˘ a` ng 2 à ng àn tu’ trên d¯u.ò.ng chéo d¯`êu b˘ u.ng v` c) R l` a bˆ a´t d¯ôí x´ a chı’ các phˆ àn tu’ d` àn tu’ dòng j cô.t i ho˘a.c c` v` a c´ ac phˆ ong i cˆ o.t j, phˆ ung b˘a` ng 0, ho˘ a.c mˆ o.t à ng 0, mˆ à ng 1, ∀i, j = 1, , n, i 6= j V`ı vâ.y sô´ quan hê bâ´t d¯ôí x´ b˘ o.t b˘ u ng n(n−1) à ng sˆ ach cho.n (0, 0), (1, 0) ho˘a.c (0, 1) cho + + ·(n − 1) = trên A b˘ o´ c´ n(n−1) àn tu’ (du ´ o i d¯u ` o ng chéo), t´ u c là b˘a` ng phˆ àn tu’ dòng i cô.t j, phˆ àn tu’ d` u ng và chı’ c´ ac phˆ oí x´ ong d) R l` a pha’n d¯ˆ à ng 0, ho˘a.c mô.t b˘ à ng 0, mô.t b˘ à ng 1, ∀i, j = 1, , n, i 6= j j cˆ o.t i ho˘ a.c c` ung b˘ ` àn u ng trên A b˘a ng sô´ cách cho.n ho˘a.c cho n phˆ oí x´ V`ı vâ.y sˆ o´ quan hê pha’n d¯ˆ ´ ’ tu trên d¯u ` ach cho.n (0, 0), (1, 0) ho˘a.c (0, 1) cho + + ·(n − 1) = o ng chéo v` a sˆ o c´ n(n−1) n(n−1) n c là b˘ ` ` ’ n tu (du o ´ i d ¯ u o ` ng ch´ e o), t´ u a ng phˆ a àn tu’ trên d¯u.ò.ng chéo d¯`êu ac phˆ e) R l` a pha’n xa v` a d¯ˆ oí x´ u ng và chı’ c´ à ng phˆ à ng v` àn tu’ dòng j, cô.t i, ∀i, j = 1, , n i 6= j àn tu’ d` ong i, cô.t j b˘ b˘ a phˆ à ng sô´ cách cho.n ho˘a.c cho u.ng trên A b˘ V`ı vâ.y sˆ o´ quan hê pha’n xa và d¯ôí x´ n(n−1) (du.ó.i d¯u.ò.ng chéo), t´ c là b˘a` ng n(n−1) ` ’ u + + ···n = phˆ a n tu 10 a) Quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng àu b) Khˆ ong pha’n xa v` a không b˘ać cˆ c) Quan hê tu o ng d¯u o ng àu d) Khˆ ong b˘ ać cˆ àu a khˆ ong b˘ ać cˆ e) Khˆ ong d¯ôí x´ u.ng v` 11 a) Quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng àu b) Khˆ ong b˘ ać cˆ àu c) Khˆ ong pha’n xa., khˆ ong d¯ôí x´ u.ng và không b˘ać cˆ d) Quan hê tu o ng d¯u o ng àu e) Khˆ ong pha’n xa v` a không b˘ać cˆ 12 ∀x ∈ A, f (x) = f (x), ngh˜ıa là R có t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ A, f (x) = f (y) kéo theo f (y) = f (x), ngh˜ıa là R có t´ınh d¯ôí x´ u.ng ∀x, y, z ∈ A, f (x) = f (y) 84 àu Vâ.y R l` v` a f (y) = f (z) kéo theo f (x) = f (z), ngh˜ıa là R có t´ınh b˘ać cˆ a mˆ o.t −1 quan hê tu o ng d¯u o ng Mˆ o˜i ló p tu o ng d¯u o ng cu’a R là mô.t tâ.p f (b) cu’a A v´ o i mˆ o˜i b ∈ f (A) àn 13 Gia’ su’ R có các ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng trên A là xi vó.i (xi )i∈I là ho các phˆ ’ ’ ’ tu d¯a.i biê u Go.i B = {xi | i ∈ I} Xét ánh xa f : A −→ B cho bo i f (x) = xi àn t`ım nêú x ∈ xi th`ı f l` a mˆ o.t ´ anh xa cˆ 14 {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (d, e), (e, d), (b, c), (c, b)} 15 Có quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên tâ.p A = {a, b, c}: {(a, a), (b, b), (c, c)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} 16 Go.i X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }, ký hiê.u Xij = {xi , xj } vó.i ≤ i < j ≤ và Xijk = {xi , xj , xk } v´ o.i ≤ i < j < k ≤ C´ o 25 quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng trên tâ.p X có d¯u ´ ng ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng kh´ ac nhau: 2 ∪ {(x4 , x4 ), (x5 , x5 )} 2) X124 ∪ {(x3 , x3 ), (x5 , x5 )} 1) X123 2 3) X125 ∪ {(x3 , x3 ), (x4 , x4 )} 4) X134 ∪ {(x2 , x2 ), (x5 , x5 )} 2 5) X135 ∪ {(x2 , x2 ), (x4 , x4 )} 6) X145 ∪ {(x2 , x2 ), (x3 , x3 )} 2 8) X235 ∪ {(x1 , x1 ), (x4 , x4 )} 7) X234 ∪ {(x1 , x1 ), (x5 , x5 )} 2 9) X245 ∪ {(x1 , x1 ), (x3 , x3 )} 10) X345 ∪ {(x1 , x1 ), (x2 , x2 )} 2 2 11) X12 ∪ X34 ∪ {(x5 , x5 )} 12) X13 ∪ X24 ∪ {(x5 , x5 )} 2 2 13) X14 ∪ X23 ∪ {(x5 , x5 )} 14) X12 ∪ X35 ∪ {(x4 , x4 )} 2 2 16) X15 ∪ X23 ∪ {(x4 , x4 )} 15) X13 ∪ X25 ∪ {(x4 , x4 )} 2 2 17) X12 ∪ X45 ∪ {(x3 , x3 )} 18) X14 ∪ X25 ∪ {(x3 , x3 )} 2 2 19) X15 ∪ X24 ∪ {(x3 , x3 )} 20) X13 ∪ X45 ∪ {(x2 , x2 )} 2 2 21) X14 ∪ X35 ∪ {(x2 , x2 )} 22) X15 ∪ X34 ∪ {(x2 , x2 )} 2 2 24) X24 ∪ X35 ∪ {(x1 , x1 )} 23) X23 ∪ X45 ∪ {(x1 , x1 )} 2 25) X25 ∪ X34 ∪ {(x1 , x1 )} 17 (⇒) Ta d¯ã có R là pha’n xa ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ xRy ∧ yRy ⇒ yRx u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ (do t´ınh v` ong quanh), t´ u.c là R có t´ınh d¯ôí x´ àu Vâ.y R là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng zRx ⇒ xRz, t´ u.c l` a R c´ o t´ınh b˘ać cˆ (⇐) R l` a mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng nên R có t´ınh pha’n xa ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ xRz ⇒ zRx, t´ u.c là R có t´ınh vòng quanh àu, nhu.ng R không có t´ınh pha’n xa Do d¯´ 18 R có t´ınh d¯ôí xú.ng và b˘ać cˆ oR ´ a’ng khˆ ong l` a mˆ o.t quan hê tu o ng d¯u o ng Tuy nhiên, nêu L là tâ.p các d¯u ò ng th˘ m˘ a.t ph˘ a’ng R c˘ a´t L0 th`ı R là mô.t quan hê tu o ng d¯u o ng trên L 85 19 Tù A = A, ta có (A, A) ∈ R hay R có t´ınh pha’n xa ∀A, B ∈ X, (A, B) ∈ R ⇒ A = B ∨ a ∈ A ∩ B ⇒ B = A ∨ a ∈ B ∩ A ⇒ (B, A) ∈ R, t´ u.c l` aR c´ o t´ınh d¯ˆ oí x´ u ng ∀A, B, C ∈ X, (A, B) ∈ R ∧ (B, C) ∈ R ⇒ (A = B ∨ a ∈ A ∩ B) ∧ (B = C ∨ a ∈ B ∩ C) ⇒ (A = B ∧ B = C) ∨ (A = B ∧ a ∈ B ∩ C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ B = C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ a ∈ B ∩ C) ⇒ A = C ∨ A ∩ C ⇒ (A, C) ∈ R, àu Vâ.y R là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng o t´ınh b˘ ać cˆ t´ u.c là R c´ V´ o i mˆ o˜i A ∈ X, nêú a ∈ / A th`ı (A, B) ∈ R ⇔ A = B ngh˜ıa là ló.p tu.o.ng a nêú a ∈ A th`ı (A, B) ∈ R ⇔ a ∈ B ngh˜ıa là l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng [A] = {A} v` d¯u.o.ng [A] = {B ∈ X | a ∈ B} Do d¯ó tâ.p thu.o.ng cu’a X theo R là X/R = {{A} | A ⊂ M, a ∈ / A} ∪ {{A ∈ X | a ∈ A}} 20 a) ∀x ∈ X, x(t) = x(t), ∀t ∈ R, ngh˜ıa là R có t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C ⇒ ∃C > 0, y(t) = x(t), ∀t ∈ R, |t| < C ⇒ yRx, ngh˜ıa là R có t´ınh d¯ôí x´ u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ ∃C1 , C2 > 0, (x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C1 ) ∧ (y(t) = z(t), ∀t ∈ R, |t| < C2 ) ⇒ àu Vˆ ∃C = min(C1, C2 ), x(t) = z(t), ∀t ∈ R, |t| < C, ngh˜ıa là R có t´ınh b˘ać cˆ a.y R l` a quan hê tu o ng d¯u o ng x(t) − x(t) b) ∀x ∈ X, lim = hay xRx, ngh˜ıa là R có t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ t→0 tn x(t) − y(t) y(t) − x(t) X, xRy ⇒ lim = ⇒ lim = ⇒ yRx, ngh˜ıa l` a R c´ o n t→0 t→0 t tn x(t) − y(t) y(t) − z(t) u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧yRz ⇒ lim t´ınh d¯ˆ oí x´ = 0∧ lim = t→0 t→0 tn tn x(t) − z(t) x(t) − y(t) y(t) − z(t) ⇒ lim = lim + lim = ⇒ xRz, ngh˜ıa l` aR n n t→0 t→0 t→0 t t tn àu Vˆ c´ o t´ınh b˘ ać cˆ a.y R l` a quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng 21 Rõ ràng R có t´ınh pha’n xa ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ⇒ m2 + n1 = m1 + n2 ⇒ (m2 , n2 )R(m1 , n1 ), ngh˜ıa l` a R c´ o t´ınh d¯ˆ oí x´ u.ng ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ), (m3 , n3 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ∧ (m2 , n2 )R(m3 , n3 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ∧ m2 + n3 = m3 + n2 ⇒ m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 ⇒ m1 + n3 = m3 + n1 ⇒ (m1 , n1 )R(m3 , n3 ), àu Vâ.y R là mô.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng ngh˜ıa l` a R c´ o t´ınh b˘ ać cˆ ∀(m, n) ∈ N2 , l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng (m, n) = {(m0 , n0 ) ∈ N2 | m0 − n0 = m1 − n1 } a N2 /R = {(m, n) | (m, n) ∈ N2 } và là tâ.p tu.o.ng u ´.ng 1-1 v´ o.i v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng l` tˆ a.p c´ ac sˆ o´ nguyên Z Thˆ a.t vâ.y, xét ánh xa f : N2 /R −→ Z cho bo’.i f ((m, n)) = anh v`ı vó.i (m, n), (m0 , n0 ) ∈ N2 , f ((m, n)) = f ((m0 , n0 )) ⇒ m − n f l` a mˆ o.t d¯o.n ´ m − n = m0 − n0 ⇒ m + n0 = m0 + n ⇒ (m, n)R(m0 , n0 ) ⇒ (m, n) = (m0 , n0 ) 86 f l` a mˆ o.t toàn ´ anh v`ı v´ o.i z ∈ Z, nêú z ≥ th`ı f ((z, 0)) = z và nêú z < th`ı f ((0, −z)) = z 22 Rõ ràng R có t´ınh pha’n xa ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) ∈ Z×N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ⇒ z1 n2 = z2 n1 ⇒ z2 n1 = z1 n2 ⇒ (z2 , n2 )R(z1 , n1 ), ngh˜ıa là R có t´ınh d¯ôí x´ u.ng ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ), (z3 , n3 ) ∈ Z × N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ∧ (z2 , n2 )R(z3 , n3 ) ⇒ z1 n2 = z2 n1 ∧ z2 n3 = z3 n2 ⇒ z1 n2 z2 n3 = z2 n1 z3 n2 ⇒ z1 z2 n3 = z2 z3 n1 ; nêú z2 6= th`ı z1 n3 = z3 n1 , nêú z2 = th`ı z1 n2 = (⇒ z1 = 0) v` a z3 n2 = (⇒ àu z3 = 0) nên z1 n3 = z3 n1 = hay (z1 , n1 )R(z3 , n3 ), ngh˜ıa là R có t´ınh b˘ ać cˆ a mˆ o.t quan hê tu o ng d¯u o ng Vˆ a.y R l` o.p tu.o.ng d¯u.o.ng ∀(z, n) ∈ Z × N∗ , l´ z0 z (z, n) = {(z , n ) ∈ Z × N | = } n n 0 ∗ a (Z × N∗ )/R = {(z, n) | (z, n) ∈ Z × N∗ } và là tâ.p tu.o.ng v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng l` u.u tı’ Q Thâ.t vâ.y, xét ánh xa f : (Z × N∗ )/R −→ Q cho u ´.ng 1-1 v´ o.i tˆ a.p c´ ac sˆ o´ h˜ z a mˆ o.t d¯o.n ánh v`ı v´ bo’.i f ((z, n)) = f l` o.i (z, n), (z , n0 ) ∈ Z × N∗ , f ((z, n)) = n z0 z 0 f ((z , n )) ⇒ = ⇒ zn0 = z n ⇒ (z, n)R(z , n0 ) ⇒ (z, n) = (z , n0 ) f n n z l` a mˆ o.t to` an ´ anh v`ı v´ o.i q ∈ Q, ∃z ∈ Z, n ∈ N∗ , q = = f ((z, n)) n àu, ngh˜ıa l` a R l` a 23 Dˆ˜e dàng có d¯u.o c R có t´ınh pha’n xa., d¯ôí xú.ng và b˘ać cˆ mˆ o.t quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng Vó.i d¯iê’m P (a, b) m˘a.t ph˘ a’ng, ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng P (a, b) = {P (x, y) | xy = c} (vó.i c = ab) Nêú c = th`ı P (a, b) ch´ınh l` a hai tru.c toa d¯ˆ o x = v` a y = Nêú c 6= th`ı P (a, b) ch´ınh là hyperbol có phu.o.ng tr`ınh xy = c Tˆ a.p ho p thu.o.ng là tâ.p {{P (x, y) | xy = c} | c ∈ R} àu Quan hê S khˆ ong l` a quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng v`ı nó khˆ ong c´ o t´ınh b˘ ać cˆ Thˆ a.t vˆ a.y, (1, 0)S(0, 1) v` a (0, 1)S(−1, 0) nhu ng (1, 0) khˆ ong có quan hê S v´ o.i (−1, 0) 24 ∀x, y, z ∈ R, x3 − x3 = x − x = 0, tú.c là xRx hay R có t´ınh pha’n xa.; x3 − y = x − y ⇒ y − x3 = y − x t´ oí u.c là xRy ⇒ yRx hay R có t´ınh d¯ˆ 3 3 3 3 3 x´ u ng; x − y = x − y v` a y − z = y − z ⇒ x − z = (x − y ) + (y − z ) = àu (x − y) + (y − z) = x − z, t´ u.c là xRy và yRz ⇒ xRz hay R có t´ınh b˘ ać cˆ Vˆ a.y R l` a mˆ o.t quan hê tu o ng d¯u o ng ∀a ∈ R, a = {x ∈ R | x3 − a3 = x − a} = {x ∈ R | (x − a)(x2 + ax + a2 − 1) = 0} 2 – Nêú a < − √ hay a > √ th`ı a = {a}; 3 87 2 1 – Nêú a = − √ hay a = √ th`ı a = {− √ , √ }; 3 3 2 1 – Nêú a = √ hay a = − √ th`ı a = { √ , − √ }; 3 3 2 – Nêú − √ < a < √ và a 6= ± √ , th`ı 3 √ √ −a − − 3a2 −a + − 3a2 , } a = {a, 2 25 ∀a, b, c ∈ R, ta có a3 ≤ a3 hay R có t´ınh pha’n xa.; nêú aRb và bRa tú.c là u.ng; a3 ≤ b3 v` a b3 ≤ a3 hay a3 = b3 th`ı ta có a = b, d¯ó R có t´ınh pha’n d¯ôí x´ o a3 ≤ c3 hay aRc, d¯´ oR nêú aRb v` a bRc t´ u.c l` a a3 ≤ b3 và b3 ≤ c3 th`ı ta c´ ´ ` u c l` on có a ≤ b ho˘a.c b ≤ a t´ c´ o t´ınh b˘ a c cˆ au Ngoài ra, ∀a, b ∈ R ta luˆ a a ≤ b3 àn trên R ho˘ a.c b3 ≤ a3 Vˆ a.y R l` a mˆ o.t quan hê th´ u tu toàn phˆ u.ng S khˆ ong l` a mˆ o.t quan hê th´ u tu trên R v`ı n´ o không có t´ınh pha’n d¯ôí x´ Thˆ a.t vˆ a.y, 1S(−1), (−1)S1 nhu.ng 6= −1 àn tu’ l´ o.n nhâ´t c˜ ung nhu nho’ nhâ´t X Ch˘ a.n du.ó.i cu’a X 26 Không có phˆ N∗ l` a 1, ch˘ a.n trên cu’a X N∗ là c´ ac bô.i chung cu’a 2,3,4,5,6,7,8,9,10, ∗ àn lu.o t là và BCNN(2,3,4,5,6,7,8,9,10) d¯´ o cˆ a.n du ´ o i v` a cˆ a.n trên cu’a X N lˆ a các tôí d¯a.i cu’a X là 7,8,9,10 = 2520 C´ ac tˆ oí tiê’u cu’a X là 2,3,5,7 v` àn tu’ l´ ung nhu nho’ nhâ´t P(X) \ {∅, X} o.n nhâ´t c˜ 27 Không có phˆ Ch˘ a.n du.´ o.i nhˆ a´t cu’a P(X) \ {∅, X} là ∅ và ch˘a.n trên nhâ´t cu’a P(X) \ àn lu.o t là câ.n du.ó.i và câ.n trên cu’a P(X) \ {∅, X} {∅, X} l` a X, d¯ây lˆ àn tu’ àn tu’ tˆ oí tiê’u cu’a P(X) \ {∅, X} là c´ ac tâ.p phˆ P(X) C´ ac phˆ àn tu’ tôí d¯a.i cu’a P(X) \ {∅, X} là các tˆ a.p {1}, {2}, {3}, {4}, {5} v` a các phˆ àn tu’ {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5} phˆ àn tu’ l´ o.n nhˆ ung nhu nho’ nhâ´t X Ch˘a.n du.´ Khˆ ong c´ o phˆ a´t c˜ o.i nhˆ a´t cu’a X P(X) l` a ∅ và d¯ây c˜ ung là câ.n trên cu’a X m m èu kiê.n b` ∈ X th`ı < < Gia’ su’ 28 Tù d¯iˆ toán ta suy r˘a` ng nêú n n òn ta.i c´ y y´ Khi d¯ó tˆ ac sô´ tu nhiên m0 m v` a n (0 < m < n) l` a c´ ac sô´ tu nhiên tu` m0 m (ch˘a’ng ha.n m0 = m, n0 > n), ngh˜ıa l` v` a n0 (0 < m0 < n0 ) cho < < a n n àn tu’ nho’ nhâ´t Tâ.p ho p này không ch´ àn tu’ l´ tâ.p X khˆ ong c´ o phˆ u.a phˆ o.n òn ta.i sˆ a n tu` yy ´ (0 < m < n) và vó.i sô´ tu nhiên q > tu` y y´, tˆ o´ nhˆ a´t v`ı v´ o.i m v` mq mq tu nhiên p cho p < n + q − m và p > o (v`ı < q < n + q − m) T` u d¯´ n n suy mn + mq < mn + np và m + p < n + q hay m m+p < < n n+q 88 yy ´ v` a sˆ o´ tu nhiên m > 0, ta t`ım d¯u.o c sô´ tu nhiên n > m V´ o.i > tu` m m m u.c cho n > Khi d¯´ o < và t` u bâ´t d¯˘a’ng th´ > 0, ta suy inf X = n n V´ o.i > tu` yy ´ v` a sˆ o´ tu nhiên p > 0, ta t`ım d¯u.o c sô´ tu nhiên m cho m p(1 − ) m o m> Suy > − , ngh˜ıa là vó.i n = p + m ta c´ > − p+m n m < ta suy sup X = T` u d¯´ o v` a t` u bˆ a´t d¯˘a’ng th´ u.c n 29 a) Gia’ su’ A d¯u.o c s˘a´p thú tu tô´t bo’.i ≤ và B là mô.t tâ.p tùy y´ khác òm các ch˘a.n trên cu’a B là tâ.p kh´ rˆ oñg cu’a A c´ o ch˘ a.n trên Khi d¯ó tâ.p C gˆ ac àn tu’ nho’ nhâ´t c và c ch´ınh là câ.n trên cu’a B Do rˆ oñg cu’a A V`ı vˆ a.y, C c´ o phˆ d¯ó A d¯u o c s˘ a´p th´ u tu d¯`ˆ ay d¯u’ bo’.i ≤ b) N l` a tˆ a.p d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu tô´t bo’.i quan hê ≤ thông thu.ò.ng, nên theo Cˆ au a´p th´ u tu d¯`ˆ ay d¯u’ bo’ i quan hê này a) N d¯u o c s˘ è cˆ Theo nguyên l´ y vˆ a.n cu’a tâ.p các sô´ thu c R, mo.i tâ.p khác rôñg cu’a R bi ch˘ a.n trên th`ı c´ o cˆ a.n trên Do d¯ó√R d¯u.o c s˘a´p th´ u tu d¯`ây d¯u’ bo’.i quan hê ≤ Xét tˆ a.p B = {q ∈ Q | < q < 2} th`ı B 6=√ ∅ và c´ o ch˘ a.n trên Q Nêú u.u tı’ (t´ınh y v`ı gi˜ u.a và c có vˆ B c´ o cˆ a.n trên l` a c th`ı s˜e dˆ añ d¯êń vô l´ o sô´ sô´ h˜ châ´t tr` u mˆ a.t cu’a Q R) àn lâý A = X, B = ∅ Nêú X khˆ ong 30 Nêú X d¯u.o c s˘a´p thú tu tô´t th`ı chı’ cˆ òn ta.i tâ.p khác rôñg mà không có phˆ àn tu’ d¯u o c s˘ a´p th´ u tu tˆ o´t th`ı X tˆ àn tu’ nho’ u.a phˆ a ho p cu’a tâ´t ca’ các tâ.p cu’a X không ch´ nho’ nhˆ a´t Go.i B l` àu o A = X \ B l` a mô.t tâ.p d¯u.o c s˘a´p th´ nhˆ a´t Khi d¯´ u tu tô´t và A, B thoa’ yêu cˆ d¯˘a.t 31 a) ∀X ∈ S, X ≤ X v`ı ∀x ∈ X, (x, x) ∈ R, tú.c là ≤ có t´ınh pha’n xa Nêú X ≤ Y v` a Y ≤ X th`ı ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y cho (x, y) ∈ R và vó.i y này, ∃x0 ∈ X èu n` cho (y, x0 ) ∈ R, d¯iˆ ay kéo theo (x, x0 ) ∈ R V`ı X là mô.t tâ.p tu nên x = x0 Khi d¯´ o, (x, y) ∈ R và (y, x) ∈ R, suy x = y, d¯ó X = Y , ngh˜ıa l` a ≤ c´ o t´ınh pha’n d¯ˆ oí x´ u.ng ∀X, Y, Z ∈ S, X ≤ Y ∧ Y ≤ Z, ∀x ∈ X, ∃y ∈ èu này kéo theo (x, z) ∈ R, ngh˜ıa là X ≤ Z, Y, (x, y) ∈ R ∧ ∃z ∈ Z, (y, z) ∈ R, d¯iˆ àu V`ı vâ.y ≤ là mô.t quan hê th´ d¯ó ≤ c´ o t´ınh b˘ ać cˆ u tu trên S b) V´ o.i X, Y ∈ S v` a X ⊂ Y th`ı X ≤ Y , v`ı ∀x ∈ X, ∃y = x ∈ Y cho (x, x) ∈ R àn bo’.i R Khi d¯ó vó.i mˆ c) Gia’ su’ E d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu toàn phˆ o˜i X, Y ∈ S, ∀x ∈ X v` a ∀y ∈ Y th`ı (x, y) ∈ R ho˘a.c (y, x) ∈ R hay X ≤ Y ho˘a.c Y ≤ X, t´ u.c àn bo’.i ≤ a´p th´ u tu to` an phˆ l` a S d¯u.o c s˘ - a’o la.i, gia’ su’ S d¯u.o c s˘a´p th´ àn bo’.i ≤ Khi d¯ó v´ D u tu toàn phˆ o.i mˆ o˜i àn tu’ cu’a S Do d¯´ x, y ∈ E, {x}, {y} l` a nh˜ u ng tâ.p tu nên là nh˜ u ng phˆ o nêú {x} ≤ {y} th`ı (x, y) ∈ R còn nêú {y} ≤ {x} th`ı (y, x) ∈ R àn tu’ ló.n nhˆ àn tu’ nho’ nhˆ a´t cu’a dàn d¯`ây d¯u’ L ch´ınh là inf L và phˆ 32 a) Phˆ a´t cu’a L l` a sup L 89 b) ∀T ⊂ P(X) th`ı sup T ch´ınh là ∪ Y và inf T ch´ınh là ∩ Y Y ∈T Y ∈T + ` àn tu’ ’ ’ ong ch´ u.a phˆ c) Theo Cˆ au a) Z không phai là mô.t dàn d¯ây d¯u v`ı khˆ l´ o.n nhˆ a´t 33 ∀R ⊂ S, inf R ch´ınh là giao cu’a các quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng thuô.c R và u.a các quan hê thuˆ o.c sup R ch´ınh l` a quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng nho’ nhâ´t trên X ch´ R àn òn ta.i c ∈ L là mô.t ch˘a.n trên cu’a A, ch˘a’ng ha.n phˆ 34 a) ∀A ⊂ L, A 6= ∅, tˆ tu’ l´ o.n nh´ a ta c´ o at cu’a L Go.i B là tâ.p ho p các ch˘a.n trên cu’a A th`ı B 6= ∅ v` òn ta.i theo gia’ thiê´t) Khi d¯ó nêú a ∈ A th`ı a ≤ y, ∀y ∈ B, d¯´ o d = inf B (tˆ ´ ’ a ≤ d M˘ a.t kh´ ac, nêu u l` a mô.t ch˘a.n trên cua A th`ı u ∈ B, d¯ó u ≥ d V`ı vˆ a.y d = sup A b) Ch´ u.ng minh tu.o.ng tu Câu a) 90

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	707,38 KB