Giáo trình cơ sở toán học phần 1 nguyễn gia định

Bộ giáo dục đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Së TO¸N HäC {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} ∅ huÕ − 2005 ´ D ˆU `.I NOI - `A LO o.i m´ o.i b˘ a´t d¯`ˆau nghiˆen c´ u.u to´an ho.c thu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´ o xˆ ay Nh˜ u.ng ngu.` u ng y ay, kh´ o ach ch˘a.t ch˜e nh˜ du ng th´ oi quen ph´ at biˆe’u mˆo.t c´ ´ kiˆe´n muˆo´n tr`ınh b` ho.c tˆ a.p c´ ac phu o ng ph´ ap lˆ a.p luˆa.n d¯u ´ ng d¯˘a´n v`a kh´ o n˘a´m d¯u o c c´ac kh´ai niˆe.m co `on t` ba’n cu’a to´ an ho.c Nh˜ u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu b˘a´t nguˆ u chˆo˜: mˆ o.t l` a `e lˆ u u c´ ogic to´an, mˆo.t chu’ d¯`ˆe nghiˆen c´ a.p vˆ a.n suy khˆ ong d¯u o c luyˆe.n tˆ ach lˆa.p luˆ diˆ˜e n ´ ap du.ng v` ao viˆe.c ch´ u ng minh c´ac d¯i.nh l´ y to´an ho.c; hai l`a thiˆe´u c´ ac kh´ a ng`ay niˆe.m co ba’n v` a c´ ac phu o ng ph´ap d` ung l´ y thuyˆe´t tˆa.p ho p m` ’ thu ` o ng d¯u o c ´ ap du.ng mo.i ng`anh to´an ho.c v`a d` ung l`am co so d¯ˆe’ khai ph´ a ’ ’ ’ ac kh´ niˆe.m co ban cua to´an ho.c (nhu ´anh xa., quan hˆe., ); ba v` a giai th´ıch c´ l` a khˆ ong n˘ a´m d¯u.o c nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ tr` u.u tu.o ng, mˆ o.t chu’ ac, cu at triˆe’n ma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu o’ ng d¯ˆe´n mo.i ng`anh to´an ho.c kh´ d¯`ˆe d¯ang ph´ thˆe’ qua c´ ac cˆ a´u tr´ uc d¯a.i sˆo´ cu’a c´ac tˆa.p ho p sˆo´ quen thuˆo.c (nhu tˆa.p c´ ac sˆ o´ tu u.u tı’, tˆa.p c´ac sˆo´ thu c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ ph´ a.p c´ac sˆo´ h˜ u.c) nhiˆen, tˆa.p c´ ac sˆ o´ nguyˆen, tˆ - u.o c su d¯ˆ ac Khoa To´ anac d¯`ˆong nghiˆe.p c´ o.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ D Co -Tin ho.c, Cˆ ong nghˆe Thˆ ong tin v`a Vˆa.t l´ y (Tru `o ng Da.i ho.c Khoa ho.c-Da.i ho.c - a.i ho.c Su pha.m-D - a.i ho.c Huˆe´) v` ´ a ac Khoa To´an v` a Tin ho.c (Tru `o ng D Huˆe), c´ ` ´ ’ ’ d¯˘a.c biˆe.t nhu cˆ au ho.c tˆa.p cua c´ac sinh viˆen Da.i ho.c Huˆe o c´ac Khoa n´ oi trˆen, ch´ ung tˆ oi ma.nh da.n viˆe´t gi´ao tr`ınh Co so’ To´an ho.c, trˆen thi `eu t` `an n`ay (nhu.ng d¯u.o c tr`ınh tru.`o.ng s´ ach c´ o kh´ a nhiˆ liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´n ho.c phˆ - iˆ `eu m` u.c cu’a a c´ac kiˆe´n th´ a r`o.i ra.c) D a ch´ ung tˆoi mong muˆo´n l` b` ay ta’n ma.n v` `an n` ay pha’i d¯u.o c d¯u.a v`ao d¯`ˆay d¯u’, cˆo d¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v` a b´ am ho.c phˆ `au d¯` s´ at theo yˆeu cˆ ao ta.o sinh viˆen c´ ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´ y, Cˆong nghˆe Thˆ ong tin ’ v` a mˆ o.t sˆ o´ ng` anh k˜ y thuˆ a.t kh´ ac cu’a c´ac tru `o ng d¯a.i ho.c v`a cao d¯˘ang V´o i su nˆ o’ a t`ai liˆe.u tham kha’o an, ch´ ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l` lu c hˆe´t m`ınh cu’a ba’n thˆ - a.i sˆo´ hay Co so’ To´ `an Nhˆa.p mˆon D ac gi´ ao viˆen gia’ng da.y ho.c phˆ tˆ o´t cho c´ an ho.c `an cu’a Nˆ o.i dung cu’a t` liˆe.u n`ay d¯u.o c bˆo´ tr´ı chu.o.ng Trong c´ac phˆ `eu th´ı du cu thˆe’ minh hoa cho nh˜ o nhiˆ u ng kh´ai niˆe.m c˜ ung nhu mˆ o˜i chu o ng c´ nh˜ u.ng kˆe´t qua’ cu’a ch´ ung Cuˆ o´i cu’a mˆo˜i chu.o.ng l`a nh˜ u.ng b`ai tˆa.p d¯u.o c cho.n lo.c `en sau d¯´o l`a c´ac l` t` u dˆ˜e d¯ˆe´n kh´ o b´ am theo nˆ o.i dung cu’a chu.o.ng d¯´o v`a liˆ o.i gia’i ´ -´ `e Lˆogic to´an v`a tˆa.p ho p, Anh cu’a ch´ ung D o l` a c´ ac chu.o.ng vˆ xa., Quan hˆe., Sˆ o´ tu - a th´ u.c, D nhiˆen v` a sˆ o´ nguyˆen, Sˆ o´ h˜ u.u tı’, sˆo´ thu c v`a sˆo´ ph´ u.c op y ´ Ch´ ung tˆ oi xin chˆ an th` anh c´am o.n c´ac d¯`ˆong nghiˆe.p d¯˜a d¯ˆo.ng viˆen v`a g´ ´ ’ cho cˆ ong viˆe.c viˆet gi´ao tr`ınh Co so To´an ho.c n`ay v`a l`o i c´am o n d¯˘a.c biˆe.t xin - a.i ho.c Khoa ho.c-D - a.i ho.c Huˆe´) vˆ `e su d` anh cho Khoa To´ an-Co.-Tin ho.c (Tru.`o.ng D `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i cho viˆe.c xuˆa´t ba’n gi´ao tr`ınh n` gi´ up d¯˜o qu´ y b´ au v` a ta.o d¯iˆ ay Typeset by AMS-TEX `e T´ ac gia’ mong nhˆ a.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯`ˆong nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’ vˆ ot kh´ o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach nh˜ u ng thiˆe´u s´ ˆ´t Dˆ - ˆo Huˆe´, A - ˆong (2005) Cˆo´ D a.u Tro.ng D - i.nh ˜ Nguyˆ e n Gia D CHU O NG I: ˆ ´ VA ` TA ˆ P HO .P LOGIC TOAN ˆ ´ 1.1 LOGIC TOAN a c´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic: 1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e v` `eu d¯u u ´ ng ho˘a.c sai, ch´ o.t d¯iˆ au pha’n ´anh mˆ 1.1.1.1 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Mˆe.nh d¯`ˆe l`a mˆo.t cˆ u.a d¯u khˆ ong pha’i v` ´ ng v` u.a sai Th´ı du.: 1) Sˆ o´ 35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng 2) M˘ a.t tr` o i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.nh d¯`ˆe sai 3) Tam gi´ac ABC c´ o g´oc vuˆong: mˆe.nh d¯`ˆe sai 4) < 5: mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng a n´oi chung c´ac cˆau khˆ ong au ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, v` C´ ac cˆ au ho’i, cˆ `a m pha’n ´ nh˘ anh t´ınh d¯u ´ ng sai cu’a thu c tˆe´ kh´ach quan d¯`ˆeu khˆong d¯u o c coi l` a ` mˆe.nh d¯ˆe Trong lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´n cˆa´u tr´ uc ng˜ u ph´ap c˜ ung nhu o˜i mˆe.nh ´ ng sai cu’a mˆ y ´ ngh˜ıa nˆ o.i dung cu’a mˆe.nh d¯`ˆe m`a chı’ quan tˆam d¯ˆe´n t´ınh d¯u d¯`ˆe - ˆe’ chı’ c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe chu.a x´ac d¯i.nh, ta d` D ung c´ac ch˜ u c´ai: p, q, r, v` a go.i ch´ ung l` a c´ ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe Ta quy u ´o c viˆe´t p = p l`a mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng v` a p = p l` a mˆe.nh d¯`ˆe sai C´ ac gi´a tri v`a go.i l`a c´ac gi´a tri chˆan l´ y cu’a c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe ac mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i b˘ a` ng George Boole d¯˜ a nghiˆen c´ u.u phu.o.ng ph´ap ta.o c´ `eu mˆe.nh d¯`ˆe d¯˜a c´o C´ac mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i d¯u.o c go.i l` c´ ach tˆ o’ ho p t` u mˆ o.t ho˘a.c nhiˆ a ` ` ` u c ho p, ch´ ach c´ ac mˆe.nh d¯ˆe ph´ ung d¯u o c ta.o t` u c´ac mˆe.nh d¯ˆe hiˆe.n c´o b˘a ng c´ d` ung c´ ac ph´ep to´an lˆ ogic 1.1.1.2 Ph´ ep phu’ d ¯i.nh: Phu’ d¯.inh cu’a mˆe.nh d¯`ˆe p , k´ y hiˆe.u l`a p, d¯o.c l`a “khˆ ong p”, l` a mˆe.nh d¯`ˆe sai p d¯u ´ ng v`a d¯u ´ ng p sai on Ph´ep phu’ d¯.inh lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe ph` u ho p v´o.i ph´ep phu’ d¯.inh ngˆ ng˜ u thˆ ong thu ` o ng, ngh˜ıa l` a ph` u ho p v´o i y ´ ngh˜ıa cu’a t` u “khˆong” (“khˆong pha’i”) Th´ı du.: 1) p: “9 l` a mˆ o.t sˆ o´ le’” (D), p: “9 khˆong l`a mˆo.t sˆo´ le’” (S) `on ta.i sˆ 2) p: “v´ o i mo.i sˆ o´ thu c o´ thu c x, y, (x + y)2 < 0” (S), p: “tˆ - ) x, y, (x + y)2 ≥ 0” (D 1.1.1.3 Ph´ ep hˆ o.i: Hˆ o.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ y hiˆe.u l`a p ∧ q, d¯o.c l`a “p v` a q”, on l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng ca’ p lˆa˜n q c` ung d¯u ´ ng v`a sai c´ ac tru.`o.ng ho p c` la.i o.i y Ph´ep hˆ o.i ph` u ho p v´ ´ ngh˜ıa cu’a liˆen t` u “v`a” cu’a ngˆon ng˜ u thˆong thu.` o.ng - ) v`a q: “2 l`a sˆo´ ch˜an” (D - ) th`ı p ∧ q: “2 l` Th´ı du.: 1) p: “2 l` a sˆ o´ nguyˆen tˆo´” (D a ˜ sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ v` a l` a ch˘ a n” (D) u.u tı’” (S) l`a hˆo.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe 2) Mˆe.nh d¯`ˆe “Sˆ o´ π l´ o.n v`a l`a mˆo.t sˆo´ h˜ - ) v` u.u tı’” (S) o.n ho.n 3” (D “Sˆ o´ π l´ a “Sˆo´ π l`a mˆo.t sˆo´ h˜ a “p y hiˆe.u p ∨ q, d¯o.c l` 1.1.1.4 Ph´ ep tuyˆ e’n: Tuyˆe’n cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ ˜ ho˘ a.c q”, l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe sai ca’ p lˆa n q d¯`ˆeu sai v`a d¯u ´ ng mo.i tru.` o.ng on la.i ho p c` Ph´ep tuyˆe’n u ´.ng v´ o.i liˆen t` u “ho˘a.c” ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıa o.t a´t mˆ ´ ng v`a chı’ ´ıt nhˆ u , c´ khˆ ong loa.i tr` o ngh˜ıa l` a mˆe.nh d¯`ˆe “p ho˘a.c q” d¯u hai mˆe.nh d¯`ˆe p v` a q d¯u ´ ng - ) v`a q: “3 b˘a` ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ ho.n Th´ı du.: 1) p: “3 nho’ ho.n 5” (D - ) ho˘ a.c b˘ a` ng 5” (D 2) p: “Paris l` a thu’ d¯ˆo nu.´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´o.n ho.n 8” (S) th`ı p ∨ q: “Paris l` a thu’ d¯ˆ o nu.´ o.c Anh ho˘a.c l´o.n ho.n 8” (S) 1.1.1.5 Ph´ ep tuyˆ e’n loa.i: Tuyˆe’n loa.i cu’a hai mˆe.nh d¯`ˆe p, q, k´ y hiˆe.u p ⊕ q, d¯o.c ` ’ ´ ng chı’ c´o mˆo.t o.t mˆe.nh d¯ˆe d¯u l` a “p ho˘ a.c q (nhu ng khˆ ong ca hai)”, l`a mˆ a q l` a d¯u ´ ng v` a sai mo.i tru `o ng ho p c`on la.i hai mˆe.nh d¯`ˆe p v` Ph´ep tuyˆe’n loa.i u ´.ng v´ o.i liˆen t` u “ho˘a.c” ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıa loa.i tr` u.√ u tı’” (S) v`a q: “√2 l`a mˆot sˆo´ vˆo tı’” (D - ) th`ı p ⊕ q: ´ h˜ u Th´ ı du : p: “ l` a mˆ o t sˆ o √ - ) “ l` a.c l`a mˆo.t sˆo´ vˆo tı’” (D a mˆ o.t sˆ o´ h˜ u u tı’ ho˘ 1.1.1.6 Ph´ ep k´ eo theo: Mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo p ⇒ q, d¯o.c l`a “p k´eo theo q” hay ´ ng v`a q sai v`a d¯u ´ ng c´ac tru.` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe sai p d¯u o.ng ”nˆe´u p th`ı q”, l` ho p c` on la.i Trong ph´ep k´eo theo n´ oi trˆen, p d¯u.o c go.i l`a gia’ thiˆe´t, c`on q d¯u.o c go.i l` a kˆe´t luˆ a.n `eu no.i c´ac suy luˆa.n to´an ho.c, nˆen c´ o V`ı ph´ep k´eo theo xuˆ a´t hiˆe.n o’ nhiˆ ’ ˜ ` ` ´ a.t ng˜ u d¯u o c d` nhiˆeu thuˆ ung d¯ˆe diˆen d¯a.t mˆe.nh d¯ˆe p ⇒ q Du ´o i d¯ˆay l`a mˆo.t sˆ o th´ı du thu.` o.ng g˘ a.p nhˆ a´t – “Nˆe´u p th`ı q”, – “p k´eo theo q”, – “T` u p suy q”, `eu kiˆe.n d¯u’ d¯ˆe’ c´o q”, – “p l` a d¯iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an d¯ˆe’ c´o p” – “q l` a d¯iˆ a´ng, ch´ ung tˆoi s˜e d¯i b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.t mˆe.nh Th´ı du.: 1) “Nˆe´u hˆ om tr`o.i n˘ d¯`ˆe k´eo theo v` a d¯u o c xem l`a d¯u ´ ng tr` u phi hˆom tr`o.i thu c su n˘a´ng, nhu.ng ch´ ung tˆ oi khˆ ong d¯i b˜ biˆe’n 2) “Nˆe´u hˆ om l` a th´ u hai th`ı + = 7” l`a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe k´eo theo v` a l` a d¯u ´ ng v´ o i mo.i ng` ay tr` u th´ u hai Trong suy luˆ a.n to´ an ho.c, ch´ ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆ o.c loa.i tˆ o’ng `e ph´ep k´eo theo u thˆong thu `o ng Kh´ai niˆe.m to´an ho.c vˆ qu´ at ho n ngˆon ng˜ d¯ˆo.c lˆ a.p v´ o i mˆ o´i quan hˆe nhˆan - qua’ gi˜ u a gia’ thiˆe´t v`a kˆe´t luˆa.n `eu ngˆon ng˜ ung nhiˆ u lˆa.p tr`ınh Khˆ ong may, cˆ a´u tr´ uc nˆe´u - th`ı d¯u.o c d` - a sˆo´ c´ac ngˆon ng˜ u lˆa.p tr`ınh uc d¯u.o c d` ung lˆogic to´an D la.i kh´ ac v´ o.i cˆ a´u tr´ ch´ u.a nh˜ u.ng cˆ au lˆe.nh nhu nˆ e´u p th`ı S (if p then S), d¯´o p l`a mˆo.t mˆe.nh d¯`ˆe `om mˆo.t ho˘a.c nhiˆ `eu lˆe.nh cˆ `an pha’i thu c hiˆe.n) c` on S l` a mˆ o.t d¯oa.n chu o ng tr`ınh (gˆ o.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.p nh˜ u.ng cˆa´u tr´ uc nhu vˆa.y, S s˜e d¯u.o c thu c Khi thu c hiˆe.n mˆ hiˆe.n nˆe´u p l` a d¯u ´ ng, d¯´o S s˜e khˆong d¯u.o c thu c hiˆe.n nˆe´u p l`a sai 1.1.1.7 Ph´ ep tu.o.ng d y hiˆe.u l`a p ⇔ q, ¯u.o.ng: Mˆe.nh d¯`ˆe “p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´ l` a mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe d¯u ´ ng p v`a q c´o c` ung gi´a tri chˆan l´ y v`a sai c´ac tru.` o.ng on la.i ho p c` - i.nh ngh˜ıa cu’a ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng ph` D u ho p v´ o.i y ´ ngh˜ıa cu’a cu.m t` u “khi an ho.c, v` a chı’ khi” hay “nˆe´u v` a chı’ nˆe´u” cu’a ngˆon ng˜ u thˆong thu.`o.ng Trong to´ `eu kiˆe.n cˆ `an v` mˆe.nh d¯`ˆe “p tu o ng d¯u o ng q” c´o thˆe’ diˆ˜e n d¯a.t du ´o i da.ng: “d¯iˆ a d¯u’ ’ d¯ˆe c´ o p l` a c´ o q” - iˆ `an v`a d¯u’ d¯ˆe’ 4ABC cˆan l`a hai g´oc o’ d¯´ay cu’a n´ `eu kiˆe.n cˆ o b˘ a` ng Th´ı du.: 1) D u.c Cauchy a` ng xa’y bˆa´t d¯˘a’ng th´ 2) Dˆ a´u b˘ a1 + a2 + · · · + an √ n a1 a2 a n ≤ n v` a chı’ a1 = a2 = · · · = an an tri cu’a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen Sau d¯ˆay l` a ba’ng chˆ p q p p∧q p∨q p⊕q p⇒q p⇔q 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1.1.1.8 C´ ac ph´ ep to´ an lˆ ogic v` a c´ ac ph´ ep to´ an bit: C´ac m´ay t´ınh d` ung ´ c´ ac bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n thˆ ong tin Mˆo.t bit c´o hai gi´a tri l`a v`a Y ngh˜ıa cu’a t` u `on t` n` ay b˘ a´t nguˆ u binary digit (sˆo´ nhi phˆan) Thuˆa.t ng˜ u n`ay nh`a Thˆ o´ng kˆe ’ ’ ho.c nˆ o i tiˆe´ng John Turkey d¯u a v`ao n˘am 1946 Bit c˜ ung c´o thˆe d¯u o c d` ung d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´ a tri chˆ an l´ y Ta s˜e d` ung bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´a tri d¯u ´ ng v`a bit d¯ˆe’ biˆe’u diˆ˜e n gi´ a tri sai Ta s˜e d` ung c´ ac k´ y hiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ ac ph´ep to´an −, ∧, ∨, ⊕ nhu thu ` o ng d¯u o c l`am c´ac ngˆon ng˜ u lˆa.p tr`ınh kh´ac a` ng c´ach d` ung c´ac xˆau bit, d¯´o l` a d˜ ay Thˆ ong tin thu ` o ng d¯u o c biˆe’u diˆ˜e n b˘ c´ ac sˆ o´ v` a Khi d¯˜a l` am nhu thˆe´, c´ ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ ung c´ o thˆe’ d¯u o c d` ung d¯ˆe’ thao t´ ac c´ ac thˆong tin d¯´o Ta c´o thˆe’ mo’ rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bit t´ o i c´ au ac xˆ au bit Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v` a XOR bit d¯ˆo´i v´o.i hai xˆ `eu d` bit c´ o c` ung chiˆ l` a c´ ac xˆ au c´ o c´ac bit cu’a ch´ ung l`a c´ac OR, AND v` a XOR cu’a c´ ac bit tu o ng u ´ ng hai xˆau tu o ng u ´ ng Th´ı du.: xˆ au 1 1 1 xˆ au 1 0 1 1 OR bit 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 XOR bit 1 1 1 1.1.2 Su tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic cu’a c´ ac cˆ ong th´ u.c: niˆe.m cˆong th´ u.c, tu.o.ng tu nhu Trong lˆ ogic mˆe.nh d¯`ˆe, ngu.`o.i ta d¯u.a kh´ kh´ niˆe.m biˆe’u th´ u.c to´an ho.c - i.nh ngh˜ıa: 1.1.2.1 D u.c, 1) C´ ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe p, q, r, l`a c´ac cˆong th´ a c´ ac cˆ ong th´ u.c th`ı P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l` a 2) Nˆe´u P, Q l` c´ ac cˆ ong th´ u c, o.t sˆ o´ 3) Chı’ chˆ a´p nhˆ a.n c´ ac cˆong th´ u.c d¯u.o c th`anh lˆa.p b˘a` ng viˆe.c ´ap du.ng mˆ h˜ u u ha.n c´ ac quy t˘ a´c 1)-2) - i.nh ngh˜ıa: Cˆ 1.1.2.2 D ong th´ u.c A go.i l` o.i a h˘a` ng d¯u ´ ng nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri v´ mo.i hˆe gi´ a tri chˆ an l´ y c´ o thˆe’ c´o cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t A `a ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri v´o.i mo.i hˆe gi´a tri chˆ Cˆ ong th´ u c A go.i l` a h˘ an l´ y ’ o.t mˆ au ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t A Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆ c´ o thˆe c´ o cu’a c´ ’ thuˆ a n Mˆ o.t cˆ ong th´ u.c khˆ ong pha’i l`a h˘a` ng d¯u ´ ng, c˜ ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆ a’n a tiˆe´p liˆen d¯u o c go.i l` - i.nh ngh˜ıa: Hai cˆ 1.1.2.3 D ong th´ u.c A v`a B d¯u.o c go.