9 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (otc) ctst10

ÔN TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IX PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O (gọi điểm gốc)  vectơ e có độ dài gọi vectơ đơn vị trục  Ta kí hiệu trục (O; e ) Hệ trục tọa độ     Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) (O; j ) vng góc với Điểm gốc O chung hai   trục gọi gốc tọa độ Trục (O; i ) gọi trục hoành kí hiệu Ox , trục (O; j ) gọi trục     tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy Hệ trục tọa độ (O; i , j ) kí hiệu Oxy Tọa độ vectơ     Trong mặt phẳng Oxy , cặp số ( x; y ) biểu diễn a  xi  yj gọi toạ độ vectơ a , kí hiệu   a  ( x; y ), x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ a     Chú ý : a  ( x; y )  a  xi  yj   x  x    Nếu cho a  ( x; y) b   x ; y  a  b    y  y Tọa độ điểm  Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm M tuỳ ý Tọa độ vecto OM gọi tọa độ điểm M  Nhận xét: Nếu OM   x; y  cặp số  x; y  tọa độ điểm M , kí hiệu M  x; y  , x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M    M   x; y   OM  x.i  y j Chú ý: Hoành độ điểm M cịn kí hiệu x M , tung độ điểm M cịn kí hiệu yM Khi ta viết M  xM ; yM  Biểu thức toạ độ các phép toán vectơ  Cho hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  số thực k Ta có cơng thức sau:        a  b   a1  b1 ; a2  b2  ; a  b   a1  b1 ; a2  b2  ; ka   ka1 ; ka2  ; a  b  a1b1  a2 b2 Áp dụng tọa độ vectơ Liên hệ giũa tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng  Cho hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  Ta có: AB   xB  x A ; y B  y A  Tọa độ trung điểm đọan thẳng trọng tâm tam giác Cho hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm M  xM ; yM  đoạn thẳng AB là: xM  x A  xB y  yB , yM  A 2 Cho tam giác ABC có A  xA ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  Toạ độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC x A  x B  xC y  yB  yC , yG  A 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ phép toán vectơ  Cho hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  hai điểm A  xA ; y A  , B  xB ; yB  Ta có:   - a  b  a1b1  a2b2  ;   - a b phương  a1b2  a2b1  ;  - | a | a12  a22 là: xG   xB  x A    y B  y A  - AB     a1b1  a2b2   a b   (a , b khác 0) - cos(a; b )     | a || b | a12  a22  b12  b22 B BÀI TẬP MẪU Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M , N , P biểu diễn Hình a) Tìm toạ độ điểm M , N , P      b) Hãy biểu thị vectơ OM , ON , OP qua hai vectơ i j     c) Tìm toạ độ vectơ PM , PN , PO, NM Giải a) Theo Hình ta có toạ độ điểm M , N , P là: M (1;3), P(3;0), N (2; 1)          b) Ta có: OM  i  j ; ON  2i  j ; OP  3i  j c) Ta có: PM  xM  x P ; yM  y p  (1  3;3  0)  (2;3)  PN   x N  xP ; yN  yP   (2  3; 1  0)  (5; 1)  PO   xO  xP ; yO  yP   (0  3;  0)  (3; 0)  NM   x M  x N ; yM  yN   (1  (2);3  (1))  (3; 4)   Bài Cho hai vectơ a  (3; 4), b  (1;5)       a) Tìm tọa độ vectơ: a  b , a  b ,10a , 2b     b) Tính tích vơ hướng: a  b , (2a )  (5b ) Giải a) Ta có:     a  b  (3  (1);  5)  (2;9); a  b  (3  (1);  5)  (4; 1) ;   10a  (10.3;10.4)  (30; 40); 2b  (2.(1); 2.5)  (2; 10) b) Ta có:     a  b   (1)    3  20  17     2a  (6; 8) 5b  (5; 25) nên (2a )  (5b )  (6)  (5)  (8)  25  30  200  170    Bài Cho ba vectơ m  (6;1), n  (0; 2), p  (1;1) Tìm toạ độ vectơ:    a) m  n  p    b) (m  n ) p Giải    a) Ta có: m  n  p  (6   1;1   1)  (7; 2)      b) Ta có: (m  n ) p  (6.0  1.2) p  p  (2; 2) Bài Cho tam giác DEF có toạ độ đỉnh D(2; 2), E (6; 2) F (2;6) a) Tìm tọa độ trung điểm M cạnh EF b) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác DEF Giải x  xF  y  yF  a) Ta có: xM  E   4, yM  E   2 2 Vậy toạ độ trung điểm M cạnh EF M (4; 4) x  xE  xF   10 y  yE  yF   10   , yG  D   b) Ta có: xG  D 3 3 3  10 10  Vậy toạ độ trọng tâm G tam giác DEF G  ;   3 Bài Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(2; 2), B(6;3) C (5;5) a) Tìm toạ độ điểm H chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A b) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC số đo góc C Giải    a) Xét điểm H ( x; y) , ta có: AH  ( x  2; y  2), BH  ( x  6; y  3), BC  (1; 2) H ( x; y) chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A nên ta có:   AH  BC  ( x  2)  (1)  ( y  2)     x  y   (1)   Hai vectơ BH , BC phương  ( x  6)   ( y  3)  (1)   x  y  15  (2)  28  x   x  y   Từ (1) (2) ta hệ phương trình   2 x  y  15   y  19   28 19  Vậy H  ;   5    b) Ta có: AB  (4;1), CB  (1; 2), CA  (3; 3)   Suy ra: AB | AB | 42  12  17, BC | BC | (1)2  22  ,     CA  CB (3)   (3)  (2)  10   AC | AC | 32  32  cos Cˆ  cos(CA, CB )  CA  CB 10 2 Vậy Cˆ  7134 BÀI ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình đường thẳng Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng     Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng  u  giá u song song trùng với      Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  n  n vng góc với vectơ phương  Chú ý:    - Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  (a; b)  nhận u  (b; a ) u  (b; a ) vectơ phương   - Nếu u vectơ phương đường thẳng  ku (k  0) vectơ phương    - Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng  kn (k  0) vectơ pháp tuyến  Phương trình tham số đường thẳng  x  x0  tu1 Trong mặt phẳng Oxy , ta gọi:  (với u12  u22  0, t   ) y  y  tu   phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  có vectơ phương u   u1 ; u2  Chú ý: Cho t giá trị cụ thể ta xác định điểm đường thẳng  ngược lại Phương trình tổng quát đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng có phwơng trình tổng qt dạng ax  by  c  0, với a b không đồng thời Chú ý: - Mỗi phương trình ax  by  c  ( a b không đồng thời ) xác định đường thẳng có  vectơ pháp tuyến n  (a; b) - Khi cho phương trình đường thẳng ax  by  c  , ta hiểu a b không đồng thời Vị trí tương đối hai đường thẳng   Nếu n1 n2 phương 1  song song trùng Láy điểm P tuỳ ý 1 - Nếu P   1   - Nếu P   1 / /    Nếu n1 n2 không phương 1  cắt điểm M  x0 ; y0  với  x0 ; y0  nghiệm  a x  b1 y  c1  hệ phương trình:   a2 x  b2 y  c2  Chú ý:     a) Nếu n1  n2  n1  n2 , suy 1     b) Để xét hai vectơ n1  a1 ; b1  n2  a2 ; b2  phương hay không phương, ta xét biểu thức a1b2  a2b1 : - Nếu a1b2  a2b1  hai vectơ phương - Nếu a1b2  a2b1  hai vectơ không phương Trong trường hợp tất hệ số a1 , a2 , b1 , b2 khác , ta xét hai trường hợp: a b - Nếu  hai vectơ phương a2 b2 a b - Nếu  hai vectơ khơng phương a2 b2 Góc hai đường thẳng Khái niệm góc hai đường thẳng Hai đường thẳng 1  cắt tạo thành bốn góc - Nếu 1 khơng vng góc với  góc nhọn bốn góc gọi góc hai đường thẳng 1  - Nếu 1 vng góc với  ta nói góc 1  90 Cơng thúc tính góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1   a12  b12   ,  : a2 x  b2 y  c2   a22  b22   có vectơ pháp   tuyến n1 n2 a1a2  b1b2 Ta có cơng thức: cos  1 ,    a  b12  a22  b22 Chú ý: Ta biết hai đường thẳng vng góc chúng có hai vectơ pháp tuyến vng góc Do đó: - Nếu 1  có phương trình a1 x  b1 y  c1  a2 x  b2 y  c2  ta có:  1 ,    90  a1a2  b1b2  - Nếu 1  có phương trình y  k1 x  m1 y  k2 x  m2 ta có:  1 ,    90  k1  k2  1 Nói cách khác, hai đường thẳng có tích hệ số góc -1 vng góc với Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình ax  by  c   a  b   điểm M  x0 ; y0  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  , kí hiệu d  M ;   tính cơng thức: d  M ,    ax0  by0  c a2  b2 B BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d trường hợp sau:  a) Đường thẳng d qua điểm A(5; 4) có vectơ phương u  (1;3) ;  b) Đường thẳng d qua điểm B(1; 2) có vectơ pháp tuyến n  (1;4) ; c) Đường thẳng d qua hai điểm C (2;2), D(4;6) Giải  a) Đường thẳng d qua điểm A(5; 4) có vectơ phương u  (1;3) nên ta có phương trình tham số x   t d là:   y   3t   Đường thẳng d có vectơ phương u  (1;3) nên có vectơ pháp tuyến n  (3; 1) Phương trình tổng quát d là: 3( x  5)  ( y  4)   3x  y  11   b) Đường thẳng d qua điểm B(1; 2) có vectơ pháp tuyến n  (1;4) nên có vectơ phương  x   4t  u  (4;1) Phương trình tham số d là:  y   t Phương trình tổng quát d là: ( x  1)  4( y  2)   x  y     c) Đường thẳng d qua hai điểm C (2;2), D(4;6) nên có vectơ phương u  CD  (2;4)  (1; 2) 2  có vectơ pháp tuyến n  (2; 1) x   t Phương trình tham số d là:   y   2t Phương trình tổng quát d là: 2( x  2)  ( y  2)   x  y   Bài Viết phương trình tổng quát đường thẳng đồ thị hàm số bậc sau: a) d1 : y  x  b) d : y   x  c) d3 : y   x Giải a) Ta có y  x   x  y   Vậy phương trình tổng quát d1 x  y   b) Ta có y   x   x  y   Vậy phương trình tổng quát d x  y   c) Ta có y   x  x  y  Vậy phương trình tổng quát d3 x  y  Bài Cho đường thẳng d có phương trình x  y   Xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau:  x    t a) 1 : x  y   b)  : x  y   c)  :   y  2t Giải   a) d 1 có vectơ pháp tuyến n1  (4; 2) n2  (1; 2)   Ta có: a1b2  a2b1   (2)  1  10  , suy n1 n2 hai vectơ không phương Vậy d 1 cắt điểm M 4 x  y   3  Giải hệ phương trình  ta M  1;  2   x  2y     b) d  có vectơ pháp tuyến n1  (4; 2) n2  (2;1)   Ta có  suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy d  song song trùng Lấy 1 1  điểm N  0;   thuộc d , thay toạ độ N vào phương trình  , ta 2.0    , suy N 2  không thuộc  Vậy d / /  x    t c) Ta có  :   y  2t Suy ra: phương trình tổng quát 3 : x  y  0     d 3 có vectơ pháp tuyến n1  (4; 2) n2  (2;1) Ta có  suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy d 3 song song trùng   Lấy điểm P   ;0  thuộc d , thay toạ độ P vào phương trình tổng quát  , ta    1       , suy N thuộc  Vậy d    4 Bài Tính số đo góc hai đường thẳng d1 d trường hợp sau: a) d1 : x  y  2023  d : x  y  2024  ; b) d1 : x  y   d : 3x  y  101  ; c) d1 : x  y   d : x  y  2025  Giải |1.6  2.2 | 10 a) Ta có: cos  d1 , d   Suy  d1 , d   45   2 2 200 2  2 b) Ta có: a1  a2  b1  b2      , suy  d1 , d   90     c) d1 d có vectơ pháp tuyến n1  (4;3) n2  (8;6) Ta có  , suy n1 n2 hai vectơ phương Vậy d1 d song song trùng Do  d1 , d   0 Bài Tính khoảng cách từ điểm A(4;5), B(2;0) đến đường thẳng  : x  y  13  Giải | 6.4  8.5  13 | 29 | 6.2  8.0  13 | Ta có: d ( A, )    2,9; d ( B, )    0,1 2 10 10 8 62  82 Bài ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẠT PHẲNG TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình đường trịn Phương trình ( x  a)2  ( y  b)  R phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R   Nhận xét: Ta có ( x  a)2  ( y  b)2  R  x  y  2ax  2by  a2  b2  R  Vậy phương trình đường trịn ( x  a)2  ( y  b)  R viết dạng x  y  2ax  2by  c  , c  a  b2  R Ngược lại, phương trình x  y  2ax  2by  c  phương trình đường tròn (C ) a  b2  c  Khi đường trịn (C ) có tâm I (a; b) bán kính R  a  b  c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Phương trình tiếp tuyến đuờng trịn tâm I (a; b) điểm M  x0 ; y0  nằm đường tròn là:  a  x  x  x    b  y  y  y   0 0 B BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình đường tròn (C ) trường hợp sau: a) (C) có tâm I (3; 2) , bán kính R  ; b) (C) tâm J (1; 1) , bán kính R  Giải a) Đường trịn (C ) tâm I (3; 2) , bán kính R  có phương trình ( x  3)2  ( y  2)2  49 b) Đường tròn (C ) tâm J (1; 1) , bán kính R  có phương trình ( x  1)2  ( y  1)2  25 Bài Phương trình phương trình sau phương trình đường trịn? Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn a) x  y  x  y  20  ; b) x  y  x  y   c) x  y  x  y   ; d) x  y  x  y   Giải a) x  y  x  y  20  (1) Phương trình (1) có dạng x  y  2ax  2by  c  với a  1; b  2; c  20 Ta có a  b2  c    20  25  Vậy (1) phương trình đường trịn tâm I (1; 2) , bán kính R  b) x  y  x  y   (2) Phương trình (2) có dạng x  y  2ax  2by  c  với a  1; b  2; c  Ta có a  b2  c     1  Vậy (2) khơng phải phương trình đường trịn c) x  y  x  y   (3) Phương trình (3) có dạng x  y  2ax  2by  c  với a  2; b  4; c  Ta có a  b2  c   16   15  Vậy (3) phương trình đường trịn tâm I (2; 4) , bán kính R  15 d) x  y  x  y   (4)  x  y  3x  y   (*) Phương trình * có dạng x  y  2ax  2by  c  với a   ; b  2; c  1 29    Vậy (4) phương trình đường trịn tâm I   ; 2  , bán kính Ta có a  b  c     4   29 R Bài Viết phương trình tiếp tuyến d với đường trịn (C ) : ( x  1)2  ( y  3)  25 điểm M (5;6) Giải Ta có: (5  1)  (6  3)  25 , nên điểm M thuộc đường tròn (C ) Đường tròn (C ) : ( x  1)  ( y  3)  25 có tâm I (1;3) Phương trình tiếp tuyến d với (C ) M (5;6) là: (1  5)( x  5)  (3  6)( y  6)   x  3y  38  Bài Một nông trại tưới nước theo phương pháp vịi phun xoay vịng trung tâm Hình Cho biết tâm vòi phun đặt toạ độ (12; 9) vịi phun xa tối đa 36 m Hãy viết phương trình đường trịn biểu diễn tập hợp điểm xa mà vòi nước phun tới Giải Tập hợp điểm xa mà vịi nước phun tới đường trịn có tâm I (12; 9) bán kính R  36 nên có phương trình: ( x  12)2  ( y  9)2  362 Bài BA ĐUỜNG CONIC TRONG MẠT PHẲNG TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Elip Nhận biết elip Cho hai điểm cố định F1 , F2 độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip ( E ) tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M  F2 M  2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1 F2  2c gọi tiêu cự elip (a  c) Phương trình tắc Elip Cho elip ( E ) có hai tiêu điểm F1 , F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1 (c;0) F2 (c;0) Phương trình x2 y2   , b  a  c gọi phương trình chinh tắc elip a b Chú ý: - ( E ) cắt Ox hai điểm A1 (a;0), A2 (a;0) cắt Oy hai điểm B1 (0; b) , B2 (0; b) - Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi đỉnh elip - Đoạn thẳng A1 A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1 B2 gọi trục nhỏ elip - Giao điểm O hai trục tâm đối xứng elip - Nếu M ( x, y)  ( E ) | x | a,| y | b Hypebol Nhận biết hypebol Cho hai điểm cố định F1 , F2 độ dài không đổi 2a nhỏ F1 F2 Hypebol tập hợp điểm M mặt phẳng cho F1M  F2 M  2a Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm hypebol Độ dài F1 F2  2c gọi tiêu cự hypebol (c  a ) Phương trình tắc Hypebol Hypebol ( H ) có hai tiêu điểm F1 , F2 Chọn hệ trục tọ ̣ độ cho F1 (c;0) F2 (c;0) Phương trình x2 y2   b  c  a phương trình tắc hypebol a2 b2 Chú ý: - ( H ) cắt Ox hai điểm A1 (a;0) A2 (a;0) Nếu vẽ hai điểm B1 (0; b) B2 (0; b) vào hình chữ nhật OA2 PB2 a  b2  c - Các điểm A1 , A2 gọi đỉnh hypebol - Đoạn thẳng A1 A2 gọi trục thực, đoạn thẳng B1B2 gọi trục ảo hypebol - Giao điểm O hai trục tâm đối xúng hypebol - Nếu M ( x; y)  ( H ) x   a x  a Parabol Nhận biết parabol Cho điểm cố định F đường thẳng  cố định không qua F Parabol ( P) tập hợp điểm M cách F  F gọi tiêu điểm  gọi đường chuẩn parabol ( P) Phương trình tắc parabol p p  Parabol ( P) với tiêu điểm F  ;0  đường chuẩn  : x   , có phương trình tắc: 2  y  px Chú ý: - O gọi đỉnh parabol ( P) - Ox gọi trục đối xúng parabol ( P) - p gọi tham số tiêu parabol ( P) - Nếu M ( x; y )  ( P) x  M  ( x;  y )  ( P) B BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình tắc elip ( E ) có tiêu cự 2c  18 độ dài trục lớn 2a  24 Giải Ta có: 2c  18; 2a  24 suy c  9, a  12 b2  a  c  122  92  63 x2 y2   144 63 Bài Viết phương trình tắc hypebol có tiêu cự 2c  26 độ dài trục thực 2a  24 Giải Ta có: 2c  26; 2a  24 suy c  13, a  12 b2  c  a  132  122  25 Vậy phương trình tắc ( E ) x2 y  1 144 25 Bài Viết phương trình parabol ( P) có tiêu điểm F (3;0) Vậy phương trình tắc hypebol Giải