Casio bài 18 tìm nhanh nguyên hàm của hàm số

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACALNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 18 TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1) MỞ ĐẦU VỀ NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hơm nhận câu hỏi thầy Bình Kami, câu hỏi tính quãng đường vật chuyển động thẳng biến đổi đều, câu hỏi xuất đề thi minh họa BGD-ĐT năm 2017 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô chạy với vận tốc 10  m / s  người lái đạp phanh , từ thời điểm , ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   2t  10  m / s  , t khoảng thời gian tính giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ? A 15 m B 20 m C 25 m D 40 m Xem nào, xe dừng lại vận tốc hay  2t  10 thời gian xe di chuyển thêm 5( s) Vậy quãng đường s v.t 10.5 50  m  mà xe chạy chậm dần phải nhỏ 50  m  , 40  m  phải không ? Để chắn, có lẽ phải lập bảng mô tả quãng đường : Mốc Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Vận tốc 10  8 6 4 2 Quãng đường Như tổng quãng đường xe vận tốc giảm đến     25  m  Cách tin cậy nhiều, thời gian đến phút !!! Vậy cịn cách nhanh khơng ? Thầy BìnhKami e làm Minh Nguyệt giải tốn tìm đáp án xác 25  m  , tốt mặt kết mặt thời gian tính lại lâu Bài ta hồn thành thời gian 20  s  nhờ công cụ gọi tích phân S   2t  10  dt 25  m  Ta bấm máy tính sau : Khởi động chức tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân nhấn nút = (p2Q)+10)R0E5= Máy tính cho kết 25  m  Chỉ 20  s  thật tuyệt vời phải khơng !!! Thầy BìnhKami, Tích phân cơng cụ mà hay ??? Trang 1/17 Tích phân công cụ tuyệt vời mà toán học tạo , sử dụng tích phân tính qng đường, vận tốc vật thể tính diện tích hình phức tạp ví dụ hình trịn, hình tam giác, hình e líp … cịn có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân Tích phân đại nhà toán học Anh Isac Newton nhà toán học Pháp Laibơnit công bố khoảng cuối kỉ 17 người đặt móng cho hình thành phát triển Tích phân nhà tốn học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-simet Tích phân chia làm dạng : Tích phân bất định (không cận) thường biết tới tên Ngun hàm Tích phân xác định (có cận) thường biết đến với tên Tích phân mà e học học kì lớp 12 2) CÁCH TÍNH NGUN HÀM  Xây dựng cơng thức tính ngun hàm : 4 Ta có  x  ' 5 x ta nói nguyên hàm 5x x kí hiệu 5x dx x  C Tương tự  sin x  ' cos x ta nói nguyên hàm cos x sin x , kí hiệu cos xdx sin x  C Tổng quát : f  x  dx F  x   C  F '  x   f  x  VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F  x  e x nguyên hàm hàm số : 2x A f  x  e 2x B f  x  2 x.e C f  x   ex 2x D f  x  x2e x  GIẢI Thưa thầy, e làm !  Đầu tiên e tính đạo hàm F  x  , F  x  hàm hợp e nên em áp dụng u u công thức  e  ' e u '   2  x x x Khi : F '  x   e ' e  x  ' 2 x.e  Vậy F  x  nguyên hàm hàm hàm f  x  2 x.e x ta chọn đáp án B VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y  x.e x : 2x  1 2x A 2e  x    C B e  x    C 2  1 2x 2x  C 2e  x    C D e  x    C 2  GIẢI 2x Thưa thầy, thử , với đáp án A F  x  2e  x   Nhưng việc tính 2x đạo hàm F  x  2e  x   e thấy khó q , e quên công thức !! Trang 2/17 Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay thân chưa học phần ?? Thầy cho e thủ thuật Casio để e quên công thức đáp án :  Ta biết F '  x   f ( x) việc với x thuộc tập xác định  Vậy với x 1 chẳng hạn Khi F '  1  f  1  Tính giá trị f  1 7,3890 Q)QK^2Q)r1= 2x  Tính đạo hàm F '  1 với đáp án , đáp án A F  x  2e  x   qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta kết F '  1  14.7781 kết khác với f  1  Đáp án A sai 2x  1  Tính đạo hàm F '  1 đáp án B với F  x   e  x    2 qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1= 2x  1 Ta thu kết giống hệt f  x  F '  x   f  x  hay F  x   e  x    2 nguyên hàm f  x   Đáp án B đáp án xác  Bình luận :  Nếu F  x  nguyên hàm f  x  F  x   C nguyên hàm hàm  f  x   F  x   C  ' F '  x   C ' F '  x   F '  x   f  x  Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích với phức tạp, áp dụng nhiều cơng thức tính đạo hàm lúc , tránh nhầm lẫn việc tính tốn !! VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  : A f  x  dx   2x  1 C f  x  dx  2x   C 2x   C B f  x  dx   x  1 D f  x  dx  2x   C 2x   C GIẢI  Cách : CASIO Trang 3/17  Nhắc lại lần công thức quan trọng Nếu F  x  nguyên hàm f  x  F '  x   f  x  Khi ta chọn giá trị x a thuộc tập xác định F  a   f  a   Chọn giá trị x 2 chẳng hạn (thỏa điều kiện x  0  x  ) Khi f   1, 732 s2Q)p1r2=n  Theo quy trình ta chọn đáp án F  x  đáp án A, B, C, D đáp án thảo mãn F '    f   1, 732 Thử với đáp án A F  x    x  1 x  qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Vậy F '   3, 4641 giá trị khác f   1, 732 điều có nghĩa điều kiện F '  x   f  x  không đáp ứng Vậy đáp án A sai  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B Khi F  x    x  1 x  qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Ta F '   1, 732 giống hệt f   1, 732 có nghĩa điều kiện F '  x   f  x  thỏa mãn Vậy đáp án xác B  Cách tham khảo : Tự luận  Dựa vào đặc điểm hàm f  x  ta thấy x  mặt chất có dạng  x  1 n n Ta nghĩ đến công thức đạo hàm  u  ' n.u u ' +)Trong công thức đạo hàm số mũ u bị giảm Vậy hàm F  x  có số mũ lớn hàm f  x  đơn vị Vậy F  x  phải có số mũ +)Vậy có đáp án A B thỏa mãn  x  1 x   x  1    2  x  1 ' 3 x  x  '  x      Ta thực phép đạo hàm    Trang 4/17  Cân hệ số ta 1  x  1  '  x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1  x  1   x  1 x   B đáp án 3  Bình luận :  Nếu có chút kiến thức đạo hàm việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án nhẹ nhàng Chúng ta việc thử với đáp án A B đáp án có số mũ  Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F  x  lúc lớn số F  x  mũ hàm số f  x  đơn vị +) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm ngun hàm hàm số m 1 y vô đơn giản Ta thấy y m mặt chất x x x x 1 mũ  chắn nguyên hàm phải x mũ    x 2 x ' +) Ta xét đạo hàm gốc (*) Việc lại cân hệ số, để tạo x m m thành ta nhân vế (*) với 2m xong Khi 2m x '  Thật đơn x x giản phải không !! x  3x  VD4- Một nguyên hàm hàm số f  x   : x    A x  3x  ln x C x2  x  ln x   x2 3x   ln x 2 x2  x D x2 B GIẢI  Cách : CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định  x 0  x 5 Khi f   7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n x2  x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5=  Với đáp án C ta có F  x   Trang 5/17 Ta F '   7.6  f   Vậy đáp án C đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận x  3x   Hàm f  x   có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử bậc lớn x bậc mẫu bậc  Phương pháp giải : Thực phép chia tử số cho mẫu số ta được: f  x  x   x Khi hàm số trở thành dạng đơn giản ta dễ dàng tìm nguyên hàm  x2  x2 +) Có   x  '  x   x nguyên hàm x    +) Có  ln x  '   Cân hệ số ta có :   ln x  '   ln x nguyên hàm x x x  x2  x  3x  Tổng kết   x  ln x  '  x    x x   x2 x2 Hay  x  ln x nguyên hàm cần tìm  x  2ln x  2 nguyên