CHUONG II
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
§10 HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC VUƠNG DINH Li PITAGO
Cho AABC vuơng ở A, đường cao AH Kí hiệu BC = a,
AC = b, AB = c, AH = h, HB = c’, HC = b’ Taco: A i) h* = b’e’; _} 2) c* = ac’; b* = ab’; c b 3) a2 = b2 + c? (định lí Pitago); c 4) ah = bc; a - 5) I ` (h.37) Hình 37 h? bể oe ,
Ví dụ 19 Cho tam giác ABC vuơng ở A, AB = 30cm, AC =
40cm, đường cao AH, trung tuyến AM a)Tính độ dài BH, HM, MC
b) Tính độ dài AH bằng nhiều cách
Giải (h.38)
Trang 2Ấp dụng cơng thức c* = ac’, ta cé AB” = BC.BH + BH = AB”: BC = 307 : 50 = 18 (cm)
Suy ra HM = BM — BH = 2ð - 18 = 7(em) b) Cách 1 Áp dụng cơng thức ah = bc ta cĩ : AB.AC = BC.AH = 30.40 = 50.AH = AH = 24cm
Cách 2 Áp dụng cơng thức hˆ = bc” ta cĩ :
AH? = HB.HC = 18.32 = 9.2.32 = (8.8)? > AH = 24cm
Cách 3 Áp dụng định lí Pitago trong AAHB, ta cĩ :
AH’ = AB’ - BH? = 30° - 18? = (30 + 18)(30 — 18) = 48.12 = 16.3.12 = (4.6)? = AH = 24cm
Cach 4 Ap dung dinh li Pitago trong AAHM Cách &, Ap dung dinh li Pitago trong AAHC
BAI TAP
90 Tính độ dài cạnh hình thoi biết các đường chéo của nĩ dài
10cm va 24cm
91 Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH.M, N thứ tự
là trung điểm của AB, AC Biết HM = 15cm, HN = 20cm Tinh
độ dài HB, HC, AH
92 Giải ví dụ 10 bằng cách dùng định lí Pitago
93 Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao BK Tính BC biết rằng AK = 7cm, KC = 2em
94 Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH Gọi I là trung điểm của AH, gọi E là giao điểm của BI và AC Tính độ dài AE,
EC biét rang AH = 12cm, BC = 18cm
95 Tính diện tich tam gidc ABC vuéng 6 A biét rang AC =
20cm, chiéu cao AH bang 12cm
96 Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH Tính độ dai các cạnh của tam giác ABC biết rằng AH = 12cm, BH = 2
HC 16
Trang 397 Chứng minh rằng trong tam giác vuơng, bình phương của tỉ số hai cạnh gĩc vuơng bàng tỈ số các hình chiếu tương ứng của chúng trên cạnh huyền
98 Chứng minh ràng nếu một tam giác vuơng cố một cạnh gĩc vuơng gấp đơi cạnh gĩc vuơng kia thì đường cao ứng với cạnh huyền
chia cạnh ấy ra hai đoạn thẳng cĩ tÌ số 4 : 1
99 Trong một tam giác vuơng, đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh ấy thành hai đoạn thẳng cố tỈ số 4 : 9 Dường phân giác của gĩc vuơng chia cạnh huyền theo tỈ số nào ?
100 Tam giác ABC vuơng 6 A co AB = 15cm, AC = 20cm,
đường cao AH Tính chu vi tam giác ABH
101 Cho tam giác vuơng ở A, đường cao AH Biết rằng chu vi tam giác AHB bàng 18em, chu vi tam giác AHC bằng 24cm
a) Tính tỉ số AB : AC
b) Tính chu vi tam giác ABC
102 Cho tam giác ABC cơ BC = a, AC = b, AB = c, đường cao
AH (H nam giita B va C), HB = c’, HC = b’ Chứng minh rằng BAC = 90° nếu cĩ một trong các điều kiện :
a) c* = ac’;
b) b? = ab’
108 Cho tam giác ABC vuơng ở A cĩ AC = 3 AB Trên cạnh
AC lấy các điểm D va E sao cho AD = DE = EC Chung minh rang AEB + ACB = 45° bang cac cach sau
Cách 1 Gọi M là điểm đối xứng với B qua D rồi chứng minh
các tam giác EAB và BMC đồng dạng
Cách 2° Chiing minh các tam giác CDB và BDE đồng dạng 104 Hinh thoi ABCD co BD = 30cm, AC = 40cm
a) Tinh canh hinh thoi b) Tinh dién tich hinh thoi
c) Vé céc dudng cao BE, BF cua hinh thoi Tinh dién tich tứ
Trang 4giác BEDF
105 Hình thang vuơng ABCD cĩ Â = Ÿ = 90°, AB = 9em,
CD = 15em, AC = 17cm Tính độ dài các cạnh bên
106 Hình thang vuơng ABCD cớ Â = Ÿ'= 90°, hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O Biết OA = 4cm, OD = 8cm Tính diện
tích hình thang
107 Một hình thang cân cĩ đường chéo là phân giác của gĩc tù ở đáy, đáy nhỏ dài 3cm, chu vi bằng 42cm Tính diện tích hình thang
1068 Một hình thang cân cĩ đường chéo là phân giác của gĩc nhọn ở đáy, đáy nhỏ dai 17m, chu vi bằng 84m Tính diện tích hình
thang
109 Diểm M là điểm bất kì trong hinh chit nhat ABCD Chứng minh rang MA* + MC* = MB* + MD2
110 Tứ giác ABCD cơ AD vuơng gĩc với BC Chứng mình rằng tổng bình phương các đường chéo bằng tổng bỉnh phương các cạnh
AB và CD
111 Cho hình vuơng ABCD tám O cĩ cạnh bằng a, một đường thẳng d đi qua O Tính tổng bình phương các khoảng cách từ A, B, C, D đến đường thẳng d
112 Cho tam giác ABC, một điểm O nằm trong tam giác Gọi
D, E, F thứ tự là hình chiếu của O trên AB, BC, CA Chứng minh
rang AD? + BE? + CF* = AF? + BD? + CE’ 113 Chung mỉnh rằng trong tam giác vuơng :
a) lập phương của cạnh huyền lớn hơn tổng các lập phương các cạnh gĩc vuơng;
b) bình phương của cạnh huyền lớn hơn hoặc bằng nửa bình
phương của tổng các cạnh gĩc vuơng
114 Cho tam giác ABC cĩ AC = b, AB = c, b > c Lấy M bất
kì thuộc đường cao AH Tính MC” - MB
Trang 5115 Một hình thang cân cĩ đáy a và b, cạnh bên c, đường chéo d Ching minh rằng d* = ab + ce
116 Dựng đoạn thẳng cĩ độ dài x sao cho x? = ab (a và b là
các độ dài cho trước)
117 Để tính diện tích tam giác cân, người Ai Cập cổ lấy nửa đáy nhân với cạnh bên Tính tỉ số phần trăm của diện tích tam
giác tính theo cơng thức này so với diện tích đúng của nĩ nếu tam
giác cân cĩ đáy dài 18m, cạnh bên đài 41m
118 Để tính diện tích hình thang cân, người Ai Cập cổ lấy nửa tổng hai đáy nhân với cạnh bên Tính tỉ số phần trăm của diện tÍch
hình thang cân tính theo cơng thức này so với diện tích đúng của nớ nếu hình thang cân cĩ các cạnh đáy dài 30m và 16m, cạnh bên dài 25m
119 Một cây bị gãy cách gốc 3 thước, chỗ ngọn cây chạm đất
cách gốc 4 thước Tính chiều cao của cây (Bài tốn cổ Ấn Độ)
120 Một cây sậy mọc từ đáy ao, ngọn cây nhơ khỏi mặt ao 1/2
thước Một cơn giĩ thổi làm ngọn cây chạm vào mặt nước, cách chỗ
cũ (chỗ thân cây chạm mật nước) là 2 thước Tính chiều cao của
Cây sậy (Bai rốn cổ Ấn Dé)
121 Nhén uè ruồi Một con nhện và một con ruồi đậu trên hai
mặt tường đối diện nhau của một căn phịng dài 7m, rộng 6m, cao
Ám Con nhện ở cách mép tường 2m, cách mặt sàn l,5m (thuộc
mặt tường 7m x 4m) Cịn con ruồi
đậu cách mép tường đối diện Im,
cách trần 1,5m (h.39) Dường nào Bọ ngán nhất dẫn con nhện bị đến chỗ
con tuồi ? [Bài tốn của Lép Tơnxtơi 2N TT a (1828-1910), nhà văn Nga]
[Ty A 122 Chú kiến uị giọt một Một
—— ¬ chú kiến ở vị trí A trên mặt ngồi
lọ thủy tỉnh hình trụ, nhìn thấy một giọt mật ở thẳng trước mặt tại vị trí
Trang 6B trên mật trong của lọ (h.40) Biết A và B đều cách miệng lọ 3,5cm và
chu vi của miệng lo bàng 48cm
Tính độ dài ngắn nhất để chú kiến
bị tới chỗ giọt mật
123 Dé do khoảng cách giữa hai
điểm A va B nam ở hai phía mệt
con sơng, ta lấy điểm D trên tia đối
của tia AB, rồi lấy điểm € trên
đường vuơng gĩc với AB tại B sao cho BCD = 90° (h.41) Biết AD =
20in, AC = 150m Tinh d6 dai AB
124 Hình 42 gồm 12 chiếc que, mỗi chiếc đãi lem, ghép lại thành
một hình ngũ giác (các gĩc A E, D
là gĩc vuơng) Bạn hãy tính nhẩm điện tích của ngũ giác đĩ trong vịng
một phút C3 Hinh 40 Hinh 41
135 Đố uui Trong một cơng viên cĩ một đảo bị ngăn bởi hào
nước rộng 3m như hình 43 Ỏ cạnh hào cĩ hai tấm ván, nhưng mỗi
Trang 7§1L TỈ SỐ LUONG GIAC CUA GOC NHON B < 90° AC cạnh đối BC canh huyén AB canh ké = ^ œ œ 9 3 os HH cosB z —— = —————— BC cạnh huyền (eB AC cạnh đối A € a= AB ˆ cạnh kề AB canh kề dlình 44 cotgB = —- = —— AC cạnh đối
sinB = cosC, sinC = cosB, tgB = cotgC, tgC = cotgB
Vi du 20 a) Cho 0° < a < 90” Chứng minh ràng
sỉn ø + cos “œ = 1
« 2 2 2 2a
{kí hiệu sinr¿ = (sina)’, cos"a = (cos œ)“}
bi Cho sin a = “ Tinh cosa
Giai
Kí hiệu như trên hình 45, ta cĩ
B - AC AB sing ==—— ,cosa =-—— BC BC a + cos “a = AC , AB, (—ye( eye BC BC a) Ta cd : sin" i " ¬ "3
Trang 85 AC 5 b) Cách I sine = — # = —— BC 13 AC BC Dat = => = k thi AC = 5k, BC = 13k Do do : 4
AB? =BC“ — AC? = 169k° — 25k°= 144k? = (12k) = AB= 12k AB 12k 12
Vay cose =——
BC 13k 13
Cách 2 Áp dụng cơng thức ở câu a, ta cĩ :
5 > 68s 144 12 , 12
cos-a = 1 - sin‘a = 1 — (——)“ =—— = (—}“ >cosqa =—
13 169 13 13 BAI TAP 126 Chứng minh rằng nếu 0° < z < 90° thì : sina cosa a) tga = ; cotga = — cosa sina b) tga cotga = 1; 1 cì Ì + tg’a = —,; cosa ; 1 + cotg’a = —— sin“z ; d) sina = cos (90° — a); tga = cotg(90° — «)
127 Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác, tính :
a) tg45°; sin°45°; cos*45";
b) sin30°; cos230°: tgˆ309;
c) cos60°: sin”60°; tg”60°
128 Cho tam giác ABC vuơng ở A
a) Giải thích tại sao sinB < 1, cosB < 1 ?
b) Khi nao thi tgB = 1, tgB > 1, tgB < 17
128 Cho tam giác ABC vuơng ở A, AB = 9em, AC = 12cm Tính sinB, cosB, tgB
Trang 9180 Cho tam giic ABC vuơng ¢ A 24
a’ Biét cosB = 25
Tính sinH, tgB cotgB
bì Biết tgC = 0.75 Tính sinC, cosC, cotgC
sinB + cosB
c) Biét tgB = 2 Tinh if
sinB — cusB
131 Cho tam giác ABC cĩ B, Œ < 90” và AB = 2A Tinh ti sé sinB : sinC
$12 BANG LUONG GIAC
Vi du 21 Mét hoc sinh vé gan dung géc AOB bang 72° (dé chia đường trịn bán kính R thành năm phần bằng nhau: như trong hình
R
46, trong đĩ A ODE vuơng ở D, OD = DE = R Dung bảng
lượng giác tính gĩc AOB theo cách dựng đĩ
Giải
Trong tam giác vuơng ODE,
DE
tgDOE = —— = 3 Tra bảng OD
ian Z”
ta được DOE = 71°34’ Do dd AOB = 71°34" (chi chênh léch 0°26° so với gĩc 72") Hình 45 BÀI TẬP 132 Dể dựng gần đúng một tam giác cần cĩ gĩc đỉnh bằng 29",
một học sinh dựng tam giác cân cĩ đáy 2 em, cạnh bên 6em Dùng
bảng lương giác tính gĩc định của tam giác cân đĩ
50
Trang 10$13 HE THUG GIUA CANH VA GOC CUA TAM GIAG VUIONG
Trong tam giác vuơng :
—- cạnh gĩc vuơng = cạnh huyền x sin cua goc đối; ~ cạnh gĩc vuơng = cạnh huyền x cơsin của gĩc kê;
~ cạnh gĩc vuơng = cạnh gĩc vuơng kia x tang của gĩc đối; — cạnh gĩc vuơng = cạnh gĩc vuơng kia x cơtang của gĩc kê
Vi du 22 Chung minh rang nếu a b là độ dài hai cạnh của một
tam giác va a 1a gĩc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy thì diện tích 5 của tam giác bằng :
1 S = — ab sina 9 Giải Gia su A ABC co AB = a AC = b, géc nhọn tạo bởi AB và AC bàng œ (h 47), Vẽ đường cao BH Trong tam giác vuơng ABH,
Hình 47 ta cĩ
1 1
BH =AB sin¿ Do đĩ Šị = > AC.BH = > ab sinc
BAI TAP
133 Tính các gĩc của tam giác ABC cân 6 A, duéng cao BH biết rằng AH = 2HC
134 Tính gĩc tạo bởi đường thằng chứa cạnh bên của hình thang cân cĩ đáy lớn bằng a, đáy nhỏ bằng b, chiều cao bang h Ap dung tính với a = 42mm, b = 30mm, h = 50mm
* , SN ul “ZN oO ~
135 Tam giác ABC cĩ B = 40", C = 60", trung tuyén AM
Trang 11§14 UNG DUNG THUC TE CUA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA
GOC NHON
Vi dụ 23 Từ một ngươi quan sát cao 100m so vdi mat bién, người
quan sát nhìn thấy một con tàu theo gĩc 102 so với phương nằm ngang Tính khoảng cách từ chịi quan sát đến con tàu
` c Giải
~~ or CỐ 1 Goi A la vi tri của người
=== at, quan sát, B là vị trÍ con tàu
ˆg _ (h48) Tam giác vuơng ABC
co A = 10°, BC = 100m Ta cĩ BC = AB.sinA
Khoảng cách từ người quan sát đến con tàu bằng 576m
BÀI TẬP
186 Một quả đồi dốc 139, quãng đường thẳng từ chân lên đỉnh
đồi dài 200m Tính độ cao của đỉnh đồi so với chân đồi 187 Một người đi ơtơ trên đường
thang AD O vj tri A người đĩ nhìn
thấy địa điểm C theo gĩc CAD = «a, ở vị trí B người đĩ nhìn thấy địa điểm
dé theo géc CBD = a + 90° Tinh | khoảng cách BC, biết rằng AB = 1000m và : lA 4 re a)a = 50°; b) a = 30° aN E K
188 Dể xác định chiều cao AB của
một cây ở bờ suối bên kia (h.49), ta đặt
xi
Hinh 44
Trang 12chác kế ở HH, đồ gĩc ;c giữa HB với phương nằm ngang (di từ H đến
thân cày), Sau đươ dời giác kế đến D trên đường nàm ngang từ F
đến thân cây đo gĩc / giữa DĨÄ với phương nam ngang (di từ D
dén than cay) Biét HD = a va chiều cao của giác kế bằng b Tinh ABvéi a = 3m; b = 1,5m; « = 50°, 68 = 65°"
139 D£ đo độ cao AB của một máy bay đang ở vị trí B, hai người quan sát đạt giác kế ở H và D (sao cho B thuộc mật phẳng
HDEh, xem hinh 49), cùng một lúc xác định các gĩc CHB = a,
CDB = Ø Tỉnh độ cao AB biết rằng HD = a và chiều cao giác kế
bằng b Ấp dụng với a = 100m; b = l.ỗm; œ = 40”; 6 = 42°
140 Một máy bay chuyển động
thang đêu theo phương nằm ngang với vin téc 150m/s O vi tri A phi
cơng nhìn địa điểm CC ở mặt đất 60° bạ
thẳng phía trước máy bay theo gĩc h 60” so với phương thẳng đứng, và
sau đø 20 s đến H lại nhìn thấy địa
điểm đĩ theo gĩc 28° (h.50) Tinh do
cao của máy bay
Hình S0
Về phương pháp giải tốn
LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠI SỐ
ĐỀ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC
Khi tính độ dài đoạn thẳng hoặc số đo gĩc, nhiều khi ta nên biểu thị một đại lượng chưa biết làm ẩn số rồi thiết lập phương
trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng trong bài tốn
Vị dụ 24 Cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng đải 8cm, tổng của cạnh huyền và cạnh gĩc vuơng kía bàng 32cm Tính độ dài canh buyền và cạnh gĩc vuơng kía
Giải
Gọi độ dài cạnh huyền là x (cm) thi dé dai cạnh gĩc vuơng cần
Trang 13tính bàng 32 — x (cm) Theo định lý Pitago ta cĩ phương trình : 82 + (32 — x)? = x’ Giải phương trỉnh : 64 + 1024 -64x+x* =x 64x = 1088 x = 17,
Vậy cạnh huyền bằng 1?cm, cạnh gĩc vuơng kia bang 15cm BÀI TẬP VẬN DỤNG
141 Tính cạnh hình vuơng nội tiếp tam giác cân cĩ đáy dài 12
thước, cạnh bên 10 thước, biết rằng một cạnh hình vuơng nằm trên
day của tam giác, hai đỉnh cịn lại của hình vuơng nàm trên hai
cạnh bên (Bài tốn của Al-Khơrezmi nhà tốn học A Répthé ki IX)
142 Tính diện tích hình thoi biết một đường chéo dài 15cm,
chiéu cao 12cm
143 Hai cdy co moc d6i dién nhau ở hai bên bờ sơng, cách nhau 50 thước, một cây cao 30 thước, một cây cao 20 thước (h 51) Trên
ngọn mối cây cĩ một con chim Béng nhiên cả hai con chỉm đều nhìn thấy một con cá bơi trên mặt nước giữa hai cây; chúng cùng bổ nhào
xuống con cá với vận tốc như nhau và cùng đạt đến đích một lúc
Tính khoảng cách từ gốc cây cao hơn đến con cá (Bài rốn cổ Ậ
Trang 14144.” Tình độ dài các cạnh của một tam giác vuơng cĩ chu v
60cm, chiều cao ứng với cạnh huyền 12cm
145." Một tam giác cân co day dai 12cm, canh bén dai 18cm Tỉnh khoảng cách giữa chan hai đường cao ứng với cạnh bên
DÙNG ĐỊNH LÍ ĐẢO PITAGO ĐỀ CHỨNG MINH GĨC VUƠNG
Ta đã biết trong tam giác, các cạnh và các gĩc cơ quan hệ với nhau Từ quan hệ giữa các cạnh, ta cĩ thể chứng minh được các
gĩc bàng nhau, tính được số do của các gĩc (chẳng han 60°, 45°,
309 ) Hệ thức giữa độ dài các cạnh của tam giác cũng cho ta chứng mình gĩc vuơng nhờ định lí Pitago đảo
VÍ dụ 25 Cho tam giác ABC vuơng cân ở B và một điểm M
nằm trong tam giác Biết MA = Icm, MB = 2cm, MC = 3cm a) Vẽ tam giác MBK vuơng cân ở B (K và A nằm cùng phía đối
với BM) Tỉnh độ dài AK
`
b Chứng minh rang AMK = 90°
c) Tinh AMB fs Gidi (h.52) a) A ABK = 4 CBM (c.g.c) suy 3 ra AK = CM = 3cm b) Xét A AMK, ta co AM? = 1, AK? = 9, KM? = BM? + BK? = K =2? + 27 = 8
2 B C Như vậy AK" = AM 2 2 + KM 2
Z2
Do đĩ ÁMK = 90°
nh SỐ 5
e) AMB = 90° + 45° = 135°
BAI TAP
Trang 15E sao cho AE = 2cm Trên cạnh DC lấy điểm H sao cho DH = lem Tam giác BEH cớ là tam giác vuơng khơng ?
147 Tính diện tícn tam giác cĩ một cạnh bằng 10cm, các trung tuyến ứng với bai cạnh kia bàng 9cm va 12cm
148 Tính diện tích tam giác cĩ ba trung tuyến dài 12cm, 9m, 15cm
149 Tinh diện tích hình thang biết hai đáy bàng 4cm và 14cm,
hai cạnh bên bằng 6cm và 8em
HỆ THỐNG MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH
CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC
(tiếp theo tập IT) 1 Chứng ntừnh hai đoạn thẳng bàng nhau
¬ Hai đoạn thẳng cĩ tỉ số bang 1
¬ Dùng bổ đề hình thang
2 Tìm tỉ số của hai đoạn thẳng Chúng ninh các cập đoạn thẳng tỉ lộ
— Dùng định lí Talet
— Dùng tính chất đường phân giác của tam giác
— Các cập cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng
— Xét các đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng, các diện tích của hai tam giác đồng dạng
3 Chứng mình hai gĩc bằng nhau
— Cặp gdúc tương ứng của hai tam giác đồng dạng
4 Ching minh hai duong thang song song
Dùng định lí Talet đảo
5 Chứng minh hai dường thẳng uuơng gĩc - Dùng định Ii Pitago đảo
6 Chứng mình ba diểm thẳng hàng, ba đường thẳng dồng quy — Dùng bổ đề hình thang
J
Trang 16Bài đọc thêm
TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
THEO BA CẠNH CỦA NĨ
Ví dụ 26 Tam giác ABC cĩ AB = 10em, AC = 17cm, BC = 21cm
Vẽ đường cao AH
a) Tính độ dài HC, HB
b) Tính diện tích tam giác ABC
A Gidi (h.53) 10 1? a) Vi BC la cạnh lớn nhất của tam giac nén B < 90°, C < 90°, do đĩ H B YH x °c nằm giữa B va C
2l ———>y Dat HC = x, HB = y, taco
Hình 53, x+y=2l ()
Mặt khác, áp dụng định lí Pitago trong các tam giác vuơng AHB, AHC, ta cĩ : AH? = 10° — y*, AH? = 17? — x? nén x? - y? = 17 - 10°
= 289 — 100 = 189 (2)
Từ (1) va (2) suy ra: x + y = 21,x —- y = 9 Dodo x = 15, y = 6 Ta cé AH* = 107 - 6? = 64 nén AH = 8 (cm)
1 1 2
SAnc = s BC.AH = S16 = 84 (cm )
Vi du 27 Cho tam giác ABC A
cĩ BC = a, AC = b, AB = cc,
diện tích S Chứng minh rằng ¢ b
với p là nửa chu vi của tam giác, ta cd
8 H c
S? = p(p — a)(p — b)(p — e) ——_- 7 —_
Hinh S4
Trang 17Giải
Giả sử a > b zc Vẽ đường cao AH (h.ð4) Do a là cạnh lớn nhất của tam giác nên B và C là các gĩc nhọn, do đĩ H nầm giữa B và C (chú ý rằng nếu khơng sáp xếp a > b z>c thì phải xét hai trường hợp : H thuộc hoặc khơng thuộc đoạn thẳng BC, phức tạp hơn)
Trước hết ta tính CHÍ theo a, b, c Dat CH = x, ta co AB* — BH? = AC? — CH? (cing bang AH”) Do do:
ef -(a-x)? =b?-x?
9ax = a? + bˆ — c?
a’ + b? - ¢?
2a
Trong tam giác vuơng AHC, ta cĩ :
x = 3 a+b —c , AH2 = AC? — CH? = b* — ( —————)* 2a 4a2b2 - (a? + b ~ c?? 1 4a" 1 | Suy ra : S* =( 5 BC.AH)* = T BC?.AH?
4a?b2 — (aˆ + bˆ — ¢*)? 16
Tử của phân thức trên cớ thể biến đổi thành : (2ab)* — (a2 + b? - c*)? =
= (9ab + a2 + b - c’)(2ab ~ a2 — b? + c’) [a + b)? — c2 J (ce? - (a - b)Ỷ]
(aa + b+e)(a + b—c) (c +a —- bic - a + b)
Trang 18Chú ý
1) Dùng cơng thức trên kiểm tra lại kết quả ở ví dụ 26 : a= 10,b=17,c = 21, p = (10 + 17 + 21): 2 = 24 S? = 24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)
=24.14.7.3
= 24 3? 7= (2* 3 7)* = 84?
S = 84(cm’)
2) Cong thttc S = Vp(p — a)(p - b)(p — c) được mang tên Hêrơn,
nhà tốn học Hi Lạp thế ki [ Thực ra trước Hêrơn hai thế kỉ,
Acsimet đã tìm ra cơng thức này dưới một dạng khác, nhưng Hérơn là người đầu tiên chứng minh cơng thức ấy
3) Trong một số trường hợp đặc biệt, cĩ thể dùng định lí Pitago đảo để tính diện tích tam giác (bài 147, 148)
Trong một số trường hợp đặc biệt khác, cịn cố những cách độc
đáo để tính diện tích tam giác biết ba cạnh như bài tốn dưới đây của Xem Lơiđơ (Sam Loyd, Mi, 1841 — 1911)
Vị dụ 28 Bán dét va hd
Ỏ một hội chợ, người ta quảng cáo bán một hồ hình tam giác và
ba miếng đất hình vuơng dựng trên ba cạnh (h.55a) Diện tích ba
miếng đất đĩ bằng 74 acrơ, 116 acrơ, 370 acrơ (1 acrơ = 4047 mì)
Bảng quảng cáo khơng nĩi rõ diện tích của hồ làm nhiều người thắc mác khơng rõ diện tích đĩ lớn hay nhỏ Bạn hãy tìm diện tích của hồ
Giải
\ Sẽ khơng đơn giản khi dùng cơng
thức Hêrơn để giải bài tốn trên Dặc
điểm của bài tốn là :
74 = 49 + 25 = 7° + 5Ÿ; 116 = 100 + 16 = 102 + 43;
Hình 55A
Trang 19q0 + 7) + (5 + 4)2 = 17? + 92 = 370
Ta vẽ tam giác ABC vuơng ở A,
AC = 7+ 10 =17,AB=4+5 8
=9 (h.55b) Ta cod:
BC? = 97 + 177 = 870, 5
BK? = 7?! + 5ˆ = 74,
KC2 = 10 + 4ˆ = 116
Như vậy ba cạnh của A BKC
chính là ba cạnh của hồ nước Ta Hình S5b để dàng tính được : Sage = 17.9: 2 = 76,5 (acro) Snpk = 9.2 = 17,5 (acrơ) Skre = 4.10:2 = 20 (acro) Sapkr = 4 7 = 28 (acrơ) Sexc = 76,5 — 17,5 — 20 — 28 = 11 (acra) Diện tích hồ nước bằng 1] acrơ
> „œ O 7 E 10
BAI TAP VAN DUNG
150 Tính diện tích tam giác biết độ dài ba cạnh là 13em, 14em, 15em bằng cơng thức Hêrơn
151° Theo phương pháp của ví dụ 28, hãy tính diện tích tam giác
cd ba canh a, b,c ma a” = 41, b* = 45, c* = 164
PITAGO VA DINH Li PITAGO
I— Vải nét tiểu sử
Pitago (Pythagore) là nhà tốn học cổ Hi Lạp sống khoảng năm
580 — 500 trước cơng ngưyên Ơng sinh ở đảo Xamơs, một đảo
buơn bán giàu cĩ ở ven biển Egiê
Trang 20Mới 16 tuổi, cậu bé Pitago đã nỏi tiếng về năng khiếu khác thường Cậu
theo học nhà tốn học nổi tiếng Talet,
và chính Talet cũng phải kinh ngạc về tài nàng của cậu
Để tìm hiểu nền khoa học của các dân tộc, Pitago đã dành nhiều năm viễn du Ấn Dộ, Babilon Ai Cập và đã trở thành con người uyên bác trong
hầu hết các linh vực quan trọng : số
học, hình học thiên văn, địa lý, âm nhạc, y học, triết học
Hinh $6
Vào tuổi 50, Pitago mới trở về tổ quốc của mỉnh Ơng thành lap một ngơi trường ở miên Nam Italia, nhận hàng trăm mơn sinh, kể cả phụ nữ, với thời gian học 5 năm gồm bốn bộ mơn : hình học,
tốn học, thiên văn, âm nhạc Chỉ những học sinh giỏi vào cuối
năm thứ ba mới được chính Pitago trực tiếp dạy Trường phái Pitago đã đĩng một vai trị quan trọng trong việc phát triển khoa học thời cổ, đặc biệt là về số hoc va hinh hoc
Theo Prơclơ thì Pitago nghiên cứu hình học "xuất phát từ một số cơ sở đầu tiên của nĩ và cố gắng chứng minh các định li bang
suy luận lơgic chứ khơng phải bằng dựa vào trực giác" Như vậy
Pitago là người đầu tiên xây dựng hình học như một khoa học suy diễn Trường phái Pitago đã chứng mỉnh định lí về liên hệ giữa độ dài ba cạnh của tam giác vuơng, nhờ đĩ người ta tìm được nhiều hệ thức lượng trong các hình và xây dựng được nhiều định lí quan
trọng khác
Trường phái Pitago cịn khảo sát hỉnh vuơng cĩ cạnh dài mơt đơn vị và nhận ra rằng khơng thể biểu thị độ đài đường chéo của nĩ bằng một số nguyên hay phân số, tức là tồn tại các đoạn thảng
vơ ước Sự kiện này được so sánh với việc tìm ra hình học phi Oclit
6 thé ky XIX
Trang 21Trường phái Pitago cũng nghiên cứu âm nhạc Họ giải thích rằng độ cao của âm thanh tỉ lệ nghịch với chiều dài của dây và ba sợi
dây đàn co chiều dài tỈ lệ với 6, 4, 3 sẽ cho một hợp âm êm tai Pitago cịn nghiên cứu cả kiến trúc và thiên văn Ơng cho rằng trái đất cĩ hình cầu và ở tâm của vũ trụ
Pitago và các mơn đệ của ơng tơn thờ các con số và gán cho mỗi
con số một ý nghĩa thần bí : họ cho ràng số l là nguồn gốc của mọi số, biểu thị cho lẽ phải; số lẻ là "số nam", số chẵn là "số nữ”;
số õ biểu thị việc xây dựng gia đình; số ? mang tính chất của sức khỏe; số 8 biểu thị cho tỉnh yêu Trước lúc vào nghe giảng, các học trị của Pitago đọc những câu kinh như : "hãy ban ơn cho chúng tơi, hỡi nk-ững con số thần linh đã sáng tạo ra lồi người!"
Pitago cũng viết nhiều vân thơ và nêu lên những phương châm
xử thế như :
hãy sống giản dị, khơng xa hoa; — hãy tơn trọng cha mẹ;
— hay tập chiến tháng sự đới khát, sự lười biếng và sự
giận đữ;
— chớ coi thường sức khỏe Hãy cung cấp cho cơ thể đúng lúc những đồ ăn, thức uống và sự luyện tập cần thiết;
~ chưa nhám mắt ngủ nếu chưa sốt lại tất cả các việc đã làm trong ngày;
—~ đừng thấy cái bĩng to của minh trên vách mà tưởng mỉnh vi dai;
~ hãy chỉ làm những việc mà sau đĩ mình khơng hối hận và
ban minh khong phién lịng,
~ trong xã giao đừng đổi bạn thành thù mà hãy đổi thù thành bạn; — hoa quả của đất chỉ cĩ một lần trong năm, cịn hoa quả của tỉnh bạn thi nở suốt bốn mùa
II Định lí Pitago
Định lí Pitago là một trong những định lí đẹp của hình học
Trang 22"Hình học cĩ hai kho báu: định lí Pitago và tỉ số vàng!" (Keple) Trong lịch sử, định lí Pitago được phát biểu đầu tiên dưới dạng:
diện tích của hình vuơng dựng trên cạnh huyền của tam giác vuơng
bằng tổng diện tích các hình vuơng dựng trên hai cạnh gĩc vuơng
Trước Pitago rất lâu, người Ai
Cập, người Babilon, người Trung
Quốc và người Ấn Dộ đã biết đến q
định lí này ob
Tu hang nghin nam truéc cong b ¢
nguyên, người Ai Cập cổ đã dùng sợi
dây chia đều thành 12 đoạn bằng 0 ị
nhau để dựng gĩc vuơng bởi tam giác
cĩ ba cạnh dài 3, 4, 5 đoạn (do đĩ tam giác này được gọi là tam giác Ai
Cập) Người ta cũng tìm thấy những
bản đất sét nung, trên đĩ người b
Babilon đã khác các bộ ba số Pitago khá phức tạp như (65, 72, 97), (3367, 3456, 4825) Mink S7
Cuốn sách cổ nhất của Trung Quốc
là Chu bễ tốn kính cĩ ghỉ lại câu đối
thoại giữa Chu Cơng và Thương Cao: Hình 58 "câu tam, cổ tứ, ngũ huyền" (cứu là
cạnh gĩc vuơng ngán, cổ là cạnh gĩc vuơng đài, huyền là cạnh huyền), ý nơi nếu hai cạnh gĩc vuơng bằng 3 và 4 thì cạnh huyền bàng 5 Cuốn sách Cửu chương tốn thuật của Trần Sanh (thế kỉ ID cũng cho biết khoảng năm 1100 trước cơng nguyên, người Trung
Quốc đã biết tan giác cĩ ba cạnh 3, 4, 5 là tam giác vuơng Trong
cuốn sách này định lí Pitago được chứng minh bằng hình vẽ (h.57):
một mật ta ec (a + bì = 2ab + cẢ, mặt khác (a + b)? = 4ab + -
3 “
(a — b)*, do dé c? = a® + be
Trang 23
Từ thế kỷ VIII trước cơng nguyên, người Ấn Độ cũng đã biết đến định lí Pitago dưới tên gọi "quy tác căng dây" Cuốn sách của
Bkhaxkara (thé ki XII) đưa ra hai cách chứng minh định lí Pitago bàng hình vẽ
Cách thứ nhất ở hình 58: ta cĩ c* = 4 ab + (a — b)*, do
đĩ c2 = a2 + bể, 2
Cách thứ hai ở hình 59 : so sánh diện tích các hình vuơng được
gạch chéo, ta cũng cĩ ađ + b = c Các cách chứng mỉnh này gọn hơn so với cách của người Trung Quốc
2 b 7, ⁄ 2 Hinh $9 Hinh 60
Một cách chứng minh khác do Ĩclit néu ra trong bộ Nguyên li: vẽ đường cao ứng với cạnh huyền (h.60) đường thẳng này chia hinb
vuơng dựng trên cạnh huyền thành hai hình chữ nhật cớ diện tích bang diện tich hai hình vuơng dựng trên hai cạnh gĩc vuơng."
Chính tổng thống Mi Gacphit (A E
Garfield, 1831-1891) cũng dua ra một cách chứng minh định lí
Pitago: dat hai tam giác vuơng bằng B
nhau ABC, DCE như hình 61 thì b
BCE là tam giác vuơng Ta cớ: c Saneo = Sanc + Scoe + Sace rt a
(b+c)? be be a
= + + —
2 2 2 2
(*) Xem Cde bai tap và chuyên đề về tứ giá
> Hinh 61
Trang 24
= b + 2be +c? = 2be + ar oo be + cc? = a’
Một cuốn sách xuất bản nam 1940 đã đưa ra 370 cách chứng
minh djnh lí Pitago Cịn chính Pitago đã chứng minh định If nay
bằng cách nào thì cho đến nay chúng ta vẫn chưa biết rõ
HHI— Bộ ba số Pitago
Các bộ ba số nguyên dương a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuơng gọi là bộ ba số Pitago, chẳng hạn (3, 4, 5); (5, 12,
13); (6, 8, 10)
Bộ ba số Pitago cĩ ước chung lớn nhất bang 1 gọi là bộ ba số Pitago gốc Tất cả các bộ ba số Pitago gốc được biểu thị theo cơng thức sau:
x2 - yŸ x+y? = xy, b = , c= 2 2
với x và y là các số lẻ, nguyên tố cùng nhau, x > y, chang hạn :
x y a b c 8n J 3 4 5 5 1 5 12 13 5 15 8 17 7 1 7 24 25 7 3 21 20 29 7 5 35 12 37 9 9 40 41 9 5 45 28 | 53 9 63 16 65
Cách tìm ra các biểu thức trên, xem Một số uốn đề phát triển Dai số 9 Bộ ba số Pitago cịn liên quan đến "định lí lớn Feema", cũng xem cuốn sách trên
Trang 25LỒI GIẢI HOẶC CHỈ DẪN
CHUONG I
DINH LY TA LET VA TAM GIAC DONG DANG 1 (h 62) Cách 1 Đặt AC = x Giải 3 =— dược x = 15 x +5 4 CA CB CB - CA C A B Cách 2 —— = — = ———~ = —————a— 4 4-3 AB Hình 62 = T ~ 5nén CA = 15 cm 2 (h 63)
a) Tinh độ dài AC được 3 cm,tinh
A Cc D B độ dài AD được 9 cm Trên tia AB a 1 1 4 taco cdc diém C va D ma AC < AD
Mah 63 nên C nằm giữa A va D
Trang 26OA OB 2 Suy ra — = —-=— yr ng 153 Tu dé OA = 6 cm, OB = 10 cm 5 (h 65) OA = 4cm, OB = 3 cm, OC = 12 cm, OD = 9em, A A B 5 F C D Cc Hinh 0Š Hình ĩ6 6 (h 66) a) Dat AB =.x, ta cơ: AB BC AC 24436 5 ” x Ba Từ đĩ x = 60, BC = 75, Vay AB = 50 cm, BC = 75 cm AE ED 10-y y b) Dat BE = ED =y => — =—— > AB BC 10 15
Canh hinh thoi bang 6 cm 7 (h 67)
a) Lay C bất ki trên Ax Kả ME © A —E 8
va CH vuơng gĩc với AB, kẻ MF va
CK vuơng gĩc với AD Ta cĩ: F
Trang 27b ME b CH.a = CK.b nên =— ay —=— a MF a 8 (h 68)
ABID cân nên BI =ID = 6 cm Do ID // BC
Trang 28Tu do AN z= 24 em; MN = 3,3 em
` DM CN
11 Chứng minh rang De =— CD 12 (h 71)
Ba đường thẳng song song với
nhau, cát hai cát tuyến m và n tại
A va A’, B va B’, C va C’ m h h ra AB AB ẽ chứ i rằng—— =Z ——— ° a sẽ chứng min nến nơ Nế (/ n, hiển nhiê AB A5
Hình 71 comin, den miss ~ BC
Nếu m khơng song song với n, qua A' vẽ đường thẳng song song
- A'E A'B’ với m, cát BB' và CC) thứ tự ở E và P Ta cĩ —— = —— › EF B’C’ AB A’B’ A'E = AB, EF = BC nén —— - —— - BC B’C’
13 Ching minh rang đoạn thang dưới dài hơn đoạn thang liền
trên một độ dài x như nhau Ta cĩ 30 + 7x = 44 nên x = 2
Trang 29AO a AO a
AO+OC ax+b ÁC a+b
a ab Từ (1) và (2) suy ra —— = nên OE = b a+Đb a+b ab Tuong tu OG = a+b a c
17 Ta cần dựng đoạn thẳng cơ độ dài x sao cho 5 =— x Cach dung (h 73):
- Dựng một gĩc Ơ tùy ý B
- Trên một cạnh của gĩc O, đặt A
liên tiếp OA = a, AB = b 2
~ Trên cạnh kia của gĩc O, đật 9 c 5
OC = « Hinh 74
- Qua B dựng đường thẳng song song với AC, cát đường thẳng OC ở D
Đoạn thẳng CD cớ độ dài x là đoạn thẳng phải dựng
18 Gọi đoạn thẳng đã cho là AB Cách dựng (h.74):
— Trén tia Ax bất kì, đặt liên tiếp
các đoạn thẳng AC’ = m, C’B’ = n Nối B'B
— Qua C' dựng đường thẳng song song với B`B, cát AB ở © Ta cĩ AC AC’ m CB CB n ˆ Hình 74 > V7 19 Sai làm ở chỗ kết luận rằng tỉ số x-y
đảng thức trên khi x £ y nhưng điều này khơng xảy ra: ta sẽ chứng
=-1 Chi xay ra
Trang 30tỏ rằng x = y
+
Thật vậy từ veo miele , ta cd
x b y b m+ x m+ty = Do đỏ: y x (m + x)x — (m+ yy = 0 mx + x? — my — y? = 0 m(x ~ y) + (x + yx -— y) = 0 (x — yim + x + y) = 0
Hiển nhiên m + x + y > 0 nên x = y Do dd khơng thể khẳng
tinh duge 2 = - 1
x-y 20 (h 75)
x Gọi giao điểm của AB với XY là
E, giao điểm của HF với BC là O Ve FN L AE, Qc’ Ta c6 FC’ // BH * 2 DD wae #ŒtĨ — ve OH OB > OF.OB = OH.OC’ > Sopne = Soc pn > Sanco: =Sanrn:
Dé théy Sayjpy bang dién tich
hinh binh hanh KHFE, do do bang:
Hink 75 2
y 1 x 1,9 = 1,2 (m')
Do do BC’ = 1,2 : 0,8 = 1,5 (m) Con BC = 1,4 m, nén C nam trong đoạn thẳng BC) Điều đĩ chứng tỏ rằng khi di chuyển cạnh AB trượt qua K thì chiếc tủ luơn luơn nầm về một phía của XY Đến khi B trùng với K, đầu kia của tủ vẫn chưa chạm vào mật tường XY và ta đưa được chiếc tủ vào phịng
Trang 31
Chú ý
Với chiêu rộng cửa l m, chiều rộng hành lang 1,2 m, tất cả các tủ cĩ đáy là hình chữ nhật mà diện tích khơng quá 1,2 mˆ (và chiều rộng chiếc tủ nhỏ hơn 1 m) đều mang được vào phịng
21 (h 76)
a) Xét hình thang AMQH,
A E và R là trung điểm của hai
đáy, B là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên nên B, R, E thẳng hàng
E
JAN b) Xét hinh thang ANPH
ụ ` N và chứng minh tương tự câu
: = › a, ta duge C, S, E thẳng hàng
\ c) Xét hinh thang BRSC
B GQ 4H F P Cc và cũng chứng mỉnh tương tự như trên, ba điểm E, O, F
thẳng hàng
Hinh 76
Chú ý
— Câu a và b cĩ tác dụng gợi ý để giải câu c
— Nếu tìm tập hợp tâm các hình chữ nhật MNPQ khi đỉnh M chuyển động trên cạnh AB thì tập hợp phải tìm là đoạn thẳng EF trừ các điểm E và F
22 (h 77)
a) Xét hình thang PQCN, H là trung điểm của đáy PQ, A 1a giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên nên K là trung điểm của CN
b) KM là đường trung bình của ACBN nén KM // NA, ma NA 1 CH, do dd KM 1 CH
Trang 32c) Tam gidc CHK co CM 4 HK, KM L CH nên M là trực tâm cua tam giac Do do HM 1 CK Ta lai eo CK // PQ, suy ra HM + PQ
Chu y
Câu a và b nhằm gợi y cho cau c
23 (h 78) AE AD Ta cĩ ——- = —— nên DE // BC AB AC OD DE AD 2 OB BC AC 3 Ạ 8 8 C D Cc Flinh 78 Hình 79 24 (h 79)
Gọi O là giao điểm của AC va BD Ta co AE // BC nén OA OF _ ĐÁ (1) OB Oc OB OG BG // AD nén — = —— (2) OD OA 2d OF 0G do do' EG // DC An ti ế à (2) đượ = —— ,dođớ Nhân từng vế (1) va (2) ÚC OD Oc Chú ý Cách giải khác
Ta cĩ BG // AD nên S\ụy = SA: Cùng trừ đi 5 op ta được
SAon = Spoc: (1)
Trang 33Ching minh tuong tu Sign = Seo; (2)
Từ (1) và (2) suy ra Spog # SŠ5cog Cùng trừ đi 5: œ được 25 (h 80)
Cách 1 (khơng dùng định lí Talet đáo)
ME AE CG HG
AD CD BD
suy ra ME = HG Ta lai cd ME // HG
© Vay MEGH 1a hinh binh hanh Cĩch 2 (dùng định lí Talet đảo)
BM DE DG BH
Ta cĩ —— =—— =— = —nén
Hinh 80 MA EA GC HC
MH // AC Tu gidc MEGH co MH // EG, ME / HồG nên là hình binh hanh 26 (h 81) MG // BK, MH // AC nén DC DE DK DC DK — = ——= — ŠSuyra — = — CH EM KG 2CH 2KG DC DK > — =— > CK // AB CB KA
B Chu ý Bài tốn này cho ta bài tốn
Hình 81 dựng hình: cho đoạn thẳng AB và trung
điểm M của nĩ Quađiểm C nằm ngồi đường
thẳng AB, chỉ dùng thước dựng đường thẳng song song với AB 27 (h 82)
BI là phân giác của AABH nên
AB AI 60 12
Trang 34Do đĩ BH = 25 em, BC = 50 cm > œ® AB 3 28 Ta cĩ ——— —= -——- >ễ- = — BC 2 4 T Nn ^ /tình 82 _ AB BC AC AB + BC + AC 18 Do đĩ ——= — = — = — = _—— DD, 2 4 3 2+4+3 9 Tu dé AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm 29 (h 83)
A BD là phân giác gĩc B nên
AD AB 6 3 AD 3 — = = — => =——~ DC BC 4 2 AD+DC 3 + 2 E D AD 3 AD => —- = — >> — = — AC 5 6 B C => AD = 3,6 cm Hinh 83 AD AB AC AE Ta cĩ —- = — = — = — nén ED // BC DC BC BC EB ED AD ED 3,6 Do dé — = —— = — = — 2 ED = 2,4 cm BC AC 4 6 30 (h 84)
a) OD là phân giác của AAOC
DC OC
nên —— = — (1)
DA OA
OE là phân giác của ABOC nên
d1ình 84
Trang 35EC oc
EB ~ “OB (2)
Ta lai co OA = OB (3)
- DC EC
nen tu (1), (2), (3) suy ra —— = —— , vay DE // AB DA EB
b) DE là đường trung binh cua AABC @ DC = DA # OC = OA
{do (1)] 31 (h 85)
a) Tính các độ dài CD, BE, ta được
K ab ac , 4 CD = , BE = (xem vi du 6) a+ec a+b A KD Ta lại cĩ b > c nên b ac PX ; > ae > tức là CD > BE
atc ate atb
8 “bì Ta cĩ CD > BE ma BE = DK nén Hinh 8 CD > DK, suy ra K, >6 (1)
Ta lại cĩ b > c nên 8` > €, ma 8B, = Ê nên
®, > (2)
Từ (1) và (2) suy raf, +4 > €, +Ằ©
2 Exe > ECR
=> CE > EK
c) CE >EK ma EK = BD nén CE > BD Chú ý Từ bài tốn trên suy ra
~ Trong tam giác cĩ hai cạnh khơng bằng nhau, phân giác ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn
- Tam giác cĩ hai phân giác bằng nhau là tam giác cân (một cách chứng minh bài tốn này, xem Các bài tập uà chuyên đề
vé tam gide)
Trang 3632 a) (h 86) DB AE Kẻ BE // AD thì —— = Theo E — DC AC lả thiết ta cĩ DB AB S A p ct a ©° DC” AC t — = — Suyra y IN ^^ AE =AB Do đĩ = Bị ưéN _Z Ta lại cĩ AD / BE nên E = À¿, IN AN LN _ˆ ^^
8 D lộ B, = A, Từ đĩ Ái = A)
Hình 86 Chú ý Bài tốn trên là định lí đảo
của tính chất đường phân giác của tam giác
b) (h 87)
Qua C vẽ đường thẳng song
song với DA, cát BA 6 K Dé thay ACK là tam giác đều Ta cĩ:
DA CK CA FA
— - - — -= _Ắ—= ~= ———-
do đĩ DF là tia phân giác của gĩc ADB (theo kết quả của câu
a)
Chứng minh tương tự, DE là A Hình 87 tia phân giác của gĩc ADC
Vay EDF = 90° (vì DE, DF là các tỉa phân giác của hai gĩc kè
bù)
Chú ý Cách giải khác chỉ dùng kiến thức lớp 7:
AABD cĩ AE là phân giác gĩc ngồi, BE là phân giác gĩc trong nên DE là phân giác gĩc ngồi Vậy DE là phân giác của gĩc ADC
Tương tự DF là phân giác của gĩc ADB Do đĩ Km = 90° 33 (h 88)
Gọi E là giao điểm của tia phân giác gĩc ngồi đỉnh A với đường
Trang 37
thẳng BC Vẽ CK // AB thì
EB AB
A — =—., EC CK (1)
^
K Kị = Â) Nhưng Â) = Â) nên
K, = A,, do do AC = CK (2)
8 c E Từ (1) và (2) suyra —— = — EB AB
Hinh 68 EC AC
34 th 89)
A
a) Các cập tam giác đồng dạng: ADE D E va ABC, EFC va ABC, ADE va EFC
b) AD = 6em, AABC cân ở B
B E C
Hình 80
35 Ch 5 Chung minh h ra ran — =_—— AD
6 B 2
36 th 90)
A 8 AABD va ABDC đơng: dạng (œ.g.c) suy
ra ADB = BCD Vay BCD = 40°
A
D c E
Hhnh VO D
37 (h 91) B Cc
Các tam giác đĩ đồng dạng theo Hình 9Ï truong hop csc
Trang 38$8 th 92)
A 8
Chứng minh ràng ABAE và AEDC
E đồng dạng
D Hinh 92 Cc
39 th 93)
AABC và ADAC đồng dạng vỉ gĩc C chung,
AC DC 3 A — = — = _— Do đĩ BC AC 2 AB AC 4 AD DC AD B D c Hình 93 > AD = — cm 3 40 (h 94)
A ADBA và AABC đồng dạng (c.g.c) nên
DA DB 1 AC AB 2ˆ B D M 1 Do do AD = — AC Hinh 94 2 A 41 Mệnh đề đĩ khơng dúng
Dưới đây là hai ví dụ
~ Wi du ] Xét AABC cân ở A
D thuộc đáy BC nhưng khỏng là 5 5 C
` tổ se > | 95a)
Trang 39AD AD
— = — nhung chung khong
AB AC A
đồng dạng
~ Vị dụ 9 Xét AABC cĩ AB # AC, phân giác AD (h 95b) AABD và
A A DB AB Bo c AACD co A, = A, —~ =—~ nhung DC AC Hình 95p chúng khơng đồng dạng 42 (h 96) AABC và ADAC đồng dạng (g.g) A AC DC > ll = — BC AC 12 DC z2 —=——— = —— B D c 16 12 tình 96 > DC = 9em 43 (h 97) A tả AABD và ABDC đồng dạng (g.g) AB BD a BD 2> —— = — >> -= >= l— - BD CD BD b D 7 > BD’ = ab Hinh 97 E 44 (h 98)
Do CE = DE nén ACED can; AADE = ABCE (c.g.c) nén AE = BE Các tam giác
cân AEB, ACE cĩ gĩc đáy A là gĩc chung p A ỡ B €
AE AB ~———b ——
nên dong dang (g.g) suy ra —- = —
AC AE Hình 98
Trang 40do do AE* = AB.AC = ab
Chu y Bai toan này cho ta một cách dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a và b
45 (h 99)
Dat AB = R thi DM = R,
D CA = CD = 2R Cac tam
giac can DAM va CAD co DAM = CAD nên đồng dạng
(g.g) >
i m AM DM R 1
A M B C AD = oD = oR = 3
Hình 99 Vậy M là trung điểm của
AB
Chú ý Bài tốn này cho ta bài tốn dựng hình: cho điểm B thuộc tia Am Chỉ dùng compa, dựng trung điểm của AB
46 (h 100)
a) AABD va AACE dong dang (g.g)
A > — =— = — (vi AD =—AC, AC AE 1 E 0 AE =— AB) 2 = AB” = AC » AB = AC ; B C b) Chú ý rằng AAEC co AE = sac Hinh 100 77» AC va ACE = 30° nên chứng mỉnh
được ẤBÈ = 90° (kẻ AE' 1 CE rồi
chứng tỏ rằng E' trùng E) Do đơ Â = 60° Vậy AABC là tam giác
đêu