Dạng 2 biến đổi logarit

HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CHỦ ĐỀ 2: LOGARIT HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp o Định nghĩa o Cho hai số dương a , b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a = b gọi logarit số a b kí hiệu log a b Ta viết sau:  log a a = 1;  log a ab = 1, b   alog a b = a , b  , b  o Các tính chất logarit o So sánh hai logarit số Cho số dương a  số dương b , c o Khi a  log a b  log a c  b  c o Khi  a  log a b  log a c  b  c o Ta có log a b = log a c  b = c o Logarit tích: log a ( b.c ) = log a b + log a c o Logarit thương: b o log a = log a b − log a c c o Đặc biệt: với a, b  0, a  log a = − log a b b o Logarit lũy thừa o log a b =  log a b o Đặc biệt: log a n b = log a b n o Công thức đổi số log c b o log a b = log c a o Đặt biệt: log a c = 1 log a b = log a b (  )  log c a o Logarit tự nhiên logarit thập phân o Logarit tự nhiên ( hay gọi logarit Nepe) logarit số e , viết là: log e b = ln b o Logarit thập phân logarit số 10 , viết là: log10 b = log b = lg b HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 –  log a = 0; Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  = log a b  a = b o Một số ý: Khơng có logarit số số âm a  0, a Cơ số logarit phải dương khác (a  1) Một số công thức logarit theo định nghĩa: HQ MATHS – 0827.360.796 – DẠNG Câu 1: Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Biến đổi Logarit Cho số thực dương a , b , x thỏa mãn log x = 4log a + log b Mệnh đề đúng? thỏa mãn log ( log x ) = log ( log x ) + a Mệnh đề đúng? Cho a  1, a  A log x = 4a Câu 3: D x = a b C log x = a+1 B log x = a + D log x = a+1 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 2: C x = a4 b7 B x = 4a − 7b A x = 4a + 7b mx + ny + , với m, n, p số nguyên Tính pxy − Cho log a bc = x ,log b ca = y log c ab = S = m + 2n + 3p D S = C S = Câu 4: b 16 Cho hai số thực dương a , b a  thỏa mãn log a = ,log a b = Tính ab ? b A ab = 256 B ab = 16 C ab = 32 D ab = 64 Câu 5: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log x = log 12 y = log 16 ( x + y ) Tính A Câu 6: y 1+ = x y −1 + = x C y 1+ = x D y −1 + = x Cho log a ( bc ) = 2,log b ( ca ) = Tính S = log c ( ab ) A S = Câu 7: B y ? x HQ MATHS – 0827.360.796 – B S = A S = B S = C S = ( D S = ) Gọi a số nguyên dương lớn thỏa mãn 3log + a + a  2log a Tìm phần nguyên P = log ( 2018 a ) A 14 Câu 8: B 22 C 19 D 16 Cho số thực dương a , b khác số thực dương x thỏa mãn log a ( log b x ) = log b ( log a x ) Mệnh đề sau đúng? A log a x = b Câu 9: log b ( log a b ) a B log a x = a log b ( log a b ) a Cho số thực dương x, y , z , t , a, b, c thỏa mãn C log a x = b log a ( log a b ) b D log a x = a log a ( log a b ) b ln x ln y ln z = = = ln t x.y = z t Tính a b c S = a + b − 2c A S = B S = C S = −2 D S = Câu 10: Cho  a  tìm số tự nhiên n thỏa mãn log a 2019 + 2 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n2 log n a 2019 = 1008.2017 log a 2019 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – B n = 2019 A n = 2016 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C n = 2017 ( D n = 2020 ( ( Câu 11: Xét số nguyên dương a số thực b  thỏa mãn log log log 2 a+ b a b ))) = Tìm số a a+b biết log     2016; 2017   ab  B a = 2017 A a = 2016 C a = 2027 D a = 2026 Câu 12: Cho số thực dương a, x , y , z thỏa mãn 4z  y , a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) 25 16 C − 25 D − Câu 13: Với a số dương tùy ý, ln ( 5a ) − ln ( 3a ) bằng: A ln ( 5a ) ln ( 3a ) C ln B ln ( 2a ) D ln ln D ln ln 3 Câu 14: Với a số thực dương tùy ý, ln ( 5a ) + ln   bằng: a A ln ( 5a ) ln ( 3a ) C ln B ln15 Câu 15: Cho ba số thực dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân a + b + c = 64 Giá trị biểu thức P = 3log ( ab + bc + ca ) − log ( abc ) bằng: A 18 B C 24 D Câu 16: Cho số 2017 + log a; 2018 + log a; 2019 + log a; theo thứ tự lập thành cấp số cộng Công sai cấp số cộng bằng: A B 12 C D 20 Câu 17: cho số thực dương a , b , c lớn , đặt x = log a b + log b a , y = log b c + log c b z = log c a + log a c Giá trị biểu thức x2 + y + z − xyz A B C D ( ) Câu 18: Cho x , y hai số thực dương thỏa mãn log x + log y  log x + y Giá trị nhỏ của: log x − log y là: A B C ( D ) Câu 19: Cho hai số thực a, b phân biệt thỏa mãn log 3a+1 − = 2a + log ( log 3 b +1 ) − = 2b + log Tính tổng S = 27 + 27 a b HQ MATHS – A S = 27 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” B S = 45 C S = 204 D S = 180 HQ MATHS – 0827.360.796 – B − A −4 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp S = log 2a ( xy ) + log a x y + x z + z − y HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 20: Tìm số tự nhiên n thoả mãn 1 + + log x log 32 x B n = 20 A n = 15 + Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp 120 với  x  = log 3n x log x C n = 12 D n = 10 Câu 21: Với số thực dương x , viết x dạng thập phân số chữ số đứng trước dấu phẩy x log x  + Cho biết log = 0,30103 Hỏi số 2017 viết hệ thập phân ta số có chữ số? (Kí hiệu  x  số nguyên lớn không vượt x ) A 607 B 606 C 609 D 608 có độ dài L = A −1 m2 − Giá trị log 2016 là? 2016 mn B C Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 22: Tập hợp số thực x để hàm số f ( x ) = − log 2m ( nx ) ( m  1, n  ) xác định đoạn D Câu 23: Cho x, y , z ba số thực dương thỏa mãn log x ( y ) = log x ( z ) = log x ( yz ) = Giá trị xy z viết dạng − p q p, q số nguyên dương p phân số tối q giản Giá trị biểu thức p + q bằng? B 48 C 50 ( D 52 ) Câu 24: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn log u5 − 2log u2 = + log u5 − 2log u2 + un = 3un−1 , với n  Giá trị lớn n để un  10100 A 225 B 226 Câu 25: Xét hàm số f ( t ) = C 224 D 227 9t với m số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho 9t + m2 f ( x ) + f ( y ) = với số thực x , y thỏa mãn e x + y  e ( x + y ) Tìm số phần tử S A B Vô số C D Câu 26: Giả sử x, y , z số thực thỏa mãn       log log ( log x )  = log log ( log y )  = log log ( log z )  = a  Mệnh đề       đúng? A z  x  y B x  y  z C y  z  x D z  y  x HQ MATHS – 0827.360.796 – A 49 Câu 27: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn xyz = 1081 ( log x ) ( log 10 S= 10 yz ) + ( log 10 y )( log 10 z ) = 468 Tính giá trị biểu thức ( log x ) + ( log y ) + ( log z ) 10 A 75 10 10 B 936 C 625 D 25 Câu 28: Cho hai số thực dương x , y  thỏa mãn log x y = log y x log x ( x − y ) = log y ( x + y ) Tính giá trị biểu thức S = x4 − x2 + “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – B S = A S = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp D S = C S = Câu 29: Có tất ba số thực ( x; y ; z ) đồng thời thỏa mãn điều kiện x2 y2 16 z2 ( = 128 xy + z A ) ( ) = + xy − z B C ( D ) Câu 30: Cho a  0; b  thỏa mãn log a+ b+1 4a2 + b2 + + log ab+1 ( 2a + 2b + 1) = Giá trị biểu C D 15 Câu 31: Có cặp số nguyên dương ( a; b ) thỏa mãn log a b + 6log b a =  a; b  2005 A 54 B 43 C 53 D 44 Câu 32: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn 3log x ( y ) = 3log x ( z ) = log x ( 27 yz )  Biết xy z = − a b a tối giản Giá trị biểu thức a + b b C 53 D 36 với a, b số nguyên dương A 54 B 43 Câu 33: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn log x ( y ) = log ( 4z ) = log ( yz )  Giá trị x4 2x biểu thức log x + 5log y + log z A − 35log B − 35log 12 C − 43log D − 43log 12 Câu 34: Gọi S tập hợp tất cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn  x  1,0  y  Chọn ngẫu nhiên    phần tử ( x; y ) thuộc S Xác suất để phần tử chọn thỏa mãn log     x      log    số nguyên chẵn   y   5 A B C D 9 36 12 Câu 35: Cho số thực dương a , b thỏa mãn: log a + (4sin b + 2)log a + 4sin b + = Giá trị nhỏ biểu thức a + b bằng: 1 3  + + A B 1000 1000 C 10 + 3 D  + 10 Câu 36: Cho số thực dương a , b thỏa mãn: 16 a − ( sin b + 1) 2 a +1 + sin b + = Giá trị biểu thức a + b bằng:  A log + B log + 3 C log + 3 D log +  Câu 37: Có hai cặp số thực ( x ; y ) thỏa mãn đồng thời log 225 x + log 64 y = log x 225 − log y 64 = ( ) ( ) ( ) x1 ; y1 x2 ; y2 Giá trị biểu thức log 30 x1 y1 x2 y2 bằng: HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp B HQ MATHS – 0827.360.796 – thức a + 2b A HQ MATHS – 0827.360.796 – A 12 B 15 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp C D 36 ( ) Câu 38: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 = a công bội q = b Có cặp số nguyên dương ( a ; b ) cho log u1 + log u2 + + log u12 = 2006 A 46 B 91 C 45 D 90 Câu 39: Tìm tập hợp tất số thực m để tồn cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời ( ) log x2 + y2 + x + y − + m2 = x2 + y + x − y + = B 7, 5, 1 C 5, 1 D 1 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A 5 Câu 40: Giá trị tham số thực m để tồn cặp số thực ( x; y) thỏa mãn đồng thời điều kiện log 2019 ( x + y)  x + y + 2xy + m  A m = −1 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) = log B m = C m = D m = −1 mx với m số thực dương Tìm giá trị thực m, biết với 2−x số thực a , b  ( 0; ) thỏa mãn a + b = ta ln có f ( a ) + f ( b ) = B m = C m = 2 ( D m = ) Câu 42: Với cặp số thực ( x ; y ) thỏa mãn log ( x + y ) = log x2 + xy + y có số ( ) thực z thỏa mãn log ( 3x + y ) = log 3x2 + xy + zy A B C D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – A m = BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 2.D 12.B 3.A 13.C 4.A 14.B 5.A 15.A 6.A 16.A 7.B 17.D 8.A 18.C 9.D 19.D 10.A 20.A 21.D 31.A 41.C 22.A 32.D 42.A 23.A 33.C 24.A 34.B 25.C 35.A 26.C 36.D 27.A 37.A 28.A 38.A 29.B 39.C 30.D 40.A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C ( Ta có: log x = 4log a + log b  log x = log a4 + log b7  log x = log a4 b7 )  x = a b7 Câu 2: Chọn D 1  Đặt t = log x  log x = t Ta có: log  t  = log t + a  log t = 2a +  t = a+1 2  Vậy: log x = a+1 Câu 3: Chọn A  log c bc  x = log c a =  x = log a bc  x log c a − log c b = log c a      Ta có   y = log b ca log c a − y log c b = −1 log b =  y = log c ca   c log c b y +1 xy − x+1 xy − m = x+y+2  Mặt khác, log c ab = log c a + log c b = Do n =  S = m + 2n + p = xy − p =  Câu 4: HQ MATHS – Chọn A “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp b 16 Ta có: log a.log a b =  log b =  b =  b = 16 b  log a =  a = 16  a.b = 162  ab = 256 Chọn A Đặt log x = log 12 y = log 16 ( x + y ) = t Khi đó, ta có hệ sau :  x = 9t  t  9t + 12t = 16t  y = 12  x + y = 16t  ( 1) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 5: Xét phương trình (1) chia hai vế cho 9t  ta được:   t +   = (N) t 2t 2t t 4 4 4 4   Ta có 1+   =      −  −1 =   t 3 3 3 3   −  = ( L)   t Câu 6: HQ MATHS – 0827.360.796 – y 12t   + = =  = x 9t   Chọn A Đặt x = log c a , y = log c b Ta có log a ( bc ) =  log a b + log a c =  log b ( ca ) =  log b c + log b a =  log c b y 1 + =  + = log c a log c a x x log c a x + =  + = log c b log c b y y y +1  x =  x =  y + = 2x    Do ta có hệ  x + = 3y x +1 = y =   y Thay vào S = log c ( ab ) = log c a + log c b = Câu 7: Chọn B t Đặt 2log a = t  a = 2  a = 2t Khi bất phương trình trở thành t t t t t t t      2 32 3 2 3log  + +   t  + +     +  +  1         t “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” ( 1) HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – t t    2 32 Xét hàm số f ( t ) =   +   +   , t        t Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp t t    2 32 Ta có f  ( t ) =   ln +   ln +   ln  0, t       3 t nên hàm số hàm Nhận thấy f ( 12 ) = nên ta có: nghịch biến (1)  f (t )  f (12 )  t  12  2log a  12  a  26  a  212 ( ) Suy P = log  2018 212 −   22,9783 Vậy phần nguyên P 22   Câu 8: Chọn A log x = a k Ta có log a ( log b x ) = log b ( log a x ) = k   b k log a x = b k log b ( log a b )  x = bak b ak bk k a   b = a = a log b  = log b  k = log log b  log x = b ( )   a a b a a bk a    x = a a Chọn D ln x = ln t a  x = t a  Ta có: ln y = ln t b  y = t b ln z = ln t c  z = t c  ( ) Do xy = z 2t  t at b = t ct HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 9:  t a+b = t 2( c +1)  a + b = 2(c + 1)  S = Câu 10: Chọn A log a 2019 + log a 2019 + 33 log a 2019 + + n3 log a 2019 = 1008 2.2017 log a 2019 ( )  13 + 23 + 33 + + n3 log a 2019 = 1008 2.2017 log a 2019  n ( n + 1)   + + + + n = 1008 2017    = 10082.2017  n = 2016     ( 3 3 Câu 11: Chọn C ( ( ( log log 2a log 2b a + b ) 2 ))) =  log ( log ( )) =  log ( ) = a+b a b a+b b a ( )  a+ b = 2b 2a  a + b = 2b.2  a + b = b.2a Do : a  b.2 a  a+b a+b  log log    2016; 2017   log   2016; 2017     2016; 2017      2 2    ab   ab   ab   b.2 a   2a   log     2016; 2017   log     2016; 2017   ab   a  HQ MATHS – 10 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Do số a nguyên dương lớn 212 − HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 12: Chọn B Ta có: z  y  z  y2 x2 y x2 y  x3 y + x2 z  x3 y +  x3 y = ( xy ) 4 5   25 25 Do S  log 2a ( xy ) + log a ( xy )  log a2 ( xy ) + log a ( xy ) =  log a ( xy ) +  −  −  16 16  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp   4 z = y 4 z = y   2  3 x y  Dấu “=” xảy  x y =   xy = 4   1   log a ( xy ) = − log a   = −    z =  y = 25 25  Do với  x = S = − Vậy MinS = − 16 16   a = Câu 13: Chọn C 5a = ln 3a HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có ln ( 5a ) − ln ( 3a ) = ln Câu 14: Chọn B 3  3 ln ( 5a ) + ln   = ln  5a  = ln15 a  a Câu 15: Chọn A ac = b2  Ta có abc = b3 ab + bc + ca = b a + c + ca = b 64 − b + b = 64b ( ) ( )  Do P = 3log ( 64b ) − log b = 3log 64 = 3.6 = 18 Câu 16: Chọn A Do số 2017 + log a; 2018 + log a; 2019 + log a; theo thứ tự lập thành cấp số cộng Suy 2017 + log a + 2019 + log a = ( 2018 + log a )  log a + log a = 2log a  3log a = 4log a  log a ( − 4log ) =  a = Vậy công sai d = log a − log a + = Câu 17: Chọn D Ta có: xyz = ( log c b + log b c )( log a c + log c a )( log b a + log a b ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 11 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp = ( log a b ) + ( log a c ) + ( log b c ) + ( log c b ) + ( log c a ) + ( log b a ) + ( 1) 2 2 2 x + y + z = ( log c b + log b c ) + ( log a c + log c a ) + ( log b a + log a b ) 2 = ( log a b ) + ( log a c ) + ( log b c ) + ( log c b ) + ( log c a ) + ( log b a ) + ( ) 2 2 2 Từ ( 1) ( ) suy ra: x2 + y + z − xyz = Câu 18: Chọn C ( ( ) )  2y3 y −1 x 2y2 2  − 2y + + − ( y − 1) + +4 y y −1 y −1 y −1  2(y − 1) Câu 19: Chọn D ( x + =  log x − log y = log  log 28 = y y −1 ) ( ) ( ) log 3a +1 − = a + log  log 3a +1 − = a  3a +1 − = 32 a  32 a − 6.3a + = Tương tự: 32 b − 6.3b + = Suy 3a 3b hai nghiệm phân biệt (vì a, b phân biệt) phương trình: X − 6X + = Khi S = 27 a + 27 b = X13 + X23 = ( X1 + X2 ) − 3X1X2 ( X1 + X2 ) , với X1 + X2 = 6, X1 X2 = Vậy S = 63 − 3.2.6 = 180 Câu 20: Chọn A Do  x  nên ta có: 1 + + log x log 32 x n ( n + 1) Vậy ta có: + ( ) = log x 3.32 3n = log x 31+ + log 3n x +n = n ( n + 1)  log x = 120  n = 15 Câu 21: Chọn D Số chữ số 2017 ( ) log 22017  + =  2017  log  + =  2017  0,30103 + = 607,17751 + = 608         Câu 22: Chọn A Hàm số f ( x ) = − log 2m ( nx ) ( m  1, n  ) xác định HQ MATHS – 12 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 –  x ( y − 1)  y   y −   x  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta có log x + log y  log x + y  log ( xy )  log x + y  xy  x + y HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x  x   x  m  x       x   1  m mn n −1  log m ( nx )    nx  m 1 − log m ( nx )   mn  x  n m  m m2 − 1 L= − = = n mn mn 2016 Do log 2016 m2 − 1 = log 2016 = −1 mn 2016 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 23: Chọn A Ta có 2 y = x − −  2log x ( y ) = 2log x ( z ) = log x4 ( yz ) =  4 z = x  x = x  x =  y = z = 8 yz = x8  Ta được: xy z = − 43  p = 43  Vậy p + q = 49 q = Câu 24: Chọn A Đặt t = log u5 − 2log u2 + 1, t  ( ) t − = ( t + )  t − 2t − =  t = ( t  ) Do t = nên un  10100  log u5 − 2log u2 + =  log 10u5 u22 =9 10u1 34 = 109  u1 = 2 u1 10 n −1  10100  3n+1  10108  n  108log 10 −  225,357 108 Câu 25: Chọn C Dựa vào việc khảo sát hàm số f ( t ) = e t −1 − t , t  Ta thấy et −1  t , t  Dấu xảy t = Do e x+ y −1  x + y  e x+ y −1 = x + y  x + y = Khi f ( x ) + f ( y ) =  f ( x ) + f ( − x ) =   HQ MATHS – 0827.360.796 – Thế vào phương trình log u5 − 2log u2 = + log u5 − 2log u2 + ta có 9x 91− x + =1 x + m2 91− x + m2   m4   9x  −  =  m =   S − 3;   Câu 26: Chọn D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 13 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp       log log ( log x )  = log log ( log y )  = log log ( log z )  = p         a log ( log x ) = −2 a  x = 2−2 a  log x =   −3 a    log ( log y ) = 3a  log y = −3 a   y = 3  log z = 5−5 a  5−5 a  log ( log z ) = 5a  z = 5   − xa  ln y = x − x ln x  ln ( ln y ) = ln ( ln x ) − x p ln x p Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Lấy đạo hàm hai vế, ta được: y' y 1 = x − x a −1 − ax a −1 ln x = − x a −1 ( + a ln x )  − − ln x ln y ln x x ln x x ln x = − x ln x − x ( ln x ) x ln x  0, x  2, a   y '  0, x  2,a  Do y ( )  y ( )  y ( )  x  y  z Câu 27: Chọn A  x = 10 a a = log10 x   Đặt b = log10 y   y = 10b  xyz = 10 a + b + c c = log z  z = 10c 10    xyz = 1081 a + b + c = 81  Theo ta có:  ( log10 x ) ( log10 yz ) + ( log10 y )( log10 z ) = 468 ab + ac + bc = 468 Vậy thay (1) vào ta có S = a2 + b2 + c = (a + b + c) (1) − ( ab + bc + ac ) = 812 − 2.468 = 75 Câu 28: Chọn A x, y  Điều kiện:  Ta có: x  y  log x y = log y x  log x y = log y = (L) 1  ( log x y ) =   x  y = x −1  y = log x y x log x y = −1 (TM)  1  1   Ta có: log x ( x − y ) = log y ( x + y )  log x  x −  = − log x  x +   log x  x −  = x x x      x2 − =  x − x − = Vậy S = x4 − x2 + = + = x Câu 29: Chọn B HQ MATHS – 14 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Với x  2, a  , xét hàm số y = x x HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có x2 y2 16 z2 = 128  x +2 y +4 z 2 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp = 27  x + y + z = Từ điều kiện thứ hai suy x2 y + xy z + z = + x2 y − xy z + z  xy z = Mặt khác theo bất đẳng thức AM- GM cho số thực dương ta có x2 + y + z2  7 x2 ( y ) ( z ) 3 = 77 x2 y z8 = 7 ( xy z ) =7 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  x = y = z  x = 1; y , z  −1;1 Do dấu phải xảy ra, tức   xy z = Vậy có tất số thỏa mãn Câu 30: Chọn D Ta có a  0; b  , suy ( ) 4a2 + b2 +  4ab +  log a+ b+1 4a2 + b2 +  log a+ b+1 ( 4ab + 1) ( ) Mà log a+ b+1 ( 4ab + 1) + log ab+1 ( 2a + 2b + 1) = log a+ b+1 ( 4ab + 1) + ( log a+ b+1 ( 4ab + 1) 2 ) Khi đó: log a+ b+1 4a2 + b2 + + log ab+1 ( 2a + 2b + 1) =  log a + b+1 ( ab + 1) = 2 a + 2b + = ab + a =    2 a = b 2a = b b =   a + 2b = 15 Câu 31: Chọn A b = a2 log a b = log a b + 6log b a =  log a b + =  log a b − 5log a b + =    log a b b = a log a b = HQ MATHS – 0827.360.796 –  = log a+ b+1 4a2 + b2 + + log ab+1 ( 2a + 2b + 1)  log a+ b+1 ( 4ab + 1) + log ab+1 ( 2a + 2b + 1) Trường hợp 1: b = a2  b  2005   a2  2005   a  2005 Vì a; b  * nên a  2; 3; 4; ; 44 Do có 43 cặp số ( a; b ) Trường hợp 2: b = a3  b  2005   a3  2005   a  2005 Vì a; b  * nên a  2; 3; 4; ;12 Do có 11 cặp số ( a; b ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 15 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy có 54 cặp số ( a; b ) thỏa mãn yêu cầu toán Câu 32: Chọn D Đặt 3log x ( y ) = 3log x ( z ) = log x ( 27 yz ) = t t  3 y = x  t t 4t 14 t t −18 14 t t −9 7t t    z = ( x ) = 3 x  y.9 z.27 yz = 3 x  ( yz ) = 3 x  yz = 3 x (1)  t 27 yz = 3x = 3t.x t  −3 Lại có xy = x.3 x = x Vì xy z = − a b nên t t +1 (2) Từ (1) (2) suy ra: xy z = x 10 t + 3 t −18 10t + a 31 2t − 18 31 =0t=−  a + b = 36 = − Vậy = nên b 3 10 Câu 33: Chọn C Đặt log x = a  0,log y = b,log z = c Khi log x ( y ) = log ( z ) = log ( yz ) 2x x4  log + b 2log + c = 2 log 2 + ( a + b ) log + ab = a log + ac a log + a    2 log + b = 3log + b + c 2log + ( a + 2b ) log + ab = 3a log + ab + ac  a log + a ( 1) (2) (2) – 2.(1) ta được: 6a log + ab = −a log + ab − ac  a log = −5ab − ac  5b + c = −7 log  5log y + log z = −7 log (2) – (1) ta được: log = −6a log 2 + ( 6a + b ) log + ab =   Do log x = a = − log log = −b 43log Vậy log x + 5log y + log z = − log − log = − 6 Câu 34: Chọn B     1   Với  x  1,0  y  suy log     log     0; log     x  x     y   Khi   1 log    = k ( k  0, k   x  HQ MATHS – 16 )  2k  log 1 2k k +1  −2 k −1  x  −2 k    2k +   x  x   “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – −3 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( Vậy x  2−2 k −1 ; 2−2 k  , k = 0,1, độ dài tập (2 k =0 −2 k + ) − −2 k −1 =  −2 k −1 = k =0 1 + + + = 32   1 Tương tự log    = k ( k  0, k    y    52 k  1− )  2k  log = 1    2k + y  52 k +1  5−2 k −1  y  5−2 k y ( Vậy y  5−2 k −1 ; 5−2 k  , k = 0,1, độ dài tập + =  4.5−2 k −1 k =0 + ( −2 k − 5−2 k −1 k =0 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp + ) 5 1 1  = 4 + + +  = = Vậy xác suất cần tìm = 6  125 3125  1− 25 Câu 35: Chọn A Đẳng thức cho tương đương với: (log a + 2(2sinb+ 1)loga + ( 2sin b + 1) ) + (4sin b + − ( 2sin b + 1) ) = 2  ( log a + 2sin b + 1) + 4(1 − sin b) = HQ MATHS – 0827.360.796 – log a + 2sin b + =  ( log a + 2sin b + 1) + 4cos b =   cos b =   a = 1000  sinb =       log a + =   b = + k 2  a + b +  ( )min = 1000  sinb = −1    a = 10  log a − =    b = − + k 2  Câu 36: Chọn D Đẳng thức cho tương đương với: ( − ( 2sin b + 1)) a ( − ( 2sin b + 1)) a 2 ( + 4sin b + − ( 2sin b + 1) ) =  ( − ( 2sin b + 1)) + (1 − sin b) = a 2 cos b = + 4cos b =   a 4 − 2sin b − =  4 a − =  a = log    sin b =  Vậy ( a + b )min = log +   a b = + k 2  4 + =   sin b = −1  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 17 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 37: Chọn A X = log 225 x Theo ra: log x 225 − log y 64 = Đặt  ta hệ: Y = log 64 y X + Y = 1   − =  − 2X = X ( − X )  X − 6X + = 1 X − X − = X Y  ( ) ( ) 3− X = −  x2 = 225  Với  1+ Y = +  y2 = 64 Khi đó: log 30 x1 y1 x2 y2 = log 30 2256.642 = 12 Câu 38: Chọn A Có un = bn−1u1 = bu−1a , ta có: ( ) log u1 + log u2 + + log u12 = log ( a ) + log8 ( ab ) + + log ab11 ( ) ( ) = log a.ab.ab2 ab11 = log a12 b66 ( ) ( Và log a12 b66 = 2006  a12 b66 = 82006  a2 b11 ( Vì vậy: a = x , b = y x , y  + ) = (2 ) 1003  a2 b11 = 21003 ) ( z − 1) 1003 − x = 91 − 11 11 Do đó: x − = 11k  x = 11k +  y = 92 − 2k 22 x b11y = 21003  x + 11y = 1003  y = Do x , y  + nên k  0 , ,45 Vậy có 46 cặp số nguyên dương ( a ; b ) thỏa mãn Câu 39: Chọn C ( x + 1)2 + ( y − )2 = ( 1)  x + y + x − y + =   Theo đề ta có:  2 2 4 x + y − + m = x + y + ( x − ) + ( y − ) = m2 ( ) Phương trình ( 1) phương trình đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( −1; ) , bán kính R1 = phương trình ( ) phương trình đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 2; ) bán kính R2 = m Cặp số thực ( x; y ) tồn ( C1 ) , ( C2 ) tiếp xúc tiếp xúc 3 = m +  I1 I = R1 + R2   m = 1  ( R1 = R2 )    I1 I = R1 − R2   3 = m −     m = 5 R  R   m  2   Câu 40: Chọn A HQ MATHS – 18 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – 3+ X = +  x1 = 225  Với  1− Y = −  y1 = 64 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp X = +  Y = −   X = −  Y = + HQ MATHS – 0827.360.796 – log 2019 ( x + y)  0  x + y  0  x + y      x + y + xy + m   xy + m  − ( x + y ) 2 xy + m  ( − ( x + y) ) 0  x + y   2  x + y − x − y + − m  x + y    x + y −  ( x − 1)2 + ( y − 1)2  m +  1+1−1 −1 YCBT  d( I ; d) = R  = m+1  m = 2 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Theo đề Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 41: Chọn C Ta có: f ( x ) = log mx x = log m + log 2−x 2−x Do f ( a ) + f ( b ) = f ( a ) + f ( − a ) = log m + log a 2−a + log m + log = 2log m 2−a a Theo giả thiết ta có: f ( a ) + f ( b ) = nên 2log m =  m = 2 = 2 2 x + y  0,3x + y   log ( x + y ) = log x + xy + y 2    log ( x + y ) = log x + xy + y Ta có:  2 log ( 3x + y ) = log x + xy + zy  log ( 3x + y ) = log 3x + xy + zy ( ( ) ) ( ( ) )  2 x + y  0,3x + y  2 x + y  0,3x + y  x x     = 1; = −2 2 y  ( x + y ) = x + xy + y  3x + 3xy − y =   y    2 2  z = 9; z = 21 ( 3x + y ) = 3x + xy + zy  z = x + xy + y  y2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 42: Chọn A 19 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 20 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.”