Dạng 10 bài toán liên quan đến hàm đặc trưng

HQ MATHS – 0827.360.796 – DẠNG 10 Bài toán liên quan đến hàm đặc trừng Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn  x  2020 x + x − y = y A 2020 Câu B 1010 C D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn x , y  5;37  x = y2 + y − x + + y2 + y + A 32 B C D Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x  2020 3x +1 + x + = y + y A 2020 Câu D 33 Có số nguyên dương x thỏa mãn 2.2 x + x + sin y = 2cos y A Câu C B 2021 C 2022 D 2023 Có giá trị nguyên dương tham số m nhỏ 2018 để phương trình ) ( log m + m + x = x có nghiệm thực? A 2017 Câu B 2018 C 2016 D 2015 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn  y  100 x + x y + 12 x y − 19 y + 3x − y = A 10 Câu B 100 C 20 D 21 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn x, y  3; 48 HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu B ( x − 2) y + = y + x − x + (1) A 46 Câu B Có số nguyên dương x thỏa mãn log ( A Vô số Câu C 45 B D 4 x +1 ) + x = sin y+ cos y − sin 2 y C D Cho số thực x, y thỏa mãn x − y = y − x Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − y A P = B P = C P = D P = “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x, y  x, y không đồng thời  x+ y  log3   + ( x + 1)( y + 1) − = Tìm giá trị nhỏ P với P = x + y  − xy  A B C D Câu 11 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x  2020 ( y + y ) = x + log ( x + 1) − ? C D Câu 12 Cho f ( x ) = 2020 x − 2020− x Gọi m0 số lớn số nguyên m thỏa  m  f ( m + 1) + f  − 2020   Giá trị m0  2020  A m0 = 2018 B m0 = 2019 C m0 = 2020 ( D m0 = 2021 ) Câu 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x3 + − y 3xy − x + 3xy − = Tìm giá trị nhỏ ( ) biểu thức P = x3 + y + xy + 3x + ( x + y − ) A + 36 B 36 + 296 15 C 36 − 296 15 D −4 + 36 Câu 14 Cho x, y số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức x +1 log  y + y − x y − y x (1) Biết y  1000 , hỏi có cặp số nguyên 3y +1 dương ( x ; y ) thỏa mãn bất đẳng thức (1) A 1501100 B 1501300 C 1501400 Câu 15 Cho số thực x, y không âm thỏa mãn : x+ x D 1501500 = log 14 − ( y − ) y +  Giá trị biểu thức P = − ( x + y ) A B C D Câu 16 Cho x, y số thực thỏa mãn log (2 x + 2) + x − y = y (*) Biết  x  2018 , số cặp x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) A B C ( Câu 17 Cho a, b, c số thực thỏa mãn 2a P= +b2 + c2 D ) − + (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) = 4a +b +c Đặt 3a + 2b + c gọi S tập hợp gồm giá trị nguyên P Số phần tử tập S a+b+c HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B HQ MATHS – 0827.360.796 – A HQ MATHS – 0827.360.796 – A Vô số Câu 18 Phương trình log x A 11 B Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C D C 101 D 99 C D có nghiệm B Câu 19 Cho 2a = 3, 3b = 4, 4c = 5, 5d = Tính 2abcd B log Câu 20 Cho x, y, z ba số thực khác thỏa mãn x = y = 10− z Tính P = A −2 B 1 + + x y z C D Câu 21 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x = log y = log ( x + y ) Giá trị tỉ số A −1 + B 1 C Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A log 1+ Câu 22 Cho x, y, a, b số dương thỏa mãn a  b  a x +1 = b y = D x y −1 + a Giá trị nhỏ biểu b A −2 B −13 C Câu 23 Cho biết a, b, c số thực dương thỏa mãn 2018a a b