Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 2 5 phạm thành chung

§5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Nội dung Mở đầu hệ học Định lý biến thiên động lượng Mômen quán tính khối vật rắn Định lý biến thiên mơmen động lượng Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 52 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng Nội dung Mở đầu hệ học Định lý biến thiên động lượng Mômen quán tính khối vật rắn Định lý biến thiên mơmen động lượng Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 52 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng Thiết lập phương trình Xét hình phẳng S hình vẽ y S Fn ϕ C yC  F2 O Cơ học kỹ thuật (ME3010) F1 xC x Chương Các phương pháp động lượng 2014 53 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng S Fn y ϕ C yC  F2 F1 xC O x Áp dụng định lý chuyển động khối tâm m~aC = X F~ke ( mă xC mă yC P e = Fkx P e = Fky (57) Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng   X d ~LC ~ C F~ke = m dt     X X dLCz = mCz F~ke JCz ă = mCz F~ke dt Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng (58) (59) 2014 54 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng (Do LCz = JCz ω = JCz ϕ) ˙ Kết hợp phng trỡnh (57) v (59): P e mă xC = P Fkx e mă yC = Fky   P JCz ă = mCz F~ke C hc k thut (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 (60) 55 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Nội dung Mở đầu hệ học Định lý biến thiên động lượng Mơmen qn tính khối vật rắn Định lý biến thiên mômen động lượng Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thiết lập PTVPCĐ vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 55 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Thí dụ Một đĩa trịn đồng chất khối lượng m bán kính r chuyển động mặt phẳng nghiêng nhám với góc nghiêng α (hình vẽ) Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh µ0 Bỏ qua ma sát lăn - Tìm gia tốc tâm đĩa lăn khơng trượt - Tìm liên hệ α µ0 để đĩa lăn khơng trượt Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 56 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Thí dụ - Lời giải Xét đĩa trịn lăn khơng trượt mặt phẳng nghiêng LJ  dž ϕ    &ŵƐ  α Cơ học kỹ thuật (ME3010) E Chương Các phương pháp động lượng α ŵŐ 2014 57 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ ỏp dng PTVPC ca a: t mă xC = mg sin Fms (61) mă yC = N mg cos = (62) t JC ă = rFms (63) t ma sát trượt tĩnh Trong JC = 12 mr , Fms Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 58 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Do đĩa lăn khơng trượt, ta có điều kiện ràng buộc ⇒ ă = xăC = xC = r xăC r (64) Từ (61), (63) (64) ta suy mă xC = mg sin JC xăC r2 g sin α 1+ JC mr 2 = g sin α Từ (61) ta tính t Fms = m (g sin xăC ) = mg sin α (65) Từ ta suy đĩa lăn khơng trượt hệ số ma sát trượt tĩnh µ0 phải thoả mãn điều kiện sau t Fms µ0 N Cơ học kỹ thuật (ME3010) ⇒ µ0 > t mg sin α Fms = = tg α N mg cos α Chương Các phương pháp động lượng (66) 2014 59 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Thí dụ Một đồng chất AB khối lượng m, dài 2a đặt mặt phẳng thẳng đứng Đầu A B tựa vào mặt nhẵn thẳng đứng nằm ngang Giữ cho đứng yên tạo với mặt phẳng ngang góc ϕ0 thả cho chuyển động tác dụng trọng lực Xác định: - phản lực tường tác dụng vào theo góc ϕ đạo hàm - vận tốc góc, gia tốc góc dạng hàm góc ϕ - góc ϕ đầu A rời khỏi tường y A C mg O ϕ x B Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 60 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Thí dụ - Lời giải y E  A C E  mg O ϕ x B PTVPCĐ AB Cơ học kỹ thuật (ME3010) mă x C = NA (67) mă yC = NB mg (68) JC ă = NA a sin ϕ − NB a cos ϕ (69) Chương Các phương pháp động lượng 2014 61 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Các phương trình liên kết: xC = a cos ϕ, yC = a sin ϕ (70) Đạo hàm biểu thức (70) theo thời gian ta x˙C = a sin , yC = a cos , xăC = aă sin a cos yăC = aă cos a sin Th biểu thức vào phương trình (67) (69) ta cú
NA = ma ă sin + ϕ˙ cos ϕ (71)
NB = mg + ma ă cos sin (72) Thế (71) (72) vào (69) ý rng JC = 31 ma2 , ta c ă = − Cơ học kỹ thuật (ME3010) mga 3g cos ϕ = − cos ϕ JC + ma 4a Chương Các phương pháp động lượng (73) 2014 62 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rn phng ă = Thớ d ỏp dng 3g mga cos ϕ cos ϕ = − JC + ma 4a Nhân hai vế (73) với dϕ tích phân hai vế phương trình kết ta
d 3g d ă = d = d ϕ˙ = − cos ϕdϕ (74) dt 4a Zϕ˙ d ϕ˙ ϕ˙ = − Cơ học kỹ thuật (ME3010)
3g =− 2a Zϕ cos ϕdϕ ϕ0 3g 3g (sin ϕ − sin ϕ0 ) = (sin ϕ0 − sin ϕ) 2a 2a Chương Các phương pháp động lượng (75) 2014 63 / 64 §5 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng Khi đầu A rời khỏi tường NA = 0,   3g 3g cos ϕ1 sin ϕ1 − (sin ϕ1 − sin ϕ0 ) cos ϕ1 = ma − 4a 2a Do cos ϕ1 6= 0, ta suy giá trị góc ϕ1 đầu A rời khỏi tường sin ϕ1 − sin ϕ0 = ⇒ ϕ1 = arcsin( sin ϕ0 ) Cơ học kỹ thuật (ME3010) Chương Các phương pháp động lượng 2014 64 / 64