Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 4 5 phạm thành chung

§5 Phương trình Lagrange loại Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 68 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại Giới thiệu sơ lược Phương trình Lagrange loại PTVPCĐ hệ hôlônôm gồm chất điểm vật rắn Số phương trình số bậc tự hệ Giới thiệu cách thiết lập phương trình Lagrange loại cho hệ n chất điểm Trong trường hợp hệ vật rắn chịu liên kết hơlơnơm, kết có dạng trường hợp hệ chất điểm Một vài thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 69 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 69 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Một vài công thức động học cần thiết Vị trí chất điểm thuộc hệ ~rk = ~rk (q1 , q2 , , qm , t), qi = qi (t) (i = 1, , m) m ⇒ X ∂~rk ∂~rk d~rk = ~vk = q˙ i + dt ∂qi ∂t ⇒ i=1 Do ~vk = ~vk (q1 , , qm , q˙ , , q˙ m , t) ∂~ rk ∂qj = ∂~ rk ∂qj m P ∂ 2~ rk ∂ 2~ rk = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂qj ∂t i=1   P m ∂~ rk ∂ 2~ rk ∂qj = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂~vk ∂~rk = ∂ q˙ j ∂qj (46) (47) (q1 , , qn , t) nên ta có ∂~ vk ∂qj d dt i=1 ∂ 2~ rk ∂qj ∂t So sánh hai công thức ta rút hệ thức     d ∂~rk ∂ d~rk ∂~vk = = dt ∂qj ∂qj dt ∂qj Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học (48) Học kỳ 20132 70 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thiết lập phương trình Lagrange loại hai Xét hệ hơlơnơm gồm n chất điểm có f bậc tự Như hệ xác định f toạ độ suy rộng đủ: q1 , q2 , , qf Nguyên lý d’Alembert Lagrange hệ n chất điểm có dạng n   X F~ka − mk ~ak δ~rk = (49) k=1 Từ ~rk = ~rk (q1 , q2 , , qm , t) suy δ~rk = f P i=1 f n X X i=1 k=1 ∂~rk F~ka ∂qi ! δqi − f n X X i=1 k=1 ∂~ rk ∂qi δqi Thế vào (49) ta d 2~rk ∂~rk mk dt ∂qi ! δqi = (50) Theo định nghĩa lực suy rộng ta có Qi = n X k=1 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) ∂~rk F~ka ∂qi Chương Một số nguyên lý học (51) Học kỳ 20132 71 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Bây ta biến đổi biểu thức Ki = n X k=1   n ∂~rk X d ∂~rk d X d 2~rk ∂~rk ˙ ˙ = mk~rk − mk~rk mk dt ∂qi dt ∂qi dt ∂qi (52) k=1 Chú ý đến (47) (48), biểu thức (52) có dạng Ki = n n ∂~vk X d X ∂~vk mk ~vk − mk ~vk dt ∂ q˙ i ∂qi k=1 k=1 Các đạo hàm riêng theo q˙ i qi động T = ∂T = ∂ q˙ i n X mk ~vk k=1 (53) ∂~vk ∂T , = ∂ q˙ i ∂qi n X k=1 mk ~vk n P k=1 mk ~vk2 có dạng ∂~vk ∂qi (54) Do đó, biểu thức (53) có dạng Ki = Cơ học kỹ thuật II (ME3010) d dt  ∂T ∂ q˙ i  − ∂T ∂qi Chương Một số nguyên lý học (55) Học kỳ 20132 72 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thế (51) (55) vào phương trình (50) ta    f  X ∂T d ∂T − Qi δqi = − dt ∂ q˙ i ∂qi (56) i=1 Các biến phân δqi (i = 1, , f ) độc lập nhau, nên ta có   d ∂T ∂T = Qi , (i = 1, , f ) − dt ∂ q˙ i ∂qi (57) Trong Qi lực suy rộng Các phương trình vi phân (57) gọi phương trình Lagrange loại 2, mơ tả chuyển động hệ hôlônôm Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 73 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Nếu ta phân lực tác dụng lên hệ thành lực lực khơng lực suy rộng Qi tính theo cơng thức Qi = − ∂Π + Qi∗ ∂qi (58) Trong Qi∗ lực suy rộng ứng với lực không Trong trường hợp lực tác dụng lên hệ lực Qi∗ = Khi phương trình Lagrange loại hai có dạng   ∂T ∂Π d ∂T − =− , (i = 1, , f ) (59) dt ∂ q˙ i ∂qi ∂qi Nếu ta đưa vào hệ thức L = T (q1 , , qf , q˙ , , q˙ f , t) − Π(q1 , , qf ) phương trình (59) có dạng   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ q˙ i ∂qi Cơ học kỹ thuật II (ME3010) (i = 1, , f ) Chương Một số nguyên lý học (60) Học kỳ 20132 74 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 74 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một lắc toán học khối lượng m2 , dài l nối vào trượt A khối lượng m1 Con trượt nối vào tường lò xo với hệ số cứng c Cho biết trượt A trượt không ma sát nhẵn Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học c m1 F(t) A l B m2 Học kỳ 20132 75 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một lắc toán học khối lượng m2 , dài l nối vào trượt A khối lượng m1 Con trượt nối vào tường lò xo với hệ số cứng c Cho biết trượt A trượt khơng ma sát nhẵn Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ O xA x A ij l y B m2 Lời giải: Hệ khảo sát gồm trượt A chuyển động tịnh tiến chất điểm B chuyển động tròn tương đối A Các tọa độ suy rộng: q1 = xA , q2 = ϕ (trong đó, xA = 0, ϕ = hệ vị trí cân tĩnh, lị xo chưa biến dạng) Các lực hoạt động: (?) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 78 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một lắc toán học khối lượng m2 , dài l nối vào trượt A khối lượng m1 Con trượt nối vào tường lò xo với hệ số cứng c Cho biết trượt A trượt khơng ma sát nhẵn Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ O c xA m1 A ij F(t) x l y B m2 m2 g Lời giải: Hệ khảo sát gồm trượt A chuyển động tịnh tiến chất điểm B chuyển động tròn tương đối A Các tọa độ suy rộng: q1 = xA , q2 = ϕ (trong đó, xA = 0, ϕ = hệ vị trí cân tĩnh, lị xo chưa biến dạng) Các lực hoạt động: lực F (t), trọng lực m2 g lực đàn hồi lò xo Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 79 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ O c Lời giải: (tiếp theo) xA m1 A F(t) x Động hệ ij 1 T = m1 v12 + m2 v22 2 Vận tốc trượt A v1 = x˙A Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học l y B m2 m2 g Học kỳ 20132 80 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng O c xA m1 A ij y F(t) x l B m2 m2 g Vận tốc chất điểm B xác định theo số cách, chẳng hạn tính theo tọa độ xB = xA + l sin ϕ, yB = l cos ϕ v22 = x˙B2 + y˙B2 = x˙A2 + l2 ϕ˙ + 2lx˙A ϕ˙ cos ϕ 1 T = (m1 + m2 )x˙A2 + m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ 2 ⇒ ⇒ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 (61) 81 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng O c xA m1 A ij y F(t) x l B m2 m2 g Thế hệ lực suy rộng Π = cxA2 − m2 g l cos ϕ (62) Cho hệ thực di chuyển ảo δxA 6= 0, δϕ 6= 0, ta có tổng cơng ảo δA∗ = F (t)δxA ⇒ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Qx∗A = F (t), Qϕ∗ = Chương Một số nguyên lý học (63) Học kỳ 20132 82 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại   d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA d dt  ∂T ∂ ϕ˙  − ∂T ∂Π = Qϕ∗ − ∂ϕ ∂ϕ Trong động T = 12 (m1 + m2 )x˙A2 + 12 m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ, Π = 21 cxA2 − m2 g l cos ϕ lực suy rộng Qx∗ = F (t), Qϕ∗ = ∂T ∂Π ∂T = 0, = cxA , = (m1 + m2 )x˙A + m2 lϕ˙ cos ϕ ∂xA ∂xA ∂ x˙A   d ∂T = (m1 + m2 )ă xA + m2 lă cos m2 lϕ˙ sin ϕ dt ∂ x˙A Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 83 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại   d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA d dt  ∂T ∂ ϕ˙  − ∂T ∂Π = Qϕ∗ − ∂ϕ ∂ϕ Trong động T = 12 (m1 + m2 )x˙A2 + 12 m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ, Π = 21 cxA2 − m2 g l cos ϕ lực suy rộng Qx∗ = F (t), Qϕ∗ = ∂T ∂Π ∂T = −m2 lx˙A ϕ˙ sin ϕ, = m2 g l sin ϕ, = m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A cos ϕ ∂ϕ ∂ϕ   d T = m2 l2 ă + m2 lă xA cos m2 lxA sin ϕ dt ∂ ϕ˙ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 84 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại   d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA d dt  ∂T ∂ ϕ˙  − ∂T ∂Π = Qϕ∗ − (64) ∂ϕ ∂ϕ ∂T ∂Π ∂T = 0, = cxA , = (m1 + m2 )x˙A + m2 lϕ˙ cos ϕ ∂xA ∂xA ∂ x˙A   d T = (m1 + m2 )ă xA + m2 lă cos m2 l sin dt ∂ x˙A Thế biểu thức tính vào phương trình Lagrange loại (64) ta hai phương trình vi phân chuyển động hệ (m1 + m2 )ă xA + m2 lă cos m2 lϕ˙ sin ϕ + cxA = F (t) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 85 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại   d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA d dt  ∂T ∂ ϕ˙  − ∂T ∂Π = Qϕ∗ − (64) ∂ϕ ∂ϕ ∂T ∂Π ∂T = −m2 lx˙A ϕ˙ sin ϕ, = m2 g l sin ϕ, = m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A cos ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ϕ˙   d T = m2 l2 ă + m2 lă xA cos m2 lxA sin dt ∂ ϕ˙ Thế biểu thức tính vào phương trình Lagrange loại (64) ta hai phng trỡnh vi phõn chuyn ng ca h xăA cos + lă + g sin = Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 86 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Các phương trình vi phân chuyn ng ca h (m1 + m2 )ă xA + m2 lă cos m2 l sin + cxA = F (t) xăA cos + lă + g sin ϕ = Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 (65) 87 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.3 Các tích phân đầu chuyển động Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 87 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.3 Các tích phân đầu chuyển động Các tích phân đầu chuyển động Định nghĩa: Hàm u (x1 , x2 ) gọi tích phân đầu hệ phương trình vi phân dx1 dt dx2 dt Lt u = = f1 (x1 , x2 ) = f2 (x1 , x2 ) (66) ∂u ∂u ∂u ∂u x˙1 + x˙2 = f1 + f2 = ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 (67) Tính chất: Nếu x1 x2 nghiệm hệ (66), u (x1 , x2 ) tích phân đầu (66) u (x1 , x2 ) = const Trong học người ta thường quan tâm đến hai tích phân đầu hệ PTVP mô tả chuyển động hệ Đó tích phân xyclic tích phân lượng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 88 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.3 Các tích phân đầu chuyển động Tích phân xyclic Tọa độ suy rộng qs gọi tọa độ xyclic, điều kiện sau thoả mãn ∂Π ∂T =0, = , Qs∗ = (68) ∂qs ∂qs   ∂T d ∂Π ∂T ∗ Từ phương trình dt ∂ q˙ s − ∂qs = − ∂qs + Qs ta có ∂T = const ∂ q˙ s (69) Hệ thức (69) tích phân đầu hệ gọi tích phân xyclic Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 89 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại 5.3 Các tích phân đầu chuyển động Tích phân lượng Khi lực hoạt động tác dụng lên hệ lực có thế, ta có định luật bảo tồn d(T + Π) = Do T + Π = const (70) Hệ thức (70) tích phân đầu hệ gọi tích phân lượng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 90 / 91 §5 Phương trình Lagrange loại Bài tập thảo luận Bài tập thảo luận Bài 16-3 16-4 (sách Bài tập CHKT) hồn tồn tương tự thí dụ Làm 16-7 Làm 16-19 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 91 / 91