Giáo trình toán cao cấp 2 iuh

Nguyễn Thị Thu Hà (Chủ biên ) Đoàn Vương Nguyên / Nguyễn Đức Phương Giáo trình Tốn cao câp \\\\ \\\w kA\\\ \ \ X \' / < /// /// //> /7//// ỉ ĩ f ///// f/ / / / f / / / / / NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ THU HÀ (Chủ biên) ĐOÀN VƯƠNG NGUYÊN NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG TỐN CAO CẤP ì HdONG ĐAI HỌC CONG NGHIỆP fP.HC’Z THƯ viên” NHÀ XUẮT BẢN ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHổ Hố CHÍ MINH Lời nóỉ đâu Được đồng ý Ban giám hiệu củng Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Co bản, vói góp ý thầy giáo mơn Tốn, nhóm tác giả xin giới thiệu đến thầy cô em sinh viên giáo trình Tốn cao cấp (Đại số tuyến tính) Ngày nay, Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ khoa học máy tính, kinh tế, kỹ thuật, Vì mơn học trở thành môn học bắt buộc cho hầu hết sinh viên bậc đại học Nội dung giáo trình chia thành chưong: Chưong Ma trận Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Khơng gian vector Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Dạng tồn phương Các kiến thức trình bày ngắn gọn kèm theo ví dụ minh họa có lời giải chi tiết Để giáo trình khơng q nặng tính lý thuyết, hầu hết chứng minh định lý khơng trình bày, em sinh viên quan tâm xem thêm tài liệu tham khảo nêu cuối giáo trình Sau chương có tập tự luận trắc nghiệm sát với chuẩn đầu mơn học Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa học tạo điều kiện đê nhóm tác giả hoàn thành tài liệu này, đồng thời cảm ơn nhận xét, góp ý phản biện đồng nghiệp để giáo trình hồn thiện Nhóm tác giả hy vọng giáo trình người bạn đồng hành giúp ích nhiều cho sinh viên giảng viên trình dạy học mơn Tốn cao cấp Trân trọng! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2022 Các tác giả Trang thơng tin giáo trình https://github.com/khoacoban/toancaocap2 Nhằm tạo cầu nối tác giả bạn đọc, thiết lập trang thông tin hỗ trợ địa Ớ trang sẽ: Tiếp nhận phản hồi độc giả: Mặc dù cố gắng q trình biên soạn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong muốn tiếp tục nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp em sinh viên để giáo trình hồn thiện lần tái sau Thơng tin sai sót: Chúng tơi đăng lỗi, đính trang thông tin Các tác giả Mục lục Lời nói đầu i Trang thông tin giáo trình ii Mục lục iii Ma trận 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 1.3 Các phép toán trênma trận Các phép biến đổi sơ cấp trênma trận 12 1.4 Ma trận bậc thang bậc thangrút gọn 14 1.5 Định thức ma trận 1.5.1 Các tính chất định thức 15 18 Công thức Laplace mở rộng 23 1.6 Hạng ma trận 26 1.7 Ma trận khả nghịch 1.7.1 Tìm nghịch đảo phép biếnđổi dịng 29 31 1.5.2 1.8 Tìm nghịch đảo ma trận phụ hợp 33 Bài tập chương 35 1.8.1 1.8.2 35 37 1.7.2 Bài tập tự luận Bài tập trắc nghiệm chương Hệ phương trình tuyến tính 62 2.1 Hệ phương trình tổng qt 62 2.2 2.3 Hệ phương trình Cramer Giải hệ phương pháp Gauss 63 68 2.4 Hệ phương trình 75 2.4.1 Nghiệm hệ 76 2.4.2 Cấu trúc nghiệm 79 Bài tập chương 80 Bài tập tự luận chương Bài tập trắc nghiệm chương 80 82 2.5 2.5.1 2.5.2 Trang iv Mục lục Không gian vector 97 3.1 Khái niệm không gian vector 97 3.2 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 99 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 99 3.2.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 101 3.3 3.2.3 Hệ vector ]Rn 104 Số chiều co sở không gian vector 106 3.3.1 3.3.2 3.4 3.5 3.6 Tọa độ vector 110 3.4.1 Tọa độ vector đối vói co sỏ 110 3.4.2 Tọa độ vector trongcác co sở khác 112 Không gian Euclide 115 Bài tập chuông 119 3.6.1 Bài tập tự luận 119 3.6.2 Bài tập trắc nghiệm chuông 121 Ánh xạ tuyến tính 137 4.1 4.2 4.3 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 137 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 139 Ma trận ánh xạ tuyến tính 142 4.4 Trị riêng, vector riêng 153 4.4.1 Không gian riêng 157 Chéo hóa ma trận vng 161 4.5.1 Ma trận làm chéo hóa ma trận vng 162 4.5.2 Thuật tốn chéo hóa ma trận vng 164 Bài tập chuông 167 4.6.1 Bài tập tự luận chuông 167 4.6.2 Bài tập trắc nghiệm chuông 168 4.5 4.6 Không gian sinh hệ vector 106 Số chiều co sở 107 Dạng toàn phương 183 5.1 Khái niệm dạng toàn phương 183 5.1.1 Dạng song tuyến tính 183 5.2 5.1.2 Dạng toàn phương 185 5.1.3 Dạng tồn phương tắc 186 Đưa dạng tồn phương dạng tắc .187 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 Phương pháp chung 187 Thuật tốn chéo hóa trực giao 188 Thuật toán Lagrange 192 Thuật toán Jacobi 196 Thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng 199 Trang V Mục lục 5.3 Luật qn tính dạng tồn phuơng xác định dấu 5.3.1 5.3.2 201 Luật quán tính 201 Dạng toàn phuơng xác định dấu 203 Nhận dạng đuờng mặt bậc hai 206 5.4.1 Phân loại đuờng bậc hai 206 5.4.2 Nhận diện mặt bậc hai .209 5.4.3 Phân loại mặt bậc hai 209 5.5 Bài tập chuơng 213 5.5.1 Bài tập tự luận chương 213 5.5.2 Bài tập trắc nghiệm chương 215 Đáp án tập trắc nghiệm 219 5.4 Tài liệu tham khảo 222 Chương Ma trận 1.1 Khái niệm ma trận • • Một ma trận A có cấp m X n R hệ thống gồm m X n số thực ttịị (z = 1,2, , m; j = 1,2, , n), thành bảng gồm m dịng n cột ^«11 «12 • ' ^ln «21 «22 • * &2n A = (1.1) ■ a m2 Ma trận A viết gọn A — • Các số thực Uịị gọi phần tử ma trận (aij)mxn nằm dòng thứ i cột thứ j • Ma trận có m = n gọi ma trận vuông Các ký hiệu (ụiị) Mnxn(R) viết gọn (aiị)n M„(R) • Tập hợp ma trận cấp m X n R ký hiệu Mmxn(R) • Ma trận có tất phần tử gọi ma trận khơng, ký hiệu o = (Ojd J • v LJ'mxn Ví dụ 1.1 Xét ma trận A = «11 = 1/«12 = -2 5A 6/ , ta có A G M2x3(R) —2, «13 = 5, «21 — 0, «22 = 3, «23 = Chương Ma trận Trang Xét ma trận / ô11 ô12 ã ã ã ô21 ô22 ã ã • a2j '’’ fl-2n ^/1 &Ì2 * ** «ợ ■ ' ' &in &m2 *' ■ a mị • • • ữmn y A = •• • dị ci dị, Cj dịng ỉ, cột ì ma trận A • Đường chéo chứa phần tử «11, «22/ • • • / ann ma trận vng A — (aịị)n gọi đường chéo A , đường chéo lại gọi ng chộo ph ã Ma trn vuụng A = (ôj/) có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận đường chéo (hay gọi tắt ma trận chéo), ký hiệu A = diag(«n Ví dụ 1.2 B = -1 0 ô22 ãã ã nn) 0\ I ma trận chéo 0/ • Ma trận đường chéo cấp n gồm tất phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n (gọi tắt ma trận đơn vị), ký hiệu In (hay I khơng bị nhầm lẫn) Ví dụ 1.3.12 = 0 0\ I ma trận đơn vị 1/ Ma trận vng có tất phần tử nằm phía (tương ứng, trên) đường chéo gọi ma trận tam giác (tương ứng, dưới) 1.2 Các phép tốn ma trận Trang /3 2\ Ví dụ 1.4 c = I I ma trận tam giác \0 2/ 0\ I ma trận tam giác 2/ • Ma trận vng A = (aij)n có ữij = Uji với i,j, nghĩa có tất cặp phần tử đối xứng qua đường chéo nhau, gọi ma trận đối xứng /3 Ví dụ 1.5 H= ’ \-l -1\ Ị ma trận đối xứng Hai ma trận A = (aịj) vằ B = (bịj) gọi chúng cấp aịj = bịj với ỉ,j Ký hiệu A = B Ví dụ 1.6 Cho hai ma trận A = (ỵ * ) B = (ỉ • ■ ỵz tJ \2 u A = B X = 0, y = — 1, z = 2, u = 2,t = 1.2 J) Ta có J Các phép tốn ma trận Cộng hai ma trận Cho hai ma trận A = (aiị)_ B = (bà'}, ta định nghĩa • \ lJ'mxn v lJ7mxn' f ỡ A±B = (an±bA _ v lJ lỉ 'mxn (1.2) ỵ ' Ví dụ 1.7 /-1 \2 /-1 \ /2 -4/+ Ụ -3 \ _ /2 y2 3-4y \5 —3 2\ _ /1 ự \ -37 \ 2\ _ /—3 1/^-3 -5/ ■ Tính chất 1.1 Phép cộng ma trận có tính chất giao hốn tính chất kết hợp: ỉ A 4- B — B 4- A ỉỉ A 4- B 4- c = (A 4- B) 4- c = A 4- (B 4- c) Trang 210 Chương Dạng toàn phương 2 + ^2 + = -.2 ■ elipsoid), z2 £ , r a2 + b2 —2=1, É -2 É = -1 ứ2 É _ b2 -7 + 77 — -7=0, a1 b1 c2 X2 (hyperbolic tầng), ' c2 -.2 x , V ~ Z— = 2z á2 4+ b2 ' (hyperbolic tầng), (nón eliptic), (parabolic eliptic), (parabolic hyperbolic), á2 X2 a2 (mặt trụ eliptic), b2 ,2 á2 b2 = ±1, (mặt trụ hyperbolic), 10 y2 — px X2 — py, (mặt trụ parabolic) △ Chú ý 5.9 Các dạng 8), 9) 10) gọi mặt bậc hai suy biến Phân loại Cho (S) mặt bậc hai có phương trình dạng (5.11) Ta gọi: • Ma trận nhỏ ma trận dạng toàn phương ax1 + by1 + CZ2 + 2dxy + 2exz + 2fyz, • Ma trận lớn /a d e \g d b f h e f c k g\ h k 1] 5.4 Nhận dạng đường mặt bậc hai Trang 211 Định lý 5.6 Mặt bậc hai (S)là không suy biến detộ^O (5.13) Tính chất 5.2 Nếu mặt bậc hai (s) khơng suy biến thì: • Mặt (S) mặt elipsoid (kểcả elipsoid ảo) ma trận dạng toàn phương Q xác định dương hay xác định âm • Mặt (s) mặt hyperpolíc (1 tầng hay tầng) khí ma trận dạng tồn phương Q có số s — p — ±1 • Mặt (S) mặt parabolic eliptic (hay mặt parabolic hyperpolic) det Q = Rút gọn mặt bậc hai Bằng cách xoay trục tọa độ tịnh tiến, ta đưa (5.11) dạng tắc Bước Đưa dạng tồn phương í/(x;y; z) = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2.fyz dạng tắc x{x'Ý + fi{y'Ý + 7(2')2 (khử tích chéo) phép biến đổi trực giao (phép quay) Bước Đổi biến: „11 I J X = X +a, I _ „7 Ỉ-/ y —y +b, I J z =z +c (tịnh tiến hệ tọa độ) cách thích hợp để phương trình (s) có dạng tắc Ví dụ 5.36 Xác định dạng mặt bậc hai (S) có phương trình 4x2 + 4y2 — 8z2 — lOxy + 4xz + 4yz — 16x — 16y — 8z 4- 72 = Giải Ta có /4 Q = -5 \ -5 2 \ _ Ị Q = -8/ /4—52 -5 2 2-8 \—8 -8 —4 —8\ -8 —4 ■ 72 / Do r(Q) = nên (S) không suy biến Mặt khác, detQ = nên (S) parabolic eliptic (hay parabolic hyperpolic) Chương Dạng tồn phương Trang 212 Ví dụ 5.37 Xác định dạng mặt bậc hai (S) có phương trình sau viết phương trình tắc: 22x2 + 28y2 + 15z2 + 8x1/ — 112x — 184y — 30z + 343 = Giải Ta có 0\ Q = 28 , \0 15/ /22 _ Q = 28 —92 0 15 -15 —56\ -92 -15 343 / Do det Q nên (S) không suy biến Theo định lý Sylvester, ma trận Q có D1 = 22 > 0; D2 = 600 >0; D3 = 9000 > nên Q xác định dương Suy (S) mặt elipsoid Ma trận Q có trị riêng vector riêng sở tương ứng là: A1 = 30, Uỵ = À2 — 20, U-2 — À3 = 15,1/3 = (0;0;l) => w3 = (0;0;l) Suy ra, ma trận trực giao /1-2 V5 \0 Đổi biến X _ = —^x - , 1/ = 75 ự5 \ 75/ _ / , —7=x H—7=1/ ,z 75 ự5 = z / Thay vào phương trình (S), ta 30(x')2 + 20(7) + 15(z')2 - 5=x' - -^7 - 30z' + 343 = v5 v5 Tương đương (5.14) Trang 213 5.5 Bài tập chương Tiếp tục đổi biến x"=x'-^,y"=y'- -L 2" = 2'-l V5 V5 Thay vào (5.14), (S) mặt elipsoid có phương trình tắc y/\2 (y")2 5.5 5.5.1 Bài tập chương Bài tập tự luận chương Bài tập 5.1 Trong R2, cho X = (xi;x2) y = (yi; 2/2)- Xét xem ánh xạ sau có phải dạng song tuyến tính R2 khơng Nếu có, lập ma trận dạng song tuyến tính sở tắc a f(x,y) = 3X1X2 + 2/13/2 - 3*22/1 b /(x,y) = 3xiyi + Xiy2 - 3x2yi c f(x,y) = 3xiyi - 5x2y2 + Xiy2 + 7x2yi d f(x,y) = 3x2 — 5x2y2 + Xiy2 Bài tập 5.2 Cho dạng song tuyến tính R2 xác định sau: /((xi;x2),(yi;y2)) = Xiyi - 2x2y2 + 5xiy2 + 5x2yi a Chứng tỏ f đối xứng b Tìm ma trận f sở A = {(l;0), (1; 1)} c Tìm ma trận f sở B = {(1; —1), (2; 1)} d Kiểm chứng [f]B = PT[f]AP, với p = PA^B Bài tập 5.3 Tùy theo m, biện luận tính suy biến hay khơng suy biến dạng toàn phương R3 xác định sau: a q(x;y;z) = X2 + y2 + z2 + 2xz + 2myz b /(x;y;z) = 2x2 + 3y2 + z2 + 2xy + 2mxz c g(x; y; z) = 3x2 + 2y2 + mz2 + 4xy + 2xz Bài tập 5.4 Dùng thuật tốn chéo hóa trực giao để đưa dạng toàn phương R3 xác định sau dạng tắc: Trang 214 Chương Dạng tồn phương a q(x; y; z) = 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 2yz b f(x;y; z) = 5x2 + 5y2 + 2z2 — 8x1/ — 4xz + 4yz c g(x;y;z) = 6x2 + 5y2 + 7z2 — 4x1/ + 4xz Bài tập 5.5 Dùng thuật toán Lagrange để đưa dạng toàn phương ]R3 xác định sau dạng tắc: a í/(x;y;z) = 2x2 + y2 + 2z2 — 4x1/ — 2yz b í/(x; y; z) = X2 + 3y2 + 6z2 + 2xy + 2xz — 2yz c í/(x;y;z) = —X2 + 2z2 — 2x1/ + 2xz + 4yz d í/(x; y; z) = —X2 — 2y2 — 3z2 + 2x1/ + 2xz — 4yz Bài tập 5.6 Dùng thuật toán Jacobi để đưa dạng toàn phương xác định sau dạng tắc: a í/(x; y) = 2x2 + y2 — 6xy b í/(x;y) = X2 — 3y2 + 8x1/ c í/(x; y; z) = X2 + 4x1/ — 2yz d q(x;y;z) = —X2 + 2z2 — 2xy + 2xz + 4yz Bài tập 5.7 Dùng thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa dạng toàn phương xác định sau dạng tắc: a q(x; y; z) = X2 + 7y2 + 8z2 — 6xy + 4xz — 10yz b q(x;y;z) = X2 + 6y2 + 4z2 — 4x1/ + 6xz — 18yz c í/(x;y;z; f) = X2 + 2y2 + 6z2 + lit2 +2xy — 4xz — 6xf — 10yz — 2yỉ + 18zf Bài tập 5.8 Dùng định lý Sylvester để xét tính xác định dương, âm dạng tồn phương sau: a í/(x; y; z) = 3x2 + 4y2 + 5z2 + 4x1/ — 4yz b í/(x;y;z) = —X2 — 5y2 — 14z2 + 2xy — 4xz + 16yz c í/(x;y;z) = 2x2 + 5y2 + 5z2 + 4xy — 4xz — 8yz d í/(x;y;z) = —X2 — 2y2 — 8z2 — 2xy — 2xz — 6yz Bài tập 5.9 Nhận dạng đường bậc hai có phương trình sau: a 2x2 — y2 — 4xy + = b llx2 + 4y2 + 24xy - 15 = Trang 215 5.5 Bài tập chương c X2 + Ị/2 + 2x1/ + 8x + y = d X2 — 2y2 — 4x1/ — 6x + 81/ — 25 = Bài tập 5.10 Lập phương trình tắc đường bậc hai cho phương trình tổng quát sau: a X2 + y2 + xy + X + y = b 3y2 + 4x1/ + 16x + 12y — 36 = c 9x2 + 4y2 + 12x1/ + 8x + 141/ + = d X2 + 9y2 + 6xy — 12x + 241/ + 15 = Bài tập 5.11 Nhận dạng mặt bậc hai có phương trình sau: a 5x2 + 5y2 + 5z2 — lOx + 301/ — 20z + 15 = b X2 + 5y2 + 3z2 + 4x1/ + 2xz + 4yz — 2x — 4y — 2z — = c X2 + 6y2 + 14z2 — 4x1/ + 2xz + 8yz + 2x — 4y + 2z — = d X2 + 5y2 + 4z2 — 4x1/ + 4xz — 8yz — 4x — ly — 4z — = Bài tập 5.12 Lập phương trình tắc mặt bậc hai cho phương trình tổng quát sau: a X2 + ý1 + z2 — 41/ + 2z + = b 3x2 + 8y2 + 8z2 — 8yz — 6x — = c X2 — 20y2 — 3z2 + 14xz — 481/ = d X2 + y2 + 48z2 — 14x1/ — 96z + 48 = 5.5.2 Bài tập trắc nghiệm chương Câu 5.1 Ma trận dạng song tuyến tính R2 xác định f(x,y) = Ix-yy-L - sở B = {(2; 1), (1; —1)} là: /13 -10\ A' Ự4 ) c ì 13 \-io 3X11/2 + 5x2i/i /12 V-9 + x2i/2 10\ 2) D ?12 1J ■ ụo J Câu 5.2 Ma trận dạng toàn phương í/(xi; X2) = X2 — 2X1X2 + 6X2 sở B = {(1; 1), ( — 1; 1)} là: Trang 216 Chương Dạng toàn phương Câu 5.3 Ma trận trực giao là: Câu 5.4 Trong IR3, dạng toàn phương suy biến ta đưa dạng tắc là: A í/(*i;*2; *3) = xị — xị + 4*1*2 + 2*2*3 B í/(*i;*2;*3) = xị + 4*2 + 4*1*2 — 2*1*3 — 4*2*3 C í/(*i; *2;*3) = *1 — *2 + 2*1*3 D í/(*i;*2; *3) = 2*2 — *3 + 2*1*2 Câu 5.5 Trong IR2, cho dạng tồn phương í/(*i;*2) = 3*2 + 4*1*2 Bằng