nh nghắa khổng gian riảngsuy rởng cừa mởt tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh.. T¼m ma trên khÊ nghch C ma trên C1AC cõ dÔng chuân tưc Jordan.CƠu 5 Trang 4 DÃ thi số 4Thới gian: 120 phútCƠu 1a Chựng
THI MặN I Sẩ TUYN TNH Lợp CLC · thi sè C¥u Thíi gian: 120 HÂy nh nghắa tỹ ỗng cĐu lụy linh nh nghắa khổng gian riảng suy rởng cừa mởt tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh Chựng minh rơng vợi l giĂ tr riảng cừa f thẳ số chiÃu Ôi số cừa bơng nghiằm cừa a thực c trững Pf (x) CƠu Tẳm cỡ s Ênh v hÔt nhƠn cừa tỹ ỗng cĐu R3 xĂc nh bi cĂc cổng thùc tåa 0 ë sau: x1 = x1 − 2x2 + x3 a) x02 = x1 − 2x2 + x3 x03 = x1 − 2x2 + x3 x1 = 3x1 + 2x2 + x3 b) x02 = 2x1 + 2x2 + x3 x03 = x1 + x2 + x3 CƠu Tẵnh nh thực cừa ma trªn A Khi det A A = (aij ) ∈ M at(n, R) ð â: aij = 6= hÂy tẳm A1 Vợi b i 6= j a i = j C¥u Cho E l khỉng gian v²ctì trản trữớng K v f End(E), Rankf = , Dim E = n Chựng minh tỗn tÔi ∈ K º f = λf , hìn núa náu 6= thẳ IdE f l ng cĐu CƠu GiÊ sỷ B l ma lụy linh A l ma giao hoĂn vợi B Chùng minh r¬ng: Det (A + B) = Det A · thi sè C¥u Thíi gian: 120 phút a) Chựng minh náu f l mởt tỹ ỗng cĐu cừa K-khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V v 1, 2, , m l nhỳng vctỡ riảng ựng vợi nhỳng giĂ tr riảng phƠn biằt tứng cp 1, 2, , λm th¼ h» v²ctì α1, α2, , αm ëc lêp tuyán tẵnh b) nh nghắa tỹ ỗng cĐu cho hõa ữủc Chựng minh rơng náu tỹ ỗng cĐu f cừa K-khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V m f = f thẳ f cho hõa ữủc CƠu Tẳm cỡ s cừa Ênh v hÔt nhƠn cừa cĂc tỹ ỗng cĐu cừa R3 xĂc nh bi cĂc cổng thùc tåa ë sau: x1 = x1 + 2x3 − x3 b) x02 = x1 + 2x2 − x3 x3 = 2x1 + 4x2 + x3 x1 = x1 + x2 + x3 a) x02 = x1 − x2 + x3 x3 = 3x1 − x2 + 3x3 C¥u Tẵnh nh thực cừa ma A = (aij ) M at(n, R) vợi aij = min(i, j) CƠu Cho V l khổng gian vctỡ trản trữớng K v f ∈ End(V ),Dim V = n ≥ 1, Rank f = Chựng minh rơng tỗn tÔi ∈ K º f = λf , hìn núa náu 6= thẳ Id f l ng cĐu CƠu GiÊ sỷ V l khổng gian vctỡ phực hỳu hÔn chiÃu, f End(V ) m cõ số nguyản dữỡng n f n = Id Chựng minh rơng V cõ cỡ s gỗm nhỳng vctỡ ri¶ng cõa f · thi sè Thíi gian: 120 phút CƠu Chựng minh rơng hÔng cừa ma A bơng cĐp p cừa ma vuổng khỉng suy bi¸n cõa A cho måi ma vuổng cĐp p + bao nõ Ãu suy bián CƠu GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + = 3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 6x + 8x2 + x3 + 5x4 + = 3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 + = C¥u GiÊi phữỡng trẳnh ma sau (cĂc ma vuổng cĐp n) CƠu 0 1 1 1 X = 0 n n − n − 0 Cho ma thỹc A = 0 Tẳm ma trªn kh£ nghàch C −1 −1 ma C AC cõ dÔng chuân tưc Jordan CƠu º Cho V l mët K -khỉng gian v²ctì v f End(V ) Chựng minh rơng náu f = v tỗn tÔi h End(V ) º hf + f h = Id th¼ Ker f = Im f iÃu ngữủc lÔi cõ úng khổng? D· thi sè C¥u Thíi gian: 120 phút a) Chựng minh rơng náu f : V V l tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh cừa khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V thẳ Dim V = Dim (Kerf ) + Dim (Imf ) b) ành ngh¾a tü ỗng cĐu cho hõa ữủc Chựng minh náu tỹ ỗng cĐu f cừa K -khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V thọa mÂn f = f thẳ f cho hõa ữủc CƠu Cho V l khổng gian vctỡ trản trữớng K, Dim V = n v f End(V ) Chựng minh rơng cõ Ănh xÔ g End(V ) º f gf = f C¥u Gi£i v biằn luên hằ phữỡng trẳnh: 2x1 5x2 + x3 + 2x4 = 5x1 − 9x2 + 2x3 + 7x4 = 3x − 7x2 + x3 − 4x4 = 4x1 + 6x2 + x3 − λx4 = CƠu Cho ma vuổng A cĐp n cõ dÔng sau: cĂc phƯn tỷ trản ữớng cho chẵnh bơng ab, cĂc phƯn tỷ sĂt ữớng cho chẵnh bơng 1, cỏn cĂc phƯn tỷ khĂc bơng n P a) Chùng minh Det A = ak bn−k i=0 b) Tẳm giĂ tr riảng cừa ma dÔng trản a = 1, b = −1 · thi sè CƠu Thới gian: 120 phút a) Nảu cĂc khĂi niằm: tỹ ỗng cĐu lụy linh, tỹ ỗng cĐu cho hõa ữủc, khổng gian riảng v khổng gian riảng suy rởng cừa mởt tỹ ỗng cƯu tuyán tẵnh b) Chựng minh mồi tỹ ỗng cĐu cừa khổng gian vctỡ thüc n chi·u (n > 0) ·u câ khæng gian bĐt bián mởt hoc hai chiÃu CƠu Cho ma vuổng A cĐp n Chựng minh tỗn tÔi ma vuổng B cĐp n ABA = A Ma B l nhĐt v ch A kh£ nghàch C¥u Cho V l khỉng gian vc tỡ hỳu hÔn chiÃu GiÊ sỷ E, F l hai khæng gian thüc sü cõa V v Dim E = Dim F Chùng minh câ khæng gian cõa V l ph¦n bị chung cõa c£ E v F CƠu GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh sau trản trữớng số thỹc ( tham số a, λ ) C¥u λx + y + x + t = a3 x + λy + z + t = a2 x + y + λz + t = a2 x + y + z + λt = Cho ma trªn A ∈ M at(3, R), A 6= 0, A2 = Gåi V = M ∈ M at(3, R) : AN + M A = T¼m sè chi·u cừa khổng gian vctỡ V Lợp chẵnh quy · thi sè C¥u Thíi gian: 120 phút Cho n l số nguyản dữỡng a) Chựng minh rơng têp cĂc ma vuổng cĐp n vợi php cởng hai ma v nhƠn mởt ma vợi mởt số thỹc lêp thnh mởt khổng gian vctỡ trản trữớng số thỹc Kẵ hiằu R-khổng gian vctỡ ny l M at(n) HÂy ch mởt cỡ s v tẵnh sè chi·u cõa M at(n) b) Gåi S(n) l tªp tĐt cÊ cĂc ma A = (aij ) M at(n) cho A l ma trªn èi xùng Chùng minh r¬ng S(n) l R-khỉng gian v²ctì cõa M at(n) HÂy ch mởt cỡ s v tẵnh số chiÃu cừa S(n) HÂy mổ tÊ cử th phƯn bũ Ôi số cừa S(n) M at(n) c) GiÊ sû V l mët R-khỉng gian v²ctì n chi·u Gåi End(V ) l Rkhổng gian vctỡ cĂc tỹ ỗng cĐu cừa V Chựng minh rơng M at(n) ng cĐu vợi End(V ) CƠu Cho Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R3 → R3 cho bði c¡c cæng thùc sau: f (x1 , x2 , x3 ) = (4x1 − 5x2 + 2x3 , 5x1 − 7x2 + 3x3 , 6x1 − 9x2 + 4x3 ) a) T¼m cì s cừa Ênh v cừa hÔt nhƠn cừa f b) Tẳm cĂc giĂ tr riảng v khổng gian riảng cừa f CƠu GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh sau trản trữớng số thỹc: 2x1 3x2 + 5x3 + 7x4 = 11x1 + 7x2 + 2x3 + x4 = 16 −16x1 − 23x2 + 11x3 + 19x4 = 18 −x1 − 22x2 + 23x3 + λx4 = 40 Khi = hÂy tẳm nghiằm tờng quĂt cừa hằ trản à thi số CƠu Thới gian: 120 phút a) Nảu nh nghắa cừa khổng gian vctỡ trản trữớng K b) Kẵ hiằu Pn l têp cĂc a thực mởt bián hằ số thỹc cõ bêc nhọ hỡn hay bơng n Chựng minh rơng Pn vợi php nhƠn mởt số thỹc vợi mởt a thùc v ph²p cëng hai a thùc l m th nh mët khổng gian vctỡ trản R c) HÂy ch mởt cì sð v t½nh sè chi·u cõa R-khỉng gian v²ctì Pn d) Chựng minh rơng php lĐy Ôo hm bêc nhĐt d : Pn Pn l mởt Ănh xÔ R-tuyán tẵnh HÂy viát ma cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh d cỡ s  ch cƠu c) CƠu GiÊ sỷ Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R3 → R3 cho bði cæng thùc sau: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − x3 , 4x1 + 3x2 − 5x3 , 2x1 2x2 + 7x3 ) HÂy tẳm cỡ s cừa Ênh v cừa hÔt nhƠn cừa f CƠu x1 = x1 + x2 + x3 Tẳm giĂ tr riảng v vctỡ riảng cừa Ănh xÔ tuyán tẵnh: x02 = x3 x03 = x2 Trản cĂc trữớng  ch sau Ơy: a) Trản trữớng số thỹc b) Trản trữớng số phực CƠu GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh sau trản trữớng số thüc theo tham sè λ: λx + y + z = x + λy + z = λ x + y + λz = λ2 · thi sè Thíi gian: 120 C¥u → − → − → − Trong khæng gian v²c tỡ R3 vợi cỡ s chẵnh tưc ( e1 , e2 , e3 ), cho tỹ ỗng cĐu f : R3 → R3 câ biºu thùc tåa ë: a) T¼m Rank f b) T¼m cì sð cõa Ker f v Im f C¥u Cho ma vuổng cĐp n: An = 1 1 x01 = x1 + 2x2 + 3x3 x02 = 2x1 + 2x2 + 4x3 x3 = x1 + x2 + 2x3 1 1 CĂc phƯn tỷ nơm trản ữớng cho chẵnh bơng 0, cĂc phƯn tỷ khĂc bơng a) Tẵnh Det An b) Tẳm ma nghch Êo cừa An CƠu GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh: CƠu m x y − z = −x + λy − z = λ −x − y + λz = λ2 Chựng minh rơng náu số phực z thọa mÂn: z + zm = cos mα z+ zm = cos thẳ Lợp cỷ tuyn · thi sè C¥u Thíi gian: 120 Ph¡t biºu v chùng minh ành l½ v· sè chi·u cõa c¡c khỉng gian v²ctì cõa khỉng gian húu hÔn chiÃu CƠu GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: x − y + 2z + 2u + v = 2x + y + 5z + 2u + 2v = −x + 4y − 6u + v = −3 −2x − 4y − 4z − u + v = −3 2x + 4y + 4z + 7u − v = C¥u Cho P l khỉng gian vctỡ cĂc a thực hằ số trản trữớng K(R, C), bêc nhọ hỡn hoc bơng vợi cỡ s (1, x, x2) a) Chựng minh Ănh xÔ sau l Ănh xÔ tuyán tẵnh cừa P : f : P → P f (a + bx + cx2 ) = a + (a + b)x + (2a 3b)x2 b) Tẳm ma cừa f cỡ s trản c) Tẳm mởt cỡ s cừa Ker f, Im f d) Häi f câ ch²o hâa ÷đc khổng Náu ữủc hÂy cho hõa nõ CƠu Trong khổng gian vc tỡ R4 vợi cỡ s chẵnh tưc cho biu thực tồa ở cừa dÔng ton phữỡng: H() = xy − 2yt vỵi α = (x, y, z, t) a) Sỷ dửng phữỡng phĂp Lagrange, hÂy ữa biu thực tồa ở cừa H và dÔng chẵnh tưc Viát cỉng thùc tåa ë cõa ph²p bi¸n êi cì sð chẵnh tưc sang cỡ s mợi, õ H cõ dÔng chẵnh tưc b) H l dÔng ton phữỡng: XĂc nh dữỡng? XĂc nh Ơm? Khổng l mởt hai dÔng trản? Vẳ sao? c) XĂc nh ch số quĂn tẵnh cừa H à thi số 10 CƠu Thới gian: 120 phút nh nghắa vctỡ riảng, giĂ tr riảng, khổng gian riảng cừa mởt tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh, tỹ ỗng cĐu cho hõa ữủc Chựng minh rơng náu , f l mởt tỹ ỗng cĐu cừa K -khổng gian vctỡ V v − α α2 , , αm th¼ nhúng v²ctì riảng cừa f theo thự tỹ ựng vợi cĂc giĂ tr riảng phƠn biằt , tứng c°p λ1, λ2, , λm th¼ h» v²ctì (− α , , m ) ởc lêp tuyán tẵnh CƠu = Tẵnh hÔng cừa hằ vctỡ sau R4 (xt vợi cỡ s chẵnh tưc): → = (2, 2, 6, −2); − → = (6, 3, −9, 3); − → = (1, 1, 1, 1); − → = (2, 1, 3, −1); − α α α α (2, 1, 5, 1) Tø â suy mët cì sð v sè chi·u cừa khổng gian sinh bi hằ vctỡ trản CƠu Trong R3 vỵi cì s chẵnh tưc, cho tỹ ỗng cĐu f cõ ma trªn −3 −7 −7 − → − → − → X²t h» v²ctì α1 = (1, −1, 1); α2 = (1, 2, 0); α3 = (0, 0, 1) − →, − → − → a) Chùng minh h» → α = (− α α2 , α3 ) l mët cì sð cõa R b) Tẳm ma cừa f cỡ s c) Tẳm cĂc giĂ tr riảng v khổng gian riảng cừa f CƠu Cho ma vuổng A (cĐp n) thọa mÂn: A2 3A + In = Chựng minh rơng A khÊ nghch v tẵnh A−1 (theo A) 10 · thi sè 11 C¥u Thíi gian: 120 ành ngh¾a khỉng gian v²ctì con, têng cõa mët hå khỉng gian v²ctì cõa mët K -khổng gian vctỡ V Chựng minh nh lỵ sau: "Gi£ sû W v Z l hai khæng gian vctỡ cừa K -khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V Khi â Dim W + Dim Z = Dim (W + Z) + Dim (W ∩ Z)” C¥u T¼m mët cì sð v chi·u cõa khỉng gian v²ctì sinh bði c¡c v²ctì sau → = (1, 0, 0, −1), − → = (2, 1, 1, 0), = R4 (xt vợi cỡ s chẵnh tưc): − α α α − → (1, 1, 1, 1), α4 = (0, 1, 2, 3) C¥u Cho tỹ ỗng cĐu f cừa R3 cho bi cỉng thùc tåa ë sau cì sð ch½nh tc cõa R3: f (x1 , x2 , x3 ) = (4x1 − 5x2 + 2x3 , 5x2 − 7x2 + 3x3 , 6x2 − 9x2 + 4x3 ) a) Vi¸t ma cừa f b) Tẳm mởt cỡ s Ênh v hÔt nhƠn cừa f c) Tẳm cĂc gi¡ trà ri¶ng v khỉng gian ri¶ng cõa f CƠu Cho f l tỹ ỗng cĐu cừa khổng gian vctỡ hỳu hÔn chiÃu V thọa mÂn: f = Id a) Chùng minh r¬ng: V = Ker (f − Id) ⊕ Ker (f + Id) b)Chùng minh r¬ng f l cho hõa ữủc v viát ma dÔng ch²o cõa f mët cì sð th½ch hđp cõa V 11 Thi tuyºn lỵp CLC · thi sè 12 C¥u Thíi gian: 180 1 1 1 −1 −1 Cho ma trªn A = −1 1 −1 −1 a) T½nh Det A b) Tẳm ma nghch Êo cừa A1 1 1 a1 a2 a3 a4 T½nh ành thùc D = a2 a2 a2 a2 a3 a3 a3 a3 CƠu CƠu Chựng minh náu ma T r(A3 ) = thẳ A2 = A ∈ M at(3, R) v T r(A) = T r(A2 ) = C¥u Cho V l khỉng gian vctỡ trản trữớng K F ữủc gồi l khỉng gian thüc sü cõa V n¸u F l khỉng gian v²ctì cõa V v F 6= V a) Häi V câ b¬ng hđp cõa hai khỉng gian thỹc sỹ cừa nõ khổng? b) Náu trữớngK l vổ hÔn, họi V cõ bơng hủp mởt số hỳu hÔn khổng gian thỹc sỹ cừa nõ hay khổng? C¥u Cho V l K -khỉng gian v²ctì, Dim V = n > Chựng minh rơng tỗn tÔi f ∈ End(V ) cho Ker f = Im f v ch n chđn CƠu GiÊ sû f ∈ End(V ) ch²o hâa ÷đc, Dim V = n v L l khæng gian cõa V bĐt bián qua Ănh xÔ f Chựng minh rơng Ănh xÔ hÔn chá f |LEnd(L) cụng cho hõa ữủc v cõ khổng gian L1 bĐt bián ối vợi f cho L ⊕ L1 = V 12