4 hệ thức lượng trong tam giác (otc) ctst10

TỐN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489 ƠN TẬP CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỬ 0 ĐẾN 180 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giá trị lượng giác Với góc   0    180  ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho    Gọi  x ; y  toạ độ điểm M , ta có: xOM 0 - Tung độ y0 M sin góc  , kí hiệu sin   y0 ; - Hồnh độ x0 M cơsin góc  , kí hiệu cos   x0 ; y y - Tỉ số  x0   tang góc  , kí hiệu tan   ; x0 x0 x x - Tỉ số  y0   côtang góc  , kí hiệu cot   y0 y0 Các số sin  , cos  , tan  ,cot  gọi giá trị luợng giác góc  Tính chất - Mối liên hệ giá trị lượng giác hai góc phụ nhau: cos 90    sin  ; sin 90    cos  ;   tan  90     cot  ;    cot  90     tan   - Mối liên hệ giá trị lượng giác hai góc bù nhau: sin 180    sin  ; cos 180     cos  ;     tan 180      tan    90  ; cot 180      cot      180       Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác góc - Sau mở máy, ấn phím SHIFT MENU để hình lên bảng lựa chọn - Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc - Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc “độ” -Lại ấn phím MENU để vào chế độ tính tốn B BÀI TẬP MẪU Bài Dùng định nghĩa tìm giá trị lượng giác góc 135 Giải   135 Lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM   135  90  45 Ta có MOy  2 Ta tính toạ độ điểm M    ;    Bài Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị lượng giác sau: sin120 ; cos150 ; tan120 ;cot135 Giải sin120  sin 60  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO   tan120   tan 60   cot135   cot 45   tan 45  1 Bài Dùng máy tính cầm tay, tính a) sin144 2357 ; b) cos1235 48 ;    c) tan115 43 26 ; d) cot13935 28 Giải a) sin144 2357  0,582 ; b) cos1235 48  0,546 ; cos150   cos 30   c) tan115 43 26  2, 076 ; d) cot13935 28  1,175 Bài Dùng máy tính cầm tay, tìm x  0  x  180  , biết: a) cos x  0,511 ; b) sin x  0, 456 ; c) tan x  0, 473 ; d) cot x  0, 258 Giải a) cos x  0,511  x  120 4350 ;   b) sin x  0, 456  x  277 45 hay x  1525215 ;   c) tan x  0, 473  x  154 419 ;   d) cot x  0, 258  x  104 281 Bài ĐỊNH LÍ CƠSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí cơsin tam giác Định lí côsin Với tam giác ABC , đặt BC  a, CA  b, AB  c ta ln có: a  b2  c  bc cos A b  c  a  2ca cos B c  a  b  ab cos C Hệ b2  c2  a2 c2  a  b2 a2  b2  c2 cos A  ; cos B  ; cos C  2bc 2ca 2ab Định lí sin tam giác Định lí sin a b c Với tam giác ABC , đặt BC  a, CA  b, AB  c , ta có:    R, sin A sin B sin C R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Hệ a sin A  a  R sin A 2R b sin B  b  R sin B 2R c sin C  c  R sin C 2R Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: - , hb , hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC , CA, AB - R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác - p nửa chu vi tam giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ - S diện tích tam giác Ta có cơng thúc tính diện tích tam giác sau: 1 1) S  aha  bhb  chc 2 1 2) S  ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 abc 3) S  4R 4) S  pr ; 5) S  p( p  a)( p  b)( p  c)( công thức Heron) B BÀI TẬP MẪU Bài Cho tam giác ABC có Cˆ  120 , AC  cm BC  10 cm Tính độ dài cạnh AB góc A, B tam giác Giải Theo định lí cơsin, ta có: AB  AC  BC  AC.BC.cos C   102  2.6.10.cos120  196  AB  196  14  cm  AB  AC  BC 14   10 11   AB  AC 2.14  14    ˆ     ˆ ˆ ˆ Suy A  38 12 48 ; B  180  ( A  C )  21 4712 Bài Cho tam giác ABC có cạnh a  8, b  15, c  20 Tính góc A tam giác ABC Giải b  c  a 152  202  82   Theo hệ định lí cơsin, ta có: cos A    0, 935 Suy Aˆ  20 4619 2.b.c 15.20 Bài Cho tam giác ABC có Aˆ  69 , Bˆ  80 , BC  25 cm Tính độ dài cạnh AC , AB bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Giải Theo hệ định lí cơsin, ta có: cos A  Đặt a  BC; b  AC; c  AB Ta có: a  25 cm; Cˆ  180   80  69   31 Áp dụng định lí sin, ta có: a b c    2R sin A sin B sin C Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  a sin B 25  sin 80   26,37( cm) ; sin A sin 69 a sin C 25  sin 31 AB  c    13,79( cm) sin A sin 69 a 25 R   13,39( cm )  sin A  sin 69 Bài Hai tàu kéo cách 51m , kéo xà lan Hình Biết chiều dài hai sợi cáp 76 m 88 m , tính góc tạo hai sợi cáp Suy ra: AC  b  Giải Gọi vị trí xà lan hai tàu A, B, C Theo hệ định lí cơsin, ta có: AB  AC  BC 76  882  512   0,8163 AB  AC 2.76.88 Vậy góc tạo hai sợi cáp là: Aˆ  351657 Bài Tính diện tích tam giác ABC Hình cos A  Giải 1 ab sin C  12   sin115  43,  cm 2 Bài Cho tam giác ABC có cạnh a  cm, b  cm Cˆ  30 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Giải 1 1 a) Diện tích tam giác ABC : S  ab sin C     sin 30       cm 2 2 Diện tích tam giác ABC : S     b) Áp dụng định lí cơsin, ta có: c2  a2  b2   a  b  cos C  12        Suy c  cm Áp dụng đinh lí sin, ta có: R  c 2    2( cm)  sin C  sin 30 2 c) Ta có cơng thức S  p  r S 2S    0, 46( cm) p abc 22 Bài Cho tam giác ABC có cạnh a  15 cm, b  13 cm, c  14 cm a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Suy r  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giải a) Ta có p  (15  13  14)  21( cm) Áp dụng công thức Heron, ta có: S    p( p  a )( p  b)( p  c)  84  cm abc abc 15.13.14   8,125( cm) , suy R  4R 4S 4.84 c) Ta có công thức S  p  r S 84 Suy r    4( cm) p 21 Bài Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Chứng minh rằng: b) Ta có S  S  R sin A sin B sin C Giải a  b  sin C; a  R sin A; b  R sin B Suy ra: S  R sin A sin B sin C Bài Tính diện tích cánh buồm hình tam giác có chiều dài cạnh 3, m hai góc kề cạnh có Ta có cơng thức: S  số đo 48 105 (Hình 5) Giải Gọi ba đỉnh cánh buồm A, B, C Đặt a  BC; b  AC; c  AB Ta có: c  3, m; Cˆ  180  105  48   27 a b c    2R sin A sin B sin C c sin B 3,  sin105 Suy ra: AC  b    6,8( m) ; sin C sin 27 1 Ta có S  bc sin A   6,8  3,  sin 48  8,1 m 2 BÀI GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Áp dụng định lí sin, ta có:   A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải tam giác Giải tam giác tìm số đo cạnh góc cịn lại tam giác ta biết yếu tố đủ để xác định tam giác Phương pháp giải tam giác - Nếu biết cạnh góc xen hai cạnh đó: Sử dụng định lí cơsin - Nếu biết cạnh góc tam giác: Sử dụng định lí sin - Nếu biết cạnh tam giác: Sử dụng định lí cơsin - Có thể dùng cơng thức tính diện tích để hỗ trợ giải tam giác Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Áp dụng giải tam giác vào thực tế Vận dụng giải tam giác giúp ta giải nhiều toán thực tế, đặc biệt thiết kế xây dựng Chú ý: Nếu người quan sát đặt mắt điểm O nhìn lên thấy vật điểm A vẽ tia Ox song song với  gọi góc nâng O nhìn thấy A mặt đất xOA B BÀI TẬP MẪU Bài Giải tam giác ABC , biết AB  75 m, AC  100 m Aˆ  32 Giải Đặt a  BC , b  AC , c  AB Ta cần tính cạnh a hai góc Bˆ Cˆ Áp dụng định lí cơsin, ta có: a2  b2  c2  2bc cos A  752  1002  2.75 100  cos32  2904,3 Suy a  2904,3  53,9( m) Áp dụng hệ định lí cơsin, ta có: cos B  a2  c2  b2 53,92  752  1002   0,182 2ac 2.53,9.75   ˆ Suy Bˆ  100 2910 , C  473050 Bài Tính khoảng cách từ vị trí người gọi điện thoại di động đến trạm phát sóng B với số liệu cho Hình Giải Áp dụng định lí cơsin tam giác MAB , ta có: MB  AB2  AM   AB  AM  cos A  22  1,82    1,8  cos32  1,134 Suy MB  1,134  1, 065( km) Vậy khoảng cách từ vị trí người đến trạm phát sóng B 1, 065 km Bài Tính chiều dài đường hầm AB với số liệu cho Hình Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gọi vị trí người quan sát điểm M gọi A, B hai đầu đường hầm Ta có tam giác MAB với MA  250 m; MB  106 m Mˆ  81 Áp dụng định lí cơsin tam giác MAB , ta có: AB  MA2  MB   MA  MB  cos M  2502  1062   250 106  cos81  65444,97 Suy AB  65444,97  255,82( m) Vậy chiều dài đường hầm AB khoảng 255,82 m Bài Hai máy bay cất cánh từ sân bay bay theo hai hướng khác Một di chuyển với tốc độ 450 km / h theo hướng tây lại di chuyển theo hướng hợp với hướng bắc góc 25 phía tây với tốc độ 630 km / h Hỏi sau 90 phút, hai máy bay cách bao xa? Giả sử chúng độ cao Giải Gọi O, A, B vị trí sân bay hai máy bay sau 90 phút Ta có: 3 OA  450   675( km); OB  630   945( km);  AOB  90  25  65 2  2 AB  OA  OB   OA  OB  cos AOB  6752  9452   675  945  cos 65  809495 Suy AB  809495  900( km) Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách khoảng 900 km Bài Người ta dự định làm hai đường cao tốc BA BC từ Châu Đốc đến Hà Tiên từ Châu Đốc đến Long Xuyên Hình Hãy tính góc tạo hướng hai cao tốc Giải BA  BC  AC 782  492  1042 111      Bˆ  107 4518  BA  BC 2.78.49 364   Vậy góc tạo hướng hai cao tốc 107 4518 cos B  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN Đề Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos30 Câu Rút gọn P  cos 20  cos 40   cos160  cos180 Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 10  sin 20  sin 30   sin 80 Câu Cho biểu thức     1    3   sin  2  x   cos2 x P  x    tan   x  tan   x   cos   x  2  cos  x      sin   x        2  Rút gọn biểu thức P  x  ta P  x   m.sin x  n.cos x Tính S  m  n ? Câu Một đu quay có bán kính 75m , tâm vịng quay độ cao 90 m (tham khảo hình vẽ) Thời gian quay hết vòng đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay sau 20 phút quay, người độ cao mét? Câu Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Khi số đo góc Aˆ bao nhiêu? Câu Cho tam giác ABC có B  30 , C  55 cạnh AC  16cm Tính cạnh AB ? Câu Cho tam giác ABC có B  40 , C  55 cạnh AC  20cm Tính cạnh BC ? Câu Cho tam giác ABC có B  30 cạnh AC  16cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC? Câu 10 Cho tam giác ABC có B  50 cạnh AC  20cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC? Câu 11 Cho tam giác ABC có B  35 , C  50 cạnh AC  12cm Tính cạnh AB ? Câu 12 Cho ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r  , nửa chu vi p  10 Diện tích tam giác ABC bao nhiêu? Câu 13 Cho tam giác ABC có a  6, b  6, c  Khi diện tích tam giác bao nhiêu? Câu 14 Cho tam giác ABC có A  60, AB  6, AC  Tính BC Câu 15 Tam giác ABC có AB  4, BC  6, AC  Điểm M thuộc đoạn BC cho MC  MB Tính độ dài AM Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 16 Cho tam giác ABC biết a  3, b  2, c   Số đo góc lớn tam giác bao nhiêu?   300 , C   450 , AB  Tính cạnh AC Câu 17 Tam giác ABC có B  C  150 BC  a Tính bán kính đường trịn ngoại Câu 18 Tam giác ABC có tổng hai góc B tiếp tam giác ABC Câu 19 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b  c  2a Chứng minh sin B  sin C  sin A   60 Khi diện tích tam giác ABC Câu 20 Cho tam giác ABC biết AB  , AC  , BAC bao nhiêu? Câu 21 Cho tam giác ABC biết a  , b  , c  Khi diện tích tam giác ABC bao nhiêu?   85 , C   65 Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Câu 22 Cho tam giác ABC biết a  , B bao nhiêu? Câu 23 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB  , BC  , M trung điểm BC , N điểm cạnh CD cho ND  3NC Khi diện tich tam giác AMN bao nhiêu? Câu 24 Cho tam giác ABC có A  120o ; b  8; c  Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Câu 25 Cho tam giác ABC có A  60o ; b  12; c  13 Tính đường cao lớn tam giác ABC   Câu 26 Cho tam giác ABC , có A  105 , C  45 AC  10 Tính độ dài cạnh AB Câu 27 Cho tam giác ABC có BC  , CA  , AB  Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ACM Câu 28 Cho tam giác ABC có AB  , AC  , BC  Gọi M trung điểm cạnh AB Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM Câu 29 Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B hai bên bờ ao, bạn An dọc bờ ao từ vị trí   5957 ', BCA   829 ' Hỏi khoảng cách  , BCA  Biết AC  25 m, BAC A đến vị trí C tiến hành đo BAC từ vị trí A đến vị trí B mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Câu 30 Bạn A đứng đỉnh tịa nhà quan sát diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng phương từ mắt bạn A tới diều phương nằm ngang)   35 ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A 1, m Cùng lúc chân tòa nhà, bạn B quan sát diều thấy góc nâng   75 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B 1, m Biết chiều cao tịa nhà h  20 m (Hình vẽ) Chiếc diều bay cao mét so mặt đất (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/