KÌ THI CHỌN HSG TỐN LỚP VỊNG Năm học: 2011-2012 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A x y 3( x y ) 2011 Biết rằng: x 3 2 3 2 ; y 3 17 12 17 12 b) Rút gọn biểu thức: 1 1 + + 2 2 3 2012 2011 2011 2012 Câu 2: (2 điểm) S a) Giải phương trình: x x 3 x b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3x y Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số hữu tỉ khác thoả mãn: 1 1 a b c abc Chứng minh rằng: P (1 a )(1 b )(1 c ) số hữu tỉ b) Cho a, b, c > thoả mãn: a b c abc 1 Chứng minh biểu thức: B a (1 b)(1 c ) b(1 c)(1 a ) c(1 a)(1 b) abc 2011 số Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Đường tròn tâm O’ bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC P phần kéo dài cạnh AB, AC tương ứng điểm M, N BC CA AB BP = CD b) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh rằng: BICE hình bình hành c) Gọi (S) đường trịn qua điểm I, K, P Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với đường thẳng BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c số thực không âm abc = Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng: BP 1 1 2 a 2b b 2c c 2a 2 HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TỐN KÌ THI CHỌN HSG LỚP VỊNG Năm học: 2011-2012 UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày a) Ta có (1,5đ) x3 3 2 3 2 Điểm 3 2 2 3 2 3 2 32 3 2 0,5 6 3x y 17 12 17 12 0,5 17 12 17 12 3 17 12 17 12 17 12 17 12 0,5 34 y b) (1đ) Khi A = + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051 b) Ta có: 1 (n 1) n n n n(n 1) n n n(n 1) n 1 n n n 1 n 1 n 1 n n(n 1) n n n 1 0,5 Do đó: 1 1 1 + 2 3 2011 S 1 2012 Câu 2: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) §iỊu kiƯn: x Phơng trình tơng đơng với S x x x x x 1 x 1 x 3 x x x 1 x x 3 x x 0 x x Ta cã 1 3 x 0 x x 0,25 2012 0,25 Điểm 0,25 x 3 0,25 1 2 x x 1 (tho¶ m·n) x x x 3 x 1 (tho¶ m·n) x x 0,25 0,25 Vậy phơng trình ®· cho cã mét nghiÖm x = b)(1đ) - Nếu x = y = 1, -1 - Nếu x ≠ 0, ta có 0,25 x 2x x 3x y x 4x Hay (x 1)2 x 3x ( y ) (x 2) (loại) Vậy PT có nghiệm nguyên (x, y) (0; 1), (0; -1) Câu 3: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) Từ đề suy ab + bc + ca = Ta có + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c) Do P (a b)(b c)(c a) (a b)(b c )(c a) Vì a, b, c số hữu tỉ nên P số hữu tỉ b)(1đ) Theo ta có a b c abc 1 a abc 1 b a Do 0,5 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a(1 b)(1 c) a (1 b c bc) a (a abc bc ) (a abc ) a abc Tương tự b(1 c )(1 a ) b abc 0,5 0,25 c(1 a )(1 b) c abc Khi B a b c abc Câu 4: (2,5 điểm) Câu a)(1đ) abc 2011 a b c abc 2011 2012 Nội dung trình bày Điểm A F O D B E C P M I O’ K N Ta có 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB = AB + BM +AC + CN – 2AB = AB + BP + CP + AC – 2AB = BC + CA – AB Tương tự 2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA = CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB 0,5 b)(0,75đ) c)(0,75đ) Vậy BP = CD Vì BI // AN (gt) BIM ANM AMN BIM cân B BM = BI = BP Mà BP = CE ( = CD) BI = CE mà BI // CE Vậy BICE hình bình hành Theo chứng minh ta có BI = BP; CP = CK; BIP; CPK cân đỉnh B; C Gọi BI CK = Q , phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK S S tâm đường tròn nội tiếp BCQ Vì BIP cân B BS trung trực PI CPK cân C CS trung trực PK S tâm đường tròn ngoại tiếp PIK Đường tròn (S) ngoại tiếp PIK tiếp xúc với BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Câu Nội dung trình bày 2 Ta có a b 2ab; b 2b a 2b 2(ab b 1) 1 a 2b 2(ab b 1) 1 1 Tương tự ; 2 b 2c 2(bc c 1) c 2a 2(ac a 1) Khi đó: 1 1 1 2 2 a 2b b 2c c 2a ab b bc c ac a 1 ab b = ( abc = 1) = ab b b ab ab b 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: - HDC cách giải HS giải theo cách khác, giám khảo vào làm cụ thể HS điểm - Điểm phần, câu khơng làm trịn Điểm tồn làm trịn đến 0,25 - Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm