PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ): a) Tính giá trị biểu thức: M ( x y )3 3( x y )( xy 1) , biết x 3 2 3 2 , y 17 12 17 12 b)Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a bc a b c 1 1 a b c Câu 2(2đ) 2 x y 4 x a) Giải hệ phương trình: 3 x 12 x y 6 x +9 b) Giải phương trình: ( x x 2)(1 x x 10) 3 Câu 3: (2đ) a/ Cho x, y hai số nguyên dương cho: x xy y số nguyên Gọi a ước xy chung x y Chứng minh rằng: a x y b) Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n 3n 7 Câu 4: (3đ): Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm (O) Qua A kẻ tiếp tuyến với(O) tiếp xúc với (O) M N Cát tuyến qua A cắt (O) B C(B nằm A C) Từ B kẻ đường thẳng song song với AM cắt MN H Kẻ OD vng góc với BC D a Chứng minh tứ giác BHDN nội tiếp b Chứng minh rằng: MB.NC = BN.MC c CH cắt AM E Chứng minh E trung điểm AM Câu 5: (1đ): Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x4 y4 z4 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x) Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a/ 1điểm x3 3 2 3 2 32 0,5đ 3 2 2 3 2 2 (1) Tương tự: y y 24 (2) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta x 4 x x3 x 4 0,5đ x y 3( x y ) ( x y )3 3( x y )( xy 1) 20 Vậy M = 20 b/ 1đ Có a b c a b c (2đ) 0,25đ a b c b a c a b c b (a b c ) b a c ac a b b(a b c) ac (a b)(b c ) 0 b c Nếu a = b a , c dương Ta có 0,5đ 1 1 1 2c a ac (a 2)(c 1) 2 a b c a c Vì a,b,c ngun dương nên ta có trường hợp sau : a 2 1) c 1 a 4 b c 2 a 1 2) a c 3 b c 2 Nếu b = c b,c dương Ta có 0,25đ 1 1 1 1 2a b ab (b 2)(a 1) 2 a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : b 2 1) a b 3 c a 1 2 (2đ) b 2 b 4 c 2) a 1 a 2 Vậy cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) a/ 1đ Từ phương trình (1) ta suy ra: 12 x x y vào phương trình (2) thu gọn ta được: 0,25đ 0,25đ x y 0 x y 3( x y ) ( x y )( x xy y 3x y ) 0 2 x xy y 3x y 0 * Nếu x y 0 y x y x vào phương trình (1) ta 0,25đ x 4 x 2( x 1) 0 phương trình vô nghiệm * Nếu x xy y 3x y 0 , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: 0,25đ 2 3 x 3 xy 3x y x xy x y 0 ( x 3)( y 1) 0 y 1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = => x = => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) 0,25đ b/ ( x x 2)(1 x x 10) 3 ĐK: x -2 Ta có: 0,25đ x x 0 => nhân hai vế với ( x 5 x 5 x 2 x 2)( x x 2)(1 x x 10) 3( x x 2) x x 10 x x 0,25đ 0,25đ 0,25đ Đặt x a; x b ab a b => (a-1)(b-1) = =+ a = b = +/ a = => x = -4(loại) , b = => x = -1 (t/m) a/ 1đ x xy y xy x y = xy số nguyên => xy số nguyên xy 0,5đ x, y hai số nguyên dương => (2đ) x y xy số nguyên dương => x+y xy Gọi a ước chung x y => xy a2 => a x y b/ 1đ Với n chẵn n = 2k 0,5đ 0,25đ 7t 7t A 2k 42 k 32 k (2k 1).42 k (16 k k ) 7 2k 17 k n 7t 7m m N 0,25đ Với n lẻ n = 2k+1 0,25đ A 2k 42 k 32 k (2k 1).42 k (16 k k ) 7 2k 17 k A (2k 1).42 k 1 32 k 1 2k k 1 (4 k 1 32 k 1 ) 7 2k 7 k 7t n 14m 1 m N Vậy n 7 m n 14m ( với n N ) A chia hết cho M K E A H B O D N C 0,25đ (3đ) a/ 1đ AM, AN tiếp tuyến (O) OM AM , ON AN => AMO ANO ADO 900 => điểm : A, O, D, M, N thuộc đường tròn => MND MAD BH // AM => HBC MAD Suy ra: HND => tứ giác BHDN nội tiếp HBD b/1đ Tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC (g.g) ( góc A chung, AMB ACM sd MB ) AM MB AN NB => C/m tương tự: AC CM AC CN MB NB mà AM = AN => => MB.CN=CM.NB CM CN C/ 1đ BH cắt CM K Tứ giác BHDN nội tiếp => HNB BDH 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ BCM sd MB Ta có: HNB => BCM => HD // CM BDH HD // CM mà OD BC => DB = DC Suy H trung điểm BK 0.25đ 0.25đ HK CH ME CE HB CH HB KH HB // AE => Suy ra: AE CE AE ME HK // ME => mà BH = HK => E M = EA => (đpcm) (1đ) Ta có (a b) 0 a2 b2 a b (dấu “=” xảy a = b) x4 y4 x y ; Ta có: 2 ( x y )( x y ) ( x y )( x y ) y4 z4 y z ( y z )( y z ) ( y z )( y z ) z4 x4 z x ( z x )( z x) ( z x )( z x) 0.25đ F x4 y4 z4 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x) y4 z4 x4 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x) Do F x4 y4 z4 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x) 0.5đ 1 x4 y y4 z4 z x4 2 2 2 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x ) 2 2 y2 z2 z x2 1 x y ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( z x )( z x ) 2 2 2 1x y y z z x ( x y) ( y z) ( z x) 2 y z z x x y z 1 x y ( x y ) ( y z) ( z x ) 4 1 Do F đạt giá trị nhỏ x = y = z = 0.25đ