Bài giảng cơ học kỹ thuật chương 4 3 phạm thành chung

§3 Nguyên lý d’Alembert Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert chất điểm Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nguyên lý d’Alembert hệ Thí dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 44 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.1 Nguyên lý d’Alembert chất điểm Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert chất điểm Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nguyên lý d’Alembert hệ Thí dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 44 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.1 Nguyên lý d’Alembert chất điểm Lực quán tính chất điểm Xét chất điểm P hệ quy chiếu qn tính Oxyz hình vẽ m~a = F~ ⇒  r Fqt z P (19) F~ + (−m~a) = r a r r (20) Vế trái (20) có thứ nguyên lực Quy ước xem (−m~a) lực O r F y x Định nghĩa: Lực quán tính d’Alembert chất điểm đại lượng véctơ phương ngược chiều với gia tốc chất điểm có trị số tích số khối lượng chất điểm với trị số gia tốc F~ qt = −m~a Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học (21) Học kỳ 20132 45 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.1 Nguyên lý d’Alembert chất điểm Nguyên lý d’Alembert chất điểm Nội dung: Ở thời điểm hệ lực gồm lực tác dụng lên chất điểm lực quán tính hệ lực thoả mãn điều kiện cân tĩnh học (F~ , F~ qt ) ≡ (22) Chú ý: Trong hệ quy chiếu quán tính, lực quán tính chất điểm lực ảo Nó lực quy ước để đưa tốn động lực học toán tĩnh học Trong nguyên lý d’Alembert, ta nói có hệ lực cân bằng, khơng nói chất điểm cân tác dụng hệ lực Khi xác định lực quán tính phương pháp vẽ phương pháp giải tích: F~ qt ngược chiều với ~a, trị số F qt = ma Fxqt = max = mă x , Fyqt = may = mă y , Fzqt = maz = mă z C hc k thut II (ME3010) Chng Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 46 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert chất điểm Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nguyên lý d’Alembert hệ Thí dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 46 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn khối tâm C ta véctơ Z Z 0qt ~ ~a dm = ~ăr dm R = (23) B z r a dm B r u mômen C r r ~ qt M C Z =− Z u~ × ~a dm = − B u~ × ~ăr dm (24) B ú u~ = CM, M phân tố có khối lượng dm có gia tốc ~a Cơ học kỹ thuật II (ME3010) O Chương Một số nguyên lý học r rC y x Học kỳ 20132 47 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ 0qt , M ~ qt động lượng p~, mômen động Quan hệ R C ~ lượng lC vật rắn z r a dm Định lý: ~ 0qt = − d p~ , R dt ~ qt M C r u d~lC =− dt C r r O Ôn tập & chứng minh (?) r rC y x Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 48 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ 0qt , M ~ qt p~, ~lC Quan hệ R C z Định lý: ~ 0qt = − d p~ , R dt ~ qt M C Nhắc lại động lượng: “động” “chuyển động”, “lượng” “khối lượng”, động lượng chất điểm p~ = m~v ,R phân tố d p~ = ~v dm, vật rắn p~ = B ~v dm x Cơ học kỹ thuật II (ME3010) r a dm d~lC =− dt Chương Một số nguyên lý học r u C r r O r rC Học kỳ 20132 y 49 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ 0qt , M ~ qt p~, ~lC Quan hệ R C Định lý: ~ 0qt = − d p~ , R dt z ~ ~ qt = − d lC M C dt Nhắc lại mômen động lượng: “mômen động lượng” mômen động lượng, chất ~ C (m~v ), phân tố d~lC = điểm ~lC = m ~ m R~ C (~v dm) = u~ × ~v dm, vật rắn lC = x ~ × ~v dm Bu Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học r a dm r u C r r O r rC Học kỳ 20132 y 50 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ 0qt , M ~ qt p~, ~lC Quan hệ R C Định lý: z ~ 0qt R d p~ =− , dt d~lC =− dt ~ qt M C r a dm (25) r u Chứng minh: C r r Z p~ = O ~v dm r rC y B ⇒ d p~ d = dt dt Z ~r˙ dm = B Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Z ~0  ~ăr dm = R qt x B Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 51 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ 0qt , M ~ qt p~, ~lC Quan hệ R C Định lý: ~ 0qt = − d p~ , R dt ~ ~ qt = − d lC M C dt (26) Chứng minh: (tiếp theo) ~lC = Z u~ × ~v dm B Từ ⇒ Z Z d~lC d u~ = × ~v dm + u~ × ~adm dt B dt B ~ du dt = ~v − ~vC ta suy Z Z Z d u~ ~v × ~v dm − ~vC × ~v dm = −~vC × m~vC = × ~v dm = B B B dt Do Z d~lC ~ qt  = u~ × ~adm = −M C dt B Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 52 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn khối tâm Véctơ hệ lực qn tính vật rắn khơng phụ thuộc vào dạng chuyển động xác định ~ 0qt = −m~aC ~ 0qt = − d p~ = − d (m~vC ) ⇒ R (27) R dt dt Véctơ mơmen khối tâm C hệ lực quán tính vật rắn phụ thuộc vào dạng chuyển động cụ thể xác định Z qt ~ MC = − u~ × ~adm (28) B Vật rắn chuyển động tịnh tiến Theo (28) ta có Z  Z qt ~ u~ dm × ~aC = 0, u~ dm = m~ uC = MC = − B B ⇒ Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn chuyển động tịnh tiến khối ~ qt = −m~aC tâm C ta hợp lực đặt khối tâm C : R Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 53 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn ~ qt ~lC ta Tấm phẳng chuyển động phẳng Theo công thức liên hệ M C có d dlCz qt = − (JCz ωz ) = −JCz εz (29) MCz =− dt dt Trong Cz trục vng góc với phẳng qua khối tâm C ⇒ Thu gọn hệ lực quán tính phẳng chuyển động phẳng khối tâm C ta lực ngẫu lực ~ = −m~aC , M qt = −JCz εz R qt C (30) Tham khảo Bảng 15-1 Bài tập CHKT.12 12 Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Quang Hoàng, Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Minh Phương: Bài tập Cơ học kỹ thuật NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 54 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.3 Nguyên lý d’Alembert hệ Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert chất điểm Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nguyên lý d’Alembert hệ Thí dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 54 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.3 Nguyên lý d’Alembert hệ Nguyên lý d’Alembert hệ Nội dung: Ở thời điểm ta đặt vào chất điểm vật rắn hệ lực qn tính thu gọn hệ gồm ngoại lực, nội lực lực quán tính thu gọn tác dụng lên hệ hệ lực thoả mãn điều kiện cân tĩnh học n o F~ke , F~ki , F~kqt ≡ Chứng minh: Để đơn giản ta chứng minh cho trường hợp hệ gồm n chất điểm P1 , P2 , , Pn chuyển động với gia tốc ~a1 , ~a2 , , ~an Ta phân lực tác dụng lên chất điểm thành nội lực F~ki ngoại lực F~ke Theo nguyên lý d’Alembert chất điểm thứ k ta có F~ke + F~ki + F~kqt = (k = 1, , n) (31) n o Xét hệ lực F~ke , F~ki , F~kqt Hệ lực có hai tính chất: P P ~ i P ~ qt ~ O = P ~rk × (F~ e + F~ i + F~ qt ) = R~ =n F~ke + o Fk + Fk = 0, M k k k Vậy F~ke , F~ki , F~kqt hệ lực thoả mãn điều kiện cân tĩnh học  Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 55 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.3 Nguyên lý d’Alembert hệ Hệ quả: Hệ gồm ngoại lực lực quán tính tác dụng lên hệ hệ lực thoả mãn điều kiện cân học.P P ~tĩnh i Chứng minh: Do tính chất hệ nội lực Fk = , ~rk × F~ki = nên ta suy ra: P ~ e P ~ qt F + Fk = P k ~rk × (F~ke + F~kqt ) =  Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 56 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.4 Thí dụ áp dụng Nội dung Các khái niệm Nguyên lý công ảo Nguyên lý d’Alembert Nguyên lý d’Alembert chất điểm Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn Nguyên lý d’Alembert hệ Thí dụ áp dụng Nguyên lý d’Alembert - Lagrange Phương trình Lagrange loại Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 56 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.4 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng D Một AB đồng chất gắn lề vào trục quay thẳng đứng (như hình vẽ) Cho biết OA = a, OB = b Trục quay với vân tốc góc ω, chốt lề nằm ngang Bỏ qua ma sát Tìm hệ thức góc nghiêng ϕ trục quay AB vận tốc góc ω chuyển động quay bình ổn, góc ϕ số A O ϕ ω B C Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 57 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert 3.4 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng13 Lời giải Thu gọn lực quán tính OB ta lực F~2qt b F2qt = bµaC2 = bµ sin ϕ.ω 2 Trong đó, µ khối lượng đơn vị dài Lực F~2qt đặt điểm I2 cách B đoạn b3 Tương tự, thu gọn hệ lực quán tính OA ta F1qt = aµaC1 a = aµ sin ϕ.ω 2 z D r A F1qt I1 C1 r P1 ω r RO O C2 r F 2qt ϕ r I2 P2 B C Lực F~1qt đặt điểm I1 cách A đoạn 3a 13 Ôn lại hệ lực phân bố song song chiều Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 58 / 91 §3 Ngun lý d’Alembert 3.4 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Theo nguyên lý d’Alembert ta có lực cân ~O , P ~1 , P ~2 , F~ qt , F~ qt ) ≡ (R (32) PTCB mômen điểm O 2b a 2a b mO (F~k ) = −P2 sin ϕ + F2qt cos ϕ + P1 sin ϕ + F1qt cos ϕ = 3 (33) Do P1 = aµg , P2 = bµg , nên từ (33) ta suy X a −bµg b2 sin ϕ + bµ b2 sin ϕ.ω 2b cos ϕ + aµg sin ϕ+ +aµg 2a sin ϕ + aµ 2a sin ϕ.ω 2a cos ϕ = (34) Từ (34) ta suy cos ϕ = Cơ học kỹ thuật II (ME3010) 2(a2 3g (b − a) − ab + b )ω Chương Một số nguyên lý học (35) Học kỳ 20132 59 / 91 §3 Nguyên lý d’Alembert Bài tập thảo luận Bài tập thảo luận Bài 15-9 (sách Bài tập CHKT) tương tự thí dụ trên, phần lời giải sử dụng cách tiếp cận khác Làm 15-2 Làm 15-17 15-21 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương Một số nguyên lý học Học kỳ 20132 60 / 91