biểu thức P b c D 2019b HQ MATHS – 0827.360.796 – thức P = x + y + y 2020c Hãy tính giá trị A log 2018 2019 B log 2018 2019 log 2019 2020 C log 2018 2020 D log 2018 2019.2020 Câu 24 Cho x, y dương thỏa mãn: log3 ( x + y) = + log Giá trị lớn P = xy thuộc khoảng A ( −1;1) 1  B  ;3  2  D ( −2;0 ) C ( 5;10 ) z Câu 25 Cho a, b, c  số thực dương x, y, z thỏa mãn a x = b y = c = abc Tìm giá trị lớn 1 P = + − z x y A −2 B C −1 D 4x + y Câu 26 Cho x  0; y  20202019( x − y + 4) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y − x ( x + 2) ? “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – B P = A P = Câu 27 Cho x  y  thỏa mãn 3x + y + xy − = A B Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C P = (1 − xy ) x+ y Giá trị nhỏ biểu thức P = x + y C Câu 28 Xét số thực a , b thỏa mãn điều kiện D P = D 50 − +1  b  a  Tim giá trị nhỏ biểu thức B P = A P = 13 C P = D P = Câu 29 Xét số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a  1, b  1, c  a x = b y = c z = abc Giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z thuộc tập hợp ? B ( 4; ) A ( 2; ) C ( 6;8 ) D ( 8;10 ) biểu thức T = m + n có giá trị bao nhiêu? A 79 B 25 C 34 D 85 Câu 31 Cho số thực x, y thỏa mãn x  −1, y  −3 log ( y + 3)( x + 1) + xy + 3x + y + = x +1 Giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 10 thuộc tập đây: A 1; ) B 3; ) C  4;5 ) D 5; ) Câu 32 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn  a  b  0, 25 Giá trị nhỏ biểu thức 1  P = log a  b −  − log a b thuộc tập hợp đây? 4  b A ( 0;1)   B  4; 11   2 5 2   C  ;    5 2 D 1;  Câu 33 Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy  y − Giá trị nhỏ P= ( 2x + y ) x + 2y + ln a + ln b Giá trị tích a.b x y A 45 B 81 C 108 D 115 Câu 34 Xét số thực dương a, b, x, y thỏa mãn  a  b  a a x = b y = ab Giá trị lớn biều thức P = x + y thuộc tập hợp đây? HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 30 Xét số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a  , b  a x = b y = ab Giá trị nhỏ m m biểu thức P = x + y Pmin = với phân số tối giản n  , giá trị n n Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  3b −  P = log a   + 12log b a −   a HQ MATHS – 0827.360.796 – B  2; 3) A 1; ) Câu 35 Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a log3 a D  4; ) C  3; ) log3 b Giá trị lớn biểu thức log b A log log3 B log log3 C log log D log log Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp P Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 2x − y y Tính giá trị T = x C T = − D T = − Câu 36 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log16 x = log 20 y = log 25 A T = B T = Câu 37 Cho p q số thực dương cho: log9 p = log12 q = log16 ( p + q) Tìm giá trị ( ( ) q p ) bao nhiêu? A B C D Câu 39 Cho số thực  x  Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x log 128 − log x a, b Tính ab P= log x + A ab = B ab = 35 C ab = −7 D ab = 35 Câu 40 Có cặp số nguyên ( x; y ) , x  2020 thỏa mãn phương trình log x + log ( x − y ) = + log y A 2020 B 1010 C 2019 D 1011 HQ MATHS – 0827.360.796 – 1 B C + D + 2 Câu 38 Cho x, y hai số nguyên không âm thỏa mãn log ( x + y ) = log ( x − y ) Hỏi tổng x + y A  x2 − x +  Câu 41 Biết x1 , x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm phương trình log   = x − x x   x1 − x2 = a − b , ( a, b  ) Tính giá trị biểu thức P = a + b ( A P = −4 ) B P = C P = −6 D P = Câu 42 Cho phương trình log ( cot x ) = log ( cos x ) Phương trình có nghiệm khoảng ( 0; 2020 ) A 2020 B 2019 C 1009 D 1010 Câu 43 Có giá trị nguyên y thỏa mãn x = log ( x + y ) + y Biết y  2020 A B C D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 44 Cho bất phương trình log10 x + log x +  m log100 x với m tham số thực Có giá trị m nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc 1; + ) A B C vô số ( D ) 2 Câu 45 Cho x, y số thực thỏa mãn log3 ( x + y ) = log x + y Tập giá trị biểu thức P = x3 + y có chứa giá trị nguyên B C D Vơ số Câu 46 Có số nguyên x cho tồn số thực dương y thỏa mãn x A B C + y2 = 2.2 y − x ? D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A   Câu 47 Tìm m để phương trình ( m − 1) log 21 ( x − ) + ( m − ) log   + 4m − = có nghiệm 2  x−2 5   ;  2  A −3  m  B m  C m  1 D −3  m  Câu 48 Phương trình log ( cot x ) = log ( cos x ) có nghiệm khoảng ( 0; 2020 ) ? B 1010 nghiệm C 2018 nghiệm D 1009 nghiệm Câu 49 Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x + y + 3) = log5 ( x + y + x + y + 5) ? A B Câu 50 Cho x, y thỏa mãn 2 x − y +1 C D Vô số + 32 x − y +1 − 52 x− y +1 = 5−2 x+ y +1 − 2−2 x + y +1 − 3−2 x + y +1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − y − x + y + B −2 A C D Câu 51 Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn ( ) log3 x + y = log ( x + y ) A B C D Vơ số Câu 52 Có cặp số ( x; y ) thuộc đoạn [1;2020] thỏa mãn y số nguyên x + ln x = y + e y ? A 2021 B 2020 C D log x + log y +  log ( x + y ) Giá trị nhỏ 10 biểu thức S = x + y thuộc tập hợp đây? Câu 53 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – A 2020 nghiệm “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – 5    A  ;  3  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 4  4 B 0;  4 C  ;  3 3   D  ;  3  BẢNG ĐÁP ÁN 2C 3D 4B 5A 6D 7B 8B 9D 10B 11D 12A 13B 14D 15C 16C 17D 18D 19D 20C 21A 22D 23B 24B 25C 26D 27A 28D 29A 30D 31B 32B 33B 34B 35B 36A 37D 38A 39B 40B 41B 42D 43A 44A 45A 46B 47D 48B 49B 50D 51B 52C 53B Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 1D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn D Ta có: x + x − y = y  x + x = y + ( y ) (1) Xét hàm f (t ) = t + t , ( t  ) Ta có: f ' (t ) = + 2t  0, t   f (t ) hàm đồng biến ( 0; +  ) HQ MATHS – 0827.360.796 – ( ) y y Vì vậy, (1)  f ( x) = f  x = Theo giả thiết,  x  2020   y  2020   y  log 2020 Vì y nguyên nên y  0;1; 2;3; 4;5; 6  x  1;3;9; 27 ;81; 243; 729 Vậy có cặp ( x ; y ) thỏa mãn Câu Chọn C Ta có: x = y + y − x + + y + y +  x + x = y + y + + y + y + (2) Xét hàm số f (t ) = t + t khoảng ( 0; + ) ta có: f '(t ) = + t  0, t   f (t ) đồng biến ( 0; + ) (2)  f ( x) = f ( y + y + )  x = y + y + Do x , y  5;37  nên  y + y +  37   ( y + 1)  36   y +    y  Do y  y  5;37  nên y = , với giá trị y cho ta giá trị x = 37  5;37  thoả đề “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy có cặp số nguyên ( x ; y ) thoả tốn Câu Chọn D Có 2.2 x + x + sin y = 2cos y  x +1 + x + = 2cos y + cos x (3) Đặt f (t ) = 2t + t  f '(t ) = 2t.ln +  0, t   Hàm số y = f ( t ) đồng biến ( 0; + ) ( ) 2 Vì phương trình (3)  f ( x + 1) = f cos x  x + = cos x  x = − sin x  x  Chọn B Ta có: 3x +1 + x + = y + y  f ( x + 1) = f ( y ) Xét hàm số f ( t ) = 3t + t  f  ( t ) = 3t.ln +  0, t  R Do f ( x + 1) = f ( y )  x + = y  x = y − Vì  x  2020   y −  2020   y  2021 Mà y  nên y  1; 2;3; ; 2021 Vậy có 2021 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu toán Câu Chọn A Phương trình cho tương đương với phương trình : ( m + m + x = 22 x  m + Ta có m + 2x  , x )+ m + x = 22 x + x (1) x  Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + t  0; +  ) f  ( t ) = 2t +  0, t  0; +  )  f ( t ) đồng biến khoảng  0; +  ) (1)  f  m + 2x = 2x ( ) m + 2x = f ( 2x )  m = 22 x − x Đặt a = , a  Ta có  m = g ( a ) = a − a x HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Mà x số ngun dương Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp mà m nguyên dương nhỏ 2018 nên m  1; 2;3; ; 2017 Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Phương trình cho có nghiệm  m  − Chọn D Ta có x + x y + 12 x y − 19 y + 3x − y =  x + x y + 12 x y + y − 27 y + 3x − y =  x + x y + 12 x y + y + 3x + y = 27 y + y (2) Xét hàm f (t ) = t + 3t Ta có f ' (t ) = 3t +  0, t   f (t ) hàm đồng biến Vì vậy, (2)  f ( x + y ) = f ( y )  x + y = y  x = y Theo giả thiết:  y  100   x  100  −10  x  10 Vì x nguyên nên x  −10; − 9; − 8; 8;9;10 Với x xác định giá trị y = x2 Vậy có 21 cặp ( x ; y ) thỏa mãn toán Câu Chọn B (1)  ( x − 2) ( y + 1) + = y + ( x − 2)2 +  ( y + 1) + y +1 ( x − 2) + ( y + 1) + ( x − 2)2 + =  = (2) x−2 y +1 ( x − 2)2 Xét hàm số f (t ) = f '(t ) = − 2t HQ MATHS – 0827.360.796 –  ( x + y )3 + 3( x + y ) = ( y ) + 3.3 y 1+ t t +1 khoảng ( 0; + ) ta có: t  0, t   f (t ) nghịch biến ( 0; + ) (2)  f ( y + 1) = f (( x − 2) )  y + = ( x − 2)  y = ( x − 2) − “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Do x, y  3; 48 nên  ( x − 2) −  48   ( x − )  49   x −    x  nên x  4;5; 6; 7;8;9 , với giá trị x cho ta giá trị y thoả mãn đề Do x  Vậy có cặp số nguyên ( x ; y ) thoả đề Chọn B Ta có: log ( 4 4 x +1 ) + x = sin y+ cos y − sin 2 y  log ( x + 1) + x − = sin y+cos y − sin 2 y  log ( x + 1) + x + = 22(sin  log ( x + 1) + x + = 22(sin 4  log ( x + 1) + x + = 22(sin y+ cos4 y ) − 4sin y.cos y + y+ cos4 y ) − 4sin y.cos y + ( sin y + cos y ) y+ cos y ) + ( sin y + cos y ) (2) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu Xét hàm số f (t ) = 2t + t  f '(t ) = 2t.ln +  0, t   hàm số y = f (t ) đồng biến ( 0; + ) ( ) Vì (2)  f ( log ( x + 1) ) = f 2(sin y + cos y )  x + = 22(sin y + cos y ) 1  2    x +    x  Mà HQ MATHS – 0827.360.796 – 4 Ta có: sin y + cos y = − sin y   ;1 nên  2(sin y + cos y )  x số nguyên dương  x {1, 2,3} Vậy có giá trị x thỏa mãn Câu Chọn D ( ) Ta có: x − y = y − x  x + x = y + y  f x = f ( y ) , với f ( t ) = 2t + t 2 Xét hàm số f ( t ) = 2t + t  f  ( t ) = 2t.ln +  0, t  ( ) 2 Do f x = f ( y )  x = y P = x − y = x − x  Vậy giá trị lớn biểu thức P = 1 đạt x = , y = 16 Câu 10 Chọn B Từ điều kiện đề x+ y  0; − xy   x + y  0; − xy  Khi − xy  x+ y  log3   + ( x + 1) ( y + 1) − =  log3 ( x + y ) + ( x + y ) = log3 (1 − xy ) + (1 − xy )  − xy  HQ MATHS – 10 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” (1)