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆ ogic, `a ng d¯u a k´ y hiˆe.u A ≡ B, nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.t h˘ ´ ng Hˆe th´ u c A ≡ B c`on d¯u o c go.i l` mˆ o.t d¯˘a’ng th´ u c 1.1.2.4 C´ ac tu.o.ng d ¯u.o.ng lˆ ogic co ba’n: 1) Luˆ a.t d¯`ˆong nhˆ a´t: p ∧ ≡ p, p ∨ ≡ p 2) Luˆ a.t nuˆ o´t: p ∧ ≡ 0, p ∨ ≡ 3) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p 4) Luˆ a.t phu’ d¯.inh k´ep: p ≡ p an: 5) Luˆ a.t giao ho´ p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 6) Luˆ a.t kˆe´t ho p: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7) Luˆ a.t phˆ an phˆ o´i: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 8) Luˆ a.t De Morgan: p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q 9) Mˆ o.t sˆ o´ tu.o.ng d¯u.o.ng tiˆe.n ´ıch: p ∧ p ≡ 0, p ∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), p ⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p) an ho.c: 1.1.3 Suy luˆ a.n to´ ˜ 1.1.3.1 Suy luˆ a.n diˆ e n di.ch: Suy luˆa.n l`a r´ ut mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe m´o.i t` u mˆ o.t hay ` ` nhiˆeu mˆe.nh d¯ˆe d¯˜ a c´ o u.ng Phˆ an t´ıch c´ ac suy luˆ a.n ch´ u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´y mˆo˜i ch´ `om mˆ u.u ha.n bu.´o.c suy luˆa.n d¯o.n gia’n Trong mˆo˜i bu.´ o.t sˆ o´ h˜ minh bao gˆ o.c suy `am” vˆa.n du.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.n tˆo’ng qu´ luˆ a.n d¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆ at d¯ˆe’ u a nhˆa.n l`a d¯u t` u c´ ac mˆe.nh d¯`ˆe d¯˜ a d¯u o c th` ´ ng (tiˆen d¯`ˆe, d¯i.nh l´ y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’ ac mˆe.nh d¯`ˆe xuˆa´t ph´ at d¯˜ a thiˆe´t) c´ o thˆe’ r´ ut mˆ o.t mˆe.nh d¯`ˆe m´o i Ngu `o i ta go.i c´ `en d¯`ˆe, c`on mˆe.nh d¯`ˆe m´o i d¯u o c r´ d¯u o c th` u a nhˆ a.n l` a d¯u ´ ng l` a c´ac tiˆ ut (nh` o vˆ a.n ’ `en d¯`ˆe Ph´ep du.ng c´ ac quy t˘a´c suy luˆ a.n tˆo ng qu´at) go.i l`a hˆe qua’ lˆogic cu’a c´ac tiˆ ˜ ´ ˜ suy luˆ a.n nhu thˆe´ go.i l` a suy luˆa.n diˆen di.ch hay go.i t˘a t l`a suy diˆen - i.nh ngh˜ıa: Gia’ su’ A1 , A2 , , An , B l`a nh˜ u.ng cˆong th´ 1.1.3.2 D u.c Nˆe´u tˆ a´t ca’ c´ ac hˆe gi´ a tri chˆ an l´ y cu’a c´ac biˆe´n mˆe.nh d¯`ˆe c´o m˘a.t c´ac cˆong th´ u c d¯´ o am cho B nhˆa.n gi´ a tri 1, a.n gi´a tri c˜ ung d¯`ˆong th`o.i l` l` am cho A1 , A2 , , An nhˆ t´ u.c l`a A1 ∧ A2 ∧ ∧ An ⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´ ´ ng, th`ı ta go.i B l` a hˆe u.c h˘a` ng d¯u `a ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆ qua’ lˆ ogic cu’a A1 , A2 , , An Khi d¯´o ta c˜ ung n´oi r˘ a.n `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An t´o i hˆe qua’ lˆogic B cu’a ch´ ac tiˆ t` u c´ ung y hiˆe.u l`a: Quy t˘ a´c suy luˆ a.n d¯´ o d¯u.o c k´ A1 , A1 , , An B ´c suy luˆ a a.n thu.` 1.1.3.3 Mˆ o.t sˆ o´ quy t˘ o.ng d` ung: p (Quy t˘ a´c cˆ o.ng) 1) p∨q p∧q (Quy t˘ a´c r´ ut go.n) 2) p p, p ⇒ q 3) (Quy t˘ a´c kˆe´t luˆa.n - Modus ponens) q p ⇒ q, q (Quy t˘ a´c kˆe´t luˆa.n ngu.o c - Modus tollens) p p ⇒ q, q ⇒ r 5) (Quy t˘a´c tam d¯oa.n luˆa.n) p⇒r p ⇒ q, q ⇒ p 6) (Quy t˘a´c d¯u.a tu.o.ng d¯u.o.ng v`ao) p⇔q 4) p ∨ q, p (Quy t˘ a´c t´ ach tuyˆe’n) q p ⇒ r, q ⇒ r 8) (Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’ thiˆe´t) p∨q ⇒r p ⇒ q, p ⇒ r 9) (Quy t˘a´c hˆo.i kˆe´t luˆa.n) p⇒q∧r 7) 10) q⇒p (Quy t˘ a´c pha’n d¯a’o) p⇒q 11) p ⇒ q, p ⇒ q (Quy t˘a´c pha’n ch´ u.ng) p Th´ı du.: 1) Cho: Nˆe´u tr`o.i mu.a (p) th`ı sˆan u.´o.t (q) Tr` o.i d¯ang mu.a Kˆe´t luˆ a.n: Sˆ an u.´ o.t `a ng (q) 2) Cho: Nˆe´u hai g´ oc d¯oˆ´i d¯’ınh (p) th`ı b˘ b v` b khˆ A aB ong b˘a` ng b v` b khˆ Kˆe´t luˆ a.n: A aB ong d¯ˆo´i d¯ı’nh 3) Cho: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`ˆeu l`a h`ınh thoi (p ⇒ q) Mo.i h`ınh thoi c´ o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) Kˆe´t luˆ a.n: Mo.i h`ınh vuˆ ong d¯`ˆeu c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) (d¯u ´ ng) 1.1.3.4 Suy luˆ a.n nghe c´ o l´ y: Suy luˆa.n nghe c´ o l´ y l`a suy luˆ a.n khˆong theo mˆ o.t `en d¯`ˆe d¯˜a c´o, r´ ut d¯u o c mˆ o’ng qu´ at n` ao d¯ˆe’ t` u nh˜ u ng tiˆ o.t kˆe´t quy t˘ a´c suy luˆ a.n tˆ `en d¯`ˆe d¯`ˆeu d¯u luˆ a.n x´ ac d¯i.nh Nˆe´u c´ ac tiˆ ´ ng th`ı kˆe´t luˆa.n r´ ut khˆong ch˘ a´c ch˘ a´n o t´ınh chˆ a´t du d¯o´an, gia’ thuyˆe´t d¯u ´ ng, m` a chı’ c´ Trong to´ an ho.c c´ o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´ y thu.`o.ng d` ung, d¯´o l`a – Ph´ep quy na.p khˆ ong ho`an to`an, – Ph´ep tu o ng tu y h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.`o.ng th˘a’ng c` Th´ı du.: 1) T` u d¯.inh l´ ung vuˆ ong g´ oc v´ o.i mˆ o.t d¯u.` o.ng th˘ a’ng th´ u ba th`ı song song v´ o.i nhau”, ch´ ung ta nˆeu mˆ o.t an”: “Hai m˘ a.t ph˘ a’ng c` ung vuˆ ong g´oc v´o i mˆo.t m˘a.t ph˘ a’ng th´ u ba th`ı song “du d¯o´ song v´ o i nhau” -ˆ `e ph´ep suy luˆa.n b˘a` ng tu.o.ng tu D ay l` a mˆ o.t th´ı du vˆ 2) C´ ac sˆ o´ 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22 + l`a nh˜ o´ u.ng sˆo´ nguyˆen tˆ n Kˆe´t luˆ a.n: v´ o i mo.i sˆ o´ tu nhiˆen n, sˆo´ + l`a sˆo´ nguyˆen tˆo´ -ˆ a.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo’.i Fermat (1601D ay l` a lˆ o´i suy luˆ 1665) sau d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.m v´o.i c´ac sˆo´ n = 0, 1, 2, 3, Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜ a o i n = 5, kh˘ a’ng d¯i.nh n`ay khˆ ong d¯u ´ ng, ngh˜ıa l`a + khˆong l` chı’ r˘`a ng v´ a sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ 3) = + 3, = + 5, 10 = + 5, 12 = + 7, Kˆe´t luˆa.n: mo.i sˆ o´ ˜ nguyˆen du o ng ch˘ a n l´ o n ho n l`a tˆo’ng cu’a hai sˆo´ nguyˆen tˆo´ - ˆay l`a mˆo.t nhiˆ `eu kh˘ a’ng ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach D Mˆe.nh d¯`ˆe n` d¯.inh to´ an ho.c chu a d¯u o c ch´ u ng minh 3 o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınh 4) Phu o ng tr`ınh x + y = z khˆong c´ 4 x + y = z khˆ ong c´ o nghiˆe.m nguyˆen Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh xn + y n = z n khˆ ong c´ o nghiˆe.m nguyˆen v´ o.i mo.i sˆo´ nguyˆen n > y cuˆ o´i c` ung Mˆe.nh d¯`ˆe n` ay d¯u.o c nˆeu bo’.i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´ cu’a Fermat” M˜ d¯ˆe´n th´ ang n˘am 1995, mˆe.nh d¯`ˆe n`ay m´o i d¯u o c ho`an to`an ch´ u ng minh xong bo’ i nh` a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles To´ an ho.c l` a khoa ho.c cu’a suy luˆa.n diˆ˜e n di.ch Tˆa´t ca’ c´ac vˆa´n d¯`ˆe to´ an ` ˜ ay b˘ a ng c´ac suy luˆa.n diˆen di.ch Tuy nhiˆen, qu´ a tr`ınh ho.c chı’ d¯u o c tr`ınh b` ˜ ´ ph´ at minh, s´ ang ta.o to´an ho.c, l´ y luˆa.n diˆen di.ch g˘a n ch˘a.t v´o i c´ac suy luˆa.n nghe c´ o l´ y Ta d` ung quy na.p khˆ ong ho`an to`an hay tu.o.ng tu d¯ˆe’ nˆeu c´ ac gia’ thuyˆe´t Sau d¯´o m´ o i ch´ u ng minh c´ ac gia’ thuyˆe´t n`ay b˘a` ng diˆ˜e n di.ch 1.1.4 C´ ac phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh: `en d¯`ˆe 1.1.4.1 Ch´ u.ng minh l` a g`ı? Trong suy luˆa.n diˆ˜e n di.ch, nˆe´u t` u c´ac tiˆ `a ng c´ach vˆa.n du.ng nh˜ A1 , A2 , , An , ta r´ ut kˆe´t luˆa.n B b˘ u ng quy t˘ a´c suy `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An v` a luˆ a.n tˆ o’ng qu´ at th`ı ta n´ oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆ `en d¯`ˆe A1 , A2 , , An d¯`ˆeu d¯u ogic Nˆe´u tˆa´t ca’ c´ac tiˆ ´ ng th`ı suy luˆ a.n d¯´ o l` a ho p lˆ ´ ´ a mˆ o.t ta go.i kˆet luˆ a.n lˆ ogic B l` a mˆo.t kˆet luˆa.n ch´ u ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l` ch´ u ng minh ac ch˘ a.n du.´o.i cu’a X l`a c´ac u.´o.c chung N∗ cu’a 2, cu’a 2, 3, 6, v` a tˆ a.p ho p c´ 3, 6, Do d¯´ o sup X = BCNN(2, 3, 6, 8) = 24 v`a inf∗ X = UCLN(2, 3, 6, 8) = N N∗ a X = 3) X´et tˆ a.p ho p P(X) d¯u.o c s˘a´p th´ u tu bo’.i quan hˆe “bao h`am” v` n n {A1 , A2 , , An } ⊂ P(X) Khi d¯´o sup X = ∪ Ai v`a inf X = ∩ Ai P(X) i=1 P(X) i=1 - i.nh ngh˜ıa: Cho tˆa.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu A bo’.i quan hˆe ≤ v` a X l` a 3.2.2.6 D ˜ ` ` ´ ’ ’ ’ ac rˆo ng cua A Phˆan tu m ∈ X d¯u o c go.i l` a.p kh´ a phˆan tu tˆoi d¯a.i (t.u mˆ o.t tˆ tˆ o´i tiˆe’u) cu’a X nˆe´u v´ o.i mo.i x ∈ X ta c´o: m ≤ x ⇒ x = m (t.u x ≤ m ⇒ x = m), `an tu’ x n`ao cu’a X cho x > m (t.u x < m) `an phˆ `on ta.i phˆ t´ u.c l` a khˆ ong tˆ `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) m cu’a A cho m ∈ X c˜ R˜ o r` ang r˘`a ng phˆ ung ’ ` ´ ` ´ ´ ´ ’ ’ ’ l` a phˆ an tu tˆ oi d¯a.i (t.u tˆ oi tiˆe u) cua X Tuy nhiˆen, nˆeu m l`a phˆan tu tˆ oi d¯a.i `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) cu’a A (t.u tˆ o´i tiˆe’u) cu’a X th`ı chu.a ch˘a´c m l`a phˆ `on `an tu’ tˆ o´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) cu’a mˆo.t tˆa.p ho p c´o thˆe’ khˆong c´o v` a nˆe´u tˆ Phˆ ta.i, c´ o thˆe’ c´ o ho n u tu A bo’.i quan hˆe ≤ v` a X l` a 3.2.2.7 Mˆ e.nh d ¯`ˆ e: Cho tˆa.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ ˜ mˆ o.t tˆ a.p kh´ ac rˆo ng cu’a A Khi d¯´o: ´ `an tu’ l´o.n nhˆa´t (t.u nho’ nhˆa´t) l`a a th`ı a l`a phˆ `an tu’ tˆ 1) Nˆeu X c´ o phˆ o´i d¯a.i (t.u tˆ o´i tiˆe’u) nhˆ a´t cu’a X `an bo’.i quan hˆe ≤ th`ı phˆ `an tu’ a ∈ X l` a´p th´ u tu to`an phˆ a 2) Nˆe´u X d¯u o c s˘ `an tu’ l´ `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u phˆ o n nhˆ a´t (t.u nho’ nhˆa´t) cu’a X v`a chı’ a l`a phˆ tˆ o´i tiˆe’u) cu’a X `an tu’ l´o.n nhˆa´t (t.u nho’ nhˆa´t) cu’a X Khi d¯´ Ch´ u.ng minh: 1) Gia’ su’ a l`a phˆ o ta c´ o x ≤ a (t.u x ≥ a) v´ o i mo.i x ∈ X v`a nˆe´u a ≤ x (t.u a ≥ x) th`ı t´ınh ´ ´ `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) cu’a X ’ u ng ta c´ oi x´ chˆa t phan d¯ˆ o x = a Vˆa.y a l`a phˆ `an `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) t` Nˆe´u a l` uy y´ cu’a X th`ı a l` a phˆ a mˆ o.t phˆ 0 `an tu’ tu’ l´ o n nhˆ a´t (t.u nho’ nhˆ a´t) cu’a X ta c´ o a ≤ a (t.u a ≥ a) v`a a l`a phˆ tˆ o´i d¯a.i (t.u tˆ o´i tiˆe’u) cu’a X nˆen a0 = a 2) (⇒) C´ o t` u 1) `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) cu’a X Khi d¯´ a phˆ o X (⇐) Gia’ su’ a ∈ X l` `an nˆen v´o i mo.i x ∈ X, ta c´o x ≤ a ho˘a.c a ≤ x Nˆe´u d¯u o c s˘ a´p th´ u tu to` an phˆ `an tu’ tˆo´i d¯a.i (t.u tˆo´i tiˆe’u) cu’a X ta c´o x = a a ≤ x (t.u a ≥ x) th`ı a l`a phˆ `an tu’ l´o.n nhˆa´t (t.u nho’ nhˆ Vˆ a.y x ≤ a (t.u x ≥ a) v´ o.i mo.i x ∈ X hay x l`a phˆ a´t) ’ cua X `an tu’ tˆo´i tiˆe’u nhˆ Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N∗ v´ a´t l` a o.i quan hˆe “chia hˆe´t” c´o phˆ ∗ `an tu’ nho’ nhˆa´t cu’a N , khˆ `on ta.i phˆ `an tu’ tˆo´i d¯a.i 1, d¯´o c˜ ung l` a phˆ ong tˆ ∗ ∗ `an tu’ tˆo´i tiˆe’u l`a c´ac sˆo´ nguyˆen tˆ Tˆ a.p X = N \ {1} cu’a N c´o c´ o´ ac phˆ `an tu’ tˆ o´i d¯a.i v` a X khˆ ong c´ o phˆ 76 `an tu’ tˆo´i tiˆe’u l` a 2, 3, Tˆ a.p X = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} cu’a N∗ c´o c´ ac phˆ `an tu’ tˆ a 9, 19, 24 o´i d¯a.i l` 19 v` a c´ ac phˆ 2) Cho tˆ a.p ho p X = {x1 , x2 , , xn } X´et tˆa.p ho p A = P(X) \ {∅, X} v´ o.i `an tu’.: `an tu’ tˆo´i tiˆe’u l`a c´ac tˆa.p phˆ quan hˆe “bao h` am” Khi d¯o´ A c´o c´ ac phˆ `an tu’.: `an tu’ tˆo´i d¯a.i l`a c´ac tˆa.p n − phˆ {x1 }, {x2 }, , {xn } v` a c´ o c´ac phˆ {x2 , x3 , , xn }, {x1 , x3 , , xn }, , {x1 , x2 , , xn−1 } - inh ngh˜ıa: Cho tˆa.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ oi 3.2.2.8 D u tu A bo’.i quan hˆe ≤ Ta n´ A d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu tˆ o´t bo’.i quan hˆe n`ay nˆe´u mo.i tˆa.p kh´ ac rˆo˜ng cu’a A d¯`ˆeu `an tu’ nho’ nhˆ c´ o phˆ a´t u tu tˆo´t bo’.i mˆo.t quan hˆe n` ao 3.2.2.9 Hˆ e qua’: Nˆe´u mˆo.t tˆa.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ `an bo’ i quan hˆe d¯´o d¯´ o th`ı n´ o d¯u o c s˘ a´p th´ u tu to`an phˆ Ch´ u.ng minh: Gia’ su’ A l` a tˆa.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tˆo´t bo’.i quan hˆe ≤ Khi `an tu’ nho’ `an tu’ bˆ y a, b ∈ A, tˆa.p X = {a, b} cu’a A c´o phˆ d¯´ o v´ o.i hai phˆ a´t k` `an tu’ nho’ nhˆa´t cu’a X th`ı a ≤ b v`a nˆe´u b l`a phˆ `an tu’ nho’ nhˆ nhˆ a´t Nˆe´u a l` a phˆ a´t a´p th´ u cu’a X th`ı b ≤ a Nhu vˆ a.y, a v`a b so s´anh d¯u o c v´o i hay A d¯u o c s˘ `an bo’.i quan hˆe ≤ an phˆ tu to` Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tˆo´t bo’.i quan hˆe ≤ thˆong thu.`o.ng u tu tˆo´t bo’.i quan hˆe “chia hˆe´t” ong d¯u.o c s˘a´p th´ 2) Tˆ a.p ho p N∗ khˆ 3) C´ ac tˆ a.p ho p Z, Q, R khˆong d¯u.o c s˘a´p th´ u tu tˆo´t bo’.i quan hˆe ≤ thˆ ong thu ` o ng - i.nh ngh˜ıa: Tˆ 3.2.2.10 D a.p ho p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu A d¯u.o c go.i l` a mˆo.t d` an nˆe´u `an tu’ bˆ v´ o i hai phˆ a´t k` y a, b ∈ A, tˆa.p ho p {a, b} luˆon c´o cˆa.n trˆen v`a cˆ a.n du.´ o.i `an lu.o t d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a a ∨ b v`a a ∧ b Cˆ a.n trˆen v` a cˆ a.n du.´ o.i cu’a {a, b} lˆ 3.2.2.11 T´ınh chˆ a´t: Cho A l`a mˆo.t d`an Khi d¯´o v´o.i mo.i a, b, c ∈ A, ta c´ o: 1) Luˆ a.t l˜ uy d¯˘ a’ng: a ∨ a = a, a ∧ a = a 2) Luˆ a.t giao ho´ an: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a 3) Luˆ a.t kˆe´t ho p: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) 4) Luˆ a.t hˆ a´p thu.: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a Ch´ u.ng minh: C´ o t` u d¯.inh ngh˜ıa cu’a cˆa.n trˆen v`a cˆa.n du.´o.i Th´ı du.: 1) Tˆ a.p ho p N∗ v´ o.i mo.i m, n ∈ N∗ , o.i quan hˆe chia hˆe´t l`a mˆo.t d`an v`ı v´ ta c´ o m ∨ n l` a BCNN(m, n) v`a m ∧ n l`a UCLN(m, n) o.i quan hˆe “bao h`am” l`a mˆo.t d`an v`ı v´ 2) Tˆ a.p ho p P(X) v´ o.i mo.i A, B ∈ P(X), ta c´ o A ∨ B l` a A ∪ B v`a A ∧ B l`a A ∩ B `e su tˆ `on ta.i a.n mˆe.nh d¯`ˆe sau, thu.`o.ng d¯u.o c go.i l`a Bˆo’ d¯`ˆe Zorn, vˆ Ta th` u.a nhˆ ´ `an tu’ tˆ phˆ o´i d¯a.i mˆ o.t tˆa.p ho p d¯u o c s˘a p th´ u tu Mˆe.nh d¯`ˆe n`ay tu o ng d¯u.o.ng ang loa.t mˆe.nh d¯`ˆe kh´ ac l´ y thuyˆe´t tˆa.p ho p, sˆo´ n`ay c´o Tiˆen d¯`ˆe v´ o.i h` - i.nh d¯`ˆe Zermelo, Nguyˆen l´ cho.n, D y s˘a´p th´ u tu tˆo´t, 77 u tu quy na.p 3.2.2.12 Bˆ o’ d ¯`ˆ e Zorn: Nˆe´u tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng X d¯u.o c s˘a´p th´ `an cu’a n´o d¯`ˆeu c´o ch˘a.n trˆen th`ı X a.p d¯u.o c s˘a´p th´ u tu to`an phˆ ngh˜ıa l` a mo.i tˆ `an tu’ tˆ c´ o phˆ o´i d¯a.i ` TA ˆ P CHU.O.NG III BAI `an tu’ d¯ˆe´n tˆa.p ho p c´ o C´o bao nhiˆeu quan hˆe kh´ac t`u tˆa.p ho p c´o m phˆ ` ’ n phˆ an tu ? X´ac d¯i.nh xem quan hˆe R trˆen tˆa.p ho p c´ac ngu.`o.i trˆen tr´ai d¯ˆa´t c´o l`a pha’n `au khˆong, v´o.i (a, b) ∈ R nˆe´u v`a chı’ nˆe´u: u.ng, b˘a´c cˆ u.ng, pha’n d¯ˆ o´i x´ xa., d¯ˆ o´i x´ a) a cao ho.n b ? b) a v` a b sinh c` ung ng` ay ? c) a v` a b c` ung tˆen ? d) a v` a b c´ o c` ung mˆ o.t ˆong ? C˜ung ho’i nhu trˆen, v´o.i quan hˆe R trˆen tˆa.p ho p Z c´ac sˆo´ nguyˆen v`a x R y nˆe´u v` a chı’ nˆe´u: a) x 6= y b) xy ≥ c) x = y + hay x = y − d) x + y l` a sˆ o´ ch˘ a˜n e) x l` a bˆ o.i sˆ o´ cu’a y am ho˘ a.c d¯`ˆeu khˆong ˆam f ) x v` a y d¯`ˆeu ˆ g) x = y h) x ≥ y Mˆo.t quan hˆe R trˆen tˆa.p ho p A d¯u.o c go.i l`a pha’n pha’n xa nˆe´u v´o.i mo.i u.ng nˆe´u v´o.i mo.i a, b ∈ A, (a, b) ∈ R a ∈ A, (a, a) ∈ / R v` a d¯u.o c go.i l`a bˆa´t d¯ˆo´i x´ k´eo theo (b, a) ∈ / R a) C´ ac quan hˆe n` ao B`ai v`a l`a pha’n pha’n xa b) C´ ac quan hˆe n` ao B`ai v`a l`a bˆa´t d¯ˆo´i x´ u.ng Cho R l`a mˆo.t quan hˆe t`u tˆa.p ho p A d¯ˆe´n tˆa.p ho p B Quan hˆe ngu.o c t`u B y hiˆe.u l` a R−1 , l`a tˆa.p ho p {(b, a) | (a, b) ∈ R} Quan hˆe b` u R l` a d¯ˆe´n A, d¯u.o c k´ −1 / R} T`ım R v`a R cu’a R sau: tˆ a.p ho p {(a, b) | (a, b) ∈ a) R = {(a, b) | a < b} trˆen tˆa.p ho p Z c´ac sˆo´ nguyˆen b) R = {(a, b) | b chia hˆe´t cho a} trˆen tˆa.p ho p N∗ c´ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng `om c´ ac c˘ a.p (a, b), c) R l` a quan hˆe trˆen tˆa.p ho p c´ac tı’nh cu’a Viˆe.t Nam gˆ d¯´ o tı’nh a gi´ ap gi´ o i v´ o i tı’nh b Gia’ su’ R v`a S l`a hai quan hˆe c´o t´ınh pha’n xa trˆen tˆa.p ho p A X´ac d¯i.nh xem c´ ac quan hˆe R ∪ S, R ∩ S, R ⊕ S, R \ S v`a S ◦ R c´o t´ınh chˆa´t pha’n xa hay pha’n pha’n xa 78 Cho R l`a mˆo.t quan hˆe trˆen tˆa.p ho p A Ch´u.ng minh r˘a` ng: a chı’ nˆe´u R−1 l`a pha’n xa a) R l` a pha’n xa nˆe´u v` b) R l` a pha’n xa nˆe´u v` a chı’ nˆe´u R l`a pha’n pha’n xa u ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u R ∩R−1 l`a tˆa.p cu’a quan hˆe d¯u.` o´i x´ o.ng c) R l` a pha’n d¯ˆ ch´eo ∆ = {(a, a) | a ∈ A} Cho R l`a mˆo.t quan hˆe trˆen tˆa.p ho p A v`a n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng Ch´u.ng minh r˘ a` ng a) Nˆe´u R l` a pha’n xa th`ı Rn l`a pha’n xa b) Nˆe´u R l` a d¯ˆo´i x´ u.ng th`ı Rn l`a d¯ˆo´i x´ u.ng `au th`ı Rn = R c) Nˆe´u R l` a pha’n xa v` a b˘a´c cˆ `an tu’ l`a `om n phˆ C´o bao nhiˆeu quan hˆe trˆen tˆa.p ho p gˆ a) Pha’n xa.? -ˆ b) D o´i x´ u.ng? u.ng? c) Bˆ a´t d¯ˆo´i x´ u.ng? d) Pha’n d¯ˆ o´i x´ e) Pha’n xa v` a d¯ˆ o´i x´ u.ng? 10 C´ac quan hˆe n`ao sˆo´ c´ac quan hˆe trˆen tˆa.p {0, 1, 2, 3} cho du.´o.i d¯ˆay l`a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng? a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} 11 C˜ung ho’i nhu trˆen d¯ˆo´i v´o.i c´ac quan hˆe trˆen tˆa.p ho p c´ac ´anh xa t`u Z d¯ˆe´n Z d¯u.o c cho du.´ o.i d¯ˆ ay: a) {(f, g) | f (1) = g(1)} b) {(f, g) | f (0) = g(0) ho˘a.c f (1) = g(1)} c) {(f, g) | f (x) − g(x) = 1, ∀x ∈ Z} d) {(f, g) | ∃C ∈ Z, f (x) − g(x) = C v`a ∀x ∈ Z} e) {(f, g) | f (0) = g(1) v`a f (1) = g(0)} `en x´ac d¯i.nh 12 Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng, f l`a mˆo.t ´anh xa c´o A l`a miˆ cu’a n´ o v` a R = {(x, y) ∈ A × A | f (x) = f (y)} Ch´ u ng minh r˘a` ng R l`a mˆo.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng trˆen A v` a x´ac d¯i.nh c´ac l´o p tu o ng d¯u.o.ng cu’a R 13 Cho A l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng v`a R l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen A `on ta.i mˆo.t ´anh xa f c´o A l`a miˆ `en x´ac d¯i.nh cho (x, y) ∈ R Ch´ u.ng minh r˘`a ng tˆ v` a chı’ f (x) = f (y) 14 T`ım quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng nho’ nhˆa´t trˆen tˆa.p {a, b, c, d, e} ch´u.a quan hˆe {(a, b), (a, c), (d, e)} 79 `an tu’ 15 X´ac d¯.inh sˆo´ c´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng kh´ac trˆen tˆa.p ho p phˆ `a ng c´ ac quan hˆe d¯´o b˘ ach liˆe.t kˆe c´ `an tu’ 16 C´o bao nhiˆeu quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng kh´ac cho trˆen tˆa.p ho p phˆ c´ o d¯u ´ ng l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng kh´ac nhau? 17 Mˆo.t quan hˆe R trˆen tˆa.p ho p X d¯u.o c go.i l`a quan hˆe v`ong quanh nˆe´u xRy `a ng quan hˆe R l`a pha’n xa v`a v`ong quanh v` a yRz k´eo theo zRx Ch´ u.ng minh r˘ v` a chı’ R l` a mˆ o.t quan hˆe tu o ng d¯u.o.ng 18 Cho L0 l`a mˆo.t d¯u.`o.ng th˘a’ng cˆo´ d¯.inh trˆen m˘a.t ph˘a’ng R2 Mˆo.t quan hˆe R trˆen tˆ a.p ho p L tˆ a´t ca’ c´ ac d¯u.`o.ng th˘a’ng trˆen m˘a.t ph˘a’ng R2 d¯u.o c x´ac d¯i.nh nhu sau: ∀L1 , L2 ∈ L, L1 RL2 ⇔ L1 ∩ L0 6= ∅ ∧ L2 ∩ L0 6= ∅ o l` a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng hay khˆong? X´ ac d¯i.nh xem R c´ 19 Cho M l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng v`a a ∈ M Trˆen X = P (M ) ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe hai ngˆ oi nhu sau: R = {(A, B) ∈ X | A = B hay a ∈ A ∩ B} `a ng R l` a.p ho p a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X H˜ay chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ thu.o.ng 20 Go.i X l`a tˆa.p ho p mo.i a´nh xa t`u R v`ao R Ch´u.ng to’ quan hˆe R sau l`a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X: a) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C x(t) − y(t) b) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ lim = 0, d¯´o n ∈ N cho tru.´o.c n t→0 t 21 X´et quan hˆe hai ngˆoi R trˆen N nhu sau: ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 a` ng R l` a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen N2 H˜ay chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ a.p ho p thu.o.ng 22 Trˆen Z × N∗ (N∗ = N \ {0}), x´et quan hˆe hai ngˆoi sau: ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) ∈ Z × N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ⇔ z1 n2 = z2 n1 a` ng R l` a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen Z × N∗ H˜ay chı’ tˆ Ch´ u.ng minh r˘ a.p ho p thu o ng 23 Trong m˘a.t ph˘a’ng c´o hˆe toa d¯ˆo vuˆong g´oc, hai d¯iˆe’m P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) a quan hˆe v´ o.i bo’.i R nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x1 y1 = x2 y2 Ch´ a` ng d¯u.o c go.i l` u.ng to’ r˘ R l` a mˆ o.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng v`a t`ım c´ ac l´o p tu o ng d¯u o ng 80 Bˆ ay gi`o nˆe´u d¯.inh ngh˜ıa P1 S P2 ⇔ x1 y1 = x2 y2 ∧ x1 x2 ≥ th`ı S c` on l` a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng n˜ u.a khˆong ? 24 Trˆen tˆa.p ho p R c´ac sˆo´ thu c, x´et quan hˆe hai ngˆoi R sau: ∀x, y ∈ R, x R y ⇔ x3 − y = x − y `a ng R l` Ch´ u.ng minh r˘ a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng T`ım c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng 25 X´et quan hˆe R trˆen tˆa.p ho p R c´ac sˆo´ thu c nhu sau: ∀a, b ∈ R, a R b ⇔ a3 ≤ b3 `an tˆa.p ho p R a` ng R s˘ a´p th´ u tu to`an phˆ Ch´ u.ng minh r˘ Nˆe´u x´et quan hˆe S trˆen tˆa.p ho p R nhu sau th`ı S c´o l`a mˆo.t quan hˆe th´ u tu khˆ ong? ∀a, b ∈ R, a S b ⇔ a2 ≤ b2 26 X´et tˆa.p ho p N∗ v´o.i quan hˆe th´u tu “chia hˆe´t ” v`a X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} `an tu’ l´ o.n nhˆ H˜ ay t`ım c´ ac phˆ a´t, nho’ nhˆa´t, ch˘a.n trˆen, ch˘a.n du.´o.i, cˆa.n trˆen, cˆ a.n o´i d¯a.i, tˆ o´i tiˆe’u cu’a X V˜e biˆe’u d¯`ˆo Hasse minh hoa tˆa.p d¯u o c s˘a´p th´ u tu du ´o i, tˆ X 27 X´et tˆa.p ho p P(X) v´o.i quan hˆe th´u tu “bao h`am”, d¯´o X = {1, 2, 3, 4, 5} `an tu’ l´ H˜ ay t`ım c´ ac phˆ o.n nhˆ a´t, nho’ nhˆa´t, ch˘a.n trˆen, ch˘a.n du.´o.i, cˆa.n trˆen, cˆ a.n ’ ´ ´ ’ du ´o i, tˆ oi d¯a.i, tˆoi tiˆe u cua P(X) \ {∅, X} v`a X = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 4}} 28 X´et tˆa.p ho p R c´ac sˆo´ thu c v´o.i quan hˆe th´u tu ≤ thˆong thu.`o.ng v`a X = m `an tu’ l´o.n nhˆ { | m, n ∈ N, < m < n} Ch´ u.ng minh r˘a` ng X khˆong c´o phˆ a´t n v` a nho’ nhˆ a´t H˜ ay t`ım cˆ a.n trˆen v`a cˆ a.n du.´o.i cu’a X 29 Tˆa.p A d¯u.o c go.i l`a s˘a´p th´u tu d¯`ˆay d¯u’ bo’.i quan hˆe th´u tu ≤ nˆe´u mo.i tˆa.p kh´ ac rˆ o˜ng cu’a A bi ch˘a.n trˆen d¯`ˆeu c´o cˆa.n trˆen a) Ch´ u.ng minh r˘ a` ng s˘ a´p th´ u tu tˆo´t l`a s˘a´p th´ u tu d¯`ˆay d¯u’ b) Ch´ u.ng to’ r˘ a` ng N v` a R s˘a´p th´ u tu d¯`ˆay d¯u’ bo’.i quan hˆe ≤ thˆong thu.