Giáo trình toán cao cấp 1 giáo trình iuh

vỏ Thị Thanh Hà (C hu biện) Lê Vàn La ỉ Giáo trình A Tốn cao cấp NHÀ XUẤT BAN ĐẠI HỌC CÒNG NGHIỆP THÀNH PHÒ HÒ CHI MINH VÕ THỊ THANH Hà (Chủ biên) LÊ VĂN LAI TOÁN CAO CẤP TRƯỜNG ĐAI HỌC CONG NGHIỆP TP.HCM THl/yiEN Mà VẠCH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH Lơi nói đầu Được chấp thuận Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Trưởng khoa Khoa học Cơ bản, giáo trình Tốn cao cấp biên soạn nhằm phục vụ cho việc dạy học môn Tốn cao cấp trường Giáo trình biên soạn dành cho sinh viên đại học khối kỹ thuật kinh tế Nội dung giáo trình chúng tơi biên soạn theo chương trình đào tạo mơn Tốn cao cấp trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, kiến thức trình bày cách logic, dễ hiểu Mỗi nội dung kiến thức có ví dụ minh họa cho sinh viên tiếp thu cách dễ dàng Sau chương có phần tập tự luận trắc nghiệm để sinh viên luyện tập Sinh viên tìm thấy đáp án hướng dẫn trang cuối Giáo trình chia thành năm chương: Chương 1: Giới hạn liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân Chương 3: Tích phân Chương 4: Chuỗi số Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Chủ nhiệm Khoa Khoa học tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình xuất Đồng thời xin chân thành cảm ơn quý thầy, tổ Tốn thuộc Khoa Khoa học Cơ - Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả hy vọng giáo trình người bạn đồng hành giúp ích nhiều cho sinh viên giảng viên trình dạy học mơn Tốn cao cấp Trân trọng! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 nám 2022 Các tác giả Trang thơn,; tin giáo trình https://gỉthub.com/khoacoban/toancaocapl Nhằm tạo cầu nối tác giả bạn đọc, thiết lập trang thông tin hỗ trợ địa Ở trang sẽ: Cung cấp chứng minh: Nhằm trình bày kiến thức cách cô đọng dễ hiểu, lược bỏ chứng minh in cung cấp điện tử Bạn đọc quan tâm đến chứng minh tìm Thơng tin sai sót: Trong lần đầu phát hành, chúng tơi khơng thể tránh khỏi sai sót Do đó, chúng tơi đăng đính trang thơng tin Tiếp nhận phản hồi độc giả: Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu từ quý thầy, cô bạn sinh viên để lần tái sau hoàn thiện hon Các tác giả Mục lục Lời nói đầu Trang thông tin giáo trình Mục lục i ii iii GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp 1.1.2 Tiên đề sup, inf 1.1.3 Tính chất Archimède 1.1.4 Tập số thực mở rộng 1.2 HÀM SỐ 1.2.1 Khái niệm hàm số 1.2.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.2.3 Hàm số ngược 1.2.4 Hàm số hợp 1.2.5 Hàm số sơ cấp 1.2.6 Hàm số sơ cấp 1.3 DÃY SỐ 1.3.1 Dãy số hội tụ 1.3.2 Dãy đơn điệu 1.3.3 Dãy 1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn hàm số 1.4.3 Tiêu chuẩn kẹp 1.4.4 Giới hạn hàm hợp 1.4.5 Giới hạn phía 1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1 4 4 14 15 16 20 21 22 22 25 26 27 28 29 34 34 Trang iv Mục lục 1.5.1 Định nghĩa tính chất 1.5.2 Liên tục phía Phân loại điểm gián đoạn 1.5.3 Hàm số liên tục đoạn TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP 1.6.1 Hàm lũy thừa, thức 1.6.2 Hàm mũ hàm logarit 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược VÔ CÙNG BÉ, VO CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 1.7.1 Hàm tương đương 1.7.2 Vô be (VCB) 1.7.3 Vô lớn (VCL) BÀI TẬP 34 37 38 39 39 40 41 42 42 43 46 48 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 2.1.1 Đạo hàm 2.1.2 Vi phân 2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 2.2.1 Đạo hàm cấp cao 2.2.2 Vi phân cấp cao 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 2.3.1 Khái niệm cực trị 2.3.2 Định lý Fermat 2.3.3 Định lý Rolle 2.3.4 Định lý Cauchy 2.3.5 Định lý Lagrange 2.4 QUY TẮC LHÔPITAL 2.4.1 Dạng 55 55 55 64 69 69 72 72 72 73 74 74 75 75 76 1.6 1.7 1.8 Cữ 2.5 2.6 2.4.2 Dạng— 00 2.4.3 Các dạng vô định khác CÔNG THÚC TAYLOR 2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 2.5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 2.5.3 Công thức Maclaurin số hàm số sơ cấp 2.5.4 Tính gần cơng thức Taylor 2.5.5 Tính giới hạn công thức Taylor ÚNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.6.1 Tỷ lệ thay đổi hàm số 2.6.2 Phân tích cận biên 77 79 82 82 82 83 84 87 88 88 89 Mục lục 2.7 Trang V BÀI TẬP 90 TÍCH PHÂN 103 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 103 3.1.1 Nguyên hàm 103 3.1.2 Tích phân bất định 104 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 105 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 111 3.1.5 Tích phân hàm lượng giác 114 3.1.6 Tích phân số hàm vô tỷ 118 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 122 3.2.1 Định nghĩa tính chất 122 3.2.2 Công thức Newton - Leibniz 126 3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 127 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 129 3.3.1 Tích phân suy rộng loại 130 3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 137 3.4 ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN 142 3.4.1 Tính diện tích hình phẳng 142 3.4.2 Tính thể tích vật thể 146 3.4.3 Tính độ dài cung phang 151 3.4.4 Tính diện tích mặt trịn xoay 153 3.4.5 Lượng thay đổi hàm 155 3.4.6 Giá trị trung bình hàm số 156 3.5 BÀI TẬP 157 CHUỖI SỐ ~ , 168 4.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ 168 4.1.1 Các khái niệm chuỗi số 168 4.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 170 4.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 171 4.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 172 4.2.1 Khái niệm chuỗi dương 172 4.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 174 4.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 180 4.3.1 Chuỗi đan dấu 180 4.3.2 Hội tụ tuyệt đối 181 4.4 BÀI TẬP 183 Trang vi Mục lục PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHlỀư BIEN 192 5.1 GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN 192 5.1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 192 5.1.2 Giới hạn hàm nhiều biến 194 5.2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 198 5.2.1 Khái niệm hàm liên tục 198 5.2.2 Tính chất hàm liên tục 199 5.3 ĐẠO HÀM RIÊNG 200 5.3.1 Đạo hàm riêng cấp 200 5.3.2 Đạo hàm riêng cấp hai 204 5.4 VI PHÂN 205 5.4.1 Khái niệm vi phân 205 5.4.2 Các điều kiện khả vi 206 5.4.3 Tính chất vi phấn 207 5.4.4 Dùng vi phân tính gần 207 5.4.5 Vi phân cấp hai 208 5.5 CỰC TRỊ Tự DO 209 5.5.1 Khái niệm cực trị tự 209 5.5.2 Điều kiện cần cực trị 210 5.5.3 Điều kiện đủ cực trị 211 5.6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 214 5.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện 214 5.6.2 Phuong pháp khử 214 5.6.3 Phuong pháp nhân tử Lagrange 215 5.7 GIÁ TRỊ LỚN NHAT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 218 5.8 BÀI TẬP 222 Huớng dẫn - đáp án 230 Tài liệu tham khảo 237 Chương GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.1 BẢN VỀ số THỰC HÀM số DÃY SỐ k GIỚI HẠN CỦA HÀM số TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN BÀI TẬP Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp Tập hợp tất số tự nhiên ký hiệu N, nghĩa N = {0;l;2 } Tập hợp tất số nguyên dương ký hiệu N *, nghĩa * = {1;2;3 } N Tập hợp tất số nguyên ký hiệu Z, nghĩa z = { — 2; —1;0,1;2 } 15 22 34 39 42 48 Chương GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Trang Tập hợp tất số hữu tỷ ký hiệu Q, nghĩa 772 { — : m, n z, n 7^ n Từ xưa, người ta biết tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỷ biểu diễn tất số đo sống Chẳng hạn, hình vng có độ dài cạnh đơn vị đường chéo khơng thể biểu diễn số hữu tỷ Từ đó, xuất tập hợp số dùng để biểu diễn cho số đo hoàn cảnh Tập số gọi tập số vô tỷ Tập hợp tất số hữu tỷ vô tỷ gọi tập hợp số thực ký hiệu R Để số a số thực ta viết a E R, đọc "a thuộc R" Giá trị tuyệt đối số thực a, ký hiệu |#|, xác định a > a, l«l = -a, a < Ví dụ 1.1 |1,3| = 1,3 |—3,5| = 3,5 Giá trị tuyệt đối có tính chất sau: |«| = |-«|, \ab\ = |«| |b|, \a + b\ < |«| + ịb| Khoảng cách hai số a b \a — b \, độ dài đoạn thẳng nối a với b Hai số thực a b gọi gần \a — b\ nhỏ Phần trình bày số điều cốt lõi tập số thực để làm sở lý luận cho toàn nội dung sách 1.1.2 Tiên đề sup, inf Định nghĩa 1.1 Cho A tập khác rỗng R, oc E R • ŨC phần tử nhỏ A ŨC G A oc < X với X G A Phần tử nhỏ A, có, ký hiệu A • a chặn A oc > X với X e A Khi A có chặn trên, ta nói A bị chặn đó, phần tử nhỏ tập tất chặn trên, có, gọi chặn nhỏ A, ký hiệu sup A • a phần tử lớn A a E A ŨC > X với X E A Phần tử lớn A, có, ký hiệu max A Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIEN Trang 224 z = X3 + 2xy — 2y2 — lOx; z = x3y + 12x2 — 8y; z = 4x — 3x2 — 2xy2; z = X3 + y4 — 6x — 2y2; z = X4 + y4 — ấxy; z = (x2 + y2) e~x; 9.z = eỵ2-y +4V; 10 z = xye~x2~y2; 11 z = ex —X ey; 12 z = xln(x + y); 13 z = In X + In y — X — 4y; 14 z = (x + y) ln(x2 + y2); 15 z = X — y2 — ln(x + y); 16 z — (x — y) ex2~y2 Bài 5.15 Tim cực trị hàm số với điều kiện cho: z = 2x + 3y, x2 + y2 = 4; z = X2 + y2, 2x + 3y = 6; xy — 4; z = 4x2 + 9y2, z = xy, 4x2 + 9y2 = 32; z = x2y + X + y, xy = Bài 5.16 Tim giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D cho: z = X2 - 2y, D = {(x;y) : < X < 1,0 < y < 1}; z = 5x — 3y, D = {(x;y) : y > X — 2,1/ > — X — 2,y x}; z = (4y2 - X2) e * y2, D = ị(x;y) : X2 + y2 < 2}; z = x2 + 2xy2, D = {(x;y) : X2 + y2 < 1} Bài 5.17 Một cửa hàng văn phòng phẩm nhập loại mực với chi phí nhập loại 30 nghìn đồng/hộp, loại 20 nghìn đồng/hộp Nếu cửa hàng bán với giá bán loại X (nghìn đồng/hộp), loại y (nghìn đồng/hộp) số hộp mực bán ngày loại 100 — 5x + 6y (hộp) loại 80 + 4x — 6y (hộp) Tính giá bán loại để lợi nhuận thu ngày lớn Bài 5.18 Một người nơng dân có 240 mét gỗ, người muốn rào khu vườn hình chữ nhật để trồng rau Tính kích thước cạnh khu vườn để người nơng dân có khu vườn với diện tích lớn 5.8 BÀI TẬP Trang 225 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ■ Đạo hàm, vi phân Bài 5.19 Tính vi phân cấp hàm số z = X2 + 5y A dz = 2xdx + Ìn5.dy B dz = 2xdx + 5v~4dy c dz — 2xdx + Iny.dy D dz = 2xdx + Ìn5.dy Bài 5.20 Tính vi phân cấp hàm số z — ln(ựx — ỳ) A.dz = * ^ = x-y 2(x-ỵ) c rÌ7 = dx-dy D //7 - dy-dx V, az — 2(x-y) ư- uz - x-y Bài 5.21 Tính vi phân cấp hàm số z = arctan(x — y) X (Ĩ7 = dx+dy az ~ ĩ+(x-yỹ c ÍỈ7= V, az - dy-dx 1+(x_y)2 R n J = dx-dy az ~ l+(x-y)2 J ư- az - —dx—dy 1+(x_y)2 Bài 5.22 Tính vi phân cấp hàm số z — X2 + 2xy + sin(x3y5) A dz — [4x + 3x2 cos(x3y5)]dx + [2x + 5x3y4 cos(x3y5)]dy B dz = 2x + 2xy + 3x2 cos(x3y5)]dx + [2x + 5x3y4 cos(x3y5)]dy c dz = [2x + 2y — 3x2 cos(x3y5)]dx + [2x — 5x3y4 cos(x3y5)]dy D dz = [2x + 2y + 3x2y5 cos(x3y5)]dx + [2x + 5x3y4 cos(x3y5)]dy Bài 5.23 Tính vi phân cấp hai hàm số z = X3 + ý2 — 4x1/ A á2z = 6xdx2 — Sdxdy + 2dy2 B d2z = 6xdx2 — 4dxdy + 2dy2 c d2z = 6xdx2 + Sdxdy + 2dy2 D d2z — 6xdx2 + 4dxdy + 2dy2 Bài 5.24 Tính vi phân cấp hai hàm số z = y In X A d^z — —^dx2 + ịdxdy + |íh/2 B d2z = —^dx2 + ịdxdy c d2z — ^dx2 + ịdxdy D d2z — d2z = — Ặdx2 — ịdxdy ■ Cực trị Bài 5.25 Cho hàm số z = X2 — 2x + ý2 Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại M(l;0) B z đạt cực tiểu M(l; 0) c z có cực đại cực tiểu D z khơng có cực trị Trang 226 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHĩỀU BIEN Bài 5.26 Cho hàm số z — X4 — 8x2 + y2 + Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (0; 0) B z đạt cực tiểu (—2; 0) (2; 0) c z có hai điểm dừng D z đạt cực đại (—2;0) (2;0) Bài 5.27 Cho hàm số z = X2 — 2xy + Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (0; 0) B z đạt cực tiểu (0; 0) c z có cực đại cực tiểu D z có điểm dừng Bài 5.28 Cho hàm số z = X2 — xy + y2 Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (0; 0) B z khơng có cực trị c z đạt cực tiểu (0; 0) D z khơng có điểm dừng Bài 5.29 Cho hàm số z = X2, + y3 — 12x — 3y Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (2; 1) B z có điểm dừng c z đạt cực tiểu (2; —1) D z có điểm dừng Bài 5.30 Cho hàm số z = X4 — I/4 — 4x + 32y Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (1; 2) B z khơng có điểm dừng c z đạt cực tiểu (1; 2) D z khơng có cực trị Bài 5.31 Cho hàm số z = X6 — y5 — cos2 X — 32y Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (1; 2) B z điểm dừng c z đạt cực tiểu (1; 2) D z có cực trị Bài 5.32 Cho hàm số z = xy2(l — X — y), với X > 0,y > Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (ị; I) B z có điểm dừng c z đạt cực tiểu (|; I) D z có điểm dừng Bài 5.33 Cho hàm số z = 2x2 — 4x + siny — ỉy, với X e Rvà - 7Ĩ < y < 7Ĩ Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (l;f) B z đạt cực tiểu (1;—ặ) c z đạt cực tiểu (1; j) D z có cực tiểu cựcđại 5.8 BÀI TÂP Trang 227 Bài 5.34 Tim cực trị hàm z = ln(x2 — 2y) với điều kiện X — y — = Hãy chọn khẳng định A z đạt cực đại (1; —1) B z có hai cực trị c z đạt cực tiểu (1; —1) D z khơng có cực trị Bài 5.35 Tìm cực trị hàm z = In |1 + v2y| với điều kiện X — y — = Hãy chọn khẳng định A z đạt cực tiểu (0; —3), cực đại (2; —1) B z đạt cực đại (0; —3) (2; —1) c z đạt cực đại (0; —3), cực tiểu (2; —1) D z đạt cực tiểu (0; —3) (2; —1) Bài 5.36 Tim cực trị hàm z = X1 (y — 1) — 3x + với điều kiện X — y + = Hãy chọn khẳng định A z đạt cực tiểu (1;2), cực đại ( —1;0) B z đạt cực đại (1;2) (—1;0) c z đạt cực đại (1;2), cực tiểu (—1;0) D z đạt cực tiểu (1;2) (—1; 0) Bài 5.37 lìm cực trị hàm z = 3x + 4y với điều kiện V2 + ý1 = Hãy chọn khẳng định A z đạt cực tiểu I), cực đại ( —|; — I) B z đạt cực đại (|;|) c z đạt cực đại I), cực tiểu (—Ị;— 5) D z đạt cực tiểu (|;|) Bài 5.38 Một cửa hàng nhập loại sản phẩm với giá nhập loại P1 = 110 nghìn đồng/đơn vị sản phẩm, loại P2 = 120 nghìn đồng/ đơn vị sản phẩm Chủ cửa hàng tính bán sản phẩm loại với giá X (nghìn đồng/đơn vị sản phẩm) loại với giá y (nghìn đồng/đơn vị sản phẩm) số đơn vị sản phẩm bán ngày loại 771 = 80 — 9x + 5y, loại n2 — 50 + 3x — 2y Tính giá bán loại để lợi nhuận thu ngày lớn A X = 95, y = 125 B X = 75,1/ = 130 c X = 95,y = 120 D X = 75, y = 120 Các câu từ 5.39 đến 5.43 có yêu cầu giống câu 5.38: Bài 5.39 P1 = 25, P2 == 30, n-[ = 75 — 5x + 51/, U2 = 85 + 5x — 7y A X = 75,y = 72 B X = 75,y = 55 c X = 60, y = 72 D X = 60, y = 55 Bài 5.40 = 2, P2 = 10, nỵ = 400 — 50x + 40y, U2 = 200 + 60x — 70y A X = 22, y — 27 B X = 21, y = 32 c X = 17,y = 18 D X = 19,1/ = 22 Trang 228 Chương PHÉP TÍNH Vĩ PHÂN HÀM NHĩỀU BĩẾN Bài 5.41 = 90, P2 = 100, «1 = 50 — 3x + 4ị/, nz = 40 + 4x — 7y A X = 96,1/ = 82 B X = 102, y = 115 c X — 95,y = 91 D X = 115, y — 105 Bài 5.42 = P2 — 30, Hi = 120 — 5x + 41/, «2 = 100 + 6x — 7y A X — 77, y = 82 B X = 79, y = 70 c X — 78,y = 80 D X = 82, y — 77 Bài 5.43 = 150, P2 — 140, n-[ = 180 — 2x + y, Ỉi2 = 150 + 3x — 7y A X = 119, y = 124 B X = 112, y = 124 c X = 119, y = 104 D X = 112, y = 104 Bài 5.44 Một công ty sản xuất X sản phẩm loại y sản phẩm loại với chi phí c(x, y) = 2x2 + 4xị/ + y2 Các sản phẩm bán thị trường với giá bán loại P1 = 120 — X, loại P2 = 150 — 2y Tính sản lượng loại để cơng ty thu lợi nhuận lớn A X = 15,1/ = 22 B X = 8,1/ = 23 c X — 16, Ị/ = 28 D X = 6,y = 21 Các câu từ 5.45 đến 5.49 có yêu cầu giống câu 5.44 Bài 5.45 P1 = 80 — 2x, P2 = 100 — 21/, C(x, y) — 4xy + y2 A X = y = 15 B.X =15, y = 22 c X = y — 10 D.X 12, y = 15 Bài 5.46 = 100 — X,P2 = 120 — 2y, c(x, y) = X2 + 4xy + 2y2 A X = 19, y = 16 B.X —20, Ị/ = c X - 17, y = 22 D.X =25, y = Bài 5.47 Pì = 100 — 0,5x, P2 = 90 — 1,5y, c(x, y) = 3x2 + 5xy + ý2 A X = 5,y = 13 B X = 12,1/ = c X = 7,y — 12 D X = 13,1/ = Bài 5.48 P1 = 110 — 2,5x, P2 = 120 — 3y,c(x,y) — 5xy + 15 A X = 16,1/ = 14 B X = 14, y — 15 c X = 22, y = 16 D X = 12, y = 10 Bài 5.49 P1 = 110 — l,5x, P2 = 130 — 3,5y,c(x,y) = X3 + 5xy + y2 + 15 A X = 17, y = 12 B X = 17, y = c X = 15, y — 18 D X = 15, y = Bài 5.50 Một cơng ty xác định vị trí khách hàng quan trọng đồ sau: A(l,7),B(l,0),C(9,1) Công ty muốn mở cửa hàng cho tổng bình phương khoảng cách đến khách hàng thấp nhất, hỏi công ty nên đặt cửa hàng vị trí đồ? B.(ậf) C(¥,|) D.(SH) 5.8 BÀI TẬP Trang 229 Bài 5.51 Giả sử bạn muốn xây tường rào để rào mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 64m2 Hỏi kích thước khu đất để chi phí xây dựng thấp nhất? A 2m X 32m B 4m X 16m c 8m X 8m D 5m X 12,8m Bài 5.52 Một người nông dân muốn rào mảnh vườn hình chữ nhật sát bên bờ sơng với diện tích 5000m2, cạnh sát bờ sơng khơng xây tường rào Tính kích thước mảnh vườn để chi phí xây dựng thấp A 40m X 125m B 50m X 100/77 c 10m X 500m D 25m X 2001/7 Bài 5.53 Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm A B, biết X sản phẩm loại A y sản phẩm loại B sản xuất lợi nhuận thu p(x,y) = —4x2 — 2xy — y2 + 142x + 701/ + 500 Giả sử công ty sản xuất 30 sản phẩm ngày, tính số sản phẩm loại để lợi nhuận thu ngày lớn A X = 17, y — 13 B X = 15, y = 15 c X = 14, y = 16 D X = 12, y = 18 Bài 5.54 Một công ty xác định chi trả X triệu đồng cho việc phát triển sản phẩm y triệu đồng cho việc quảng cáo số sản phẩm có thê’ bán s(x,y) = 40xy2 Biết công ty chi trả tổng cộng 330 triệu đồng cho việc phát triển sản phẩmvà quảng cáo Hỏi công ty trả cho việc phát triểnsản phẩm cho việc quảng cáo để bán nhiều sản phẩm A X = 105,1/ = 225 B X = 150,1/ = 180 c X = 110, y = 220 D X = 165, y = 165 Bài 5.55 Giả sử cần làm hộp hình hộp chữ nhật (khơng có nắp) với thể tích 108m3 Tính kích thước hộp cho chi phí làm hộp thấp A ốm X ốm X 3m B 12m X 3m X 3m c 4m X 9m X 3m D 2m X 18m X 3m Bài 5.56 Người ta dùng 12001//2 giấy tơng để làm hộp hình hộp hộp chữ nhật (khơng có nắp) Tính kích thước hộp cho thể tích hộp lớn A 20m X 15/77 X 15m B 25m X 10m X 10m c 25/77 X 15/77 X 15/77 D 20/77 X 20/77 X 10/77 HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận ĨTỊ1 ị; ị; 1; 4.1; 5.1; ị;7, 0; 9.1; 10 ị; 11 -1; 12 [ĨTỊl e15; e'ĩ; 3.1; e; e; e"l~[lj|l 2; 1; 1; 5.-1; 6.-1 [ĨT f(x) liên tục R; f(x) liên tục R; f(x) iên tục R \ {0}; a= 2.Ỉ a = ì' ị; [b = ■ Trắc nghiêm khách quan 1.6 B 1.17 B 1.28 A 1.39 A 17 c 1.18 A 1.29 A 1.40 1.8 c 1.19 c 1.30 A 1.41 1.9 1.20 B 1.31 A 1.42 B 1.10 B 1.21 1.32 A 1.43 A 1.12 c 1.23 A 1.34 A 1.11 1.22 A 1.33 A 1.13 A 1.24 B 1.35 A 1.14 1.25 B 1.36 1.5 A 1.26 1.37 1.16 A 1.27 B 1.38 CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận L y'= — 3xvx2cos2x v' = -ỷcos 3sin (2 sin f);3- y' = J v 4yxsinựx 4- y'= -7=; y' = 2^ 1^=1 ln2; y' = 2v^sin2x ln2; y = 32- ln3>2x ln2; XVX2 —1 Irr X ’ V 2Vsin2x y’ — (Inx)7 y’ — x2X2x (ỉ + ln21nx); 10 y' = xx(lnx + 1); Hướng dẫn - đáp án Trang 231 11 y' = Xx‘xx (1 + ln(x + 1) Inx); 12 y' = Ạịổ- (ln(]nx) + jjL - 22]l.y' = í;2.y' = -23f+1; y' = [23] f (1+) = 2; /’(-[-) = 0; /'(-1+) = 0; y'(l-) = —2 12.41 /'(0+) = 1; /'(0") = -1 2.5 dyy — —xv2iNỈÍn2\ ' dy = y/x ,dỊ2+a ; dyv = xx/x Ịj2~l ■ L-2.6 A/(l) = Ax3 + (x2+a2)' y —— J v 3Ax2 + Ax,d/(1) = dx 2.7 Ax = a + b 2.8 a = b = 2.9 a — - ị b = 1.1 2.10 I 2,033; 2.1,035; 0,770; 4.1,004.1 2.111 Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt, X1 < X2, khoảng (0;l) Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f đoạn [xi; X2] Suy điều vô lý 2.12 Chứ ý yz(x) đa thức bậc ba nên số nghiệm nhiều ba Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f đoạn : [—3; —2], [—2; —1] [—1;0] 3x , (l+2x2) arcsinx n 2.13 Áp dụng định lý Lagrange 2.14 y" * 2)2 + (I- y" — |x^ Ợn2 X + 4In X + — —1 (1—cost)2a' * — ; y” 2e f Q 17// (cosí—siní)3' ’ -e 1 2' 9ựx5(x-l)4‘ 2.15 11 y” = + t2 2.16 y(10) = 90sinx + 3-= cn2a ’ 2.17 \ 2; 0; 4^; 2; 0; 2.18 11 0;' 0;' 1;' 0;' ị; L ị;O ị; Ó -1 12.1911 1; eầ; e”1; 2; 1; e"1; 1; 1; I 2.20 I + 7(x 2.211 zị - 4ịx + ỡịx2 - lix + 0(x 4/'); + 2x _ 10 \ + 0(x5); In2 + |x2 - ^x4 + 0(x5); v5i ^x ^x4 + 0(x * 18)16 A 64 X9 - 256%13 + ĩàĩx17 + °( 1Z 2- 400 v 57) 2.22 - 4ị Suy f(17)(0) = 4^ [I23 30 900 (x 4) + 27000 — 4)2 — J1000 (x — 4)3 + 3_ 0((x - 4)3) 2.24 1.1,396; 3,072; 0,755.1 2.25 I n = 2.26 |R4| 5!' sin dx y5 gịị 2.27 12353146 đồng 2.28 150 sản phẩm, 5,4 tỷ 5! A đồng 2.29 200.1 2.30 15,77 km Trang 232 Hướng dẫn - đáp án ■ Trắc nghiệm khách quan 2.31 B 2.42 A 2.53 A 2.64 A 2.75 B 2.86 B 2.32 A 2.43 A 2.54 A 2.65 A 2.76 2.33 A 2.44 B 2.55 A 2.66 A 2.77 A 2.88 c 2.87 2.34 A 2.45 A 2.56 A 2.67 A 2.78 2.35 A 2.46 B 2.57 c 2.68 c 2.79 c 2.36 A 2.47 A 2.58 2.69 B 2.80 B 2.37 c 2.48 A 2.59 A 2.70 c 2.81 c 2.38 A 2.49 A 2.60 B 2.71 A 2.82 2.39 A 2.50 A 2.61 A 2.72 2.83 A 2.40 B 2.51 B 2.62 A 2.73 B 2.84 2.41 2.52 A 2.63 A 2.74 A 2.85 A CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận 3.1 ị ln(4 + x2);2 ị arcsin(x2); 4^; — ĩĩ^;5 — ln(cosx + \/4 + cos2 x); ln(x3 + ựx6 + 1); ^arctanụặ; |ln(4x2 + 7); ln(ex +Ve2x — 1); 10 *ln2~^22 +1); 11- In(tanx); 12 21n(ựx + 1) 3.2 cosx + xsinx; ỹ^(41nx — 1); xarctanx — ị ln(l + x2);4 |x3arctanx — |x2 + I ln(l + x2); 5- tỆĩ; — I(2x2 + 2x + 3) e~2x; TjTj(3 sin3x — 2cos3x) e~2x; ' ị (x - ựl - X2) earcsinx; 10 ^ln(x2 + 1) + ị(x2 + l)(arctan2x — 1) — xarctanx; 11 — — In 1+Ỵj|—; 12 |x(sin(lnx) — cos(lnx)) 3.3 — |ln(x2 + 1) + ị arctan X + In |x + 11; In I In * ( 4)4 ~ ln x-1 —X + E x-l I- arctan 2^±1; + In I I; , 3/2 arr4-an x+l8 arctan ựị ' ' b- 4(x2+2x+3) + ln (*2ixvl+i ) + arctanfxv7? + 1) + arctan(xẶ/2 — 1); ị ln(x2 + X + 1) — ựSarctan 2i±l; — ln(2x2 +1) + 4(2J+1) +21n |x|; X — I arctan ặ + ị arctan X 3.4 20T~7~7~~~; — Ẳ In Itan X + 41 + ị In I tan x| — ịỹ In I tan3 X +11 — ^4 (3 cos2 X — 4) cos6 x; — 2c°n2 * — cos4 x ~ cos2 x ~ In I sin x|; arctan (tan ị — 1); — I tan3 x; — 2-ị + x; 8.1 In |3 + tan ị I; Hướng dẫn - đáp án 2.2 arctan Trang 233 - 2ỵ/ì^; 3.1 In 2+ự3+2x—X2 2—ự3+2x—X2 ; 4.1 f3 + 2f2 — 4f + arctan t — — arcsinx; 11 |x(x2 — l)\/x2 — — 1%a/x2 — + 61nt,t = ýx; 10 i In |x + 12 ị ln ỈỶẲ+Ĩ+-Ỉ-7X~^ [3L611 In g-tAjà ỉ; 1' 2Vx2+x+1+x+2 l 1+V2 - ị; Vĩ - ln(l + ự2) - ln(2 - ựã); f ặ; TĩVĩ - 4; 10 e —2; 11 4L; 12 ỉỹ 13 + In |^±|; 14 5^; 15 ị - 4- [ĩĩ] ỉổ f(x)dx = Jo1 f(x)dx + JỈ f(x)dx = I ỊTã] /(sin xỊdx = — fv f (cos (ặ — x)) d (ậ — x) = Ịq y(cosx)dx;và x/(sinx)dx = f(^(x — n + 7ĩ)/(sin x)dx = ,/q7ĩ(^ — x)/(sin(7ĩ — x))d(7ĩ — x) + /q 7ĩ/(sinx)dx = — x/(sinx)dx + Ịq 7ĩ/(sinx)dx ị; ị — 7Ĩ 3.9 2xựl + X4; 3x2 2x ựl + x12 ựl+x® ; — sinxcos(cos2 x) — cosxcos(sin2 x) 13.1011.1; 2.1; 3.1111 ị ln2; -1; ?; - 1; ỉ; ỉ; In 2; ^7Ĩ I 3.12 -|;2 -1; f;4 7ĩ + 2; -^7T; Ỉ^Tĩ; 2; 2arcsin I 3.13 phân kỳ; phân kỳ; hội tụ; hội tụ; hội tụ; hội tụ tuyệt đối; hội tụ; hội tụ; phân kỳ 3.14 hội tụ; phân kỳ; hội tụ; hội tụ; phân kỳ; hội tụ; hội tụ; hội tụ; hội tụ 3.15 ịj',2 ặ; 7ĩa2'; 3tĩí72 _3.17 O — ị ỉ: ĩ 24-3 4:4 líp-7r / 2/ / 4/ vc I -_ 4 e2 +1 q 27Ĩ3 — 87ĩ; 6ĩĩ3a3; |tĩ2í73; , Jịa; 3.19 2,8 giây 3.20 267 người 3.21 436 sản phẩm 3.22 339,91 triệu đồng 3.23 29784271 đồng Hướng dẫn - đáp án Trang 234 ■ Trắc nghiệm khách quan 3.24 3.35 B 3.46 A 3.57 A 3.68 A 3.25 A 3.36 A 3A7 D 3.26 B 3.37 c 3.48 3.58 A 3.69 c 3.59 c 3.70 3.27 B 3.38 A 3.49 A 3.60 B 3.71 A 3.28 c 3.39 3.50 3.61 3.29 A 3.40 B 3.51 c 3.62 c 3.30 B 3.41 c 3.52 3.31 B 3.42 3.53 3.32 A 3.43 B 3.54 3.63 A 3.64 B 3.65 A 3.34 A 3.45 A 3.56 3.33 A 3.44 B 3.55 A 3.66 3.67 c CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận _ n+2' _l_3/_l\n.c C 4 X 3/ ' • Q — _ - («+1)3' C _ _ 3.2”+1+3 £ c — _5 _ 5.2n+2+5.3”+2 rryi H 3n+I / °’6 5n+1 * L J J-* Un — — K 3' an 2; an e; an —> +oo; Dùng Quy tắc UHôpital, an +oo; Lưuý (1 + tăng e, dẫn đến (|««|) dãy tăng,mà |«o| = lnênfl„ 4.3 Phân kỳ, an ~ 3^; Phân kỳ, an ~ ỉ; Hội tụ, an ~ Hội tụ, an ~ Hội tụ, an ~ 4^; Phân kỳ, an > ỉ; Phân kỳ, an > n > 2; Hội tụ, an ~ Phân kỳ, an > n > 2; 10 Hội tụ, an ~ 2^?; 11 Hội tụ, an ~ Phân kỳ, 12 Hội tụ, an < 4.4 Hội tụ, —> +oo; Phân kỳ, ++' +oo; Hội tụ, ựãTn ị; Hội n—1 —> e 2; Hội tụ, ựõTn —> tụ, Ặ; Hội tụ, = (1 - n+1 ) |; 14.511 Phân kỳ, \an\ = ị + Ặ|; Hội tụ, —> |; Hội tụ, ạ/cĩn Hội tụ Hội tụ Hàm arctan tàng, suy arctan giảm Chuỗi hội tụ Hội tụ, hàm số f(x) = giảm miền X > nên giảm Hội tụ: Đặt an = (2^1)«/ ta có = 2S4 < 1- Dãy (M giảm bị chặn nên hội tụ L Từ đẳng thức an+ỵ = 2S4-ỔH/ suy L = |.L Vậy L = Hội tụ Hội tụ Phân kỳ, an = ^ị- tăng aỵ = 2; 4.6 Hội tụ tuyệt đối, cosir 2« tụ tuyệt đối; < Ặ-; Hội tụ tuyệt đối, ựỊữnỊ —> Bán hội tụ, \an I 71 3ự2.«’ Bán hội tụ; Hội Hướng dẫn - đáp án Trang 235 ■ Trắc nghiệm khách quan 4.7 B 4.18 A 4.29 J2) 4.19 B 4.30 £) 4.40 A 4.51 B 4.41 c 4.52 c 4.9 A 4.20 A 4.31 c 4.42 c 4.53 B 4.8 £) 4.10 D 4.21 B 4.32 D 4.43 c 4.11 c 4.22 4.12 B 4.23 c 4.34 c 4.45 B 4.33 £) 4.44 4.13 £) 4.14 £) 4.15 £) 4.24 A 4.35 4.25 £) 4.26 £) 4.36 A 4.47 B 4.37 A 4.48 A 4.46 4.16 c 4.27 A 4.38 A 4.49 c 4.17 A 4.28 D 4.39 c 4.50 B CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận 5Ĩ| -24; 75; |; e"24 [YIỊ1 5; x| + |y| 5.4 z'x = 2x,z'y = 3y2; z'x 3x2 - 3y,z'y = 3y - 3x; z'xx - -4,z ‘'y = ị;X z'xX = J y J x^ A = —X -y2 =4—; /4 -x2-y2' * ựx2+y2 ,z'y = ựx2+y2 2/ = 'zy x y— X E E — ■ z' — xĩ yy2„f: 9.• z'X z!x — x2Ạ_y2r^y 2+ x2+y2' y ~ ĩ^+ỹ2' 3'3 • Zx2 — Z' zxy B,z!' = 6y; z"2 = 6xy5, zXy 15x2y4,zf,2 =y 20x3y3; X3 z"2 = 6%, z" y T y2 t!' 2ỵ 7rr _ -3,z"2 = 6y; z"2 0; z" X3' ^xy — -A'A xy X2 ' y2 z// y * - ự(x2+y2)3' = V1 X2—1 ff ỵ/(1—X2—y2)3 • A X1 ự(x2+y2)3' // ■ *2 = y2-i ự(l-x2-y2)3 = |ỉ(l + tan2ị)(ịtanỉ + l) z" = y * - // ự(i-x2-y2)3' — — = — = y2 (1 + tan2 ị);4y = (1 + tan2-p (2^ tan + 1), z"2 = ị tan i (1 + tan2 Ỉ); ~n = zxy ~~ = 2(y2~4 (x2+y2)2' 4*y_ _ 7ti 2(x2-y2) • Q 7" — Zxy _ -// = y2-^2 _ 7f! = ~2* y (x2+y2)2' y2 _ (x2+y2)2; zx2 _ (x2+y2)2' xy (x2+y2)2' y2 (x2+y2)2- 5jU A/(2;l) « 0,44 [5J] yu 1,52708 [5^ /(0,01; -0,02) 0,98 5jJ(xo;yo) = (4; 1),/(4,01; 0,98) 8,2.1 5.10 11 8,44; 0,51875; 4,998; 0,1944; 0,775398; 12,35 5.11 AI « 0,5644 5.12 AH 0,019 5.13 AH « 0,0242 5.14 (0;0) không điểm cực trị, zct(1;1) = — > zct(-|;-|) = -5 (|;|) không điểm cực trị, zCđ(-2;-1) = 14 |; (2; —4) không điểm cực trị (0;±a/2) không điểm cực trị; Trang 236 zcđ(|;O) Hướng dẫn - đáp án = (ự2;0), ( — ự2;±l) không điểm cực trị; Zcđ a/2;0J = 4ặ/2; zCt(a/2;±1) = —3ặ/2 — (0;0) không điểm cực trị; zct(1;1) — —2 — Zcr(—1;—1) (2;0) không điểm cực trị; zct(O;O) = (0;2) khơng điểm cực trị 1ÍÌ — -7^ í-ỵ/ĩ-_ — ẹ-1 1Ư Z(2Đ í^ĩI f ì — %CĐ ( ' / — ' ZCT —11- (0;0) không điểm cực trị = ZCT 12 (0; 1) không điểm cực trị 13 Zcđ (1; 2) = —21n2 — 14 ZCĐ(-^;-^) = 272c-1; ( —72' 72) không điểm cực trị 15 (|; — 2) không điểm cực trị 16 z khơng có điểm tới hạn 5.15 - -2713,zCDf4.;4^ = 2x/Ĩ3;2.zct(ỉ|;ỉ|) = \ via V/ \vl3 vl3/ \ 10 10 / ZCT (ự6; = 48; ZCT (2; -|) = ZCT (-2; I) = -|,ZCĐ (2; I) = zcđ(-2;-|) = ZCT (^;2ự5) = 4v/5;zcd (-75; -2ự5) = -4ự5 5-16 Zmax(l/0) = 1/Zmin(0; 1) = —2; Zmax(5;3) = 16/Zmin( 5/ 3) = -34; zmax(l;l) = 3,zmin(0;0) = 0; zmax(0; 1) = 2,zmin(0;0) = 0; Zmax = đạt (0;l) (l;0), zmin(l;l) = -1- Zmax = đạt (0;0) (3; 3), zmin(l;2) = —5 zmax = 4e-1 đạt (0; ±1), zmin = - e-1 đạt (±l;0).|T17|60m X 60m I 5.18 IX = 112, y = 95 ■ Trắc nghiệm khách quan 5.19 A 5.20 B 5.21 c 5.22 5.23 A 5.24 B 5.25 B 5.26 B 5.27 £) 5.28 B 5.29 £) 5.30 5.31 c 5.32 A 5.33 c 5.34 B 5.35 B 5.36 A 537 c 5.38 A 5.39 5.40 B 5.41 A 5.42 c 5.43 B 5.44 £) 5.45 B 5.46 c 5.47 A 5.48 5.49 c 5.50 A 5.51 B 5.52 c 5.53 5.54 B 5.55 A 5.56 Tài liêu tham khảo [1] Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Giải tích hàm biến, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2002) [2] Đỗ Cơng Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Chuỗi phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2002) [3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Phép tính giải tích biến số, Nhà xuất giáo dục (2002) [4] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Nguyễn Cơng Tâm, Nguyễn Đình Phư, Giải tích hàm biến, Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2002) [5] Nguyễn Phú Vinh, Giáo trĩnh Toán cao cấp, Trường đại học cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh (2004) [6] Ngô Thành Phong, Giáo trĩnh giản yếu Giải tích tốn học, Trường đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh (2001) [7] Jon Rogawski, Calculus early transcendentals, VC H Freeman and Com­ pany (2008) [8] James Stewart, Calculus early transcendentals, Cengage Learning (2012) [9] Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas, Jr., University calculus early transcendentals, Addison - Wesley (2007) TOÁN CAO CẤP VÕ THỊ THANH HÀ (Chủ biên) LÊ VĂN LAI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH 12 Nguyễn Văn Bảo - p - Q Gò vấp - TPHCM ĐT: (028) 3894 0390 - 816 ; Fax: (028) 3994 0650 Email: nhaxuatban@iuh.edu.vn Chịu trách nhiệm xuất bản: TRƯƠNG NGỌC THƠI Biên tập: Sửa ỉn: Trình bày bìa: LÊ THỊ TIẾU NHI ĐỒN THANH ĐIỀN VĂN SANG Đổi tác liên kết: Khoa Khoa học Cơ - Trường đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh ISBN : 978-604-920-160-8 In 6000 khổ 16 X 24 cm theo Quyết định xuất số: 24/QĐNXBĐHCN ngày 11/10/2022 với xác nhận đăng kí xuất số 3512 2022/CXBIPH/l - 21/ĐHCNTPHCM ngày 06/10/2022 In Xưởng in NXB Đại học Công nghiệp TPHCM, nộp lưu chiểu tháng 11/2022 ... PHÂN 10 3 3 .1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 10 3 3 .1. 1 Nguyên hàm 10 3 3 .1. 2 Tích phân bất định 10 4 3 .1. 3 Phương pháp tính tích phân bất định 10 5 3 .1. 4 Tích phân hàm hữu tỷ 11 1... sin : R —> [? ?1; 1] không hàm 1- 1 ta hạn chế miền xác định thành [—Ị] sin : [—ặ; ặ] —> [? ?1; 1] hàm 1- 1 Khi đó, tồn hàm số ngược hàm sin, ký hiệu arcsin, arcsin : [? ?1; 1] —> 71 711 2''2-'' Ta có... (n — k + 1) n -1 Vn € N, (1 + ữ)” > n.a 1. 3 DÀY SỐ Trang 21 Định nghĩa 1. 16 '' A ,1V e = lim (14 ) n—>+oo y nJ ví dụ 1. 15 Cho dãy (x„) định nghĩa sau: / 1* = ự2, \