9 CD9 phuong phap toa do trong mat phang

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG y A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ r j I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng :  x'Ox : trục hoành x'  y Oy : trục tung  O : gốc toạ độ r r r r rr i  j  va� i j ) i, j : véc tơ đơn vị ( '  r i x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: uuuu r Định nghĩa 1: Cho M  mp(Oxy) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr uuuu r r r y hệ thức có dạng : OM  xi  yj v� i , j � i x,y �� Q M r j x' Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M r i O x Ký hiệu: P M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M ) y' M (x; y)  Ý nghĩa hình học: � �n / uuuu r r r OM  xi  yj x OP vaøy=OQ y Q M y x' x x O P y' r r Định nghĩa 2: Cho a mp(Oxy) Khi véc tơ a biểu diển cách theo r r r rr � i a1,a2 �� i, j hệ thức có dạng : a  a1i  a2 j v� r y Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a  r e a (a1; a2) Ký hiệu: r a=(a1;a2)  Ý nghĩa hình học: y K B2 H x O A1 y' r r r a  a1i  a2 j O  e1 x P y' B A A2 x' �n / � x'  a B1 a1  A1B1 vaøa2=A 2B2 199 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN III Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB )  Định lý 1: uuu r AB (xB  xA; yB  yA ) B( x B ; y B ) A( x A ; y A )  a r r Nếu a (a1; a2) vàb (b1; b2)  Định lý 2: r r  a1 b1 * a b    a2 b2 r r * a  b (a1  b1; a2  b2 ) r r * a  b (a1  b1; a2  b2) r (k �) * k.a (ka1; ka2)  b IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại  Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song  Định lý phương hai véc tơ: r r r r  Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b0  a  b  a   b Định lý : r r r r a cuø ng phương b  !k  �sao cho a k.b r r Nếu a 0 số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b   a r r b k < a ngược hướng b r a v v 5v v a  b , b - a kr B b A C uuu r uuur A, B,C thẳ ng hà ng  AB cù ng phương AC (Điều kiện điểm thẳng hàng ) r r  Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2) vaøb (b1; b2) ta có : r r a cù ng phương b  a1.b2  a2.b1 0 (Điều kiện phương véc tơ) 200 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN V Tích vơ hướng hai véc tơ: y Nhắc lại:  b  b O  a   a rr r r r r a.b  a b cos(a, b) B A  b r2 r a a x' r r rr a  b  a.b 0 r r  Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2) vaøb (b1; b2) ta có : rr a.b a1b1  a2b2 r  Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2) ta có : r a  a12  a22  a O x y' (Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ) (Cơng thức tính độ dài véc tơ )  Định lý 8: Nếu A(xA; yA ) vàB(xB; yB ) (Cơng thức tính khoảng cách điểm) AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2 r r  Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2) vàb (b1; b2) ta có r r a  b  a1b1  a2b2 0 r r  Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2) vàb (b1; b2) ta có rr r r a.b a1b1  a2b2 cos(a, b)  r r  a b a12  a22 b12  b22 (Điều kiện vng góc véc tơ) (Cơng thức tính góc véc tơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghĩa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) : MA k.MB A M B � � � uuur uuur  Định lý 11 : Nếu A(xA; yA ) , B(xB; yB ) MA k.MB ( k 1 ) xA  k.xB   xM  1 k   y  yA  k.yB M 1 k  201 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Đặc biệt : HĐBM-TỔ TOÁN xA  xB   xM  M trung điểm AB    y  yA  yB  M VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác : A x A  x B  xC   xG  G làtrọng tâm tamgiác ABC  GA  GB  GC 0    y  y A  y B  yC  G uuur uuur uuur uuur  AH  BC  AH BC 0 m tam giaù c ABC   uuur uuur   uuur uuur H làtrực tâ A  BH  AC  BH AC 0 uuur uuur  AA'  BC ' C n đườ ng cao kẻtừA   uuur A làchâ B A' uuur '  BA cù ng phương BC G C B A H C B A  IA=IB m đườ ng trò n ngoại tiế p tam giá c ABC   I làtâ  IA=IC I uuur AB uuur cha� n� � � � ng pha� n gia� c cu� a go� c A cu� a ABC � DB   DC D la� AC uuuu r AB uuuu r ' cha� n� � � � ng pha� n gia� c ngoa� i cu� a go� c A cu� a ABC � D'B  D'C D la� AC A uur r AB uuu m đườ ng trò n nộ i tiế p ABC  J A  J D J làtâ BD B C A C D B J C B ĐƯỜNG THẲNG B D I Các định nghĩa VTCP VTPT (PVT) đường thẳng: r r  r ñn  a  a VTCP đường thẳng (  )   r c trù ng vớ i ()  a cógiásong song hoặ r r  r đn  n  n VTPT đường thẳng (  )   r ng gó c vớ i ( )  n cógiávuô  a  n  () a * Chú ý:   r r Nếu đường thẳng (  ) có VTCP a (a1; a2 ) có VTPT n ( a2; a1) r r Nếu đường thẳng (  ) có VTPT n (A; B) có VTCP a ( B; A) ( ) 202 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng : r a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng (  ) qua M0(x0;y0) nhận a (a1; a2 ) làm VTCP có : y  a M ( x; y ) � �x  x0  t.a1  Phương trình tham số : () : � �y  y0  t.a2 (t ��) x O M ( x0 ; y0 )  Phương trình tắc : (): x  x0 y  y0  a1 a2  a1 , a2 �0  Phương trình tổng quát đường thẳng : r a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n (A; B) là: y  n M ( x; y ) x O M ( x0 ; y0 ) (): A(x  x0 )  B(y  y0 ) 0 ( A2  B2 0 ) b Phương trình tổng quát đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng (  ) có dạng :  y n ( A; B) M ( x0 ; y0 ) O x Ax + By + C = với A2  B2 0  a (  B; A)  a ( B; A) Chú ý: Từ phương trình (  ):Ax + By + C = ta suy : r VTPT (  ) n ( A; B) r r VTCP (  ) a ( B; A) hay a (B;  A) M0(x0; y0 ) �() � Ax0  By0  C  Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng 203 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Các dạng khác phương trình đường thẳng : a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x A;yA) B(xB;yB) : ( AB): x  xA y  yA  xB  xA yB  yA ( AB): x  xA y y B( x B ; y B ) M ( x; y ) O ( AB): y yA yA xA x A( x A ; y A ) yB A( x A ; y A ) xB y A( x A ; y A ) x B( x B ; y B ) y A yB x B( x B ; y B ) b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (  ) cắt trục hoành điểm A(a;0) trục tung x y  1 a b điểm B(0;b) với a, b �0 có dạng: c Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k: Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng  Gọi  (Ox, ) k tg gọi hệ số góc y đường thẳng  Định lý 1: Phương trình đường thẳng  qua M0(x0; y0) có hệ số góc k : y y0 O O M ( x; y ) x0 x y-y0 =k(x-x0) x  (1) Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vng góc Ox x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng  có phương trình y  ax  b hệ số góc đường thẳng k  a Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng 1 ,  ta có :  1 //  � k  k2  1   � k1.k2  1 c Phương trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trước: � ng trinh � � � � ng tha� ng (1) //( ): Ax+By+C=0 co� da� ng: Ax+By+m1=0 i Ph� � ng trinh � � � � ng tha� ng (1)  (): Ax+By+C=0 co� da� ng: Bx-Ay+m2=0 ii Ph� 204 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Chú ý: m1; m2 xác định điểm có tọa độ biết nằm 1;  y  : Ax  By  m1 0 y  : Bx  Ay  m 0  : Ax  By  C1 0 O M1 x x0 x x0 O M1  : Ax  By  C1 0 III Vị trí tương đối hai đường thẳng : y y y 2 1 x O 1 x O 1 x 2 2  //  O 1 caét Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1   (1) : A1x  B1y  C1 0 ( 2): A2x  B2y  C2 0 Vị trí tương đối (1) vaø( 2) phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :  A1x  B1y  C1 0   A2x  B2y  C2 0 hay  A1x  B1y  C1 (1)   A2x  B2y  C2 Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M (1) và( 2) Định lý 1: i Hệ(1) vônghiệ m  (1)//( 2) ii Hệ(1) cónghiệ m nhấ t  (1) cắ t ( 2) iii Hệ(1) cóvôsốnghiệ m Định lý 2:  (1) ( 2) Nếu A2; B2;C2 khác ۹ A1 A2 ii (1) // ( 2) � A1 B1 C1  � A B2 C2 iii (1) �( 2) � i (1) ca� t ( 2) B1 B2 A1 B1 C1   A B2 C2 205 Tài liệu ôn thi môn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN IV Góc hai đường thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt tạo thành góc Số đo nhỏ số đo bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b (hay góc hợp hai đường thẳng a b) Góc hai đường thẳng a b đước kí hiệu  a, b  Khi a b song song trùng nhau, ta nói góc chúng 00 Cơng thức tính góc hai đường thẳng theo VTCP VTPT r r a) Nếu hai đường thẳng có VTCP u v v rr u.v r r cos  a, b   cos u, v  r r u.v   r uu r b) Nếu hai đường thẳng có VTPT n v n ' r uu r n.n ' r uu r cos  a, b   cos n, n '  r uu r n n'   Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : (1): A1x  B1y  C1 0 ( 2): A2x  B2y  C2 0 Gọi  ( 00  900 ) góc (1) và( 2) ta có : y cos  A1A2  B1B2  1 A12  B12 A22  B22 x O 2 Hệ quả: (1)  ( 2)  A1A2  B1B2 0 V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ): Ax  By  C 0 điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng () tính cơng thức: M0 y H d(M0; )  Ax0  By0  C O A2  B2 x () 206 Tài liệu ôn thi môn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN C ĐƯỜNG TRỊN I Phương trình đường tròn: Phương trình tắc: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R : y b O I ( a; b ) R a (C ):(x  a)2  (y  b)2 R2 M ( x; y ) x (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường tròn Đặc biệt: Khi I O (C ): x2  y2 R2 Phương trình tổng quát: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2  y2  2ax  2by  c 0 với a2  b2  c  phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R  a2  b2  c II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x2  y2  2ax  2by  c 0 điểm M (x0; y0)  (C ) : () : x0x  y0y  a(x  x0)  b(y  y0)  c 0 VI Các vấn đề có liên quan: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: (C ) (C ) I I R R H M M H Định lý: () I (C)   d(I;) >R () tiế p xú c (C)  d(I;) =R ( ) caé t (C)  d(I; ) R1  R2 (C1) và(C2) cắ t  R1  R2