Thông tin tài liệu
Chương Médun Chương dành cho việc nghiên cứu cấu trúc đại số có hai phép tốn hai ngơi với phép nhân với vơ hướng, mơđun đại số vành cho trước Có thể nói, khái niệm mơđun khái niệm quan trọng đại số đại, trình bày đủ chương Vì vậy, ta nêu khái niệm tính chất mơđun chương §1 Các định nghĩa ví dụ 1.1 Định nghĩa Cho ? vành Một tập hợp M gọi R-mơdun trái, hay cịn gọi mơđun trái Ư, điều kiện sau thoả mãn: (Mạ) M nhóm Abel cộng (Ma) Tồn ánh xạ RxM—M, (z,m) —— zm, gọi phép nhân uới hướng, cho tính chất sau thoả mãn phần tử tuỳ ý z, € J m,rmị,mạ € M (i) Két hop: (zy)m = (ym); (ii) Phân phéi: x(my + m2) = zm + zm¿ (2 + )m = zm + t; (iii) Unitar: lm = m 107 109 Chương Môdun Giả sử M #? môđun, tập hợp N ÄM gọi môđun M, N nhóm cộng cia nhém Abel M va RN C N với phép nhân với vơ hướng cảm sinh lại Điều nói lên mot R-médun Khi ta nói M mở rộng W mơđun Xí gọi mơđun đơn, nêu M có hai mơđun Ta xét lớp môđun hay gặp: Cho a iđêan trái y cla R Tap hợp aM = xia; | z¡ € a, a¿ € M, phép lấy tổng hữu hạn}, với phép toán tích với vơ hướng cảm sinh từ M hiển nhiên mơđun M Hơn chúng có tính chất sau a(bM) = (ab)M, (a+ 6)M =aM + bM, với a,b iđêan tuỳ ý Ï Mệnh đề sau chứng mỉnh hoàn tồn tương tự trường hợp cho nhóm vành 1.3 Mệnh đề Giao họ médun M lại môđun ÀI Đặc biệt, Š tập hợp M, giao tất mơđun chứa Š lại R-môđun M, ký biệu f(S), gọi môđun sinh tập hợp Š Š gọi hệ sinh môđun Trường hợp đặc biệt, Ä# = R(S) tập hợp hữu hạn, ta nói M mơđun hữu hạn sinh tổng Với rmị, ,rmy € zị, z¿ € R phần tử tuỳ ý, mm + + ZeTrte gọi tổ hợp tuyến tính Như vậy, tổ hợp tuyến tính tổng » Imm, - 111 Chương Môdun đại số chứa tập hợp Š A lại đại số A, gọi đại số sinh Š S5 gọi hệ sinh - 1.5 Ví dụ 1) Cho vành vành FR cho trước Giả sử B chứa đơn vị R va moi phần tử của R Khi giao hốn với phần tử vành giao hoán # -môđun Hơn nữa, phép nhân J thoả mãn tất điều kiện (1.4), nên R B-đại số Từ ta suy ra, vành giao hoán đại số vành chứa đơn vị dễ thấy iđêan đại số Xét vành đa thức R[z] vành giao hoán Rõ ràng vành da thức R-môđun phép nhân đa thức thoả mãn tính chất Định nghĩa 1.4, nên R[z] R-đại số Điều cần ý là, xét R-mơđun #Íz] khơng hữu hạn sinh, có hệ sinh vơ bạn 1,2,27,2%, Trong đó, xem R{z] 1A mot R-dai sé thi lại đại số hữu hạn sinh với hai phần tử sinh 1, z Giả sử # vành giao hoán Giống định nghĩa vành đa thức, ta ký hiệu Ä tập hợp số nguyên không âm xét tập hợp tất ánh xạ từ Ä⁄ vào F Khi A với phép cộng ánh xạ thông thường lập thành nhóm Abel Hơn nữa, ƒ € A z € χ tuỳ ý, ta định nghĩa tích với vơ hướng zƒ xác định (zƒ)(n) = zf(n), Yn €M Khi A trở thành mot R-médun Ngồi ra, với hai phần tử tuỳ ý ƒ,g, tích chúng xác định qua công thức (f9)(n) = ` ƒ(0)g(n — ?) i=0 thoả mãn điều kiện để A trở thành R-đại số Hoàn toàn tương tự chứng mỉnh Định lý 5.3 Chương 3, ta 113 Chương Mơđun không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp ghép thoả mãn điều kiện (M;) Vậy M/N R-môdun, gọi môdđun thương médun M theo N Khi ta có tồn cấu nhóm Abel p:M— Vì MỊN p(zm) = zm + Đ = zp(m), nên p tồn cấu mơđun, gọi phép chiếu tự nhiên Hoàn toàn tương tự trường hợp cho đồng cấu nhóm đồng cấu vành, ta dễ dàng chứng minh bổ dé sau 2.2 Bồ đề Cho ƒ: M —¬ N đồng cấu R-mơdun Khi đó, ảnh Im ƒ = ƒ(M) vé hat nhén Ker f = f71(0) ctia ƒ la nhiing médun tuong ứng N va M Cũng vậy, ta có định lý hay dùng đến đẳng cầu môđun giống kết (4.8), (4.10) Chương mà chứng khơng có khó khăn, xin xem tập đơn giản cho đọc giả 2.3 Dinh ly Cho P va Q la môđun R-mơdun M Khi mệnh đề sau đúng: 0) P+Q)/P#%Q/(0n9) (ii) Gid thiết thêm P C Q, (M/P)/(Q/P) = M/Q Giá sử M N hai R-môđun Tập hợp tắt R-déng cấu từ M vào N ký hiệu Homg(M, N) Nếu ƒ ø hai R-đồng cấu tuỳ ý, ánh xạ tổng ƒ+g:M —N, + g(m), Ym € M = ƒ(m)m) (ƒ +g)( Rõ ràng R-đồng cấu Hơn nữa, dễ kiểm tra phép cộng làm Hompn(M, N) trở thành nhóm Abel Vì đồng cầu mơđun đồng cấu nhóm nhóm Abel mơđun này, 115 Chuang Médun khơng đơn cấu Nếu ¢ 1A đẳng cấu mơđun M gọi mơdun phản zạ Các môđun đối ngẫu đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc mơđun có nhiều ứng dụng ngành khác đại sé Tuy nhiên, ứng dụng không nêu vượt ngồi mục tiêu sách Cũng lớp nhóm hay vành, ta dễ kiểm tra lớp R-médun với cấu xạ J-đồng cấu tích hai cấu xạ ánh xạ hợp thành thoả mãn tiên đề Định nghĩa 5.1 Chương Vậy 9n phạm trù, gọi phạm tru R-môdun Giả sử Ƒƒ:X —¬Y R-đồng cấu Ä⁄ R-mơđun cho trước Khi đó, ta có đồng cấu cắm sinh (mũi tên bị đổi chiều) Homn(ƒ, M) : Homn(Y, M) —¬ Homn(X, M) xác định Homn(Y, M) g—> go Ƒ€ Homn(#X, M) Tương tự, ta có đồng cấu cảm sinh cho thành phần thứ hai (mũi tên chiều) Homn(M, ƒ) : Homp(M, X) —> Homn(M, Y) xác định X) g—> Homp(M, ƒog€ Homn(M,Y) đồng Nếu E vành khơng giao hốn đồng cấu cấu nhóm va ta xem Homn Chương 2) Cụ thể, hàm tử (xem Định nghĩa 5.6, Homn(+, M) : ìn —¬ Ư phạm trù nhóm hàm tử nghịch biến từ phạm trù môđun vào Homn(M,*) : Đĩn —¬ Ø 179 Chương õð Mơdun nh giao hốn mơđun M ‘ona truc () Tổng mc0(R) Tm(M) _, zi = 0, zị € Tw(M), tiếp, nghĩa 1, ,n, (l) mị € Q(R), kéo theo x1 = = z„ = Ư Chỉ có hữu hạn iđênn cực đại m F cho Tm(M) # Giả sử mạ tất iđêan M phân tích thành tổng mị, , trực tiếp họ (Tws(M))ƒ—\, nói cách khác ta có R-đẳng câu M ZT„,(M)® @Tw„(M) Chitng minh (i) Gid sit my, , mạ iđêan cực đại khác yee Hi = Ú, z¡ € n = T„,(M), ¡ = 1, ,m Ta cần chứng minh 2) = = Zn =0 Khi mệnh đề hiển nhiên, ta giả thiết n > Từ định nghĩa môđun mạ-xoắn tồn số tự nhiên r; cho z¡m;' = 0, ¿ = 1, , 7t Đặt r = max{r, ,7n}, ta z;m; = 0, Vỉ Mặt khác, vi 2) = — ee Mis nen Tt zị Tổ; mị = (— 2i) Mg mf = t2 Từ ta suy (mi + f_;mj;)z¡ = Với ý ø > ln có mị + fƒ_;mƒ = #, z¡ = Ơ Hồn tồn tương tự ta chứng mỉnh #¿ = = #n = (ii) Giả sử tồn dãy vô hạn iđêan cực đại (m;)?2¡ J mà Im,(M) # Khi theo mệnh đề (ï), ta có dãy giảm thực vô hạn môđun M Yall) > Tạ (M0 i=2 O Tw(M) i=n Điều trái với giả thiết M môđun Artin Vậy có hữu hạn iđêan cực đại, giả sử mị, , mạ, có tính chit Pm,(M) #0, Vi=1, ,n Lai theo (i), ta chi cần phải chứng minh M GTm(M) + + Tm„(M) Chương õ Mơdun nh giao hốn 181 6.2 Định lý Cho E R-môđun nội zạ khác không Khi mệnh đề sau tương đương: (i) E khơng phân tích (đ) E bao nội zạ R-môđun khác không b (iii) ÄMôdun không E bất khả quy Chitng minh (2) = () : Giả sử E không phân tích N la m6t R-mddun khác không E Theo Chú ý 2.8, tồn môđun nội xạ E“ # E cho E7 bao nội xạ N Mặt khác từ Định lý 1.6 E hạng tử trực tiếp E Do E khơng phân tích được, ta suy E! = E điều kiện (ii) thỏa mãn (ii) => (iti) : Giả sử điều kiện (ii) thỏa mãn Ä), N; hai môđun E cho Nịn Nạ = Nếu N, # thi E'= E(N,) Từ ta suy # mở rộng cốt yếu Mì, W¿ = Điều chứng tỏ mơđun bất khả quy (ư) = (0Ị : Giả sử È phân tích thành tổng trực tiếp hai Rmôđun khác khong N,, Mạ, tức E = Nị@¿ Khi theo Định lý 3.3, Chương 4, ta có Nị nNạ = Vậy mơđun khơng E f-mơđun bất khả quy E phải khơng phân tích Định lý chứng H 6.3 Hệ Cho M la mét R-médun va N R-mơđun Khi đó, bao nội zạ E(M/N) khơng phân tích tà N môđun bắt khả quy M Chứng mảnh Giả sử Nị, Nạ môđun M va chita N Ta nhận thấy Mị n No = N (Mị/N)n (M/N) = Nói cách khác, Đ bất khả quy M môđun không M⁄/N bất khả quy Vậy ta cần chứng mỉnh hệ cho trường hợp W = Nếu Z(M) khơng phân tích theo Định lý 6.2, môđun không E(M) bất khả quy Suy môđun không M, M/N môđun không E(M), hiển nhiên phải bất khả quy Ngược Chương õ Mơđun nh giao hốn E 183 E(R/p) Ngược lại, cho p iđêan nguyên tố Ö Nếu tồn hai iđêan h ] R cho n1; = p, từ Định lý tránh nguyên tố 3.8, Chương 3, ta suy hai iđêan ï\, ï¿ trùng với p điều nói lên p R-mơđun bất khả quy F Vậy, theo Định lý 6.2, E(R/p) R-mơđdun nội xạ khơng phân tích Định lý chứng minh ñ 6.6 Chú ý Như ta biết, nhóm Abel ln xem môđun vành số nguyên Z Z vành Noether Vì vậy, Định ly 6.5 cho phép ta tất nhóm Abel nội xạ khơng phân tích được, cụ thể sau Theo Ví dụ 3.3, (1), Chương iđêan p nguyên tố Z p = p = øZ, với p số nguyên tố Xét trường hợp sau Trường hợp l: p = Theo Ví dụ 2.8 E(Z) trường số hữu tỷ Q Trường hợp 2: p = p2 Cho Z(p°®) = U%,Z,i la nhóm Abel xét Ví dụ 5.5, 1, với ý nhóm thực nhóm có hữu hạn phần tử Dễ kiểm tra Z(p°®) nhóm chia được, nên theo Hệ 1.11 Z(p°) Z-mơđun nội xạ Ta EZ(Z/p) % Z(p””) Thật vậy, Z(p®) Z-mơđun nội xạ nên theo Chú ý 2.8 bao nội xạ Z/pZ xem Z-mơđun Z(ø®) Mặt khác, Z-mơđun thực Z(p°®) hữu hạn, tức có dạng 2p» với số tự nhiên n Hiển nhiên nhóm có dạng Z„n khơng chia được, suy nhóm thực Z(p®) khơng thể Z-mơđun nội xạ Vậy E(Z/p) % Z(n®) Tóm lại, ta chứng minh mệnh đề sau cho phép liệt kê tất nhóm Abel nội xạ khơng phân tích 6.7 Dinh lý Một nhóm Abel nội zạ khơng phân tích nhóm cộng số hữu tỷ Q có dạng Z(p°®) với p số ^ nguyén £ ` tơ Trong phần cuối tiết ta chứng mỉnh kết quan trọng E Matlis (1958) phân tích rmnôđun nội xạ vành Noether thành tổng trực tiếp mơđdun nội xạ khơng phân tích Chương Mơdun nh giao hốn 18ã Bài tập 1) Chứng minh tổng trực tiếp tích trực tiếp họ môđun chia lại chia 2) Cho Ä⁄ f-môdun chia Ý môdun M Hay chứng minh môđun thương M/N chia 3) Cho F miền ngun M R-mơđun Mí gọi không oắn nêu az = suy a = z = với a € R z € M Chứng minh -môđun M không xoắn chia nội xạ 4) Cho E mở rộng J-môđun M Giả sử E nội xạ Chứng mỉnh tồn môđun E mở rộng cốt yếu M 5) Chứng minh E bao nội xạ J-mơđun Mí E nội xạ mơđun thực E chứa M N không nội xạ 6) Cho ï iđêan vành ?? a phần tử nằm AnngE(R/1) Chứng minh tồn phần tử b € R\ I cho ab = 7) Cho J miền nguyên Ï iđêan # Chứng minh Annn(E(R/1)) = 8) Cho P f-môđun R-médun xa ảnh Chimg minh tồn tu F cho F = P@F 9) Cho iđêan miền nguyên R Chimg minh ring, néu I 1a R-médun xa ảnh J iđêan hữu hạn sinh 10) Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương R Hãy chứng minh rang M 11) Cho 14 R-médun xa anh Ä tự miền iđêan Chứng minh F-môđun xạ ảnh f-mơđun tự 12) Chứng minh P, Q R-mơđun xạ ảnh tích ten xơ 187 Chương Médun trén vanh giao hoán 20) Ký hiệu Assn(M) tập hợp tất idéan nguyén tố liên kết R-môđun Ä/ (xem định nghĩa bai tap 19) Ky hiéu Zdv(R) 1a tap tất phần tử ước không R Chứng minh Zdv(È) = UpeAss,R)P21) Với ký hiệu tập 20 cho 0—¬ M' —› M —> M” —›0 dãy khớp ngắn R-médun Chimg minh rang Assp(M') C Assn(M) G Assn(M')U Assn(M”) 22) Vẫn với ký hiệu tập 20 giả thiết ?‡ vành Noether Hãy chứng minh ring Assp(M) = @ va chi M = 23) Với ký hiệu tập 20 ký hiệu Suppn(M) = {p | p iđêan nguyên tổ Mẹ # 0}, gọi tập giá M Cho — M’ — M — M” —0 dãy khớp ngắn R-môđun Hãy chứng minh rằng: (0) Suppg(M') € Suppa(M) = Suppg(M) U Suppg(M') () Assg(M) C Suppg(M) Hơn nữa, giả sử Ư vành Noether phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) Suppg() thuộc vào Assp(M) 24) Vẫn với ký hiệu tập 20 với giả thiết thêm R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Chứng minh tập hợp Assn(M) tập hữu hạn 25) Cho M môđun vành Noether Ï p iđêan nguyên tố tuỳ ý R Chứ ng minh E(F/p) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp E(M) p €Assg(M) 26) Cho ÄM R-môđun Artin ï iđêan Chứng minh tồn iđêan hữu hạn sinh J nằm Ï cho 0: I= 0:m J (xem bai tép cha chucing 4) Tài liệu tham khảo [1] M Atiyah vi G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addition - Wesley, Reading, Mass 1969 [2| G Birkhoff va S Maclane, Tổng quan vé Đại số Dại Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979 [3] F Kasch, Moduln und Ringe B G Teubner Stuttgart 1977 [4] A Kuro’, Vorlesungen tiber allgemeine Algebra B G Teubner Ver- lagsgesellschaft Leipzig, 1964 [5] Nguyén Hitu Viét Humg, Daz số Đại cương Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 1998 [6] S Lang, Đại số Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1974 [7] D W Sharpe and P Vamos, Injective modules Cambridge University Press 1972 189 từ khoá cứu Tra dics6 A ảnh đồng cầu Aénhxa đẳng cấu 35, 76, 113 ánh xạ hợp thành anh cia dnhxa ánh xạ song tuyến tính 73 33, 40, 76, 112 — - 167 điều kiện cựctiểu định lý sở đối ngẫu 173 162 định lý Jordan-Hölder-Schneider 127 123 B bao ndixa định lý Cantor-Bernstein 155 lỗ định lý sở Hilbert C làm mm cấp củanhóm cấp phằn tử điều kiệncực đại 122 24 28 định lý tránh nguyên tố 79 độ dài hữu hạn 79 lũy lỉnh định lý Lagrange 171 cAuxa cận (trên) 80 85 độ dài (mô đun) 122, 125 độc lập tuyến tính déisinh ndixa 39 13 110 158 133 dãy khópngấn 134 đơn ánh dãy hợp thành 122 đơn cấu tắc 104 giao - 110 H 110 54, 110 chuỗi lũy thừa hình thức 112 D dãy khớp dãy khớp chẻra 134, 136 đơn cấu đa thức đối xứng dais6con + + - 112 78 an 146 160 33, 40, 76, 112 49, 116 I D đại s6 33, 76, đồng cấu cảm sinh đồng đấu mởrộng đồng đấấunâng CƠ SỞ déitich đồng cấu 125 hai phần tử so sánh 191 12 193 Tra cứu nhóm Abel khơng phân tích nhóm Bồ 53 27 149 27 Abel tự d nhóm phép thé nhóm chia nhómcon nhóm chunhố 65 nhóm chuẩn tắc 31 phan titdon vi phần tửkhông phần tử lũy linh phần tử nghịch đảo phần tử nguyên tố phantisinh phân tích thành tổng 49, 117 23, 70 24, 70 80 23 96 26 trực tiếp nhóm sinh tập 28 phân tích tiêu chuẩn nhóm nhóm conSylow 61 nhóm thực 66 _, „9 nhóm cnxoắn 61 nhóm đổixứng 26 nhóm hữu hạn (vơ hạn) 24 nhóm hữu hạn sinh nhóm thay phiên nhóm thương 28 phixadnh 33 phức 25 166 phép nhúng tự nhiên 28 9, 154 165 Ấ ááaồăồ- Q quan hệ bao hàm 13, 83, 167 58 quan 2-ngdi 11 quan hén—ngéi 11 39 quan hệ thứ tự phận 26 nhóm xyclic nguyên sơ P phạmtrù phép giải xạ ảnh nhóm tuyến tính đầy đủ nhom xyclic phổ nguyên 103 phép chiếu tự nhiên 113 phép giải nội xạ cực tiểu 157 + 42 12 phạm trù không gian tôpô 41 quan hệ thứ tựtốt 13 quan hệ thứ tự tuyến tính 13 phạm trù mơđun 115 quan hệ tương đương phạm trùnhóm 41 phạm trù đối ngẫu phạm trù nhóm Abel phạm trù tập hợp phạm trùvành 41 41 77 phần tử bất khả qui 96 phần tử cực đại (cực tiểu) 13 phần tử đại diện 30 phằntửđi phần tử đồng 24 39 12 S songánh songcấu 40 l87 T tapgid tập hợp woe ee el tập hợp thứ tự tập hợp tương đương tập nhãn đóng ï 13 13 86
Ngày đăng: 26/06/2023, 09:39
Xem thêm:
