Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN HÌNH HỌC TỔNG HỢP LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Năm học: 2011-2012 450 Bài Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lấy điểm E, F cho EAF Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh: a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp b) CGH tứ giác GHFE có diện tích Bài Cho ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đường kính AD đường tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E nằm đường tròn tâm N HE// CD b) M tâm đường tròn ngoại tiếp HEF Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi H điểm cung AB, gọi M điểm nằm cung AH; N Điểm nằm dây cung BM cho BN = AM Chứng minh: AMH = BNH MHN tam giác vuông cân Khi M chuyển độngtrên cung AH Đường vuông góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định tiếp tuyến nửa đường tròn điểm B Q H M N Gợi ý: B A 3)Gọi đường thẳng qua N vuông góc với MB cắt O tiếp tuyến B Q Chứng minh AMB = BNQ BQ = BA = số E Baøi 4.Cho (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn (O/) đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M kẻ dây cung DEAB Gọi I giao DC với (O/) a) Chứng minh ADBE hình thoi b) BI// AD c) I,B,E thẳng hàng O' Gợi ý: c) A C B M Chứng minh qua B có đường thẳng: BE BI song song với AD I D http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Bài Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tư ïđó Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI C cắt By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P 1)Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đường tròn 2)Chứng minh AI.BK = AC.CB 3)Giả sử A,B,I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuoâng ABKI max a/ Chøng minh KPC = KBC = 90 b/ Chøng minh AIC BCK x I B C A P K Bài Từ điểm S đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đường tròn a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B thuộc đường tròn b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? Tại sao? c) Chứmg minh rằng: AC.BD BC.DA AB.CD b/ SAOB hình vuông c/ Lấy E thuộc CD Sao cho CAE BAD Chứng minh CAE BAD AB.CE = AC AD (1) CM AB.DE = AC CB (2) Từ (1) vaø (2) AB.CD = AC BD + AD.BC (3) SA SC AC SA C/minh SAC SDA (4) , (5) SD SB AD SD BC SC SCB SBD (6) BD SD http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn A D E C S O B GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Từ 4, 5, AC.BD = AD BC (7) Từ 3, đpcm A O C D E B Bài Cho ABC vuông A Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F a) Chứng minh: CDEF tứ giác nội tiếp b) Kéo dài DE cắt AC ë K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC 2 Chứng minh r r1 r2 C N Q L F K M C a/ CM gãc C = gãc DEB b/ Chøng minh AQB = QPK( cïng b»ng 1/2 s®BD ) + Tõ ®ã suy KN đường trung trực PQ, QPlà đường trung trực MN + KL MNPQ hình thoi r2 AB r1 AB BO r c/ CM COB AO2B = = ; t¬ng tù tacã = BO2 r2 r BC r BC 2 r1 r2 AB2+ AC + = = §pcm D D r2 r2 CB2 r1 O1 P E r O O2 r2 A B A B Bài Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R H¹ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đường tròn Tìm tâm I đường tròn MN// DE Cho (O) dây AB cố định , điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CDE khôngđổi http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN A Ý / Dễ chứng minh : HC = M AK AB 4R AB const E H C B D K B2i Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy D cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm O B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ tia Ax By vuông góc với AB Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax By E F 1) CMR : Góc DFC góc DBC 2) CMR : ECF vuông 3) Giả sử EC cắt AD M, BD cắt CF N CMR : MN//AB 4)CMR: đường tròn ngoại tiếp EMD đường tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc điểm d/ LÊy Q trung điểm MN DQ=QM=QN DEM = DAB = DMQ = MDQ DQ lµ tiÕp tuyÕn cđa (O') O'DQ = 90 T¬ng tù O''DQ = 90 Từ suy điều cần chứng minh Chó ý: MN lµ tiÕp tun chung cđa (O') vµ (O'') F O'' D O' E M A a/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp b/ Chứng minh tổng góc ECF vuông c/ MCA MDE NDC NMC (cùng phụ với góc MDC) Q N C B Bài 10 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C, D Chứng minh: a) CD = AC+BD b) AC.BD = R2 Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ Cho R = cm, diện tích tứ giác ABDC 32cm2 Tính diện tích ABM http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn D GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN DÔ thÊy CD = 16; S COD = 16 COD AMB( theo tØ sè CD/ AB = 4) Tõ ®ã rót diƯn tÝch AMB SABM nhỏ CD nhỏ CD nhá nhÊt CD song song với AB Khi M điểm cung AB M C B A O Bµi 11 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm AO Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB CAD 1) Chứng minh: a) Tứ giác ACOD hình thoi b) CBD 2) Chøng minh r»ng O lµ trùc tâm BCD 3) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng (MB+MC+MD) đạt giá trị lín nhÊt Bµi 12 Cho ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR: a/MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF Bài 13 Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Dễ thấy MNB Lấy E NK cho KM=KE +Dễ chứng minh MK+KB = KN (do MEN= MKB) +KN AB; MK+KN+KB 2AB =4R "Dấu = K điểm cung MB" M K H Khai thác: 1/ CM AMON hình thoi 2/ CM MNB 3/ CM KM+KB= KN A C E N http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn O B GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Bài 14 Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đường tròn Gọi I trung điểm dây MN, H giao điểm AO BC Chứng minh: a) Năm điểm A, B, I, O, C nằm đường tròn AHM ANO b) AB AM AN vµ Bài 15 Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao AI BE cắt H 1/ Chøng minh CHI = CBA 2/ Chøng minh EI CO 3/ Cho gãc ACB = 600 Chøng minh CH = CO Bài 16 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường tròn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vuông góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H đường tròn Bài 17.Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D cắt By E a) Chứng minh rằng: DOE tam giác vuông b) Chøng minh r»ng: AD BE = R c) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ Bài 18 Cho hai đường tròn (O1) (O2)có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, cắt hai đường tròn ë E vµ F (E (O1); F(O2)) Chøng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB (C (O1); D(O2)).Gọi P giao điểm CE FD Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I di chuyển đường ? Bài 19 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R M điểm tuỳ ý nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến Ax By C D a) Chøng minh r»ng: COD vu«ng b) Chøng minh r»ng: AC.BD = R2 c) Gäi E lµ giao cđa OC vµ AM; F lµ giao cđa OD vµ BM Chứng minh rằng: EF = R d) Tìm vị trí M để SABCD đạt giá trị bé Bài 20 Cho M điểm tuỳ ý nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R(M không trùng với A B) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đường tròn Đường Mz cắt Ax By N P Đường thẳng AM cắt By C đường thẳng BM cắt cắt Ax D CMR: a) Tứ giác AOMN nội tiếp NP = AN+BP b) N, P trung điểm cđa AD vµ BC c) AD.BC = R2 d) Xác định vị trí điểm M để SABCD có giá trÞ nhá nhÊt http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRNG THPT Lấ HON Bài 21 Cho (O;R) dây cung CD cố định có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) Đường thẳng AB cắt đường SO; OH E, F.Chứng minh rằng: a) SEHF tứ giác nội tiÕp b) OE.OF = R2 c) OH.OF = OE.OS d) AB qua điểm cố định S chạy tia đối tia DC Bài 22 Cho (O;R) có hai đường kính AB CD vuông góc với M điểm thuộc đường kính AB (M khác O,A,B) CM cắt (O) N (N khác C) Dựng đường thẳng d vuông góc với AM M Tiếp tuyến với (O) N cắt d ë E a) CMR: OMEN néi tiÕp b) OCME lµ hình gì? sao? c) CMR: CM.CN không đổi d) CMR: E chạy đường thẳng cố định M chuyển động đường kính AB (M khác A,B) Baứi 23 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: => CEH CDH 1800 Tứ giác CEHD, nội tiếp A N Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC E P H M đối xứng qua BC F Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF O H Lời giải: ( Xét tứ giác CEHD ta có: B C D ( CEH 90 ( Vì BE đường cao) CDH 900 ( Vì AD đường cao) M Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEC 900 CF đường cao => CF AB => BFC 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn góc chung Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; C AE AH => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC góc chung * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC ADC 900 ; C BE BC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta có C A1 ( phụ với góc ABC) C A ( hai góc nội tiếp cúng chắn cung BM) C => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => C => CB đường trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn E ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) => C 1 Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN E ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) C E1 E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài 24 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp A 2.Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn 1 Chứng minh ED = BC O Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm E H Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: D B C CEH 900 ( Vì BE đường cao) CDH 900 ( Vì AD đường cao) => CEH CDH 1800 Maø CEH vaø CDH laø hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp 900 Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEA 900 AD laø đường cao => AD BC => BDA Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC 4.Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E A1 (1) 1 B (2) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E E E E Maø B A1 ( phụ với góc ACB) => E A3 E 1 2 0 Maø E E BEA 90 E E 90 OED => DE OE taïi E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm AÙp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta coù ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Baøi 25 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tiếp 2.Chứng minh COD 90 tuyến đường tròn đường AB 3.Chứng minh AC BD = kính CD http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN 6.Chứng minh MN AB á7 Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M để ủeồ chu vi tửự giaực ACDB đạt ủaùt giaự trũ nhoỷ Lời giải y x D I / M / C A N O B 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Maø CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân AOM BOM 900 gá¸c góc BOM, mà hai góc kề bù => COD 3.Theo COD 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM AB Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = Theo treân COD 900 neân OC OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM OD (2) Từ (1) (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) 5.Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB IO // AC , maø AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN AC CN CM Theo treân AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy BN BD BN DM => MN // BD maø BD AB => MN AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD maø AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài 26 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A ; O trung điểm IK Tương tự ta có Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) AIK 900 , B C 3.Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm nằm đường tròn Lời giải: (HD) đường kính IK B, C, Vì I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp I, K nằm đường tròn góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B Do BI BK hay IBK 90 http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN C (1) ( CI phân giác góc ACH 2.Ta coù C I 90 (2) ( IHC 900 ) C A (3) ( tam giác OIC cân O) I1 ICO ICO 900 hay AC OC Vậy AC tiếp tuyến Từ (1), (2) , (3) => C đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH 12 CH2 = AH.OH => OH = = (cm) AH 16 OC = OH HC 12 2 2 225 = 15 (cm) I B H C o K Bài 28 Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếpđiểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB d Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp A Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm P K D đường tròn N Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 H M O I Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng C 6.Tìm q tích điểm H M di chuyển đường thẳng d B Lời giải: (HS tự làm) Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đường kính dây cung) => OKM 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM 900 ; OBM 900 Như K, A, B nhìn OM góc 900 nên nằm đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM laø trung trực AB => OM AB I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đường cao Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI IM = IA2 Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (= R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R Vaäy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do q tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN E D 1.Chứng minh tam giác BEC cân 2.Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH 3.Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) A 4.Chứng minh BE = BH + DE I Lời giải: (HD) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vaø AE = AC (2) B H C Vì AB CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến B BEC => BEC tam giác cân => B B => AHB = AIB => AI = AH Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B AI = AH vaø BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE BI = BH => BE = BI + IE = BH + ED Bài 30 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M 1.Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Từ (1) (2) => ABM AOP Chứng minh BM // OP (3) X Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng N J P minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt I J Chứng minh I, J, K thẳng hàng M Lời giải: K (HS tự làm) ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm 2.Ta coù ( ( A B O AOM chaén cung AM => ABM (1) OP tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) AOM => AOP (2) Mà góc ABM góc AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 900 (vì PA tiếp tuyến ); NOB 900 (gt NOAB) 3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : PAO => PAO NOB 900 ; OA = OB = R; AOP OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau) 4.Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, maø ON AB => ON PJ Ta cóPM OJ( PM tiếp tuyến ),mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ.(6) AON ONP 900 Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO => K trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) APO NOP AONP hình chữ nhật => ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO tia phân giác APM APO MPO (8) Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đồng thời đường cao => IK PO (9) Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Bài31 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK từ giác nội tiếp I 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân F 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi M 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn H E Lời giải: Ta có: AMB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) K 2 => KMF 90 (vì hai góc kề bù) B A O AEB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KEF 900 (vì hai góc kề bù) => KMF KEF 900 Mà góc KMF góc KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) Ta có IAB Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM IB MAE (lÝ ……) AE ME Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE => => ABE MBE ( hai goùc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo ta có AEB 900 => BE AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến => E trung điểm AF (3) Từ BE AF => AF HK (4) Theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) 5.(HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => Tứ giác AKFI hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) ABM MAI Thật vậy: M trung điểm cung AB => Tam giác ABI vuông A có ABI 450 => AIB 450 (8) Từ (7) vaø (8) => IAK AIF 450 => AKFI laø hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn X Bài 32 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE khôngđổi ABD DFB Chứng minh http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Từ (1) (2) => Lời giải: ( phụ với ABD DFB 1.C thuộc nửa đường tròn nên ACB 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) góc BAD) => BC AE E ABE 900 ( Bx tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC đường cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh đường cao ), mà AB đường kính nên AB = 2R không đổi AC AE không đổi C F ADB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 3. ADB coù D => ABD BAD 90 (vì tổng ba góc tam giác 1800) (1) ABF có ABF 900 ( BF tiếp tuyến ) 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800 ) (2) => AFB BAF O A B Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD ACD 180 X ECD ACD 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ECD ABD ( bù với góc ACD) Theo treân ABD DFB ECD DFB Maø EFD DFB 1800 ( Vì hai góckề bù) neân suy ECD EFD 1800 , mặt khác góc ECD góc EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 33 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đường S vuông góc từ S đến AB 1.Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh PS’M cân M 2.Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn Lời giải: 4( )1 P B 900 ; ) H O 3( A Ta coù SP AB (gt) => SBA AMB 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AMS 900 Như P M nhìn AS góc 900 nên nằm đường tròn đường kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm đường tròn nên M’ nằm đường tròn => hai cung AM AM’ có số đo => AMM ' AM ' M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) M' S' Cũng M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( vuông góc với AB) => AMM ' AS ' S ; AM ' M ASS ' (vì so le trong) (2) => Từ (1) (2) => AS ' S ASS ' Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đ/ tròn => ASP AMP (nội tiếp chắn AP ) ' => AS P AMP => tam giác PMS’ cân P S ' (cùng phụ với góc S) (3) Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS’ vuông M => B (4) Tam giác PMS’ cân P => S '1 M M (5) Tam giác OBM cân O ( có OM = OB = R) => B http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN M M M M M , maø M M AMB 900 nên suy Từ (3), (4) (5) => M 3 M PMO M 900 PM OM M => PM tiếp tuyến đường tròn M Bài 34 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn BD BM DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp CB CF A Lời giải: (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF D F cân A => ADF AFD 900 => sñ cung DF < 1800 => DEF 900 O ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE) 900 ; EDF 900 Chứng minh tương tự ta có DFE I Như tam giác DEF có ba góc nhọn M C B E AD AF Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo treân) => => DF // BC AB AC C (vì tam giác ABC cân) DF // BC => BDFC hình thang lại có B => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đường tròn Xét hai tam giác BDM CBF Ta có DBM BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BFD BDM BFD (nội tiếp chắn cung DI); CBF (vì so le) => BDM CBF BD BM => BDM CBF => CB CF Bài 35 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : C Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn M O A B thẳng cố định Lờùi giải: N Ta có OMP 90 ( PM AB ); ONP 900 (vì NP tiếp tuyến ) Như M N nhìn OP góc 900 => M N P D B' A' nằm đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp ONM Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC OCN => OPM = OCM OMC 900 ; OPM OCM CMO POM Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC Lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Theo giả thiết ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tứ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành Xét hai tam giác OMC NDC ta coù MOC 900 ( gt CD AB); DNC 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC NDC DNC 900 Laïi có góc C góc chung => OMC CM CO => CM CN = CO.CD maø CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi CD CN => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đường thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy đoạn thẳng A’ B’ song song AB Bài 36 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn A Lời giải: E 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Ta có : BEH I 1( F AEH 900 (vì hai góc kề bù) (1) => CFH 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) )1 O O2 B H C 900 (vì hai góc kề bù).(2) => EFH 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) EAF Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) H (nội tiếp chắn Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn => F 1 => cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) (O2) H (hai góc nội tiếp chắn cung HE) => B F => EBC EFC AFE EFC => B 1 1 EFC maø AFE EFC 1800 (vì hai góckề bù) => EBC 1800 mặt khác góc EBC góc EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp AFE ABC ( theo chứng minh trên) Xét hai tam giác AEF ACB ta có A 900 góc chung; AE AF => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD caùch 2: Tam giaùc AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE AB = AF AC H Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E 1 H O1EH cân O1 (vì có O1E O1H bán kính) => E 2 E H H maø H H E O EF 900 => O1E EF => E AHB 900 E 2 1 2 Chứng minh tương tự ta có O2F EF Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Bài37 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, E EB với nửa đường tròn (I), (K) N 1.Chứng minh EC = MN 2.Ch/minh MN tiếp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K) H 3.Tính MN M 4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Lời giải: I O A C K B Ta có: BNC 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K) => ENC 900 (vì hai góckề bù) (1) AMC 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC 900 (vì hai góckề bù).(2) AEB 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ gi¸c CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật) Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K) C (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật neân => C N => B 1 => B N (4) Lại có KB = KN (cùng làbán kính) => tam giác KBN cân K => B N (5) 1 N maø N N CNB 900 N N MNK Từ (4) (5) => N 900 3 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN tiếp tuyến (I) M Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) AEB 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) Ta coù => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo treân EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 cm, CB = 40 cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta coù S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bài 38 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN C C 12 O O D S E M H×nh a D F B A M 1 2 F E S 2 A H×nh b B 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC Ta có CAB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => CDB 900 Như D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường tròn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp C nội tiếp chắn cung AB) ABCD tứ giác nội tiếp => D C => SM EM => C C (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung nhau) D 3 => CA tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy EM => D D => DM tia phân giác góc ADE.(1) Theo ta có SM Ta có MBC 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) => MEB 900 Tứ giác AMEB có MAB 900 ; MEB 900 => MAB MEB 1800 mà làhai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A B 2 ( nội tiếp chắn cung CD) Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1 B => A A => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Caâu : ABC CME (cùng phụ với góc ACB); ABC CDS (cuøng buø ADC ) => CME CDS CS SM EM => SCM = ECM => CA tia phân gi¸c cđa gãc SCB => CE Bài 39 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN 900 ( tam giác ABC vuông Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) A); DEB BAC 900 ; lại có => DEB ABC góc chung => DEB CAB 900 DEC 900 (vì hai góckề bù); BAC 900 ( Theo DEB 900 DEC DAC 1800 mà hai góc ABC vuông A) hay DAC đối nên ADEC tứ giác nội tieáp B O E F G D S A C * BAC 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC 900 Như F A nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường tròn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp C lại có E F F C mà làhai góc so le nên Theo ADEC tứ giác nội tiếp => E 1 1 1 suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 40 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC 1.Chứng minh APMQ lµà tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH 3.Chứng minh OH PQ Tam Tam giác ACM có MQ đường cao => Lời giải: APM 90 ; MQ AC (gt) Ta coù MP AB (gt) => SACM SACM = AC.MQ AQM 900 Như P Q nhìn BC góc => 900 nên P Q nằm đường tròn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM Tam giác ABC có AH đường cao => SABC = BC.AH Tam Tam giác ABM có MP đường cao => SABM SABM = AB.MP A O P Q B H M C 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABCđều) => MP + MQ = AH HQ HAQ Tam giaùc ABC có AH đường cao nên đường phân giác => HAP => HP ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác Ta có SABM + SACM = SABC => POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH PQ http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Bài 41 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đường tròn ; MA vµà MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp KCM cân K ( KC Lời giải: C KM bán kính) => M Ta có : ACB 90 ( nội tiếp chắn nửa đường troøn ) 1 => MCI 90 (vì hai góckề bù) M ADB 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) _ K => MDI 90 (vì hai góckề bù) C _ MDI => MCI 1800 mà hai góc đối tứ giác MCID nên D MCID tứ giác nội tiếp I Theo ta có BC MA; AD MB nên BC AD hai A B đường cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I O H trực tâm tam giác MAB Theo giả thiết MH AB nên MH đường cao tam giácMAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC cân O ( OA OC bán kính) => A1 C 90 ( tam giác AHM vuông H) => C C 900 C C 900 ( góc ACM Mà A1 M 1 góc bẹt) hay OCK 90 Xeùt tứ giác KCOH ta có OHK 900 ; OCK 900 OHK OCK 1800 mà góc OHK góc OCK hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp Bài 42.Cho đường trịn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB.Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB.Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD D Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD I Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến (O’) 1 A / / O B C M O' Lời giải: 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID 900 BIC (vì hai góc kề bù); DE AB M => BMD 900 => BID BMD 180 mà hai góc đối tứ giác MBID E nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm mỗiđường ADC 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DC; theo treân BI DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm ; O’IC cân O’ ( O’C O’I bán DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 E kính ) => I C mà C E ( Cùng phụ với góc EDC ) => I I I I I I 1 1 3 ' hay MI O’I I => MI tiếp tuyến (O’) 900 => I I 900 MIO Maø I3 I2 BIC Baøi 43 Cho đường tròn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính đii qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằng: => CGD = 900 (vì hai góc kề bù) Tứ giác MDGC nội tiếp D Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn G Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng M C B A DF, EG, AB đồng quy O' O MF = 1/2 DE F MF tiếp tuyến (O’) E Lời giải: BGC 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Theo giả thiết DE AB taïi M => CMD 900 => CGD CMG 1800 mà d0a6y làhai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD tứ giác nội tiếp BFC 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD 900 ; BMD 900 (vì DE AB M).Như F M nhìn BD góc 900 nên F M nằm đường tròn đường kính BD => M, D, B, F nằm đường tròn Theo giả thếÕt M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm mỗiđường ADC 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DF ; theo tứ giác ADBE hình thoi => BE // AD maø AD DF neân suy BE DF Theo BFC 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF DF mà qua B có đường thẳng vuông góc với DF B, E, F thẳng hàng Theo DF BE; BM DE mà DF BM cắt C nên C trực tâm củatamgiác BDE => EC đường cao => ECBD; theo CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo DF BE => DEF vuông F có FM trung tuyến(vì M trung điểm DE) Suyra MF = 1/2 DE ( tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền) F (HD) theo MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF caân M => D 1 B mà B D (Cùng phụ với DEB O’BF cân O’ ( O’B O’F bán kính ) => F ) 1 ' F F F F F Maø F F BFC F 900 MFO => F 900 F 2 3 hay MF O’F taïi F => MF tiếp tuyến (O’) Bài 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tròn tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn ... OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (= R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo OAHB hình thoi... AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) 5.(HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => Tứ giác AKFI hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn AKFI phải hình. .. CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật) Theo giả thi? ??t EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K) C (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình