PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu ( điểm) a) Rút gọn biểu thức: A= x+6 x-9 x-6 x-9 x 9 81 18 1 x2 x b) Phân tích đa thức x2 – 3y2 – 2xy – x + 3y thành nhân tử Câu ( điểm) a) Giải phương trình x x3 x 1 3x 9 x x y xy = b) Giải hệ phương trình 3 x y x + 7y Câu ( điểm) a) Cho số nguyên dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn đồng thời x = a + yz; y = b + xz z = c + xy Chứng minh (ax + by + cz)2 chia hết cho (a + b + c)(x + y + z) b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình x y 17 288 Câu ( điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M điểm nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi P, Q, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAH, MBH AMB a) Chứng minh BI MP b) Chứng minh M di động nửa đường tròn thi I di động cung trịn cố định c) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn để chu vi tam giác PHQ lớn Câu ( điểm) Cho số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = xyz [( x - y) ( y - z) (z - x) ] Chứng minh xy yz zx Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a ( điểm) điểm A x - 3 9 1 x Vì x > nên Khi x ≥ 18 x - 3 A Khi < x < 18 x-9 x - 3 A x-9 1 x x-9 x x A Điểm 0,25 điểm x - 3 x-9 x x x - 3 x - 3 6x x x x x - 3 x - 2x x x-9 x b (1 điểm) x2 – 3y2 – 2xy – x + 3y = x2 + xy – x – 3xy – 3y2 + 3y = x(x + y – 1) – 3y(x + y – 1) = (x + y – 1)(x – 3y) a) điểm điểm x3 x x 1 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 3x 9 x Điều kiện x ≠ x x x2 x2 x + t = x + ; xt = x + t = xt Đặt t = x-1 x-1 x-1 x-1 0,25 điểm Phương trình trở thành x3 + t3 + 3(x + t) = (x + t – 1)3 = x+t–1=2x+t=3 0,25 điểm x2 3 x2 – 3x + = Khi ta có x-1 0,25 điểm Phương trình vơ nghiệm 0,25 điểm x y xy = (1) b) điểm 3 x y x + 7y (2) 3x = (3) Nếu x = y hệ có dạng 2x 8x 0 (4) Phương trình (3) có nghiệm x = 0,25 điểm Phương trình (4) có nghiệm x = 0; x = ± Hệ phương trình vơ nghiệm x - y3 = x - y (5) Nếu x ≠ y hệ phương trình tương đương với 3 x y x + 7y (2) Trừ vế hai phương trình hệ 0,25 điểm y= 2y3 = 8y y = y = - - Với y = 0, thay vào (1), (2) x = ± - Với y = 2, thay vào (1) x2 + 2x + = (vô nghiệm) - Với y = -2, thay vào (1) x2 – 2x + = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 0), (- 1; 0) a) điểm điểm Từ đẳng thức x = a + yz; y = b + xz z = c + xy x, y, z đồng thời khác ta ax = x3 – xyz; by = y3 – xyz; cz = z3 – xyz => ax + by + cz = x3 + y3 + z3 – 3xyz Chứng minh x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) => ax + by + cz = (a + b + c)(x + y + z) Do a, b, c, x, y, z số nguyên dương nên ax + by + cz chia hết cho a + b + c x + y + z => (ax + by + cz)2 chia hết cho (a + b + c)(x + y + z) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) điểm x y 17 288 x + y 4xy - x + y xy 17 12 2 x + y 4xy - 17 4 x + y xy 12 (1) Vế phải (1) số vô tỉ vế trái (1) số tự nhiên nên điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm nguyên hai vế (1) x + y 4xy = 17 x + y 4xy - 17 0 Ta có hệ 4 x + y xy 12 0 x + y 4xy 72 Giải hệ (x; y) = (1; 2), (2; 1) Đó hai nghiệm phương trình 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm M I E A F Q P K H B O a) điểm Chứng minh ba điểm A, P, I thẳng hàng ba điểm B, Q, I thẳng hàng Gọi giao điểm MP AB K, ta có KMB KMH HMB KMA MAB MKB KMA MAB KMB MKB Tam giác BMK cân B Mà BI phân giác góc B nên BI MP b) 0,5 điểm MAB MBA Tính AIB 1800 1800 450 1350 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm => I di động cung chứa góc 1350 vẽ đoạn AB (thuộc 0,25 điểm nửa mặt phẳng chứa điểm M) c) 1,5 điểm Gọi giao điểm đường thẳng PQ với MA, MB E F Chứng minh AMH MBH PMH QBH PHM QHB 450 MPH 0,25 điểm BQH (g-g) PH MH PH MA QH HB QH MB Từ chứng minh HPQ MAB (c-g-c) HQP MBA MBA HQF 1800 Tứ giác BHQF nội tiếp MFE QHB 450 => tam giác MEF cân M => ME = MF 0,25 điểm 0,25 điểm MFE MHQ 450 ; HMQ QMF MQH MQF MQH = MQF (g-c-g) =>MH = MF QH = QF Chứng minh tương tự PH = PE 0,25 điểm Chu vi tam giác PQH PH + HQ + QP = EP + PQ + QF = EF = MF = MH ≤ MO = R Chu vi lớn MH lớn H trùng với O M điểm 0,25 điểm nửa đường trịn (O) Vậy M điểm nửa đường trịn (O) chu vi tam 0,25 điểm giác PQH lớn R điểm xyz 3 [( x - y) ( y - z) (z - x) ] (1) xy yz zx Do x2 + y2 + z2 = x, y, z dương => < x + y + z VT = x + y + z x + y + z x + y + z xy + yz + zx xy + yz + zx x + y + z BĐT 0,25 điểm 2 2 3 x - y y - z z - x xy + yz + zx x + y + z xy + yz + zx 2 x - y y - z z - x 0 xy + yz + zx 2 x + y + z xy - yz - zx 2 x - y y - z z - x 0 xy + yz + zx 2x + 2y + 2z 2xy - 2yz - 2zx 2 x - y y - z z - x 0 xy + yz + zx x - y 2 0,25 điểm y - z z - x 2 x - y y - z z - x 0 xy + yz + zx 2 1 2 x - y y - z z - x 0 (*) xy + yz + zx Ta có 2xy ≤ x2 + y2; 2yz ≤ y2 + z2; 2zx ≤ z2 + x2 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x2 + y2 + z2) = ≤ xy + yz + zx ≤ BĐT (*) nên BĐT (1) chứng minh Lưu ý: Mọi cách giải cho điểm tối đa 0,25 điểm 0,25 điểm