PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A x x2 x2 x x 2x x x 2 : x 1 2x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 368 3 27 b) Tính giá trị A x = 3 368 27 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x x x x y 5 xy b) Giải hệ phương trình: x y 9 x2 y2 Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên b) Chứng minh với a + b > c a b c với a,b,c > phương trình 2 2 2 bậc hai a x a b c x b 0 vô nghiệm Câu (3,0 điểm) 1)Cho tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Gọi D điểm cạnh BC Trung trực AD cắt trung trực AB AC theo thứ tự E F Chứng minh : a) điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn b) Tam giác AEF tam giác ABC đồng dạng 2)Trong tam giác ABC, đường phân giác AA’, BB’, CC’ đồng quy I (A’BC, B’AC,C’ AB) Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn AI.BI.CI AA '.BB '.CC ' 27 a b b c2 c2 a 2 2012 a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P b c a c b a HƯỚNG DẪN CHẦM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm a.( điểm) Đkxđ: x x -1 x x x x x 3 x x A : x 2 x x x 3 x x x x x x x x x x x x 0,25 0,25 x 1 x : x 0,25 2 x x 2 x x 1 x x 1 (2,0 điểm) b.( điểm) 368 , b 3 27 Ta có x a b, x a Đặt a 3 0,25 368 a b 6,ab 27 3 x3 a b a b 3ab a b 6 5x x 5x 0 x 1 x x Mà với x > x x x 0 x 1 (thoả mãn) 1 Thay x = vào A được: A 1 a.( điểm) (2,0 điểm) Tìm điều kiện: x 1 (*) 1 Đặt x a 0; b 0 x x x 1 1 Ta có: a + b = x a b x Suy a b x x 1 x a a 2a 0 a 1 (tm) x x 1 x 1 x 1 x x 0 x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do 2a x Ta có 1 Giải phương trình tìm x 1 1 ( thoả mãn), x p số nguyên tố nên suy =1 p= n n , suy n = p = 13 Với p = 13 2p + = 33 Vậy số nguyên tố phải tìm 13 b ( điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ a + b > c a b c với a,b,c > a + b - c > 0; a - b - c 0, a+b+ c= (*) 0,25 Ta có a b c2 4a b 0,25 a b c2 2ab a b c2 2ab a b c a b c a b c a b c (3 điểm) Từ (*) suy , suy phương trình vơ nghiệm Hình vẽ: 0,5 F A M N E B I D C 1a.( 1,25 điểm) Lập luận chứng minh EBD AEI BEI c.c.c EAI EBI (1) Do tính chất điểm thuộc trung trực đoạn thẳng ta có: BE = ED ( EA) suy BED cân E (2) EBD EDI tứ giác AEID nội tiếp (*) Từ (1) (2) EAI EDI Tứ giác AEID nội tiếp ADC (3) AEI BEI ACD Do EI//AC( vng góc với AB) BIE (đv) (4) Từ (3) (4) BEI ∽ ADC g.g CAD (5) CAD IBE IAE ( góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (6) Mà CAD IFE Từ (5) (6) IFE IAE tứ giác AEIF nội tiếp (**) Từ (*) (**) suy điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn 1b.( 0,75 điểm) Gọi IE cắt AB M, IF cắt AC N, lập luận chứng minh tứ 90 giác AMIN hình chữ nhật FIE EAF Mà tứ giác AEIF nội tiếp FIE 180 EAF 90 EAF vuông A Do điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn AFE AIE Mà AIE BIE(do AEI BEI) Có BIE ( theo (4)) AFE ACD ACD Từ lập luận ABC ∽ AEF g.g 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2.( điểm) A C’ B’ I B C A’ Ta có gọi s,s1 ,s2 ,s3 diện tích tam giác ABC, IBC, IAC, IAB AI S S S S ACI s s ABI ACI ABI Ta có: AA ' S ABA' S ACA' S ABA' S ACA' s BI s3 s1 CI s2 s1 ; Chứng minh tương tự BB ' s CC ' s Từ ta có s s s s s s s s s s s s AI.BI.CI 3 3 AA '.BB '.CC ' s s 0,25 0,25 s1 s2 s3 2s s s 27 Dấu xảy khi s1 s2 s3 hay tam giác ABC 0,5 Ta có: a b a b a b a b Tương tự b c b c ;a c a c2 Từ suy P a2 2 b c 2 b2 2 a c 2 0,25 c2 a2 b2 Đặt x b c2 , y c a , z b a y2 z x2 z2 x2 y2 x2 y2 z Suy P 2x 2y 2z (1 điểm) y2 z2 z2 x2 x2 y x y z y z 2 x 2 z x x y y z x y z 2y 2z 2 2x 2 z x x y y z 2x 3x 2y 3y 2z 3z 2y 2z 2 2x y z 3x z x 3y x y 3z 2 1 x y z 2 2012 1006 = 2 2 0,25 0,25 Dấu xảy a b c a = b = c = 1006 2 2 2 a b b c c a 2 2012 1006 Vậy minP = 1006 a = b = c = 0,25