THÔNG TIN TÀI LIỆU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN TRƯỜNG THCS TIỀN PHONG T-02-HSG9-TP-PGDTM KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 MƠN TỐN LỚP ( Thời gian làm 150 phút) Đề Câu 1(2đ): a Giả sử a,b,c,d số tự nhiên khác cho ab = cd Chứng minh a n + bn +cn + dn hợp số với n N b Tìm số nguyên x để x2 + x + 123 số phương Câu 2(2đ): a Cho số a,b,c d dương Chứng minh số 2a +b -2 cd ; 2b +c -2 ad ; 2c +d -2 ab ; 2d +a -2 bc có hai số dương b Giải phương trình: x x 3 Câu 3(2đ): a Hãy tìm số tự nhiên nhỏ x cho x số tự nhiên có hai số mà hiệu chúng chia hết cho b Cho số thực dương a, b thoả mãn: a2014 + b2014 = a2013 + b2013 = a2012 + b2012 Chứng minh A = (a+b): a 8b số hữu tỉ b2 a3 Câu 4(3đ): Cho hình thang cân ABCD(BC//AD), hai đường chéo AC BD cắt O cho BOC = 600 Gọi I,M,N,Q trung điểm đoạn thẳng BC,OA,OB,CD a Chứng minh AOB= DOC b CMR Tứ giác DMNC tứ giác nội tiếp c CMR đường thẳng OI qua trực tâm H tam giác MNQ Câu 5(1đ): Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH MIỆN 2 x yz x yz y xz z xy xyz HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRƯỜNG THCS TIỀN PHONG T-02-HSG9-TP-PGDTM NĂM HỌC 2013-2014 MƠN TỐN LỚP Đáp án Câu Câu1 2Đ a Nếu (b;c) =1 ab = cd => điểm a d k với k N* c b an d n an d n k n cn bn cn bn 0,25 Vậy an + bn +cn + dn = ( kn+1) (bn +cn) hợp số Nếu (b;c) = m với m số tự nhiên khác nên b = mp c = mq với p,q hai số nguyên dương (p;q) = từ ab = cd => ap = dq, theo lập luận ta có an d n l n với l nguyên dương => an + bn +cn + dn = bn +cn + ln( n n p q pn + qn) = mn pn + mn qn + ln( pn + qn) =(pn+qn)(mn+ln) hợp số b 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có x2 + x+ 123 = y2 với y ( 2x+1)2 -(2y)2 = - 491 0,25 (2x+1 +2y)( 2x+1-2y) = -491 Do y nên 2x+1 +2y 2x+1-2y mà 2x+1 +2y 2x+1-2y số nguyên 0,25 Ta phân tích -491 = (-491).1 =( -1).491 Vì xảy hai trường hợp sau: 0,25 x y 1 x y 491 1) 2 x y 491 2 x y 2) 4 x 490 4 y 492 4 x 490 4 y 492 x 123 y 123 x 122 y 123 Vậy x nhận -123; 122 Câu 2Đ a Xét (2a +b -2 cd ) + (2c +d -2 ab ) 0,25 = a +c + ( ( a b ) ( c d )2 > suy hai số số dương (1) Ta có (2b +c -2 ad ) + (2d +a -2 bc ) 0,25 0,25 0,25 = b +d + ( ( b c ) ( d c ) > suy hai số số dương (2) Từ (1) (2) => đpcm b Câu 2Đ a b x = u; x = v ( v 0) với x + => x -1 u v 3 ta có hệ pt v u 3 0,25 => ( 3-u)2 - u3 = => (u-1)(u2+6) = => u -1 = => x =3( tmđk) Vậy pt có nghiệm x = 0,25 Ta chia tập hợp số tự nhiên thành tập hợp A0; A1; A2; A3; A4 cho A0; A1; A2; A3; A4 tập hợp gồm số tự nhiên chia cho dư 0;1;2;3;4 Nếu ta lấy số tự nhiên tập hợp khác hiệu hai số tự nhiên chúng khơng chia hết cho Nếu ta lấy số tự nhiên theo ngun tắc Dirichlet có số nằm tập trên, suy hiệu hai số chia hết cho Như số lượng nhỏ số ta phải lấy số tự nhiên 0,25 Đặt 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có a2014 + b2014 = (a2013 + b2013)(a+b) –ab( a2012 + b2012 ) 0,25 Mà a2014 + b2014 = a2013 + b2013 = a2012 + b2012 = k Nên k = k(a+b) –abk => k - ka +kb –kab = 0,25 => k(1-a) –kb(1-a) = => k(1-a)(1-b) =0 => 1-a = 1-b =0 ( k > a,b dương ) nên a = b= 0,25 Do A = (a+b): a 8b số hữu tỉ = b a 0,25 Câu 3Đ 0,25 D A M O H Q N B I C a Hình thang cân ABCD nên nội tiếp đường trịn nên góc BAC = góc BDC góc ABD = góc ACD, có AB = DC nên AOB= DOC( c.g.c) 0,25 0,25 0,25 b Chứng minh tam giác ADO nên trung tuyến DM đường cao nên góc DMC = 900 tương tự tam giác BOC => góc DNC = 1v => tứ giác DMNC nội tiếp Chứng minh MN = MQ = NQ => tam giác MNQ nên trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ nên gócMHN = 2gócMQN = 1200; góc MON = 1200 nên tứ giác MOHN nội tiếp => góc NOH = 300 => OH phân giác tam giác BOC, I,H,O thẳng hàng Câu 5: Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c Câu 0,25 0,25 2 x yz x yz y xz z xy xyz Ta có: x2 +yz x yz 2 x yz y2 +xz y xz 2 y xz z2 + xy z xy 2 z xy 2 1 Do x yz y xz z xy x yz y xz z xy x y yz xz xy yz zx 2 xyz xyz = x yz xyz Dấu xảy x =y =z Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm 0,25 0,25 0,25 0,25
Ngày đăng: 16/12/2023, 20:58
Xem thêm: