Thông tin tài liệu
TRƯỜNG THCS GIO SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOAN Thời gian:150 phút Câu 1: (6 đ) Cho biểu thức: 2( √ x−3) √ x +3 x √ x−3 − + x−2 x−3 x +1 3−√ x √ √ P= a)Rút gọn P b)Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm giá trị nhỏ P √5 Câu (4đ) a )Giải phương trình x x + 11 x x = 1 b) Cho số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y Câu 3.(4đ) a Cho số dương a, b, c thoả mản a + b + c = Chứng minh: b Cho (x+ √ x2+3 √ a+b+ √b +c + √ c+ a> )(y+ √ y 2+3 ) = Tìm giá trị biểu thức P = x + y Câu 4( đ ): Cho a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC A a Sin ≤ 2 √ bc Chứng minh rằng: Câu : ( 3đ) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thyawngr qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) Δ AEF ~ Δ CAF vàAF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Đáp án biểu điểm Câu 1.( 6đ) Điều kiện xác định biểu thức P : x0; x a) Rút gọn: (0,5 ) 2( √ x−3 ) √ x +3 x √ x−3 − − ( x +1 )( x−3 ) x+1 √ √ √ √ x−3 P= x √ x −3−2( √ x−3 ) −( √ x+3 )( √ x+1 ) ( √ x−3 )( √ x +1) = x √ x −3−2 x+12 √ x−18−x−3 √ x− √ x−3 ( √ x−3 )( √ x+1 ) = x √ x−3 x+8 √ x−24 √ x ( x+8)−3( x+8) x +8 ( √ x−3)( √ x+1 ) = = ( √ x−3)( √ x +1) = √ x +1 b) x = 14 - √ = ( √ )2 - 2.3 √ + = ( √ - 3)2 (0,5 ) (0,5 ) (0,5 ) √x =3- √5 (1,0 ) 14−6 √ 5+8 3− √5+1 Khi P = 22−6 √ 58−2 √ 4− √5 = 11 = 58−2 √ Vậy với x = 14 - √ th× P = 11 (0,5 ) (0,5 ) c) x +8 x−1+ 9 = =√ x−1+ =√ x +1+ −2≥2 √ 9−2=4 x +1 x +1 x +1 x +1 √ √ √ √ P= √ x+1 ; √ x +1 ) ( Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số dương √ x+1= √ x +1 x = (thoả mản điều kiện) Dấu"=" xảy Vậy minP = 4, x = 0,5 Câu 2(4đ) a, x x + 11 x x = x 54 x 4 + x 2.4 x 16 = 2 (2 x 5) + (4 x 5) =4 x + 4+ x = (x 5) (0,5 ) (0,5 ) (1 ) (0,5 ) x = -2 Vô lý Vậy phương trình cho vơ nghiệm b, 1 xy x y xy xy A= (0,5 ) (0,5 ) (0,5 Để A nhỏ xy lớn với x > 0; y > ; x + y = ta ln có ( x y ) x + y xy Vậy xy lớn x = y =2,5 (1 ) Khi Min A = (0,5 ) Câu 3.(4đ) a), Do a , b, c > từ giả thiết ta có : √ a+b< 2⇒ a+b< √ a+ b Tương tự ta có b + c < √ b+c a + c < √ c+a a + b < a + b + c = => (1 ) 0,5 (2) (3) 0.5 0,5 Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có ( a+b+ c )< ( √ a+ b+ √ b+c + √ a+ c ) hay ( ĐPCM) 0.25 0,25 √ x2+3 )(y+ √ y 2+3 ) = (1) Nhân vế (1) với (x- √ x +3 ) ¿ ta được: 2 -3(y+ √ y +3 ) = 3(x- √ x +3 ) 2 -(y+ √ y +3 ) = (x- √ x +3 ) (2) b) Xét biểu thức (x+ Nhân vế (1) với (y2 √ y 2+3 Lấy (2) cộng với (3) ta được: -(x+y) = x+y => x+y = Vậy A = x+y = Câu 3đ) ¿ ta được: √ x +3 ) = 3(y- √ y +3 ) 2 -(x+ √ x +3 ) = (y- √ y +3 -3(x+ ) 0,5 0,5 ) (3) 0,5 0,5 Kẻ Ax tia phan giác góc BAC, kẻ BM ¿ Ax CN ¿ Ax Từ hai tam giác vuông AMB ANC, ta có: A BM A = Sin MAB = Sin AB => BM = c.sin A CN A SinNAC = sin = AC => CN = b.sin A Do BM + CN = sin (b+c) Mặt khác ta có BM + CN ¿ BD + CD = BC = a A A => sin (b+c) ¿ a, sin < 1 ≤ Do b+c ¿ √ bc nên b+c √ bc a A Hay sin ¿ √ bc ( đpcm) Câu (3,đ): a)(1đ) Δ ABE = Δ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF Δ AEF vuông cân A nên AI EF Δ IEG = Δ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vuông góc nên EGFK hình thoi b)(1 đ) Ta có : KAF = ACF = 450 , ggóc F chung AF KF = ⇒ AF 2= KF CF CF AF Δ AKI ~ Δ CAF (g.g) ⇒ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c)(1 đ)Tứ giác EGFK hình thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( không đổi) 0,5
Ngày đăng: 16/12/2023, 20:58
Xem thêm:
