NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại Mục tiêu là phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của người học, đồng thời khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều Đặc biệt, cần tập trung vào việc dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học và tạo điều kiện để người học tự cập nhật, đổi mới tri thức và kỹ năng, từ đó phát triển năng lực cá nhân.
Toán học là một phần thiết yếu trong cuộc sống hàng ngày, đóng vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực xã hội Kiến thức về Toán giúp con người phát triển khả năng tính toán, suy nghĩ và tư duy logic, từ đó giải quyết các vấn đề trong học tập và cuộc sống Ở trường phổ thông, việc học toán chủ yếu tập trung vào giải toán, yêu cầu người học phải áp dụng kiến thức và kỹ năng một cách sáng tạo và hệ thống Học toán không chỉ giúp học sinh tự tin và kiên nhẫn, mà còn là nền tảng để học các môn học khác như Vật lí, Hóa học và Sinh học Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, cần chú trọng vào việc phát triển năng lực tư duy và tính toán, bao gồm tư duy logic, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo, cũng như khả năng sử dụng ngôn ngữ toán và công cụ hỗ trợ tính toán.
Thực trạng
Trong nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Như Thanh, tôi nhận thấy học sinh gặp khó khăn lớn trong môn Toán, đặc biệt là với các bài toán liên quan đến hàm số Các em thường không biết bắt đầu từ đâu và thiếu kiến thức cần thiết để giải quyết vấn đề Những khó khăn này không chỉ ảnh hưởng đến chất lượng học tập mà còn làm giảm hứng thú của học sinh đối với môn Toán.
Trước khi áp dụng các nghiên cứu trong việc dạy học giải bài tập về hàm số hợp dựa trên đồ thị hoặc bảng biến thiên, học sinh thường có thái độ thụ động và phụ thuộc vào phương pháp giải của giáo viên Kết quả khảo sát tại một số lớp chọn khối A cho thấy chỉ có 10% học sinh cảm thấy hứng thú với các dạng bài toán này.
Giải quyết vấn đề
Năm học 2019-2020 đánh dấu năm thứ tư môn Toán được thi theo hình thức trắc nghiệm Do ảnh hưởng của dịch bệnh Covid-19, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu đề minh họa hai lần, trong đó lần thứ hai có xuất hiện một bài toán đáng chú ý.
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là:
Bài toán trong đề minh họa năm 2020 là một thách thức lớn đối với học sinh phổ thông, ngay cả những em có học lực giỏi Khó khăn chính của bài toán này nằm ở việc xác định mối liên hệ giữa hai bảng biến thiên của hàm và hàm số Dưới đây là lời giải cho bài toán.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Vì nên phương trình và phương trình vô nghiệm Ta cần tìm số nghiệm của và trên Đặt
Cho Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: phương trình có 2 nghiệm trên
Phương trình có tổng cộng 5 nghiệm, trong đó có 3 nghiệm được xác định Để giải quyết bài toán này, học sinh cần có khả năng huy động kiến thức trung gian và năng lực tổng hợp, điều này là một thách thức ngay cả đối với học sinh khá và giỏi.
Trong đề minh họa lần 1 năm học 2019-2020 của Bộ GD&ĐT, có một bài toán liên quan đến hàm số bậc bốn với đồ thị được cung cấp Bài toán yêu cầu xác định số điểm cực của hàm số này.
(Trích câu 46 đề minh họa lần 1 năm 2020)
Từ bảng biến thiên, ta suy ra:
+) Phương trình: : có 1 nghiệm đơn.
+) Phương trình: : có 3 nghiệm đơn.
+) Phương trình: : có 1 nghiệm đơn.
+) Mặt khác, và là 2 nghiệm đơn
Suy ra số điểm cực trị của hàm số là C Trong đề minh họa lần 1 của Bộ GD&ĐT năm học 2019-2020, câu 45 có nội dung tương tự như câu 46 trong đề minh họa lần 2.
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
Trong năm học 2018-2019, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bài toán sau:
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình là:
Các bài toán liên quan đến hàm hợp thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPTQG qua các năm, đặc biệt là trong đề minh hoạ của Bộ GD&ĐT năm học 2019-2020 Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp khi đã biết hàm số, đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số.
Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
2.3.1.1 Các định nghĩa. Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu
Hàm số được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng K nếu nó thỏa mãn một số điều kiện nhất định Đối với hàm số xác định và liên tục trên khoảng (a, b), nếu tồn tại một số x₀ sao cho với mọi x trong khoảng (x < x₀), hàm số đạt cực đại tại x₀ Ngược lại, nếu tồn tại một số x₀ sao cho với mọi x trong khoảng (x > x₀), hàm số đạt cực tiểu tại x₀ Đối với hàm số y = f(x) xác định trên tập D, giá trị lớn nhất M của hàm số trên tập D được định nghĩa là giá trị mà với mọi x thuộc D, M ≥ f(x) và tồn tại một x₀ sao cho f(x₀) = M Tương tự, giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên tập D là giá trị mà với mọi x thuộc D, m ≤ f(x) và tồn tại một x₀ sao cho f(x₀) = m.
2.3.1.2 Các tính chất. Định lý 1 : Cho hàm số có đạo hàm trên
+ Nếu thì hàm số đồng biến trên
+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên Định lý mở rộng : Cho hàm số có đạo hàm trên Nếu
Hàm số có thể đồng biến hoặc nghịch biến tại một số điểm hữu hạn Định lý 2 nêu rõ rằng nếu hàm số có cực trị tại một điểm, và có đạo hàm tại điểm đó, thì có thể xác định tính chất của cực trị Định lý 3 khẳng định rằng nếu hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K, với các điều kiện cụ thể, thì: a Nếu đạo hàm dương trên khoảng và âm trên khoảng, thì điểm đó là cực đại; b Nếu đạo hàm âm trên khoảng và dương trên khoảng, thì điểm đó là cực tiểu của hàm số.
Cho hàm số liên tục trên tập Ta có:
Mệnh đề 1: Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x).
Mệnh đề 2: Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (cùng phương với trục ).
Mệnh đề 3: Phương trình có nghiệm
2.3.1.4 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.
Hàm số có đồ thị có thể được điều chỉnh thông qua việc tịnh tiến theo phương trục hoành Cụ thể, khi tịnh tiến đồ thị sang phải một đơn vị, hàm số sẽ tăng giá trị, trong khi nếu tịnh tiến sang trái một đơn vị, hàm số sẽ giảm giá trị.
Hàm số có đồ thị được điều chỉnh bằng cách tịnh tiến theo phương trục tung Cụ thể, nếu tịnh tiến đồ thị xuống dưới một đơn vị, hàm số sẽ giảm giá trị, trong khi tịnh tiến lên trên một đơn vị sẽ làm tăng giá trị của hàm số.
- Cho hàm số có đồ thị Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục và bỏ phần nằm bên trái + Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục qua
- Cho hàm số có đồ thị Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới qua và bỏ phần đồ thị nằm dưới trục Ox.
2.3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên trong giải bài toán hàm hợp.
Trong bài toán liên quan đến hàm hợp, chúng ta thường gặp các yêu cầu như xác định hàm số liên tục trên một khoảng cho trước, cùng với đồ thị hoặc bảng biến thiên được cung cấp Nhiệm vụ chính là tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, cũng như xác định số cực trị của nó.
Số nghiệm của phương trình Để giải quyết yêu cầu bài toán trên bằng phương pháp ghép bảng biến thiên ta làm như sau:
Bước 1:Tìm tập xá định của hàm , giả sử
Ở đây có thể là ; có thể là Bước 2: Xét sự biến thiên của và hàm
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa và
Bảng này thường có 3 dòng, giả sử có dạng:
Trong bảng biến thiên trên:
Dòng 1: Xác định các điểm biên của TXĐ , các điểm cực trị của và sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải giả sử là :
Dòng 2: Điền các giá trị với
+) Trên mỗi khoảng với cần bổ sung các điểm cực trị của hàm
+) Trên mỗi khoảng với sắp xếp các điểm theo thứ tự chẳng hạn hoặc
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào bảng biến thiên của hàm bằng cách hoán đổi : đóng vai trò của ; đóng vai trò của
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.
2.3.3 Một số dạng bài toán về hàm số khi biết hàm số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu, số điểm cực trị của hàm khi biết hàm số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:
Để giải bài toán liên quan đến hàm số xác định và liên tục, ta cần phân tích đồ thị và bảng biến thiên được cung cấp Các bước thực hiện bao gồm xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, cũng như tìm số cực trị Việc này giúp hiểu rõ hơn về tính chất và hành vi của hàm số trong các khoảng xác định.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình nghiệm
Bước 2: Tìm các khoảng Giả sử khi đó
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Cách 2 (sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên đã nêu trong mục 2.3.2)
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
Các ví dụ trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi trình bày bằng 2 cách giải đó là phương pháp tự luận và phương pháp ghép bảng biến thiên.
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên Số điểm cực trị của hàm số là:
(Trích câu 46 đề minh họa lần 1 năm 2020)
Từ bảng biến thiên, ta suy ra:
+) Phương trình: : có 1 nghiệm đơn.
+) Phương trình: : có 3 nghiệm đơn.
+) Phương trình: : có 1 nghiệm đơn.
+) Mặt khác, và là 2 nghiệm đơn
Suy ra số điểm cực trị của hàm số là Vậy, chọn C.
Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên)
Xét hàm số ta có: ;
Ta có bảng biến thiên ghép như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm có 7 điểm cực trị
Qua 2 cách giải trên, ta thấy cách giải 2 ngắn gọn và trực quan hơn so với cách giải 1 và phù hợp với phương pháp trắc nghiệm khách quan.
Ví dụ 2: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tìm số điểm cực trị của hàm số
Xét phương trình Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy
Bảng biến thiên hàm số
Nhìn vào bảng biến thiên, có nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua các nghiệm này nên hàm số có điểm cực trị.
Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên)
Xét hàm số ta có: ;
Ta có bảng biến thiên ghép như sau:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số cực trị của hàm số
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm phương trình
(*) cộng với số cực trị (khác các nghiệm ở (*)) của hàm số
Từ đồ thị của hàm số ta có
Phương trình (1) có nghiệm kép, trong khi phương trình (2) có hai nghiệm riêng biệt, dẫn đến việc phương trình có ba nghiệm bội lẻ Do đó, hàm số tương ứng sẽ có ba cực trị, khác với bốn nghiệm của phương trình (*).
Vậy hàm số có 7 cực trị là -1,0,-2, và
Cách 2.(Phương pháp ghép bảng biến thiên)
Xét hàm số ta có: ;
Ta có bảng biến thiên ghép như sau:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 4: Biết rằng hàm số xác định, liên tục trên có đồ thị được cho như hình vẽ bên Tìm số điểm cực tiểu của hàm số
Xét hàm số , ta có: ;
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào BBT suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu.
Cách 2.(Phương pháp ghép bảng biến thiên) Đặt Ta có
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên ghép như sau:
Từ BBT suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu.
Phương pháp ghép bảng biến thiên trong bài toán dạng 1 cho thấy sự ngắn gọn và dễ tiếp cận hơn cho học sinh so với cách giải truyền thống.
Dạng 2: Tìm số giao điểm, số nghiệm của phương trình ; khi biết hàm số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng
Câu 1 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình trong đoạn là
(Trích câu 47 chuyên Quảng Ninh-2020).
Câu 2 Cho hàm số là hàm đa thức bậc 3 và có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình trong đoạn là
Câu 3 Cho hàm số có bảng biến thiên sau:
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình có nghiệm thuộc khoảng là:
Câu 4 Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Số nghiệm thực của phương trình là
Câu 5 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm số giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 6 Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ
Tập hợp các giá trị để phương trình có nghiệm thuộc khoảng là: A B C D.
Câu 7 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
Câu 8 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên
Số điểm cực trị của hàm số là:
Câu 9 Cho hàm số có đồ thị như hình bên
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình :
(Trích câu 45 trường chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An -2020)
Câu 10 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
(Trích câu 43 chuyên Hà Tĩnh-2020).
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2019-2020, tôi đã giảng dạy chuyên đề này, giúp học sinh trở nên hứng thú và tự tin hơn khi giải quyết các bài toán về hàm hợp Chuyên đề không chỉ tạo niềm đam mê với môn toán mà còn mở ra cho học sinh cách nhìn nhận và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo Kết quả đạt được rất khả quan, với tất cả học sinh đều có khả năng giải quyết các câu hỏi liên quan sau khi hoàn thành chuyên đề.
- Đối với đồng nghiệp: được chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúc đẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu trong nhà trường.
Đối với học sinh, việc trang bị thêm kỹ năng và phương pháp giải nhanh các bài toán về hàm hợp là rất cần thiết để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT năm học 2019-2020.