hàm 1   Cân hệ số ta   x  1  '  x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1 F  x    x  1   x  1 x   B đáp án 3  Bình luận :  Tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ dạng toán hay biết ngun tắc tư duy, khơng biết khó khăn  Ta phải nhớ này, phân thức hữu tỉ có bậc tử lớn bậc mẫu ta thực phép chia tử số cho mẫu số thu hàm số dễ tính ngun hàm  Ngồi cịn dạng hay phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử ta xử lý ? Mời bạn xem ví dụ VD5 - Nguyên hàm hàm số f  x   : x 4 A ln  x    ln  x    C B ln  x    ln  x    C C ln x2 C x D ln x C x2 GIẢI  Cách : CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định  x 0  x 5 Khi f   7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n Trang 6/17 x2  x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5=  Với đáp án C ta có F  x   Ta F '   7.6  f   Vậy đáp án C đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận  Hàm f  x   có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích x 4 thành nhân tử  Phương pháp giải : Chia phân thức phức tạp ban đầu thành phân thức phức tạp 4  +) Có x   x  2  x  2 +) Ta tách phân thức lớn thành phân thức nhỏ đơn giản : 1 m  n x 4 x x2 +) Để tách ta lại dùng phương pháp hệ số số bất định: m  x  2  n  x  2 1 m  n   x 4 x x2 x   x  2  x  2  m  x    n  x    x  x  m  n   2m  2n  0 m  n m 1   4 2m  2n n  1   Vậy x  x x2 Thành công việc đưa phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức 1  ln x  '  ,  ln u   u ' x u Dễ dàng áp dụng : 1 1  ln  x    '   x   '   x  2 '   ln  x    '  x x x2 x2 x  1   Tổng hợp  ln  x    ln  x    '    ln x   '  x  x x2   Vậy nguyên hàm f  x  F  x  ln x C x2  Bình luận :  Qua ví dụ thấy hữu hiệu phương pháp hệ số bất định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản Trang 7/17  Về nguyên tắc tích phân hàm phân thức chia thành hàng chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia sau : x2  5x  4x  5x  x  5x  m n p      2 x  x  x   x    x  1  x    x  1  x  1 x  x  x   Tử số vế trái = Tử số vế phải  x  x  m  x  1  n  x  x    p  x  x    m  2n  p      n  p     m 2 p  m 1  n 2 n 1  x2  5x  1    x  x  x  x  x  x 1   Và ta dễ tính nguyên hàm x  x  x 1 ln  x    ln  x  1  ln  x 1  C Cuối ta thu : Thật hiệu phải khơng !! VD6-[Báo tốn học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f  x  sin x.cos x tập số thực là: A  cos x  C B  cos x  C C  sin x.cos x D sin x  C GIẢI  Cách : CASIO  Chuyển máy tính Casio chế độ Radian (khi làm toán liên quan đến lượng giác) qw4   Chọn giá trị x ví dụ x      Khi giá trị f  x  x  f   0, 4330 6 jQ))kQ))rqKP6=n      Theo đáp án A F  x   cos x Nếu đáp án A F '    f   Ta tính 6 6   F    0, 4430 giá trị khác f   Vậy đáp án A sai 6 qya1R4$k2Q))$aqKR6= Trang 8/17  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B qypa1R4$k2Q))$aqKR6=     Ta F '   0, 4430  f   Vậy đáp án xác B 6 6  Cách tham khảo : Tự luận  Dễ thấy cụm sin x cos x quen thuộc ta nhớ đến công thức có nhân đơi : sin x 2sin x cos x  Từ ta rút gọn f  x   sin x  Cái đạo hàm sin cos !! Ta nhớ đến công thức :  cos u  '  u '.sin u Áp dụng  cos x  '  sin x  x  '  2sin x   Cân hệ số cách chia vế cho  ta :   cos x  '  sin x    Từ ta biết F  x   cos x  Bình luận :  Khi sử dụng máy tính Casio để làm tập liên quan đến hàm lượng giác ta nên đổi sang chế độ Radian để phép tính đạt độ chuẩn xác cao  Ngoài cách gộp hàm f  x  theo cơng thức góc nhân đơi , ta tư sau : n n Nếu ta coi sin x u cos x u ' ta nhớ tới cơng thức  u  ' n.u u ' 1  Ta thiết lập quan hệ  sin x  ' 2sin x cos x hay  sin x  ' sin x cos x 2  Vậy ta biết F  x   sin x nhiên so sánh đáp án lại khơng có đáp án giống 2 1  cos x 1  cos x   F  x  Vậy ta tiếp tục biến đổi chút sin x  2 4  cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm sin x cos4 x dx : Trang 9/17 A tan x  C B tan x  C C tan x  C D tan x  C x Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f  x  2016 : A 2016 x C ln 2016 B 2016 x.ln 2016  C C x.2016  x.ln 2016  C D x.2016 x  C ln 2016 Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau x  x  2 nguyên hàm hàm số f  x   :  x  1 A x2  x  x 1 B x2  x  x 1 C x2  x  x 1 D x2 x 1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm ngun hàm hàm số    x  x  x dc x3  3ln x  x C 3 x3 C  3ln x  x C 3 x3  3ln x  x C 3 x3 D  3ln x  x C 3 A B Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A x2  x   x  dx B  x Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] A  ln x   C  ln x  B  ln x   3x D e dx C sin 3xdx  x  2dx ln x dx : x C C ln x D C C Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số f  x  e x   2017e  x  : A e x  2017 e  x  C C e x  B e x  2017 e  x  C 2017  x e C D e x  2017 x e C Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm ln x   ln x   C 3 C ln x   ln x   C 3 A 2x  dx :  x 2 x ln x   ln x   C 3 D  ln x   ln x   C 3 B  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trang 10/17 Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm A tan x  C B tan x  C tan x  C sin x cos4 x dx : C tan x  C D GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio chọn giá trị x   chẳng hạn   sin x  Ta có f  x   F    6 cos x qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6=   Tính đạo hàm F  x   tan x x  ta F  x  0, 44    qya1R3$lQ))^3$$aqKR6=  D đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận sin x tan x  Biến đổi cos x cos x n n  Theo công thức đạo hàm  u  ' n.u u ' Với u tan x n 3 1 1    tan x  ' tan x Ta có  tan x  ' 3.tan x Vậy F  x   tan x 2 cos x cos x 3  nguyên hàm  tan x  C họ nguyên hàm cần tìm x Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f  x  2016 :  Vậy F '  x   f  x   A 2016 x C ln 2016 C x.2016  x.ln 2016  C B 2016 x.ln 2016  C D x.2016 x  C ln 2016 GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn x  Ta có f  x  2016 F   4064256 2016^Q)r2= Trang 11/17 2016 x ta F '   4064256  Tính đạo hàm F  x   ln 2016 qya2016^Q)Rh2016)$$2=  Vậy F '  x   f  x  4064256  A đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận x x  Theo công thức đạo hàm  a  ' a ln x Với a 2016  2016 x  2016 x x x x '  2016 Ta có  2016  ' 2016 ln 2016   Vậy nguyên F x     ln 2016  ln 2016  2016 x hàm   C họ nguyên hàm cần tìm ln 2016 Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau x  x  2 nguyên hàm hàm số f  x   :  x  1 A x2  x  x 1 B x2  x  x 1 C GIẢI x2  x  x 1 D x2 x 1  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn x  x  2 f     Ta có f  x    x  1 aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2= 10 x  x  ta Tính đạo hàm F '   1.11 1  F  x   x 1 qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2= x  x  nguyên hàm f  x   A đáp  Vậy F '  x   f  x   F  x   x 1 án xác  Cách tham khảo: Tự luận Trang 12/17  Biến đổi x  x  2  x  1  1   2  x 1  x  1  x  1 1 1  Theo công thức đạo hàm   '  u ' Với u  x  u u 1   x  x   x ( x  2)    '   x  '    Ta có     x ' 1  ' x 1   x 1    x  1  x 1  x    x  1 x2  x 1 nguyên hàm  Đáp số C x 1 x  x  nguyên hàm  Đáp số B  F ( x)   x 1 x nguyên hàm  Đáp số D  F ( x)   x 1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm ngun hàm hàm số    x  x  x dc Vậy F  x   x3  3ln x  x C 3 x3 C  3ln x  x C 3 A x3  3ln x  x C 3 x3 D  3ln x  x C 3 B GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn 11  2  Ta có f  x  x   x f    x Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2= x3 ta 11  2 x F '   2.6715   Tính đạo hàm F  x    3ln x  3 qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$sQ)^3$$$2= x3 nguyên hàm 11   f  x  C F  x    3ln x  x  Vậy F '  x   f  x   3 đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Theo công thức đạo hàm  ln x  '    3ln x  '  x x Trang 13/17 n n  Theo công thức  x  ' n.x với n   3 4 3 4 3   x  '  x   x  ' 2 x   x  ' 2 x 3    3     Vậy  x  3ln x  x  ' x   x hay F  x   x  3ln x  x nguyên hàm x 3   Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A x2  x   x  dx B  x C sin 3xdx  x  2dx 3x D e dx GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn  Ta có f  x    x  x  f   không tồn spQ)d+2Q)p2r2= Vậy hàm số đáp số C không tồn  Cách tham khảo: Tự luận 2  Dễ thấy  x  x    x  1   với giá trị x  R  Vậy  x  x  không tồn Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] A  ln x   C  ln x  B  ln x   C ln x dx : x C ln x C D C GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn ln x f 0.4162    Ta có f  x   x ashQ))RQ)r2=  ln x  ta F '   0.4612 qya2R3$shQ))^3$$$2=  Tính đạo hàm F  x   Trang 14/17  Vậy F '  x   f  x  0.4162  F  x    ln x  nguyên hàm f  x   B đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận n n  Theo công thức  u  ' n.u u ' với u ln x 1   2 3 1 2   ln x  '  ln x   x  ' ln x   x x 3   3    ln x  ln x  '  x  Vậy   ln x   '  ln x hay F  x    ln x  nguyên hàm x 3  Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số f  x  e x   2017e  x  : A e x  2017 e  x  C C e x  2017  x e C B e x  2017 e  x  C D e x  GIẢI 2017 x e C  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn x  2x  Ta có f  x  e   2017e  f    265.5822 QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r2= x x  Tính đạo hàm F  x  e  2017e ta F '    265.5822 qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2= x x  Vậy F '  x   f  x   265.5822  F  x  e  2017e nguyên hàm f  x   A đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận x  2x x x  Biến đổi e   2017e  e  2017e x x x x x x  Theo công thức  e  ' e  e   e    2017e  2017e Vậy  e x  2017 e  x  ' e x  2017 e  x hay F  x  e x  2017e  x e x   2017e  x  nguyên hàm Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm 2x  dx :  x 2 x Trang 15/17 ln x   ln x   C 3 C ln x   ln x   C 3 A ln x   ln x   C 3 D  ln x   ln x   C 3 B  GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x 2 chẳng hạn 2x  f     Ta có f  x   2x  x  a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2= ln x   ln x  ta F '   1.4  3 qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ)p1)$2=  Tính đạo hàm F  x    Vậy F '  x   f  x    F  x   ln x   ln x  nguyên hàm f  x   B 3 đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Vì mẫu số tách thành nhân tử : x  x   x  1  x  1 nên ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách phân số : 2x  1 m  n  x  m  x  1  n  x  1 2x  x  x x 1  m  2m  n 2   x   2m  n  x  m  n    m  n 3  n   2x    Vậy ta tách 2x  x  x  2x 1    Theo công thức  ln u  '  u '    ln x   ln x   '  x   x  u    F  x   ln x  nguyên hàm Trang 16/17