Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 4 4 phạm thành chung

§4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Nội dung ngun lý Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 60 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Giới thiệu sơ lược Nguyên lý d’Alembert - Lagrange nguyên lý tổng quát học Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) nhà toán học, Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) nhà toán học, học, vật lý học, triết học lý luận âm nhạc người học, thiên văn học người Ý Ông dành thời gian dài Pháp Ông đồng biên tập Encyclopédie sống làm việc Đức Pháp Ơng có đóng góp Nghiệm phương trình sóng mang tên ơng đáng kể cho lĩnh vực giải tích, số học, học cổ điển (theo Wikipedia) học thiên thể (theo Wikipedia) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 61 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.1 Nội dung nguyên lý Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Nội dung ngun lý Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 61 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.1 Nội dung nguyên lý Nội dung nguyên lý Đối với hệ chịu liên kết giữ lý tưởng, thời điểm tổng công lực hoạt động lực quán tính di chuyển ảo hệ không X X δA(F~ a ) + δA(F~ qt ) = Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 62 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.1 Nội dung nguyên lý Mô hình hệ n chất điểm Áp dụng nguyên lý d’Alembert cho hệ n chất điểm Pk , (k = 1, 2, , n) n X (F~ka + F~kqt + F~kc ) = (36) k=1 F~ka hợp lực hoạt động F~kc hợp lực liên kết lý tưởng nhân vô hướng với δ~ rk =⇒ n X (F~ka + F~kqt + F~kc ).δ~rk = k=1 điều kiện lực liên kết lý tưởng =⇒ n X (F~ka − mk ~ak ).δ~rk = (37) k=1 Phương trình (37) nguyên lý d’Alembert - Lagrange hệ n chất điểm Nó cịn gọi phương trình tổng qt động lực học hệ n chất điểm Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 63 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.1 Nội dung ngun lý Mơ hình hệ p vật rắn phẳng Vật rắn phẳng hiểu hình phẳng chuyển động mặt phẳng chịu tác dụng lực nằm mặt phẳng Xét hệ gồm p vật rắn phẳng Cho hệ thực di chuyển ảo tuỳ ý: δ~rC1 , δϕ1 , δ~rC2 , δϕ2 , , δ~rCp , δϕp Theo nguyên lý d’Alembert ta có F~ka − mk ~aCk + F~kc = (38) Mka − JCk ăk + Mkc = (39) Nhõn vụ hng (38) với δ~rCk , (39) với δϕk cộng lại khử công ảo liên kết lý tưởng ta p h X  i a a ~ ~ Fk − mk aCk δ~rCk + (Mk JCk ăk ) k = (40) k=1 Phng trình (40) nguyên lý d’Alembert - Lagrange hệ p vật rắn phẳng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 64 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.2 Thí dụ áp dụng Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Nội dung ngun lý Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 64 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Cho hệ hình vẽ Vật nặng có khối lượng m vắt qua rịng rọc hai tầng B có bán kính r1 , bán kính ngồi R1 Rịng rọc B ăn khớp với bánh A có bán kính r2 Cho biết mơmen qn tính khối ròng rọc B bánh (1) A trục quay JB (2) JA Hãy xác định gia tốc vật nặng A B mg  Phương pháp giải (?) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 65 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Cho hệ hình vẽ Vật nặng có khối lượng m vắt qua rịng rọc hai tầng B có bán kính r1 , bán kính ngồi R1 Rịng rọc B ăn khớp với bánh A có bán kính r2 Cho biết mơmen qn tính khối rịng rọc B bánh (1) A trục quay JB (2) JA Hãy xác định gia tốc vật nặng A B mg  Phương pháp giải quyết: Các định lý tổng quát, PTVP vật rắn phẳng, nguyên lý d’Alembert, nguyên lý d’Alembert - Lagrange Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 66 / 91 §4 Ngun lý d’Alembert - Lagrange 4.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Lời giải: Hệ khảo sát gồm vật nặng hai bánh xe δϕ2 ~ = m~g Lực hoạt động: P Đặt lực quán tính vào vật nặng (chất điểm) hai bánh xe (vật rắn) ϕ2  hình vẽ Áp dụng nguyên lý d’Alembert - Lagrange ta có (1) J A(2) ϕ&&2 A δϕ1  ϕ1  B J B(1)ϕ&&1 my&& y y mg  (2) (mg mă y )y JB ă1 JA ă2 = C hc k thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 67 / 91 §4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 4.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ ỏp dng (1) (2) (mg mă y )y JB ă1 JA ă2 = (41) Chú ý đến liên kết ta có r2 ϕ2 = r1 ϕ1 , (42) y = R ϕ1 Từ (42) suy ϕ1 = y, R1 ϕ2 = r1 y ⇒ δϕ1 = δy , R1 r2 R1 δϕ2 = r1 δy R1 r2 Thế (43) vào (41) ta   (1) r (2) mg mă y JB yă 21 JA yă y = R1 R1 r2 " # (1) (2) JB JA r12 ⇒ mg = m + + Ã yă R1 R1 r2 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học (43) (44) (45) Học kỳ 20132 68 / 91