` o.ng, a´p th´ u tu khˆ ong d¯`ˆay d¯u’ bo’.i ≤ nhu.ng Q s˘ `on ta.i c´ac tˆa.p 30 Cho X l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p th´u tu Ch´u.ng minh r˘a` ng tˆ A ⊂ X v` a B ⊂ X cho A ∩ B = ∅, A ∪ B = X, A d¯u o c s˘a´p th´ u tu tˆo´t (theo `an tu’ nho’ nhˆa´t quan hˆe th´ u tu X), c` on B khˆong c´o phˆ 81 31 Cho E l`a tˆa.p d¯u.o c s˘a´p th´u tu bo’.i quan hˆe R Ta n´oi tˆa.p F ⊂ E l`a a.p tu cu’a tˆa.p E nˆe´u v´o.i mo.i a, b ∈ F, a 6= b k´eo theo (a, b) ∈ / R v` a mˆ o.t tˆ (b, a) ∈ / R Go.i S l` a tˆa.p tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p tu cu’a E Trˆen S ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe ≤ nhu sau: ∀X, Y ∈ S, X ≤ Y ⇔ ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ R Ch´ u.ng minh r˘ a` ng: u tu trˆen tˆa.p S a mˆ o.t quan hˆe th´ a) Quan hˆe ≤ l` b) V´ o.i X, Y ∈ S, nˆe´u X ⊂ Y th`ı X ≤ Y `an bo’.i quan hˆe ≤ v`a chı’ tˆa.p E a´p th´ u tu to`an phˆ c) Tˆ a.p S d¯u.o c s˘ `an bo’.i quan hˆe R d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu to` an phˆ 32 Mˆo.t tˆa.p s˘a´p th´u tu L d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d`an d¯`ˆay d¯u’ nˆe´u mo.i tˆa.p kh´ac `a ng: o cˆ a.n trˆen v`a cˆa.n du.´o.i Ch´ rˆ o˜ng cu’a L d¯`ˆeu c´ u.ng minh r˘ `an tu’ nho’ nhˆa´t v`a phˆ `an tu’ l´o.n nhˆa´t a) Mˆ o.t d` an d¯`ˆ ay d¯u’ L ch´ u a phˆ `om tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p cu’a X v´o.i quan hˆe bao h`am l` b) Tˆ a.p P(X) gˆ a mˆ o.t d` an d¯`ˆay d¯u’ u tu l`a quan hˆe chia hˆe´t ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng v´o.i quan hˆe th´ c) Tˆ a.p Z+ c´ a mˆ o.t d` an d¯`ˆ ay d¯u’ khˆ ong pha’i l` 33 Cho X l`a mˆo.t tˆa.p t`uy y´, S l`a tˆa.p tˆa´t ca’ c´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X Ch´ u.ng minh r˘`a ng tˆ a.p S v´ o.i quan hˆe th´ u tu l`a quan hˆe bao h`am l`a mˆo.t d` an d¯`ˆay d¯u’ 34 Ch´u.ng minh r˘`a ng mˆo.t tˆa.p s˘a´p th´u tu L l`a mˆo.t d`an d¯`ˆay d¯u’ v`a chı’ `eu kiˆe.n sau d¯ˆay: thoa’ m˜ an mˆ o.t c´ ac d¯iˆ `an tu’ l´o.n nhˆa´t v`a mo.i tˆa.p kh´ ac rˆo˜ng cu’a L d¯`ˆeu c´ o a) Tˆ a.p L ch´ u a phˆ cˆ a.n du ´ o i `an tu’ nho’ nhˆa´t v`a mo.i tˆa.p kh´ac rˆo˜ng cu’a L d¯`ˆeu c´ b) Tˆ a.p L ch´ u.a phˆ o cˆ a.n trˆen 82 `.I VA ` HU.O ´.NG DA ˆ˜ N GIA’I BAI ` TA ˆ P TRA’ LO CHU O NG III `an tu’ l`a mˆo.t tˆ `an tu’ d¯ˆe´n tˆa.p B c´o n phˆ a.p Mˆo˜i quan hˆe t`u tˆa.p A c´o m phˆ `an t`ım l`a 2mn cu’a A × B Do d¯´ o sˆ o´ quan hˆe cˆ a) R khˆong c´o t´ınh pha’n xa., khˆong c´o t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng, khˆong c´o t´ınh pha’n `au d¯ˆo´i x´ u.ng, c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ u.ng, b), c) R c´ o t´ınh pha’n xa., c´o t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng, khˆong c´o t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´ `au c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ `au (phˆan biˆe.t ˆong nˆ d) R c´ o t´ınh pha’n xa., d¯ˆo´i x´ u.ng, khˆong c´o t´ınh b˘a´c cˆ o.i, ong ngoa.i) ˆ a) R chı’ c´o t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng `au u.ng v`a b˘a´c cˆ o t´ınh d¯ˆ o´i x´ b) R chı’ c´ u ng o t´ınh d¯ˆ o´i x´ c) R chı’ c´ `au u.ng v`a b˘a´c cˆ o t´ınh pha’n xa., d¯ˆo´i x´ d) R chı’ c´ `au e) R chı’ c´ o t´ınh pha’n xa v`a b˘a´c cˆ `au f ) R chı’ c´ o t´ınh pha’n xa., d¯ˆo´i x´ u ng v`a b˘a´c cˆ ´ u ng o t´ınh pha’n d¯ˆoi x´ g) R chı’ c´ ´ `au ’ ’ u.ng v`a b˘a´c cˆ o t´ınh phan d¯ˆoi x´ h) R chı c´ a) C´ac quan hˆe R Cˆau a) cu’a B`ai 2, Cˆau a) v`a Cˆau c) cu’a B`ai l`a pha’n pha’n xa u.ng th`ı n´o l`a pha’n pha’n b) T` u d¯.inh ngh˜ıa ta thˆa´y mˆo.t quan hˆe l`a bˆa´t d¯ˆo´i x´ xa Do d¯´ o chı’ c´ o quan hˆe R Cˆau a) cu’a B`ai l`a bˆa´t d¯ˆo´i x´ u.ng a) R−1 = {(a, b) | a > b} v`a R = {(a, b) | a ≥ b} b) R−1 = {(a, b) | a chia hˆe´t cho b} v`a R = {(a, b) | b khˆong chia hˆe´t cho a} `om c´ c) V`ı R c´ o t´ınh d¯ˆ o´i x´ u.ng nˆen R−1 = R Ngo`ai ra, R gˆ ac c˘ a.p (a, b), ’ ’ o i tınh b d¯´ o tınh a khˆ ong gi´ ap gi´o i v´ V`ı ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R ∧ (a, a) ∈ S nˆen R ∪ S, R ∩ S, S ◦ R c´o t´ınh pha’n xa v` a R ⊕ S, R \ S c´ o t´ınh pha’n pha’n xa a) V`ı (a, a) ∈ R ⇔ (a, a) ∈ R−1 b) V`ı (a, a) ∈ R ⇔ (a, a) ∈ / R ´ c) V`ı R l` a pha’n d¯ˆoi x´ u ng ⇔ (∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b) ⇔ (∀a, b ∈ A, (a, b) ∈ R ∩ R−1 ⇒ a = b) ⇔ R ∩ R−1 ⊂ ∆ a) ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R nˆen (a, a) ∈ Rn b) (a, b) ∈ Rn ⇒ ∃b1 , b2 , , bn−1 ∈ A, (a, b1 ) ∈ R, (b1 , b2 ) ∈ R, , (bn−2 , bn−1 ) ∈ R, (bn−1 , b) ∈ R ⇒ (b, bn−1 ) ∈ R, (bn−1 , bn−2) ∈ R , (b2 , b1 ) ∈ R, (b1 , a) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R 83 `au nˆen Rn ⊂ R R c´o t´ınh pha’n xa nˆen v´o.i (a, b) ∈ R, ta c) R c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ c´ o (a, b1 ), (b1 , b2 ), , (bn−1 , b) ∈ R, d¯´o b1 = b2 = · · · = bn−1 = a, d¯´ o n (a, b) ∈ R Vˆ a.y R ⊂ R Gia’ su’ A = {a1 , a2 , , an } Khi d¯´o mˆo˜i quan hˆe R trˆen A d¯u.o c biˆe’u diˆ˜e n `om n d`ong v` `an tu’ d`ong i cˆ bo’.i mˆ o.t ba’ng (ma trˆ a.n) − gˆ a n cˆo.t, d¯´o phˆ o.t ´ ´ a l` a nˆeu (ai , aj ) ∈ / R j l`a nˆeu (ai , aj ) ∈ R v` `a ng V`ı ` ’ ’ a chı c´ac phˆan tu’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo d¯`ˆeu b˘ a) R l` a phan xa v` `a ng sˆo´ c´ach cho.n ho˘a.c cho n − n phˆ `an tu’ vˆ a.y sˆ o´ quan hˆe pha’n xa trˆen A b˘ ngo`ai d¯u.` o.ng ch´eo, t´ u.c l` a b˘ a` ng 2n(n−1) `a ng phˆ `an tu’ d`ong i, cˆo.t j b˘ `an tu’ d`ong j, cˆ a chı’ phˆ o.t b) R l` a d¯ˆ o´i x´ u.ng v` `a ng sˆo´ c´ach cho.n ho˘ i, ∀i, j = 1, , n V`ı vˆ a.y sˆo´ quan hˆe d¯ˆo´i x´ u ng trˆen A b˘ a.c n(n+1) `an tu’ tam gi´ ac du ´o i, kˆe’ ca’ trˆen d¯u `o ng ch´eo (1 + + · · ·+ n = cho c´ ac phˆ ), n(n+1) t´ u.c l` a b˘ a` ng 2 `a ng `an tu’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo d¯`ˆeu b˘ u.ng v` c) R l` a bˆ a´t d¯ˆo´i x´ a chı’ c´ac phˆ `an tu’ d` `an tu’ d`ong j cˆo.t i ho˘a.c c` v` a c´ ac phˆ ong i cˆ o.t j, phˆ ung b˘a` ng 0, ho˘ a.c mˆ o.t `a ng 0, mˆ `a ng 1, ∀i, j = 1, , n, i 6= j V`ı vˆa.y sˆo´ quan hˆe bˆa´t d¯ˆo´i x´ b˘ o.t b˘ u ng n(n−1) `a ng sˆ ach cho.n (0, 0), (1, 0) ho˘a.c (0, 1) cho + + ·(n − 1) = trˆen A b˘ o´ c´ n(n−1) `an tu’ (du ´ o i d¯u ` o ng ch´eo), t´ u c l`a b˘a` ng phˆ `an tu’ d`ong i cˆo.t j, phˆ `an tu’ d` u ng v`a chı’ c´ ac phˆ o´i x´ ong d) R l` a pha’n d¯ˆ `a ng 0, ho˘a.c mˆo.t b˘ `a ng 0, mˆo.t b˘ `a ng 1, ∀i, j = 1, , n, i 6= j j cˆ o.t i ho˘ a.c c` ung b˘ ` `an u ng trˆen A b˘a ng sˆo´ c´ach cho.n ho˘a.c cho n phˆ o´i x´ V`ı vˆa.y sˆ o´ quan hˆe pha’n d¯ˆ ´ ’ tu trˆen d¯u ` ach cho.n (0, 0), (1, 0) ho˘a.c (0, 1) cho + + ·(n − 1) = o ng ch´eo v` a sˆ o c´ n(n−1) n(n−1) n c l`a b˘ ` ` ’ n tu (du o ´ i d ¯ u o ` ng ch´ e o), t´ u a ng phˆ a `an tu’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo d¯`ˆeu ac phˆ e) R l` a pha’n xa v` a d¯ˆ o´i x´ u ng v`a chı’ c´ `a ng phˆ `a ng v` `an tu’ d`ong j, cˆo.t i, ∀i, j = 1, , n i 6= j `an tu’ d` ong i, cˆo.t j b˘ b˘ a phˆ `a ng sˆo´ c´ach cho.n ho˘a.c cho u.ng trˆen A b˘ V`ı vˆa.y sˆ o´ quan hˆe pha’n xa v`a d¯ˆo´i x´ n(n−1) (du.´o.i d¯u.`o.ng ch´eo), t´ c l`a b˘a` ng n(n−1) ` ’ u + + ···n = phˆ a n tu 10 a) Quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng `au b) Khˆ ong pha’n xa v` a khˆong b˘a´c cˆ c) Quan hˆe tu o ng d¯u o ng `au d) Khˆ ong b˘ a´c cˆ `au a khˆ ong b˘ a´c cˆ e) Khˆ ong d¯ˆo´i x´ u.ng v` 11 a) Quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng `au b) Khˆ ong b˘ a´c cˆ `au c) Khˆ ong pha’n xa., khˆ ong d¯ˆo´i x´ u.ng v`a khˆong b˘a´c cˆ d) Quan hˆe tu o ng d¯u o ng `au e) Khˆ ong pha’n xa v` a khˆong b˘a´c cˆ 12 ∀x ∈ A, f (x) = f (x), ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ A, f (x) = f (y) k´eo theo f (y) = f (x), ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng ∀x, y, z ∈ A, f (x) = f (y) 84 `au Vˆa.y R l` v` a f (y) = f (z) k´eo theo f (x) = f (z), ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh b˘a´c cˆ a mˆ o.t −1 quan hˆe tu o ng d¯u o ng Mˆ o˜i l´o p tu o ng d¯u o ng cu’a R l`a mˆo.t tˆa.p f (b) cu’a A v´ o i mˆ o˜i b ∈ f (A) `an 13 Gia’ su’ R c´o c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen A l`a xi v´o.i (xi )i∈I l`a ho c´ac phˆ ’ ’ ’ tu d¯a.i biˆe u Go.i B = {xi | i ∈ I} X´et ´anh xa f : A −→ B cho bo i f (x) = xi `an t`ım nˆe´u x ∈ xi th`ı f l` a mˆ o.t ´ anh xa cˆ 14 {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (d, e), (e, d), (b, c), (c, b)} 15 C´o quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p A = {a, b, c}: {(a, a), (b, b), (c, c)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} 16 Go.i X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }, k´y hiˆe.u Xij = {xi , xj } v´o.i ≤ i < j ≤ v`a Xijk = {xi , xj , xk } v´ o.i ≤ i < j < k ≤ C´ o 25 quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p X c´o d¯u ´ ng l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng kh´ ac nhau: 2 ∪ {(x4 , x4 ), (x5 , x5 )} 2) X124 ∪ {(x3 , x3 ), (x5 , x5 )} 1) X123 2 3) X125 ∪ {(x3 , x3 ), (x4 , x4 )} 4) X134 ∪ {(x2 , x2 ), (x5 , x5 )} 2 5) X135 ∪ {(x2 , x2 ), (x4 , x4 )} 6) X145 ∪ {(x2 , x2 ), (x3 , x3 )} 2 8) X235 ∪ {(x1 , x1 ), (x4 , x4 )} 7) X234 ∪ {(x1 , x1 ), (x5 , x5 )} 2 9) X245 ∪ {(x1 , x1 ), (x3 , x3 )} 10) X345 ∪ {(x1 , x1 ), (x2 , x2 )} 2 2 11) X12 ∪ X34 ∪ {(x5 , x5 )} 12) X13 ∪ X24 ∪ {(x5 , x5 )} 2 2 13) X14 ∪ X23 ∪ {(x5 , x5 )} 14) X12 ∪ X35 ∪ {(x4 , x4 )} 2 2 16) X15 ∪ X23 ∪ {(x4 , x4 )} 15) X13 ∪ X25 ∪ {(x4 , x4 )} 2 2 17) X12 ∪ X45 ∪ {(x3 , x3 )} 18) X14 ∪ X25 ∪ {(x3 , x3 )} 2 2 19) X15 ∪ X24 ∪ {(x3 , x3 )} 20) X13 ∪ X45 ∪ {(x2 , x2 )} 2 2 21) X14 ∪ X35 ∪ {(x2 , x2 )} 22) X15 ∪ X34 ∪ {(x2 , x2 )} 2 2 24) X24 ∪ X35 ∪ {(x1 , x1 )} 23) X23 ∪ X45 ∪ {(x1 , x1 )} 2 25) X25 ∪ X34 ∪ {(x1 , x1 )} 17 (⇒) Ta d¯˜a c´o R l`a pha’n xa ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ xRy ∧ yRy ⇒ yRx u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ (do t´ınh v` ong quanh), t´ u.c l`a R c´o t´ınh d¯ˆo´i x´ `au Vˆa.y R l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng zRx ⇒ xRz, t´ u.c l` a R c´ o t´ınh b˘a´c cˆ (⇐) R l` a mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng nˆen R c´o t´ınh pha’n xa ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ xRz ⇒ zRx, t´ u.c l`a R c´o t´ınh v`ong quanh `au, nhu.ng R khˆong c´o t´ınh pha’n xa Do d¯´ 18 R c´o t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng v`a b˘a´c cˆ oR ´ a’ng khˆ ong l` a mˆ o.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng Tuy nhiˆen, nˆeu L l`a tˆa.p c´ac d¯u `o ng th˘ m˘ a.t ph˘ a’ng R c˘ a´t L0 th`ı R l`a mˆo.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng trˆen L 85 19 T`u A = A, ta c´o (A, A) ∈ R hay R c´o t´ınh pha’n xa ∀A, B ∈ X, (A, B) ∈ R ⇒ A = B ∨ a ∈ A ∩ B ⇒ B = A ∨ a ∈ B ∩ A ⇒ (B, A) ∈ R, t´ u.c l` aR c´ o t´ınh d¯ˆ o´i x´ u ng ∀A, B, C ∈ X, (A, B) ∈ R ∧ (B, C) ∈ R ⇒ (A = B ∨ a ∈ A ∩ B) ∧ (B = C ∨ a ∈ B ∩ C) ⇒ (A = B ∧ B = C) ∨ (A = B ∧ a ∈ B ∩ C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ B = C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ a ∈ B ∩ C) ⇒ A = C ∨ A ∩ C ⇒ (A, C) ∈ R, `au Vˆa.y R l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng o t´ınh b˘ a´c cˆ t´ u.c l`a R c´ V´ o i mˆ o˜i A ∈ X, nˆe´u a ∈ / A th`ı (A, B) ∈ R ⇔ A = B ngh˜ıa l`a l´o.p tu.o.ng a nˆe´u a ∈ A th`ı (A, B) ∈ R ⇔ a ∈ B ngh˜ıa l`a l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng [A] = {A} v` d¯u.o.ng [A] = {B ∈ X | a ∈ B} Do d¯´o tˆa.p thu.o.ng cu’a X theo R l`a X/R = {{A} | A ⊂ M, a ∈ / A} ∪ {{A ∈ X | a ∈ A}} 20 a) ∀x ∈ X, x(t) = x(t), ∀t ∈ R, ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C ⇒ ∃C > 0, y(t) = x(t), ∀t ∈ R, |t| < C ⇒ yRx, ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ ∃C1 , C2 > 0, (x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C1 ) ∧ (y(t) = z(t), ∀t ∈ R, |t| < C2 ) ⇒ `au Vˆ ∃C = min(C1, C2 ), x(t) = z(t), ∀t ∈ R, |t| < C, ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh b˘a´c cˆ a.y R l` a quan hˆe tu o ng d¯u o ng x(t) − x(t) b) ∀x ∈ X, lim = hay xRx, ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh pha’n xa ∀x, y ∈ t→0 tn x(t) − y(t) y(t) − x(t) X, xRy ⇒ lim = ⇒ lim = ⇒ yRx, ngh˜ıa l` a R c´ o n t→0 t→0 t tn x(t) − y(t) y(t) − z(t) u.ng ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧yRz ⇒ lim t´ınh d¯ˆ o´i x´ = 0∧ lim = t→0 t→0 tn tn x(t) − z(t) x(t) − y(t) y(t) − z(t) ⇒ lim = lim + lim = ⇒ xRz, ngh˜ıa l` aR n n t→0 t→0 t→0 t t tn `au Vˆ c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ a.y R l` a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng 21 R˜o r`ang R c´o t´ınh pha’n xa ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ⇒ m2 + n1 = m1 + n2 ⇒ (m2 , n2 )R(m1 , n1 ), ngh˜ıa l` a R c´ o t´ınh d¯ˆ o´i x´ u.ng ∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ), (m3 , n3 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ∧ (m2 , n2 )R(m3 , n3 ) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ∧ m2 + n3 = m3 + n2 ⇒ m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 ⇒ m1 + n3 = m3 + n1 ⇒ (m1 , n1 )R(m3 , n3 ), `au Vˆa.y R l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng ngh˜ıa l` a R c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ ∀(m, n) ∈ N2 , l´ o.p tu.o.ng d¯u.o.ng (m, n) = {(m0 , n0 ) ∈ N2 | m0 − n0 = m1 − n1 } a N2 /R = {(m, n) | (m, n) ∈ N2 } v`a l`a tˆa.p tu.o.ng u ´.ng 1-1 v´ o.i v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng l` tˆ a.p c´ ac sˆ o´ nguyˆen Z Thˆ a.t vˆa.y, x´et ´anh xa f : N2 /R −→ Z cho bo’.i f ((m, n)) = anh v`ı v´o.i (m, n), (m0 , n0 ) ∈ N2 , f ((m, n)) = f ((m0 , n0 )) ⇒ m − n f l` a mˆ o.t d¯o.n ´ m − n = m0 − n0 ⇒ m + n0 = m0 + n ⇒ (m, n)R(m0 , n0 ) ⇒ (m, n) = (m0 , n0 ) 86 f l` a mˆ o.t to`an ´ anh v`ı v´ o.i z ∈ Z, nˆe´u z ≥ th`ı f ((z, 0)) = z v`a nˆe´u z < th`ı f ((0, −z)) = z 22 R˜o r`ang R c´o t´ınh pha’n xa ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) ∈ Z×N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ⇒ z1 n2 = z2 n1 ⇒ z2 n1 = z1 n2 ⇒ (z2 , n2 )R(z1 , n1 ), ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng ∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ), (z3 , n3 ) ∈ Z × N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ∧ (z2 , n2 )R(z3 , n3 ) ⇒ z1 n2 = z2 n1 ∧ z2 n3 = z3 n2 ⇒ z1 n2 z2 n3 = z2 n1 z3 n2 ⇒ z1 z2 n3 = z2 z3 n1 ; nˆe´u z2 6= th`ı z1 n3 = z3 n1 , nˆe´u z2 = th`ı z1 n2 = (⇒ z1 = 0) v` a z3 n2 = (⇒ `au z3 = 0) nˆen z1 n3 = z3 n1 = hay (z1 , n1 )R(z3 , n3 ), ngh˜ıa l`a R c´o t´ınh b˘ a´c cˆ a mˆ o.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng Vˆ a.y R l` o.p tu.o.ng d¯u.o.ng ∀(z, n) ∈ Z × N∗ , l´ z0 z (z, n) = {(z , n ) ∈ Z × N | = } n n 0 ∗ a (Z × N∗ )/R = {(z, n) | (z, n) ∈ Z × N∗ } v`a l`a tˆa.p tu.o.ng v` a tˆ a.p ho p thu.o.ng l` u.u tı’ Q Thˆa.t vˆa.y, x´et ´anh xa f : (Z × N∗ )/R −→ Q cho u ´.ng 1-1 v´ o.i tˆ a.p c´ ac sˆ o´ h˜ z a mˆ o.t d¯o.n ´anh v`ı v´ bo’.i f ((z, n)) = f l` o.i (z, n), (z , n0 ) ∈ Z × N∗ , f ((z, n)) = n z0 z 0 f ((z , n )) ⇒ = ⇒ zn0 = z n ⇒ (z, n)R(z , n0 ) ⇒ (z, n) = (z , n0 ) f n n z l` a mˆ o.t to` an ´ anh v`ı v´ o.i q ∈ Q, ∃z ∈ Z, n ∈ N∗ , q = = f ((z, n)) n `au, ngh˜ıa l` a R l` a 23 Dˆ˜e d`ang c´o d¯u.o c R c´o t´ınh pha’n xa., d¯ˆo´i x´u.ng v`a b˘a´c cˆ mˆ o.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng V´o.i d¯iˆe’m P (a, b) m˘a.t ph˘ a’ng, l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng P (a, b) = {P (x, y) | xy = c} (v´o.i c = ab) Nˆe´u c = th`ı P (a, b) ch´ınh l` a hai tru.c toa d¯ˆ o x = v` a y = Nˆe´u c 6= th`ı P (a, b) ch´ınh l`a hyperbol c´o phu.o.ng tr`ınh xy = c Tˆ a.p ho p thu.o.ng l`a tˆa.p {{P (x, y) | xy = c} | c ∈ R} `au Quan hˆe S khˆ ong l` a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng v`ı n´o khˆ ong c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ Thˆ a.t vˆ a.y, (1, 0)S(0, 1) v` a (0, 1)S(−1, 0) nhu ng (1, 0) khˆ ong c´o quan hˆe S v´ o.i (−1, 0) 24 ∀x, y, z ∈ R, x3 − x3 = x − x = 0, t´u.c l`a xRx hay R c´o t´ınh pha’n xa.; x3 − y = x − y ⇒ y − x3 = y − x t´ o´i u.c l`a xRy ⇒ yRx hay R c´o t´ınh d¯ˆ 3 3 3 3 3 x´ u ng; x − y = x − y v` a y − z = y − z ⇒ x − z = (x − y ) + (y − z ) = `au (x − y) + (y − z) = x − z, t´ u.c l`a xRy v`a yRz ⇒ xRz hay R c´o t´ınh b˘ a´c cˆ Vˆ a.y R l` a mˆ o.t quan hˆe tu o ng d¯u o ng ∀a ∈ R, a = {x ∈ R | x3 − a3 = x − a} = {x ∈ R | (x − a)(x2 + ax + a2 − 1) = 0} 2 – Nˆe´u a < − √ hay a > √ th`ı a = {a}; 3 87 2 1 – Nˆe´u a = − √ hay a = √ th`ı a = {− √ , √ }; 3 3 2 1 – Nˆe´u a = √ hay a = − √ th`ı a = { √ , − √ }; 3 3 2 – Nˆe´u − √ < a < √ v`a a 6= ± √ , th`ı 3 √ √ −a − − 3a2 −a + − 3a2 , } a = {a, 2 25 ∀a, b, c ∈ R, ta c´o a3 ≤ a3 hay R c´o t´ınh pha’n xa.; nˆe´u aRb v`a bRa t´u.c l`a u.ng; a3 ≤ b3 v` a b3 ≤ a3 hay a3 = b3 th`ı ta c´o a = b, d¯´o R c´o t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´ o a3 ≤ c3 hay aRc, d¯´ oR nˆe´u aRb v` a bRc t´ u.c l` a a3 ≤ b3 v`a b3 ≤ c3 th`ı ta c´ ´ ` u c l` on c´o a ≤ b ho˘a.c b ≤ a t´ c´ o t´ınh b˘ a c cˆ au Ngo`ai ra, ∀a, b ∈ R ta luˆ a a ≤ b3 `an trˆen R ho˘ a.c b3 ≤ a3 Vˆ a.y R l` a mˆ o.t quan hˆe th´ u tu to`an phˆ u.ng S khˆ ong l` a mˆ o.t quan hˆe th´ u tu trˆen R v`ı n´ o khˆong c´o t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´ Thˆ a.t vˆ a.y, 1S(−1), (−1)S1 nhu.ng 6= −1 `an tu’ l´ o.n nhˆa´t c˜ ung nhu nho’ nhˆa´t X Ch˘ a.n du.´o.i cu’a X 26 Khˆong c´o phˆ N∗ l` a 1, ch˘ a.n trˆen cu’a X N∗ l`a c´ ac bˆo.i chung cu’a 2,3,4,5,6,7,8,9,10, ∗ `an lu.o t l`a v`a BCNN(2,3,4,5,6,7,8,9,10) d¯´ o cˆ a.n du ´ o i v` a cˆ a.n trˆen cu’a X N lˆ a c´ac tˆo´i d¯a.i cu’a X l`a 7,8,9,10 = 2520 C´ ac tˆ o´i tiˆe’u cu’a X l`a 2,3,5,7 v` `an tu’ l´ ung nhu nho’ nhˆa´t P(X) \ {∅, X} o.n nhˆa´t c˜ 27 Khˆong c´o phˆ Ch˘ a.n du.´ o.i nhˆ a´t cu’a P(X) \ {∅, X} l`a ∅ v`a ch˘a.n trˆen nhˆa´t cu’a P(X) \ `an lu.o t l`a cˆa.n du.´o.i v`a cˆa.n trˆen cu’a P(X) \ {∅, X} {∅, X} l` a X, d¯ˆay lˆ `an tu’ `an tu’ tˆ o´i tiˆe’u cu’a P(X) \ {∅, X} l`a c´ ac tˆa.p phˆ P(X) C´ ac phˆ `an tu’ tˆo´i d¯a.i cu’a P(X) \ {∅, X} l`a c´ac tˆ a.p {1}, {2}, {3}, {4}, {5} v` a c´ac phˆ `an tu’ {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5} phˆ `an tu’ l´ o.n nhˆ ung nhu nho’ nhˆa´t X Ch˘a.n du.´ Khˆ ong c´ o phˆ a´t c˜ o.i nhˆ a´t cu’a X P(X) l` a ∅ v`a d¯ˆay c˜ ung l`a cˆa.n trˆen cu’a X m m `eu kiˆe.n b` ∈ X th`ı < < Gia’ su’ 28 T`u d¯iˆ to´an ta suy r˘a` ng nˆe´u n n `on ta.i c´ y y´ Khi d¯´o tˆ ac sˆo´ tu nhiˆen m0 m v` a n (0 < m < n) l` a c´ ac sˆo´ tu nhiˆen tu` m0 m (ch˘a’ng ha.n m0 = m, n0 > n), ngh˜ıa l` v` a n0 (0 < m0 < n0 ) cho < < a n n `an tu’ nho’ nhˆa´t Tˆa.p ho p n`ay khˆong ch´ `an tu’ l´ tˆa.p X khˆ ong c´ o phˆ u.a phˆ o.n `on ta.i sˆ a n tu` yy ´ (0 < m < n) v`a v´o.i sˆo´ tu nhiˆen q > tu` y y´, tˆ o´ nhˆ a´t v`ı v´ o.i m v` mq mq tu nhiˆen p cho p < n + q − m v`a p > o (v`ı < q < n + q − m) T` u d¯´ n n suy mn + mq < mn + np v`a m + p < n + q hay m m+p < < n n+q 88 yy ´ v` a sˆ o´ tu nhiˆen m > 0, ta t`ım d¯u.o c sˆo´ tu nhiˆen n > m V´ o.i  > tu` m m m u.c cho n > Khi d¯´ o <  v`a t` u bˆa´t d¯˘a’ng th´ > 0, ta suy inf X =  n n V´ o.i  > tu` yy ´ v` a sˆ o´ tu nhiˆen p > 0, ta t`ım d¯u.o c sˆo´ tu nhiˆen m cho m p(1 − ) m o m> Suy > − , ngh˜ıa l`a v´o.i n = p + m ta c´ > −   p+m n m < ta suy sup X = T` u d¯´ o v` a t` u bˆ a´t d¯˘a’ng th´ u.c n 29 a) Gia’ su’ A d¯u.o c s˘a´p th´u tu tˆo´t bo’.i ≤ v`a B l`a mˆo.t tˆa.p t`uy y´ kh´ac `om c´ac ch˘a.n trˆen cu’a B l`a tˆa.p kh´ rˆ o˜ng cu’a A c´ o ch˘ a.n trˆen Khi d¯´o tˆa.p C gˆ ac `an tu’ nho’ nhˆa´t c v`a c ch´ınh l`a cˆa.n trˆen cu’a B Do rˆ o˜ng cu’a A V`ı vˆ a.y, C c´ o phˆ d¯´o A d¯u o c s˘ a´p th´ u tu d¯`ˆ ay d¯u’ bo’.i ≤ b) N l` a tˆ a.p d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu tˆo´t bo’.i quan hˆe ≤ thˆong thu.`o.ng, nˆen theo Cˆ au a´p th´ u tu d¯`ˆ ay d¯u’ bo’ i quan hˆe n`ay a) N d¯u o c s˘ `e cˆ Theo nguyˆen l´ y vˆ a.n cu’a tˆa.p c´ac sˆo´ thu c R, mo.i tˆa.p kh´ac rˆo˜ng cu’a R bi ch˘ a.n trˆen th`ı c´ o cˆ a.n trˆen Do d¯´o√R d¯u.o c s˘a´p th´ u tu d¯`ˆay d¯u’ bo’.i quan hˆe ≤ X´et tˆ a.p B = {q ∈ Q | < q < 2} th`ı B 6=√ ∅ v`a c´ o ch˘ a.n trˆen Q Nˆe´u u.u tı’ (t´ınh y v`ı gi˜ u.a v`a c c´o vˆ B c´ o cˆ a.n trˆen l` a c th`ı s˜e dˆ a˜n d¯ˆe´n vˆo l´ o sˆo´ sˆo´ h˜ chˆa´t tr` u mˆ a.t cu’a Q R) `an lˆa´y A = X, B = ∅ Nˆe´u X khˆ ong 30 Nˆe´u X d¯u.o c s˘a´p th´u tu tˆo´t th`ı chı’ cˆ `on ta.i tˆa.p kh´ac rˆo˜ng m`a khˆong c´o phˆ `an tu’ d¯u o c s˘ a´p th´ u tu tˆ o´t th`ı X tˆ `an tu’ nho’ u.a phˆ a ho p cu’a tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p cu’a X khˆong ch´ nho’ nhˆ a´t Go.i B l` `au o A = X \ B l` a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p th´ nhˆ a´t Khi d¯´ u tu tˆo´t v`a A, B thoa’ yˆeu cˆ d¯˘a.t 31 a) ∀X ∈ S, X ≤ X v`ı ∀x ∈ X, (x, x) ∈ R, t´u.c l`a ≤ c´o t´ınh pha’n xa Nˆe´u X ≤ Y v` a Y ≤ X th`ı ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y cho (x, y) ∈ R v`a v´o.i y n`ay, ∃x0 ∈ X `eu n` cho (y, x0 ) ∈ R, d¯iˆ ay k´eo theo (x, x0 ) ∈ R V`ı X l`a mˆo.t tˆa.p tu nˆen x = x0 Khi d¯´ o, (x, y) ∈ R v`a (y, x) ∈ R, suy x = y, d¯´o X = Y , ngh˜ıa l` a ≤ c´ o t´ınh pha’n d¯ˆ o´i x´ u.ng ∀X, Y, Z ∈ S, X ≤ Y ∧ Y ≤ Z, ∀x ∈ X, ∃y ∈ `eu n`ay k´eo theo (x, z) ∈ R, ngh˜ıa l`a X ≤ Z, Y, (x, y) ∈ R ∧ ∃z ∈ Z, (y, z) ∈ R, d¯iˆ `au V`ı vˆa.y ≤ l`a mˆo.t quan hˆe th´ d¯´o ≤ c´ o t´ınh b˘ a´c cˆ u tu trˆen S b) V´ o.i X, Y ∈ S v` a X ⊂ Y th`ı X ≤ Y , v`ı ∀x ∈ X, ∃y = x ∈ Y cho (x, x) ∈ R `an bo’.i R Khi d¯´o v´o.i mˆ c) Gia’ su’ E d¯u.o c s˘ a´p th´ u tu to`an phˆ o˜i X, Y ∈ S, ∀x ∈ X v` a ∀y ∈ Y th`ı (x, y) ∈ R ho˘a.c (y, x) ∈ R hay X ≤ Y ho˘a.c Y ≤ X, t´ u.c `an bo’.i ≤ a´p th´ u tu to` an phˆ l` a S d¯u.o c s˘ - a’o la.i, gia’ su’ S d¯u.o c s˘a´p th´ `an bo’.i ≤ Khi d¯´o v´ D u tu to`an phˆ o.i mˆ o˜i `an tu’ cu’a S Do d¯´ x, y ∈ E, {x}, {y} l` a nh˜ u ng tˆa.p tu nˆen l`a nh˜ u ng phˆ o nˆe´u {x} ≤ {y} th`ı (x, y) ∈ R c`on nˆe´u {y} ≤ {x} th`ı (y, x) ∈ R `an tu’ l´o.n nhˆ `an tu’ nho’ nhˆ a´t cu’a d`an d¯`ˆay d¯u’ L ch´ınh l`a inf L v`a phˆ 32 a) Phˆ a´t cu’a L l` a sup L 89 b) ∀T ⊂ P(X) th`ı sup T ch´ınh l`a ∪ Y v`a inf T ch´ınh l`a ∩ Y Y ∈T Y ∈T + ` `an tu’ ’ ’ ong ch´ u.a phˆ c) Theo Cˆ au a) Z khˆong phai l`a mˆo.t d`an d¯ˆay d¯u v`ı khˆ l´ o.n nhˆ a´t 33 ∀R ⊂ S, inf R ch´ınh l`a giao cu’a c´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng thuˆo.c R v`a u.a c´ac quan hˆe thuˆ o.c sup R ch´ınh l` a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng nho’ nhˆa´t trˆen X ch´ R `an `on ta.i c ∈ L l`a mˆo.t ch˘a.n trˆen cu’a A, ch˘a’ng ha.n phˆ 34 a) ∀A ⊂ L, A 6= ∅, tˆ tu’ l´ o.n nh´ a ta c´ o at cu’a L Go.i B l`a tˆa.p ho p c´ac ch˘a.n trˆen cu’a A th`ı B 6= ∅ v` `on ta.i theo gia’ thiˆe´t) Khi d¯´o nˆe´u a ∈ A th`ı a ≤ y, ∀y ∈ B, d¯´ o d = inf B (tˆ ´ ’ a ≤ d M˘ a.t kh´ ac, nˆeu u l` a mˆo.t ch˘a.n trˆen cua A th`ı u ∈ B, d¯´o u ≥ d V`ı vˆ a.y d = sup A b) Ch´ u.ng minh tu.o.ng tu Cˆau a) 90