3 hệ thức lượng trong tam giác (otc) kntt10

TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – VÍ DỤ Bài Giá trị lượng giác góc từ 0 đến 180 A - Kiến thức cần nhớ Điểm M  x0 ; y0  nầm nửa đường tròn đơn vị cho  XOM   Khi đó: sin   y0 , cos   x0 , sin  tan     90 cos  cos  cot     0 ,   180 sin  tan     0 ;90 ;180 cot  Khi   0 sin   0, cos          Khi   90 sin   1, cos   Khi 0    90  sin   1,  cos   , tan   cot   Khi 90    180  sin   1, 1  cos   , tan   cot   Bảng giá trị lượng giác (GTLG) số góc đạc biệt cần nhớ GTLG 0 30 45 60 90 120 135 sin 1 1 3 2 2 cos 1 1   2 2 tan 1 1 ‖  3 cot 1 1 ‖  3 Bảng 3.1 Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Tính chất a) Giá trị lượng giác hai góc phụ nhau: 150 180  1  ‖  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    tan  90     cot  , cot  90      tan  sin 90    cos  , cos 90    sin    b) Giá trị lượng giác hai góc bù nhau: sin 180    sin  , cos 180     cos   tan 180          tan  , cot 180      cot   c) Hệ thức (bài tập 3.3, SGK Toán 10, tập một): sin   cos2   1  tan     90 cos2  1  cot   0    180 sin  tan   cot   0    180 ,  90       B - Ví dụ Ví dụ Khơng dùng máy tinh, tính giá trị biều thức sau: a) A  sin 45  cos135  cos 60  sin150  cos 30  sin120 ; b) B  tan135  cot 60  cot 30  tan 60  tan150 c) C  2sin 60  tan150  cos180  cot 45 Giải 1 a) Từ Bảng 3.1 ta thấy sin 45   sin120   cos135 , cos 60   sin150 cos 30  2   1 3 1             1  2 1 b) Do tan135  1, cot 60  nên , cot 30  tan 60  3, tan150   3   B  1        3  Từ suy A  , tan150   , cos180  1 cot 45  Suy c) Cũng từ Bảng 3.1,sin 60        (1)    3 Chú ý Nếu đề ý đến mối liên hệ góc có biểu thức, góc bù nhau, góc phụ nhau, ta giải tốn theo cách sau: a) Do 135  180  45 ,150  180  30 ,120  180  60 nên C  2   A  sin 45   cos 45  cos 60  sin 30  cos30  sin 60   1 3 1         1    4  2 2 2 b) Do 135  180  45 , 60  90  30 ,150  180  30 nên    B  1   tan 60   tan 30  c) Do 150  180  30 nên   C  2sin 60   tan 30  cos180  cot 45         (1) 1   3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Ví dụ Cho góc  , 0    180 thoả mãn cos    a) Tính tan  b) Tính giá trị biểu thức P  tan   cot  Giải 1   2 a) Do cos     nên  góc tù tan    cos  b) Do tan   cot   tan   2 nên cot    2   P  2       2 Nhận xét Khi tính tan  từ cos  nhờ đẳng thức  tan   sai lầm thường gặp học sinh cos  mặc định coi tan    mà quên tan    góc tù cos  Bài Hệ thức lượng tam giác A - Kiến thức cần nhớ Quy ước, kí hiệu Với tam giác ABC , ta thường sử dụng kí hiệu sau: a, b, c : Độ dài cạnh BC , CA, AB , hb , hc : Độ dài đường cao kẻ từ A, B, C abc : Nửa chu vi tam giác p S : Diện tích tam giác R, r : Bán kinh đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp ma , mb , mc : Độ dài đươong trung tuyến kẻ từ A, B, C Định lí cơsin Trong tam giác ABC , ta có a  b  c  2bc cos A a b c Định lí sin Trong tam giác ABC , ta có    2R sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích: 1 abc S  aha  ab sin C   pr  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 4R B - Ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC có a  8, b  9, c  a) Tính số đo góc tam giác b) Tính diện tích, bán kinh đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp độ dài đường cao tam giác Giải a) Áp dụng định lí cơsin, ta có b  c  a 81  36  64 53 cos A    bc 296 108 Suy Aˆ  603639   Hồn tồn tương tự, tính Bˆ  78355 , Cˆ  40 4816   23 b) Do a  8, b  9, c  nên tam giác ABC có nửa chu vi p   Suy p  a  , p  b  2 2 11 23 11 8855     p  c  Từ đó, theo cơng thức Heron ta diện tích tam giác S  2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Suy bán kinh đường tròn nội tiếp r  S 8855 abc 432  bán kinh đường tròn ngoại tiếp R   p 46 4S 8855 Nhận xét - Định lí cơsin giúp ta giải tam giác trường hợp biết ba cạnh tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh (bài tập 3.8 3.9 ) 53 8855 - Từ cos A  , sử dụng hệ thức (bài tập 3.3, SGK Toán 10, tập một), tính sin A  108 108 8855 Từ đó, sử dụng cơng thức S  bc sin A ta thu S  Ví dụ Cho tam giác ABC có Aˆ  15 , c  Bˆ  120 a) Tính độ dài cạnh a, b b) Tính độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác diện tích tam giác c) Tính độ dài đường cao Giải a) Do Aˆ  15 , Bˆ  120 nên Cˆ  180  Aˆ  Bˆ  45 Áp dụng đinh lí sin ta được: c a sin A  sin15  3  sin C sin 45 c b sin B  sin120  sin C sin 45 b) Theo định lí sin, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác c R   2 sin C sin 45 Do a  3(  1), b  6, c  R  nên   abc 3(  1)   3(  1)   4R 43 2S 3(  1) c) Từ kết phần b), suy   3 a 3(  1) Nhận xét - Định lí sin giúp ta giải tam giác trường hợp biết hai góc cạnh tam giác - Ở phần b) sử dụng cơng thức S  ab sin C để tính diện tích tam giác Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: b2  c a a) ma2  ;  1 1 b)    hb hc r Giải a) Gọi M trung điểm BC Khi ma  AM Có hai trường hợp sau xảy ra: Trường hợp b  c Trong trường hợp AM đường cao kẻ từ A tam giác Do a2 b2  b2 a2 ma2  AC  CM  b    4 Trường hợp b  c Khơng tính tổng qt, xét trường hợp b  c , trường hợp lại chứng minh tương tự S Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Gọi D chân đường cao kẻ từ A Do b  c nên D thuộc tia MC Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADB , ta có AB  BD  AD  ( BM  MD )2  AD  BM   BM  MD  MD  AD Suy AB  BM   BM  MD  AM 1 Một cách tương tự, áp dụng định lỵ Pythagore cho tam giác ADC , AC  AD  ( MC  MD )2  MC   MC  MD  AM   Từ (1) (2) suy AB  AC  BM  CM  2( BM  MD  CM  MD )  AM  BM  CM  AM     b2  c a  b) Từ công thức tinh diện tich tam giác suy p a b c 1        r S 2S 2S 2S hb hc hay ma2  Nhận xét b2  c2 a2 cho phép ta tính độ dài đường trung tuyến tam giác, biết ba  cạnh Có thể thu công thức cách làm 3.16 (Toán 10, tập một) - Nếu gọi E điểm đối xứng với A qua M , tứ giác ABEC hình bình hành với hai đường chéo BC , AE Khi cơng thức tính độ dài đường trung tuyến phần a) trở thành - Công thức ma2  BC  AE  AB  BE  EC  CA2 Ví dụ Cho tam giác ABC có góc thoả mãn sin C   sin B  cos A Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Giải Áp dụng định lí sin cơsin, ta có b2  c2  a2 sin C  sin B cos A  c  b cos A  c  b   c  b  c  a  a  b bc Vậy tam giác ABC cân C Ví dụ Để đo chiều cao tòa nhà, người ta chọn hai điểm A B thẳng hàng với chân C tòa nhà, cách 15 m Sử dụng giác kế, từ A B tương ứng nhìn thấy đỉnh D tịa nhà góc 35 40 so với phương nằm ngang Hỏi chiều cao tòa nhà đo mét? Giải   40 , BAD   35 nên  ADB  40  35  5 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD ta Do CBD AB 15 BD   sin A   sin 35  sin D sin Từ suy chiều cao tịa nhà   15  sin 35  sin 40   63, 45( m ) h  CD  BD  sin CBD sin 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN Đề Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos30 Câu Rút gọn P  cos 20  cos 40   cos160  cos180 Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 10  sin 20  sin 30   sin 80 Câu Cho biểu thức     1    3   sin  2  x   cos x P  x    tan   x  tan   x   cos   x  2  cos2  x      sin   x        2  Rút gọn biểu thức P  x  ta P  x   m.sin x  n.cos x Tính S  m  n ? Câu Một đu quay có bán kính 75 m , tâm vòng quay độ cao 90 m (tham khảo hình vẽ) Thời gian quay hết vòng đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay sau 20 phút quay, người độ cao mét? Câu Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Khi số đo góc Aˆ bao nhiêu? Câu Cho tam giác ABC có B  30 , C  55 cạnh AC  16cm Tính cạnh AB ? Câu Cho tam giác ABC có B  40 , C  55 cạnh AC  20cm Tính cạnh BC ? Câu Cho tam giác ABC có B  30 cạnh AC  16cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC? Câu 10 Cho tam giác ABC có B  50 cạnh AC  20cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Câu 11 Cho tam giác ABC có B  35 , C  50 cạnh AC  12cm Tính cạnh AB ? Câu 12 Cho ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r  , nửa chu vi p  10 Diện tích tam giác ABC bao nhiêu? Câu 13 Cho tam giác ABC có a  6, b  6, c  Khi diện tích tam giác bao nhiêu? Câu 14 Cho tam giác ABC có A  60, AB  6, AC  Tính BC Câu 15 Tam giác ABC có AB  4, BC  6, AC  Điểm M thuộc đoạn BC cho MC  MB Tính độ dài AM Câu 16 Cho tam giác ABC biết a  3, b  2, c   Số đo góc lớn tam giác bao nhiêu?   300 , C   450 , AB  Tính cạnh AC Câu 17 Tam giác ABC có B  C  150 BC  a Tính bán kính đường trịn ngoại Câu 18 Tam giác ABC có tổng hai góc B tiếp tam giác ABC Câu 19 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b  c  2a Chứng minh sin B  sin C  sin A   60 Khi diện tích tam giác ABC Câu 20 Cho tam giác ABC biết AB  , AC  , BAC bao nhiêu? Câu 21 Cho tam giác ABC biết a  , b  , c  Khi diện tích tam giác ABC bao nhiêu?   85 , C   65 Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Câu 22 Cho tam giác ABC biết a  , B bao nhiêu? Câu 23 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB  , BC  , M trung điểm BC , N điểm cạnh CD cho ND  3NC Khi diện tich tam giác AMN bao nhiêu? Câu 24 Cho tam giác ABC có A  120o ; b  8; c  Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 25 Cho tam giác ABC có A  60o ; b  12; c  13 Tính đường cao lớn tam giác ABC   Câu 26 Cho tam giác ABC , có A  105 , C  45 AC  10 Tính độ dài cạnh AB Câu 27 Cho tam giác ABC có BC  , CA  , AB  Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ACM Câu 28 Cho tam giác ABC có AB  , AC  , BC  Gọi M trung điểm cạnh AB Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác BCM Câu 29 Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B hai bên bờ ao, bạn An dọc bờ ao từ vị trí   5957 ', BCA   829 ' Hỏi khoảng cách  , BCA  Biết AC  25 m, BAC A đến vị trí C tiến hành đo BAC từ vị trí A đến vị trí B mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 30 Bạn A đứng đỉnh tòa nhà quan sát diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng phương từ mắt bạn A tới diều phương nằm ngang)   35 ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A 1, m Cùng lúc chân tòa nhà, bạn B quan sát diều thấy góc nâng   75 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B 1, m Biết chiều cao tòa nhà h  20 m (Hình vẽ) Chiếc diều bay cao mét so mặt đất (làm tròn kết đến hàng đơn vị)?   MBC   MCA   Câu 31 Cho M điểm nằm tam giác ABC cho MAB S  SABC Chứng minh cot   cot A  cot B  cot C '   Câu 32 Tam giác nhọn ABC có AC  b, BC  a , BB ' đường cao kẻ từ B CBB Tìm cơng thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b  ? Câu 33 Cho tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến ma , mb , , mc thỏa mãn 5ma2  mb2  mc2 Khi tam giác ABC tam giác gì? Câu 34 Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin A  sin B  sin C Khi tam giác ABC tam giác gì? cos B  cos C Câu 35 Ơng X cần đo diện tích mảnh đất hình tứ giác, ơng theo chu vi mảnh đất, đo độ dài cạnh góc hình vẽ.Tính diện tích mảnh đất đó(làm trịn đến m ) Lời giải tham khảo Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 60  sin 60 cos30 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Lời giải sin 30  cos 60 Vì 30 60 hai góc phụ nên  sin 60  cos 30 Nên P  sin 30 cos 60  sin 60 cos 30  cos 60  sin 60  Câu Rút gọn P  cos 20  cos 40   cos160  cos180 Lời giải P  cos 20  cos 40   cos160  cos180  cos 20  cos 40  cos 60  cos80  cos100  cos120  cos140  cos160  cos180  cos 20  cos 40  cos 60  cos80  cos80  cos 60  cos 40  cos 20  cos180  cos180  1 Câu Tính giá trị biểu thức P  sin 10  sin 20  sin 30   sin 80 Lời giải Do 10O  80O  20  70  30  60  40  50  90 nên cung lượng giác tương ứng đôi phụ Áp dụng công thức sin  90  x   cosx , ta P   sin 10O  cos 10O    sin 20O  cos 20O    sin 30  cos2 30    sin 40  cos 40       Vậy P  Câu Cho biểu thức     1    3   sin  2  x   cos2 x P  x    tan   x  tan   x   cos   x  2  cos  x      sin   x          Rút gọn biểu thức P  x  ta P  x   m.sin x  n.cos x Tính S  m  n ? Lời giải     1    3   sin  2  x   cos2 x P  x    tan   x  tan   x   cos   x  2  cos  x      sin   x        2      2   tan x.cot x  cos   x   sin x  cos x sin x sin x      cot x sin x  cos x  3cos x Vậy m  ; n   S  Câu Một đu quay có bán kính 75 m , tâm vịng quay độ cao 90 m (tham khảo hình vẽ) Thời gian quay hết vòng đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay sau 20 phút quay, người độ cao mét? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Lời giải Chọn vị trí xuất phát A làm mốc Ta xét chiều quay đu quay theo chiều kim đồng hồ Cứ 30 phút đu quay quay vòng  3600 20.3600  2400  vị trí B theo hình vẽ Suy ra, sau 20 phút đu quay quay 30   600  BOH OH OH 75  cos 600   OH   m  OB 75 75  127,5 mét Vậy sau 20 phút người độ cao 15  75  Có cos BOH  Câu Tam giác ABC có AB  5, BC  7, CA  Khi số đo góc Aˆ bao nhiêu? Lời giải  Theo định lí hàm cosin, ta có cos A AB  AC  BC 52  82    AB AC 2.5.8 2 Do đó, Aˆ  60 Câu Cho tam giác ABC có B  30 , C  55 cạnh AC  16cm Tính cạnh AB ? Lời giải Theo định lí sin, ta có: AC AB 16 AB 16sin 55     AB   26,  cm  sin B sin C sin 30 sin 55 sin 30 Câu Cho tam giác ABC có B  40 , C  55 cạnh AC  20cm Tính cạnh BC ? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/