103 bài hình học tổng hợp luyện thi lớp 10

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 103 BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔNG HỢP LUYỆN THI VÀO 10 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , điểm D thuộc cung nhỏ AB Kẻ dây DE vng góc với OA Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE Lời giải : N M A I D E O B C Gọi I giao điểm DE AB OA ⊥ DE ⇒ OA qua trung điểm dây DE (Liên hệ đường kính dây) ⇒ DE đường trung trực DE ⇒ AD = AE (Tính chất đường trung trực)  ⇒ AD = AE (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ta có: ) ( 1  −=   − s®  s® BC s® AD s® BC AE ) (Vì  AD =  AE ) ( ( ) 2   BNC s® − s® AE =  BMC = =  ⇒ BMC BNC ⇒ Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh M N nhìn cạnh BC góc)  đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC ) =  (Cùng chắn cung MB ⇒ MNB MCB  Mà= MCB ( )   + s®  = s® AB s® BD AD (Tính chất góc nội tiếp) 2 ( (1) )   + s®  Mặt khác: = AIE s® BD AE (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) ( )   + s®  AD =  AE ) = AIE s® BD AD (  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ( 2) Website: tailieumontoan.com Từ (1) ( 2) = ⇒ MNB AIE ⇒ MN //DE (Cặp góc so le nhau) (đpcm) Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB = BD Tiếp tuyến ( O ) A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD a) Chứng minh AQ = QB.QC b) Chứng minh AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD //QR Lời giải : Q A B R O C D a) Xét ∆AQB ∆CQA có: = BAQ ACQ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn  AQB góc AB )  chung ⇒ ∆AQB ∽ ∆CQA (g.g) ⇒ AQ CQ = ⇒ AQ = BQ.CQ BQ AQ  = BDA  b) Ta có: AB = BD ⇒ ∆ABD cân ⇒ BAD  = QCR  (góc ngồi góc đối tứ giác ABCD nội tiếp) BAD  = BDA  (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  AB ) QAB  = QCR  ⇒ QAB Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇒ Tứ giác AQRC nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác AQRC nội tiếp có:  180o (tổng hai góc đối 180o ) (1) AQR +  ACR =  Cần CM:  ACR = QAD  = QCR  (chứng minh phần b) Thật vậy: BAD = AB ) QAB ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn   + QAB  = QCR + ⇒ BAD ACB  (2) ⇒ ACR = QAD Từ (1) , (2) ta được:  = 180o ⇒ AD //QR (trong phía) AQR + QAD  Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H kẻ Bài 2: Cho góc nhọn xBy  D , Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp AD vng góc với đường phân giác góc xBy đường tròn xác định tâm O đường trịn a) Chứng minh OD ⊥ AH b) Tiếp tuyến A với đường tròn ( O ) cắt By C Đường thẳng BD cắt AC E Chứng minh tứ giác HDEC nội tiếp Lời giải: x A 1 O B D E H C y a) Ta có: ∆ADB vng D nên ba điểm A, D, B thuộc đường trịn đường kính AB (1) ∆ABH vuông H nên ba điểm A, B, H thuộc đường trịn đường kính AB ( ) Từ (1) ( ) ⇒ Tứ giác ABHD nội tiếp đường trịn đường kính AB ⇒ Tâm O trung điểm đoạn AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) Tứ giác ABHD nội tiếp nên:     = B A= sd AD  2   (1)    H  = B = sd AD  1   ( 2) =B  ( BE phân giác  Mà B ABH ) ( 3)  ⇒ sd   ⇒ AD = Từ (1) , ( ) ( 3) ⇒  A2 = H AD = sd HD HD ⇒ D thuộc đường trung trực HA ( ) Mặt khác OA = OH ⇒ O thuộc đường trung trực HA ( ) Từ ( ) , ( ) ⇒ OD đường trung trực AH ⇒ OD ⊥ AH = 90° + B   góc ngồi tam giác ABE nên BEC c) Ta có: BEC Ta lại có: OD ⊥ AH ( cmt )   ODH  (So le trong)  ⇒ OD / / BH ⇒ DHC = BH ⊥ AH ( gt )  =  (hai cạnh tương ứng) ∆OHD = ∆ODA ( c.c.c ) ⇒ ODH OAD  = ODH  (Chứng trên) ⇒ OHC =  Mà DHC OAD   = 90° −  = 90° − B    A1 = Mặt khác OAD A B = sd AD  ⇒ OAD 1    == 90° − B  ⇒ OHC  + OHC = 90° + B  + 90° − B = 180° Xét tứ giác HDEC có: BEC 1 Mà hai góc vị trí đối nên HDEC nội tiếp Bài 4: Cho đường tròn ( O ) ; đường kính AB = R ; tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm ABF cắt đường tròn E cắt tiếp tuyến F cho BF cắt đường tròn C ; tia phân giác  Ax D a)Chứng minh OD // BC b)Chứng minh BD.BE = BC.BF c)Chứng minh : tứ giác CDEF nội tiếp d)Xác định số đo  ABC để tứ giác AOCD hình thoi.Tính diện tích tứ giác AOCD theo R Lời giải : Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com F a)Chứng minh : OD / / BC   ; DBA  góc nội tiếp chắn cung  Ta có CBD AD; DC  = DBA    ⇒ AD = DC kết hợp với OA Maf CBD = OC = R ⇒ OD ⊥ AC ( OD AD = DC đường trung trực AC ) Mà C ∈ đường tròn đường kính AB ⇒  ACB= 90° ⇒ AC ⊥ CB ⇒ CB / / OD b)Ta có : D thuộc đường trịn đường kính AB ⇒ AD ⊥ DB ⇒ AD ⊥ BE BD.BE ( hệ thức lượng ) Tam giác AEB vng A có đường cao AD ⇒ AB = BC.BF ( hệ thức Tương tự ta có : tam giác ABF vng A đường cao AC ⇒ AB = lượng ) Vậy nên BD.BE = BC.BF BD BC = BF BE Xét tam giác BDC tam giác BFE ta có :  : chung B   BD BC ⇒ ∆BDC ∽ ∆BFE (c.g c) ⇒ BDC = BFE ⇒ tgCDFE nt ( góc ngồi góc = BF BE đỉnh đối diện )  d)Do OD / / BC ⇒  ABC = AOD ( đồng vị ) c)Do BD.BE= BC.BF ⇒ Do OA = OC ; DA = DC ⇒ OADC hình thoi OA = AD hay OA = OD = AD tam giác AOD tam giác nên  AOD= 60° ⇒  ABC= 60° Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Trong tam giác vuông ABC ( vuông C ): sin  ABC = = S AOCD 1 = OD AC = R 3R 2 AC ⇒ AC = R.s in60 = ° R = R AB R Bài 5: Cho ba điểm A; B; C thẳng hàng ( B nằm A C ).Vẽ đường tròn ( O ) đường kính BC ; vẽ tiếp tuyến AT Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC ; đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn ( O ) T ' Đặt OB = R a)Chứng minh OH OA = R b)Chứng minh TB phân giác góc  ATH c)Từ B kẻ đường thẳng song song TC Gọi D; E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT ' TA Chứng minh ∆TED cân T d)Chứng minh HB AB = HC AC Lời giải : E A B H C O D T' a)Chứng minh : OH OA = R Do AT tiếp tuyến đường tròn ( O ) ⇒ AT ⊥ OT ⇒ ∆AOT vng T có đường cao TH ⇒ OH OA = OT = R2 b)Chứng minh : TB đường phân giác góc  ATH = =  + OBT  =° Ta có  ATB + OTB OTA 90° BTH 90 maf  =OTB ⇒  OB =OT ⇒ OBT ATB =BTH Vậy TB đường phân giác góc  ATH c)Chứng minh : tam giác TED cân +)Do T thuộc đường trịn đường kính BC ⇒ BT ⊥ TC ⇒ TB ⊥ ED ( DE / /TC ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  ⇒ ∆TED cân T ( đường cao đồng thời Mà theo câu (a) ta có TB đường phân giác góc ETD đường phân giác ) HB AB = HC AC Ta có TB đường phân giác tam giác ATH mà TC ⊥ TB ⇒ TC đường phân giác tam giác ATH d)Chứng minh : Vậy nên ta có : CA TA AB AC AB BH AB AT ( đpcm ) = = ⇒ = ⇒ = BH TH CH TH BH CH AC HC Bài 6: Cho đường tròn ( O ) ; dây cung AB ; điểm C nằm đường trịn nằm tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường tròn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a)Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b)Chứng minh : CI CP = CK CD c)Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d)Giả sử ba điểm A; B; C cố định ; chứng minh đường tròn ( O ) thay đổi qua A; B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Lời giải Q A B K C D O I P Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a)Cm : Tứ giác PDKI nội tiếp = 90° ⇒ PIK = 90° Ta có PQ đường kính đường tròn ( O ) ⇒ PIQ = 90° + 90°= 180° ⇒ tg PDKI nt ( hai góc đối bù = 90° ⇒ PDK  + PIK Do PQ ⊥ AB ⇒ PDK ) b) Xét tam giác CIK tam giác CDP ta có :  : chung C CI CK ⇒ ∆CIK ∽ ∆CDP ( g g ) ⇒ = ⇒ CI CP = CD.CK    CD CP CIK= CDP= 90° c)Ta có PQ ⊥ AB; PA=PB ⇒ QA=QB hay điểm Q điểm cung nhỏ   AB ⇒  AQ = BQ  ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) Do  AIQ = BIQ = Hay IK đường phân giác tam giác AIB ; lại có IK ⊥ IC ( PIQ 90°) nên IC đường phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Ta chứng minh K điểm cố định Ta có điểm D trung điểm AB ( OD ⊥ AB) Do ABPI tứ giác nội tiếp CI   ⇒ ∆CAI ∽ ∆CPB( g g ) ⇒ CA ⇒ CAI = CPB = ⇒ CA.CB = CI CP CP CB Vậy nên AB  AB  AB  CA.CB = CK CD ( = CI CP ) ⇒ CK CD = ( CD − DA )( CD + DB ) =  CD −  CD +  = CD −    AB AB AB ⇒ CD.KD = ⇒ KD = ( const ) 4 4CD A; B; C ; D bốn điểm cố định nên K điểm cố định Ta có đpcm ⇒ CD − CK CD = Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung  AB Trên cung  AM lấy điểm N ( N ≠ A, N ≠ M ) Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp  b) MA tia phân giác NMK c) MN MI = MB Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com M N H A I  B = 900 a) Ta có: HK ( gt ) ; K O B  AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) + AMB = 900 + 900 = 1800 Xét tứ giác KHMB có: HKB  + HMB = 1800 Hay HKB  HMB  hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm) Mà HKB  (do tứ giác KHMB nội tiếp)  = HBK b) Ta có: HMK  AMK = NBA Hay   (hai góc nội tiếp chắn cung   = NBA AN ) Mà NMA   (đpcm) ⇒ AMK = N MA ⇒ MA tia phân giác NMK  = MBA  = 450 c) Dễ thấy MA = MB ⇒ ∆MAB vuông cân M ⇒ MAB  = 1800 − 450 = 1350 ⇒ MAI ANM = 1350 Tứ giác ABMN nội tiếp ⇒   ANM = MAI Từ ta có:   ⇒ ∆MNA ∽ ∆MAI ANM = MAI Xét ∆MNA ∆MAI có:  AMI chung  ⇒ (g − g) MN MA = ⇒ MN MI = MA2 = MB (đpcm) MA MI Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn ( O ) đường kính AD , E giao điểm AC BD , kẻ EF ⊥ AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp  b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Do AM tiếp tuyến đường tròn ( O ) nên  AMO = 900 Do AN tiếp tuyến đường tròn ( O ) nên  ANO = 900 Do AK đường cao ∆ABC nên  AKO = 900 Suy ra: M , N , K thuộc đường tròn đường kính AO ⇒ năm điểm A, M , K , O, N thuộc đường trịn đường kính AO AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  Xét đường trịn ( AMKON ) có AM = AN ⇒  AM = AN Suy  AMN =  AKM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét ∆AMH ∆AKM có:  AMN =  AKM  chung MAK Suy ra: ∆AMH ∽ ∆AKM (g.g) AM AH Suy ra: = ⇒ AM = AH AK AK AM Bài 94: Tam giác ABC nhọn O trung điểm BC Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC Vẽ đường cao AK tam giác ABC , vẽ tiếp tuyến AM , AN với ( O ) M , N MN cắt AH K Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Giải: A J M B N H K O C Gọi H1 trực tâm tam giác ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 119 Website: tailieumontoan.com Chứng minh điểm A, M , K , O, N thuộc đường tròn  ⇒ AKN = ANM ( góc nội tiếp chắn cung AN ) Lại có AM , AN tiếp tuyến đường tròn tâm O nên AM = AN  ⇒ ∆ANM cân ⇒  AMN = ANM  ⇒ AKN = ANM (1) Ta có: OA đường trung trực MN Gọi OA ⊥ MN ≡ I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ANO , đường cao NI ta có: AN = AI AO AH1 AK ∆AH1I ∽ ∆AOK (g.g) ⇒ AI AO = AH1 AK ⇒ AN = ⇒ ∆ANH1  ∆AKN (c.g.c)  ⇒ ANH1 = AKN (2) Từ (1) (2) ta có  ANH1 =  ANM   Ta có: M , H , N thẳng hàng ⇒  ANH= ANH ⇒ H ≡ H1 ANH = ANM ⇒  Vậy H trực tâm tam giác ABC Bài 95: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) đường kính BC (M, N cấc tiếp điểm) Chứng minh M, H, N thẳng hàng Gọi H’, D giao MN với AI AO = AN , OM = ON ⇒ AO trung trực Do AM B MN M  ⇒H ' DO = 900 ⇒ D thuộc đường tròn đường kính OH’ (1)  Mà H ' IO = 90 ⇒ I thuộc đường trịn đường kính OH’ (2) Từ (1), (2) ⇒ DH ' IO nội tiếp đường tròn đường kính OH’ O I ' chung, Xét ∆ADI ∆AH ' O có DAH D H' H E A C N =H  DIA ' OA (hai góc nội tiếp chắn cung DH’) ∆ADI ∽ ∆AH ' O (g.g) ⇒ AD AI = ⇒ AH ' AI =AD AO (1) AH ' AO Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 120 Website: tailieumontoan.com Do AN tiếp tuyến ⇒ AN ⊥ ON ⇒ ∆ANO vuông N Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AD AO = AN (2) Xét ∆ANE ∆ACN có: A chung,  ANE =  ACN (tính chất góc tạo tia tiếp tuyến dây) ⇒ ∆ANE ∽ ∆ACN (g.g) ⇒ AN AE = ⇒ AN = AC AE (3) AC AN Ta có: CIHE tứ giác nội tiếp (vì tổng hai góc đối 1800 ) ⇒ AE AC = AH AI (4) (hệ thức lượng đường tròn) Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ AH= AI AH ' AI ⇒ H ≡ H ' Vậy ba điểm M, H, N thẳng hàng Bài 96: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB MA = MB; OA=OB => OM trung trực AB hay OM ⊥ AB Tam giác MAO vuông A, đường cao AE, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: MA2 = ME.MO (1) Xét ΔMAC ΔMDA có:  AMC chung  = MDA  (cùng chắn cung AC) MAC => ΔMAC ~ ΔMDA (g.g) => MA MC hay MA2 = MC.MD (2) = MD MA Từ (1) (2) => ME.MO = MC.MD Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 128 Website: tailieumontoan.com Hay ME MC = MD MO  chung; ME = MC => ΔMCE ~ ΔMOD (c.g.c) Xét ΔMCE ΔMOD có: M MD MO  = MDO  => Tứ giác DOEC nội tiếp đường tròn => MEC  (cùng chắn cung DC)  = DEC => DOC  = DBC  (góc nội tiếp góc tâm chắn cung DC) Mà DOC b)  = DBC  (đpcm) => DEC Gọi H giao điểm OK CD =( 90°) = OEK Xét ΔOHM ΔOEK có: Ơ góc chung; OHM => ΔOHM ~ ΔOEK (g.g) => OH OM hay OE.OM = OH.OK = OE OK Mà OE.OM = OA2 => OH.OK = OA2 = OC2 = OD2 => Xét ΔOHD ΔODK có: Ơ chung; OH OD = OD OK OH OD => ΔOHD ~ ΔODK (c.g.c) = OD OK   => ODK = OHD = 90 ° =>OK⊥OD D hay KD tiếp tuyến (O) Theo chứng minh trên: OH.OK=OC2 => Xét ΔOHC ΔOCK có: Ơ chung; (3) OH OC = OC OK OH OC => ΔOHC ~ ΔOCK (c.g.c) = OC OK = OHC = 90° => OCK => KC ⊥ OC K hay KC tiếp tuyến (O) (4) Từ (3) (4) => KC KD tiếp tuyến (O) ( đpcm) Bài 102 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O), (B, C tiếp điểm) Vẽ đường kính BD đường trịn(O), AD cắt đường tròn (O) E a) Chứng minh AB2 = AE.AD b) Kẻ đường kính EK đường tròn (O), CK cắt DE I Chứng minh I trung điểm DE c) Gọi H giao điểm OA với BC Chứng minh HC tia phân giác góc DHE d) Gọi S giao điểm hai tia OI BC Chứng minh SD tiếp tuyến đường tròn (O) Giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 129 Website: tailieumontoan.com a) Ta có:  ACE =  ADC ( chắn cung EC) Xét ΔACD ΔAEC có: Â chung,  ACE =  ADC (cmt) => ΔACD ~ ΔAEC (g.g) => AC AD => AC2 = AE.AD = AE AC Mà AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=> AB2 = AE.AD (đpcm) ( )  + DK  (tính chất góc có đỉnh bên đường tròn) sđ CE B  b) Ta có:= sđ CIA  = sđ COB  (do OA phân giác) Mà sđ COA K  = sđ CEB  (tính chất góc tâm) sđ COA ( H )  = sđ CE  + EB  A ⇒ sđ COA =  (đối đỉnh) Lại có: BD ∩ EK ≡ O ⇒ DOK BOE O E  = EB  Thì DK I  = COA  Do CIA C  = COA  nằm nửa mặt phẳng Xét tứ giác AOIC có CIA Nên tứ giác AOIC nội tiếp đường tròn S D Suy  ACO =  AIO (cùng chắn  AO ) Hơn AC tiếp tuyến  ACO =900 ⇒  AIO =900 hay AI ⊥ OI ≡ I Hay ED ⊥ OI ≡ I Vậy I trung điểm ED (tính chất đường kính dây cung) c) Vì AB = AC (tính chất tiếp tuyến) ⇒ A thuộc đường trung trực BC = OB OC =( R ) ⇒ O thuộc đường trung trực BC Do OA đường trung trực BC hay OA ⊥ BC (1) Xét ∆ABO vuông B, đường cao BH có: AB = AH AO Mà AB = AE AD (chứng minh phần a) Nên AH AO= AE AD ⇒ AH AE = AD AO Xét ∆AEH ∆AOD có: AH AE A chung = AD AO Nên ∆AEH ∽ ∆AOD = Do H ADO Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 130 Website: tailieumontoan.com   H ADO ⇒ tứ giác OHED nội tiếp đường trịn (tính chất đảo Xét tứ giác OHED có= góc ngồi của tứ giác nội tiếp)  = DEO  (cùng chắn cung OD) Suy H =  Hơn ∆OED cân O(do OE = OD = R ) ⇒ DEO ADO =H  Nên H (2)  = DHC  hay HC tia phân giác góc DHE Từ (1) (2) suy EHC d) Gọi S giao điểm hai tia OI BC Chứng minh SD tiếp tuyến đường trịn (O) B Vì  AIO = 900 (chứng minh trên) = ⇒ SID 900 (đối đỉnh với  AIO ) K  = 900 (góc chắn nửa Lại có BCD đường trịn) = ) ⇒ SCD 900 (kề bù với BCD H A   SCD Nên = SID = 900 O E   SCD Xét tứ giác DICS có = SID = 900 nhìn SD Nên tứ giác DICS nội tiếp đường tròn I C  = SIC  (cùng chắn CS ) Suy SDC D S Lại có điểm A, B, O, I, C thuộc đường trịn đường kính OA Nên tứ giác BOIC thuộc đường trịn  = SIC  (tính chất góc ngồi tứ giác nội tiếp) Do OBC  = SIC  Hay DBS  = DBS  Suy SDC  + BDC  = SDB  = BDC  + DBC  =900 (hệ tam giác vuông) Cho nên SDC Suy SD ⊥ BD Hơn BD đường kính đường trịn (O) nên SD tiếp tuyến đường tròn tâm (O) Chú ý: Ta chứng minh câu d) sau: Trên nửa mặt phẳng chứa điểm S, có bờ đường thẳng chứa tia DC, vẽ tiếp tuyến    suy hai tia Dx Dx đường tròn (O), ta chứng minh SDC = xDC = DBS DS trùng Từ đó, suy DS tiếp tuyến Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 131 Website: tailieumontoan.com B K H A O E I C D S Bài 103 Cho đường (O) hai đường kính AB CD khơng vng góc với Gọi M giao điểm AC tiếp tuyến đường tròn (O) B, MO cắt BC N Đường thẳng MD cắt (O) điểm thứ hai P Chứng minh A, N, P thẳng hàng Giải Gọi K ≡ AP ∩ MB (1) x I ≡ CK ∩ MO M Ta chứng minh tứ giác ACKB hình thang I trung điểm CK Từ đó, theo bổ đề hình thang ta N giao điểm hai đường chéo hình thang ACKB Thật vậy, tứ giác ACKB nội tiếp đường tròn ( O ) , (theo định nghĩa) = Nên MCP ABP (tính chất góc ngồi tứ giác nội tiếp) Lại có: C I P N AMB = 900 AB ⊥ BM (do BM tiếp tuyến) ⇒   = 900 A APB = 900 (góc chắn nửa đường trịn) ⇒ BPK  (cùng phụ với KBP ) Nên  ABP = BKA K B O  = BKA  Do đó, ta có: MCP  = BKA  Xét tứ giác MCPK có MCP D Nên tứ giác MCPK nội tiếp đường trịn (tính chất đảo góc ngồi của tứ giác nội tiếp)  = CKM  (cùng chắn CM ) Suy CPM  = 900 (góc chắn nửa đường trịn) CPM  = 900 (hai góc kề bù) Hơn nữa, CPD  = 900 Do đó: CKM Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 132 Website: tailieumontoan.com Hay CK ⊥ BM Ta lại có AB ⊥ MB Nên CK / / AB Suy CI CI AO (tính chất chùm đường thẳng đồng quy) hay = OB = R = AO = IK IK OB Nên CI = IK hay I trung điểm CK Hơn nữa, tứ giác ACKB có CK / / AB ⇒ tứ giác ACKB hình thang Theo bổ đề hình thang N giao điểm hai đường chéo AK , BC Do N ∈ AK (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A, N , P thẳng hàng Chú ý: Có thể dựa Talet chứng minh ∆NIK ∽ ∆NOA (c.g.c) suy  = ONA  A, N , P thẳng hàng INK Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 133